Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Программа элективных курсов по математике "Нестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств"

Программа элективных курсов по математике "Нестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств"


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:














Программа элективных курсов


Нестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств















«Нестандартные методы решения нестандартных уравнений и неравенств»

(Программа и дидактические материалы элективного курса для профильной подготовки учащихся 10-11 классах по математике)

Профиль: социально-экономический;

профилирующий предмет: история и обществознание

Количество часов математики:

  • алгебра 3 часа;

  • геометрия 2 часа;

  • элективный курс 1 час



Пояснительная записка

Профильное обучение займёт достойное место в общеобразовательной сфере и, как «средство дифференциации и индивидуализации обучения», позволит «более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, представит условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования» (из приказа Министерства образования России от 18.07.2002, №2783). Серьёзнейшим механизмом «Профильного образования»- являются элективные курсы, так называемые курсы по выбору, назначение которых – выявить средствами предмета математики направленности личности, её профессиональных интересов, а также углубить отдельные темы базовых общеобразовательных программ по математике.

Программа разработана она на основе государственной программы по математике для 5 – 11 классов курса и предназначена для повышения эффективности подготовки учащихся 10 - 11 классов к итоговой аттестации по алгебре и началам анализа за курс полной средней школы и предусматривает их подготовку к дальнейшему математическому образованию. Наибольшие затруднения у учащихся вызывают решения так называемых нестандартных задач, которые занимают значительное место среди задач повышенной сложности в заданиях ЕГЭ и олимпиадах по математике.

К нестандартным обычно относят такие уравнения и неравенства, где традиционные алгоритмы не подходят. Во многих случаях решение таких уравнений и неравенств осуществляется на «функциональном уровне», т. е. с помощью графиков или за счет сопоставления некоторых свойств функций, содержащихся в левой и правой частях уравнения. Настоящий элективный курс призван помочь учащимся восполнить пробелы и поднять на более высокий уровень свою математическую подготовку по этой теме. Представленные методы и приемы решения нестандартных задач в этом курсе позволяет преодолеть инерцию мышления учащегося, развивает творческие способности, логическое мышление и исследовательские навыки; формирует умения использовать приобретённые знания в практической деятельности и повседневной жизни для построения и исследования простейших математических моделей.

Материал элективного курса рассматривается параллельно с изучением соответствующих вопросов на уроках, на занятиях происходит систематизация знаний и углубление, как по содержанию, так и по практическому применению и методам обоснований, реализуются межпредметные связи. Таким образом, данный курс способствует лучшему усвоению базового и профильного курса математики, а также служит для внутрипрофильной дифференциации и построения индивидуального образовательного пути, для раскрытия основных закономерностей построения математической теории. Курс ориентирован не только на учащихся, обладающих достаточной математической подготовкой, проявляющих интерес к предмету и желающих углубить свои знания, умения и навыки, но и на тех учащихся, которые желают овладеть дополнительными знаниями по данной теме, хотя бы для успешной сдачи экзаменов.

Цели курса:

Вовлечение учащихся в исследовательскую деятельность, способствующую развитию логического мышления, интеллектуальных и коммуникативных качеств, необходимых для продолжения образования и для адекватной социальной адаптации учащихся в современном мире.



Задачи курса:

  • Научить анализировать конкретные ситуации, замечать существенное, выявлять общее и делать выводы, переносить известные приемы в нестандартные ситуации, находить пути их решения;

  • Развивать логическое и математическое мышление, алгоритмическую и вычислительную культуру учащихся;

  • Развивать исследовательские навыки деятельности учащихся: составлять проекты, проводить эксперимент, работать с литературой, активно использовать Интернет, развивать письменную и речевую математическую культуру учащихся.


Требования к уровню подготовки учащихся:

  • должны иметь элементарные умения и навыки решения задач обязательного и повышенного уровня сложности;

  • точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач

  • воспроизводить изученные понятия, алгоритмы решения задач с помощью нестандартных методов;

  • анализировать и выбирать оптимальные способы решения нестандартных уравнений и неравенств;

  • самостоятельно конструировать свои знания;

  • самостоятельно выдвигать гипотезы, логически обосновывать суждения, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, принимать решения.


Формы организации учебных занятий.

Занятия организуются в форме уроков. Уроки проводятся в форме лекций, семинаров, конференций, практических работ. В течение всего курса проходит тренинг. В ходе изучения проводятся краткие теоретические опросы по знанию формул и основных понятий. Наряду с тренингом используется принцип беспрерывного повторения, что улучшает процесс запоминания и развивает потребность в творчестве. В ходе курса учащимся предлагаются различного типа сложности задачи. Для презентации своих творческих работ обучающиеся могут использовать домашние компьютеры или компьютер кабинета математики.

Типы учебных занятий:

  • изучение и первичное закрепление новых знаний и способов решения уравнений и неравенств,

  • закрепление знаний и умений и навыков;

  • комплексное применение знаний и умений и навыков при решении уравнений и неравенств,

  • обобщение и систематизация знаний,

  • проверка и оценка знаний, умений и навыков решения нестандартных уравнений и неравенств.


Контроль знаний и умений.

Текущий контроль уровня усвоения материала осуществляется в результате выполнения обучающимися самостоятельных и практических работ, а также, творческих проектов в виде презентаций. Две контрольные работы в форме решения заданий с развёрнутым ответом в конце каждого полугодия.


Место курса в системе профильной подготовки учащихся.

Курс ориентирован на профильную подготовку учащихся по математике. Он расширяет и углубляет базовый курс по математике, даёт учащимся возможность познакомиться и приобрести навыки применения нестандартных методов решения нестандартных задач. Вопросы, которые рассматриваются в данном элективном курсе, выходят за рамки обязательного изучения, но вместе с тем они тесно примыкают к основному курсу т.к. достаточно пронаблюдать уровень и содержания соответствующих ЕГЭ, для решения которых необходимы методы, рассматриваемые в данном элективном курсе. Поэтому курс будет не только способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, но и поможет оценить свои возможности по математике и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения.


Содержание курса



Тема 1. Введение в курс (2часа).

Понятие нестандартных задач и нестандартных методов решения. Классификация нестандартных методов решения: метод мажорант, метод монотонности, метод неотрицательности, применение производной, применение свойств синуса и косинуса, геометрический подход, применение области определения функций. Функция. Основные свойства функций Актуализация знаний по основным свойствам функций школьного курса: область существования функции, ограниченность функций, монотонность, знакопостоянство.

Привести пример из заданий ЕГЭ по математике:


В8.Найдите все значения hello_html_m5547f17b.gif, при каждом из которых выполняется соотношение:

hello_html_m3ed0731d.gif. Если такихhello_html_m5547f17b.gifбольше одного, в ответе запишите максимальное из них.

Решение. hello_html_m3ed0731d.gif. Замечаем, что в степени левой части неравенства и правой части встречается одинаковое выражение hello_html_30beb091.gif. Дальше, видно, что неравенство стандартными методами не решается, следовательно, надо смотреть на поведение функций слева и справа. Для этого в обеих частях попробовать выделить hello_html_m534d3edc.gif, что есть точный квадрат (всегда неотрицательный!).

Преобразуем неравенство:

hello_html_10ec252d.gif

hello_html_73db19bb.gif(1)

Теперь все становится очевидным, поскольку убывающая функция hello_html_6c845d97.gifдостигает своего максимума при минимальной степени т.е. при hello_html_m5547f17b.gif=-2 (hello_html_m2bd5a165.gif)

А функция hello_html_m7f94b5b1.gifне может быть меньше 9 и равно 9 только при hello_html_m5547f17b.gif=-2

hello_html_m748ba40e.gifпри любых hello_html_m5547f17b.gif.

Функция hello_html_m656c8705.gif- убывающая, тогда hello_html_6c845d97.gifhello_html_m2f393393.gif=9, (2)

а функция hello_html_m7f94b5b1.gif9 при любых hello_html_m5547f17b.gif (3)

Из равенств (1),(2) и (3) следует, что

9hello_html_m2a7aacfc.gifhello_html_4b146b58.gif9 при любыхhello_html_m5547f17b.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_5b564bc1.gif

Ответ hello_html_m5547f17b.gif=-2


Для самостоятельной работы:

Решите уравнение:

1.hello_html_2a220b2c.gif

2. hello_html_6beb612e.gif

3. (hello_html_1ae0d7e0.gif


Тема 2. Метод мажорант (метод оценки ограниченности функций (5часов).

Понятие метода мажорант и основной идеи этого метода. Рассматривается метод, когда на общей части областей существования функций, находящихся в левой и правой части, каждая из них ограничена слева или справа одним и тем же числом.

Наиболее результативным данный метод является при решении уравнений, в состав которых входят функции, области значений которых ограничены:

y = sin x; y = cos x; y = arccos x; y = arcsin x; y = | x |; y =hello_html_45443a93.gif; y = hello_html_47ed3412.gif

Пусть мы имеем уравнение hello_html_m6ffe5d71.gifи существует число М, такое, что для любого x из области определения hello_html_278687bc.gif и hello_html_512ef164.gifhello_html_m72ece326.gif и hello_html_587a25fb.gif. Тогда уравнение hello_html_m6ffe5d71.gif, hello_html_m4bd035a0.gif Число M называется мажорантой.



Пример 1. Решите уравнение:

hello_html_m67baa0f9.gif.


Решение.

ОДЗ: hello_html_5cf8b834.gif,

hello_html_m3272121c.gif

Оценим левую часть уравнения:hello_html_429e76c0.gif

hello_html_7727521e.gif

Оценим правую часть уравнения: hello_html_431b144d.gif

Следовательно, левая часть исходного уравнения может быть равна правой части, только если обе части одновременно равняются 3.hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m50ee25a7.gif

Решая второй уравнение, получаем х=0.

Ответ: hello_html_m5904b298.gif


Пример 2. Решите уравнение

hello_html_9970c3b.gif

hello_html_2060196c.gif

Равенство достигается, если hello_html_6a4b2062.gif

(1): hello_html_2f6d971a.gif

hello_html_6e42bcfb.gif

Подставив найденные значения x в уравнение (2), получим:

hello_html_m258d1c29.gifhello_html_m4fee3c9b.gif-решение системы.

Ответ hello_html_m27353acd.gif


Пример3. Решить уравнение:

hello_html_m1b0e3ee7.gif

Оценим: hello_html_m6d10a241.gif

hello_html_2dec7ecd.gif

Правая часть: hello_html_77bb2710.gifhello_html_m53d4ecad.gif

(1): hello_html_m12f75897.gifhello_html_m5e3d9067.gif- решение системы, а значит, исходного уравнения.

Пример 4. Решите уравнение:

hello_html_40d95434.gif.


Решение.

Запишем ОДЗ: hello_html_m19dad742.gif

hello_html_2286b527.gif.

Можно утверждать, что hello_html_2eba0f11.gif.

Запишем уравнение в таком виде:

hello_html_m479ea124.gif.

Оценим левую и правую части уравнения (*):

hello_html_m56fbae0c.gif

Т. о., исходное уравнение равносильно системе:

hello_html_2f674a7b.gif

Ответ: (0;1).


Пример 5. Решить неравенство: hello_html_m1a63ef56.gif

Решениеhello_html_m53d4ecad.gif. Оценим снизу левую часть неравенства. Так как hello_html_1f31b678.gif, то hello_html_m6d3a5535.gif.

Правую часть сверху: hello_html_17456db2.gif. Из этих двух последних неравенств, следует, что данное неравенство может иметь место только в случае , когда одновременно выполняются условия hello_html_m1dcf697.gif и hello_html_75e9a69.gif. Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений: hello_html_m5c7484f7.gif

Общие корни этих уравнений можно найти, составив и решив уравнение

hello_html_m7c93cea6.gifв целых числах. Это уравнение перепишем в виде 1+4n=5k, или

k-1=4(n-k). Отсюда следует, что л-1 должно быть кратным 4, т.е. k-1=4m,где mhello_html_m289d78ff.gifZ. Итак, имеем:k=4m+1, где mhello_html_m289d78ff.gifZ, откуда x=hello_html_63c9897.gif, где mhello_html_m289d78ff.gifZ.

Ответ. x=hello_html_63c9897.gif , где mhello_html_m289d78ff.gifZ.



Пример 6. Решить неравенство:

hello_html_m4a696979.gif

hello_html_m1a1ea074.gifhello_html_6d90ebb3.gif

Пример 6. Решить уравнение: hello_html_76497009.gif

Рассмотрим функции: hello_html_m75655c5c.gif

hello_html_285bd109.gif

E(f) = [–1; 1]

Ehello_html_m3544cdd1.gif(g) = [1; +∞]E(f)hello_html_m181e656f.gif = { 1 }Отсюда: данное уравнение равносильно системе: hello_html_m503c79e9.gif

hello_html_44b31bae.gif

Решим I уравнение системы: hello_html_m503c79e9.gif

hello_html_m2615b8c2.gif nhello_html_m289d78ff.gifZ

hello_html_516c88ef.gif, nhello_html_m289d78ff.gifZ

hello_html_m46d9db9d.gif, nhello_html_m289d78ff.gifZ

Решим II уравнение системы: hello_html_44b31bae.gif

hello_html_17cc40eb.gif

hello_html_6a90d386.gif

hello_html_m6eaca919.gif

Отсюда: решением системы, а значит и данного уравнения является x = 2

Ответ: 2.

Задания для самостоятельной работы:

Решите уравнения и неравенства:

  1. hello_html_m48703c81.gif

  2. hello_html_52ce84c7.gif

  3. hello_html_m9b7b21d.gif

  4. hello_html_21f8763a.gif

  5. hello_html_m7913f4c8.gifhello_html_m53d4ecad.gif

  6. hello_html_255cbfcd.gif

  7. hello_html_4f82e7d5.gif

  8. hello_html_m130b47ee.gif

  9. hello_html_64df947c.gif

  10. hello_html_61f12e16.gif

  11. hello_html_m3b837e63.gif

  12. hello_html_6a8d8665.gif

  13. hello_html_m49f29b9b.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_78de75a8.gif


Тема 3. Использование метода монотонности для решения нестандартных уравнений и неравенств (5часов).

Повторение промежутков монотонности показательных, логарифмических, тригонометрических, Рассматривается метод, когда в левой и правой части уравнения находятся разные по монотонности функции.

Теоремы о монотонности функций, их связь с решением уравнения. Алгоритм решения с помощью метода монотонности.

Если y=f(x) - монотонная функция, то уравнение f(x) = c имеет не более одного корня

Пусть функция y=f(x) возрастает на промежутке М, а функция y=g(x) убывает на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=g(x) имеет на промежутке М не более одного корня.

Пусть область определения функции f(t) есть промежуток М, и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна (т.е. возрастает или убывает) на этом промежутке. Тогда уравнение hello_html_m7daf8f99.gif равносильно системе:

hello_html_14cdc34c.gif

При решении уравнений вида hello_html_m17bae39f.gifполезна следующая теорема: Если hello_html_5d3651ff.gif

Монотонно возрастающая (убывающая) функция, уравнения hello_html_6300730b.gif и hello_html_m17bae39f.gif эквивалентны.

Пример 1. Решите уравнение:

hello_html_4250728d.gif


Решение.hello_html_2101b0d3.gif- возрастающая функция (как сумма возрастающих функций).

В правой части уравнения - постоянная. В силу теоремы о корне, уравнение имеет не более одного решения. Очевидно, чтоhello_html_m5547f17b.gif =2 – корень.

Ответ: hello_html_m5547f17b.gif =2.


Пример 2. Решите уравнение hello_html_27eccda0.gif

Пусть hello_html_m5efb8410.gif. Тогда hello_html_m7e96e0fb.gifи заданное уравнение можно переписать в виде hello_html_m6a12d6e7.gif, откуда hello_html_7c8f4b42.gifэто уравнение имеет очевидный корень t=2, но утверждать, что это единственный корень нельзя. Разделим обе части последнего уравнения на выражение hello_html_56d5af9b.gif, получим hello_html_m45ccd7a0.gif, где левая часть уравнения убывает, а правая часть – возрастает. Значит, t=2- единственный корень уравнения.

Поскольку hello_html_m5efb8410.gif, то находим hello_html_m5547f17b.gif=9 – единственный корень исходного уравнения.

Ответ hello_html_m5547f17b.gif=9

Пример 3. Решите уравнениеhello_html_4f62f4a7.gif = hello_html_m5547f17b.gif-1

Функция y=hello_html_4f62f4a7.gif убывает на всей области определения (hello_html_m5547f17b.gif7), а функция y=hello_html_m5547f17b.gif-1-возрастает при любых hello_html_m5547f17b.gif. Тогда данное уравнение hello_html_4f62f4a7.gif = hello_html_m5547f17b.gif-1 имеет единственное решение, методом подбора находим hello_html_m5547f17b.gif =3

Ответ hello_html_m5547f17b.gif=3

Пример 4. Решите неравенство: hello_html_m172737dd.gif<7.

Функция hello_html_m5f17f5cb.gifhello_html_m172737dd.gif возрастает на R как сумма двух возрастающих функций. Легко видеть, что hello_html_m5547f17b.gif=0 – единственный корень уравнения hello_html_m5f17f5cb.gif7. Следовательно, неравенство hello_html_278687bc.gif<7 удовлетворяется при hello_html_m5547f17b.gif<0hello_html_m53d4ecad.gif

Пример5. Решите уравнение:

hello_html_m7176168e.gif


Решение.

ОДЗ:hello_html_1cd5b9cc.gif

hello_html_m70ce79a0.gif

hello_html_138a70de.gif- возрастающая функция (как сумма возрастающих функций).

Найдем подбором корень, hello_html_m5547f17b.gif =1. В силу теоремы о корне, имеем, что он единственный.

Ответ: hello_html_m5547f17b.gif=1.



Задания для самостоятельного решения

Решите уравнения:

  1. hello_html_39bc5ed6.gif.

  2. hello_html_7f2f5313.gif

  3. hello_html_m306e8c31.gif

  4. hello_html_m73185275.gif

  5. hello_html_m37108ed0.gif

  6. hello_html_1a78d815.gif

  7. hello_html_m5b77797b.gif

  8. hello_html_368c6250.gif

  9. hello_html_1c871ca4.gif

  10. hello_html_63342dcd.gif

  11. hello_html_1e4130cd.gif

  12. hello_html_m1035cb1d.gif

  13. hello_html_3868d550.gif

  14. hello_html_m1a395625.gif

  15. hello_html_38cdde9d.gif

  16. 3hello_html_34fbc23a.gif + 2hello_html_34fbc23a.gif=5hello_html_34fbc23a.gif

  17. hello_html_mc32f576.gif


  1. Найти наименьшее значение функции y=hello_html_6d886268.gif на отрезке hello_html_m4e7c58c7.gif

  2. Найти наибольшее значение функции y=hello_html_58dbd820.gif на отрезке hello_html_m1802e6de.gif

  3. Найти наибольшее значение функции y=hello_html_m4974bc63.gif на отрезке hello_html_m270721e7.gif

  4. Решите неравенство hello_html_m28fa9110.gif< hello_html_71db59ec.gif

  5. Решите неравенство log0,5hello_html_m5547f17b.gifhello_html_m7ceebba.gifsin(-hello_html_m5547f17b.gif1)


  1. Решите неравенство log5(hello_html_m5547f17b.gif2+1)hello_html_2c84fd28.gif(hello_html_m5547f17b.gif+1)hello_html_m78774d40.gif1

  2. Решите неравенствоhello_html_m1be7624.gif




Тема 4. Использование области определения функций при решении уравнений и неравенств(4 часа)

Рассматривается метод, когда при рассмотрении уравнения или неравенства выясняется, что обе его части определены на некотором множестве, состоящем из одного или нескольких чисел.

Этот метод наиболее результативен при решении уравнений и неравенств, в состав которых входят функции y =hello_html_e541fa4.gif; y =hello_html_5c093a3c.gif; y=hello_html_3b4c2c2b.gif; y = hello_html_m255631eb.gif.

При решении уравнения или неравенства перенести все члены в левую часть и рассмотреть функцию f (x). Найти её область определения Д (f). При этом:

1hello_html_m3ef944b9.gifhello_html_47bc0111.gif). Если Д (f) = hello_html_m53d4ecad.gif, то уравнение или неравенство решений не имеют.

2). Если Д (f) = {а1; а2; а3…..аn}, то действительные решения данного уравнения и неравенства находятся среди чисел а1; а2; а3…..аn. Теперь необходимо проверить, какие из данных чисел являются решениями уравнения или неравенства.

3). Если Д (f) = [а; в], то нужно проверить верно ли уравнение или неравенство на концах промежутка и в каждом промежутке, причём, если a < 0, а в > 0, то необходима проверка на промежутках (а; 0) и [0; в).

Пример 1. Решите уравнение:

hello_html_me955436.gif.


Решение.

Выпишем условия, при которых выражения, входящие в левую часть данного уравнения, имеют смысл:

hello_html_29ac116c.gif

Система решений не имеет. Поэтому и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.


Пример2. Решите уравнение:

hello_html_m7e17176e.gif


Решение.

Найдем область определения уравнения:

hello_html_m18a8c5c7.gif

Подставив эти значения в уравнение, убеждаемся, что они его удовлетворяют.

Ответ: -9, 9.



Пример3. Решите уравнение:

hello_html_m15da5dc2.gif

Решение.

Рассмотрим функцию hello_html_c7be95.gif Найдем ее область определения:

hello_html_m2be7a143.gif

Итак, левая часть уравнения имеет смысл только при х=1. Но при х=1 hello_html_375078ef.gif, значит, данное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.


Пример 4. Решить уравнение: hello_html_3ead5747.gif+hello_html_m6944afad.gif=0

Решение. Рассмотрим функцию: hello_html_m6ee0eb9d.gif+hello_html_m6944afad.gif

Дhello_html_7fb3c877.gif(f): hello_html_m5547f17b.gif– 3 ≥ 0

6 – 2х ≥ 0


hello_html_m5547f17b.gifhello_html_7fb3c877.gif3

2х ≥ –6


hello_html_m5547f17b.gifhello_html_7fb3c877.gif3

hello_html_m5547f17b.gif3


hello_html_m5547f17b.gif= 3

Отсюда: hello_html_m5547f17b.gif = 3 может являться корнем данного уравнения.

Проверим это:

Если hello_html_m5547f17b.gif = 3, то hello_html_m7b40bd74.gif + hello_html_m8d26c95.gif= 0 – верно

Значит: уравнение имеет один корень hello_html_m5547f17b.gif = 3

Ответ: 3.


Пример 5. Решить неравенство: hello_html_2d77d5c2.gif+hello_html_25114ed3.gif

Решение hello_html_2d77d5c2.gif+hello_html_m1f2b3cfa.gif

Рассмотрим функцию: у = hello_html_2d77d5c2.gif+hello_html_4a6049b8.gif

Дhello_html_7fb3c877.gif(у): hello_html_m5547f17b.gif – 1 ≥ 0

hello_html_m5547f17b.gif0


hello_html_m5547f17b.gif1

Проверим, является ли данное множество решением неравенства.

Если hello_html_m5547f17b.gif= 1, то неравенство hello_html_m3ed87408.gif+hello_html_6a99d20c.gif>1 – верно.

Если hello_html_m5547f17b.gif > 1, то hello_html_m3be362a8.gif>0; hello_html_6543d9ec.gif>0; hello_html_m6e040bef.gif.

Значит неравенство: hello_html_m14b37374.gif – верно при х > 1

Отсюда, решением данного неравенства является множество хhello_html_m289d78ff.gif [1; +hello_html_m74e6612e.gif).

Ответ: [1; +hello_html_m74e6612e.gif).

Пример 6. Решить неравенство: hello_html_596ca99e.gif

Решение. hello_html_3bd15673.gif

Рассмотрим функцию: у =hello_html_7071a0e5.gif

Дhello_html_7fb3c877.gif(у): sin (х – 1) ≠ 0

5хх2 – 4 ≥ 0


Решим второе неравенство системы:

5хх2 – 4 ≥ 0

х2–5х + 4 ≤ 0

х1 = 4 х2 = 1

1 ≤ hello_html_m5547f17b.gif≤ 4

Если hello_html_m5547f17b.gif = 1, то sin (hello_html_m5547f17b.gif – 1) ≠ 0 – неверно.

Значит, функция у определена при всех х, принадлежащих промежутку (1; 4].

Проверим, является ли данное множество решением неравенства.

Если hello_html_m5547f17b.gif = 4, то данное неравенство верно.

Если hello_html_m5547f17b.gifhello_html_m289d78ff.gif (1; 4), то hello_html_m7ac3c1ad.gif, так как сумма двух обратных чисел больше или равна 2 и hello_html_m5bbf6675.gif

Отсюда: данное неравенство при х hello_html_m289d78ff.gif (1; 4) тоже верно.

Значит, решением данного неравенства является множество (1; 4].

Ответ: (1; 4].


Пример 7. Решить неравенство: hello_html_m556dfd97.gif


Решение.hello_html_m535a7ac.gif

Рассмотрим функцию: hello_html_362d4715.gif

Дhello_html_m29f4d4df.gif(у): hello_html_m5547f17b.gif≥ 0

hello_html_m5547f17b.gif+ 2 > 0

1 – x ≥ 0


xhello_html_m29f4d4df.gif ≥ 0

x > – 2

hello_html_m5547f17b.gif1


0 ≤ hello_html_m5547f17b.gif ≤ 1

Решением данного неравенства может быть множество [0;1].

Проверим это.

Еслиhello_html_m5547f17b.gif = 1, то hello_html_481900db.gif – неверно.

hello_html_m5547f17b.gif= 1 не является решением неравенства.

Если hello_html_m5547f17b.gif = 0, то hello_html_157dbc48.gif – верно.

hello_html_m5547f17b.gif= 0 является решением неравенства.

Если hello_html_m5547f17b.gifhello_html_m289d78ff.gif (0;1), то данное неравенство верно.

Отсюда, решением данного неравенства является множество [0; 1).

Ответ: [0; 1).


Задания для самостоятельной работы:

Решите уравнения:

  1. hello_html_38237d56.gif=hello_html_m57ffd288.gif

  2. hello_html_5c093a3c.gif= hello_html_m520acef1.gif

  3. hello_html_18fa6f5.gif

  4. 3hello_html_bf6a58b.gif


  1. hello_html_m6582cb06.gif


  1. hello_html_m6a572d1a.gif


  1. hello_html_m1123dd4.gif


  1. hello_html_5d0239b6.gif


Решите неравенства:

1.hello_html_5ef08a7d.gif

2. hello_html_m5a126d9d.gif


3. hello_html_49dde75c.gif


4. hello_html_28bec24e.gif


5. hello_html_m2c49f7fb.gif


6. (hello_html_67d90026.gif>4

7. hello_html_a23240a.gif<0

8. hello_html_m777ffb44.gif>hello_html_m7e72a3cd.gif

9. hello_html_726e9946.gif<hello_html_m2aedc004.gif


10. hello_html_86c6c37.gif>hello_html_278f2317.gif +2



Тема 5. Использование свойств числовых неравенств (4 часа)


Формулировка и аналитическая запись основных теорем числовых неравенств:

hello_html_m14db2aff.gifhello_html_m30e29b78.gif; hello_html_605d288f.gif. Применение этих свойств при решении уравнений и неравенств.

Неравенство Коши. Пусть hello_html_4df953db.gif. Тогда имеет место

hello_html_36af87f0.gifПричем равенство в неравенстве Коши достигается лишь в том случае, когда hello_html_323d04c0.gif


Пример 1. Решите уравнение:

hello_html_m35d0bd81.gif


Решение.

Сделаем несколько оценок с помощью неравенства Коши.

hello_html_m56160941.gif

Так как равенство имеет место при hello_html_m4cde774d.gif, отсюда hello_html_m5547f17b.gif =0.

Ответ: hello_html_m5547f17b.gif = 0

Пример 2. hello_html_3f9c1c0a.gif (оценка частей неравенства):

ОДЗ:

hello_html_7b5ea0d0.gif

Т.к. неравенство выполняется при любых значенияхhello_html_m5547f17b.gif, => ОДЗ: – hello_html_m5547f17b.gifлюбое число

hello_html_bbe0ef.gif

Т.к. основание логарифма больше 1, неравенство равносильно неравенству:

hello_html_m2ba05c7.gif

Ответ: (-3; -1).


Пример3. Докажите неравенство hello_html_m496b4bee.gif

Доказательство:

Известно, что

hello_html_m28ecc70f.gif(1)

прологарифмируем обе части неравенства (1) по основанию а. Т.к. а>1, то знак неравенства сохраняется, тогда:

hello_html_310c2f32.gif


Пример 4. Докажите неравенство hello_html_m7a1724a4.gif>hello_html_2f452bbe.gif

Доказательство:

1. при n=3 неравенство очевидно (8>7)

2. предположим, что при n=k оно имеет место, т.е.

hello_html_64aebd46.gif>hello_html_2637fbbe.gif

Действительно, учитывая, что при n=k+1 исходное неравенство имеет место, т.е. hello_html_m2bb35d98.gif>hello_html_2637fbbe.gif, hello_html_64aebd46.gif=hello_html_m4def1c87.gif>4k+2>2k+3

Откуда k>1/2, таким образом, исходное неравенство справедливо для всех натуральных hello_html_m77418913.gif.

Пример 5. Решите уравнение hello_html_m211259a8.gif


Решение. Рассмотрим функции: hello_html_m5f17f5cb.gifhello_html_m29815fa9.gif и hello_html_194adcb1.gifhello_html_347a511e.gif

1) g(x)= hello_html_347a511e.gif =( x +3)2+2hello_html_m78774d40.gif2

2) Пусть a=hello_html_c58ef3.gifтогдаhello_html_m131b1f98.gif

По свойству: hello_html_m2cb601b4.gifhello_html_m67f3437e.gif

hello_html_m20278a83.gif

Из второго уравнения (x +3)2=0 следует, что x = -3 . А это число удовлетворяет первому уравнению и ОДЗ.

Ответ: -3.

Пример 6. Решите неравенство hello_html_m66d3b0b6.gif

Решение. Применяя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к левой части неравенства, получим:

hello_html_m4071987f.gif

Так как hello_html_m27018559.gif получим:

hello_html_56f6c3fb.gif

С учетом полученных результатов исходное уравнение равносильно системе:

hello_html_4ab563bc.gif

Из второго уравнения следует, что:hello_html_m35a7d9ba.gif

Подставляя полученные значения в первое уравнение, получаем верные равенства. Отсюда следуетhello_html_m882326c.gifрешения исходного уравнения.

Ответ: hello_html_23cd7a77.gif


Задания для самостоятельной работы

Решите уравнения и неравенства:

  1. hello_html_m48703c81.gif

  2. hello_html_52ce84c7.gif

  3. hello_html_m9b7b21d.gif

  4. log2(1+ x 2)-2log4 x +hello_html_m2d91fb71.gif =0

  5. (log23)hello_html_34fbc23a.gif+ (log32) hello_html_34fbc23a.gif= 2-cos2hello_html_m338ca498.gif

  6. hello_html_7dbbf180.gif

  7. hello_html_m3a9b1cdf.gif

  8. hello_html_6ccb7fac.gif

  9. 2hello_html_2b8ce147.gif+ 2hello_html_m1f5e0004.gifhello_html_2b8ce147.gif= 2hello_html_278f2317.gif2 hello_html_m22274c1c.gif

  10. hello_html_m76372b66.gif


  1. 3hello_html_2b8ce147.gif + 32-hello_html_2b8ce147.gif = 3(1+cos2hello_html_55d2b2fb.gif


  1. (log23) hello_html_2b8ce147.gif + (log32) = 2hello_html_2b8ce147.gif-cos2hello_html_m338ca498.gif

  2. log2(3+2hello_html_m5547f17b.gif-hello_html_m5547f17b.gif2)= tg2hello_html_m28a19252.gifhello_html_5549bf3f.gif

  3. hello_html_5e095525.gif

  4. hello_html_24903495.gif

  5. hello_html_1fb9f3f3.gif

  6. hello_html_m1a9672eb.gif


Тема 6. Геометрическое решение алгебраических задач.(4 часа)


Геометрические интерпретации (иллюстрации) удобны и доступны для понимания подавляющего большинства учащихся, так как с их использованием алгебраическая задача перестаёт быть абстрактной и отвлечённой, а найденные решения в процессе их поиска становятся частью опыта учащегося. Геометрический образ откладывается в сознании и легко может быть актуализирован в аналогичной или даже незнакомой ситуации. Таким образом, формируется геометрическое мышление, т. е. развивается умение оперировать различными геометрическими объектами, интерпретировать алгебраические задачи геометрически. Это позволяет решать такие задачи, которые алгебраическими методами решать весьма затруднительно, если вообще возможно.

Пример 1. Решите систему уравнений

hello_html_e0ca630.gif

Решение.

Нетрудно убедиться, что hello_html_m5547f17b.gif и у – положительны.

Поскольку hello_html_1d43484.gif- являются длинами соответственно катетов и гипотенузы треугольника АВС прямым углом АСВ.

hello_html_3102dd3f.gifhello_html_7005b908.gifhello_html_2ce635f6.gif

Ответ (10;6) (10;8)


Пример 2. Решите систему уравнений

hello_html_m5223aae.gif


Решение.

Рассмотрим слагаемые (2) уравнения.

hello_html_6950b9bc.gif

Пусть это расстояние между точками М(х;у) и А(2;-1).

hello_html_m3dfa693b.gif

Пусть это расстояние между точками М(hello_html_m5547f17b.gif;у) и В(10;5).

Найдем расстояние между точками А и В.

hello_html_m3b193fda.gif

Составим уравнение прямой АВ, проходящей через точки А(2;-1) и В(10;5).

hello_html_6d202479.gif

Имеем новую систему:hello_html_6211b3c0.gif

Ответ: (6; 2).

Задания для самостоятельного решения

1. Решите систему неравенств hello_html_m161d810c.gif

В ответе укажите всевозможные пары целочисленных значений.

2.При каких значениях параметра hello_html_m734afb91.gifуравнение hello_html_f53ecb8.gifимеет ровно 3 корня.

3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых

множество решений неравенстваhello_html_m440c30b3.png

является отрезком длины меньше 1.


4. Найдите все значения параметра а, при которых данное уравнение

имеет три решения. hello_html_m3d4716fc.png

5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых

общие решения неравенств hello_html_m4e053dd2.png и hello_html_m6722c747.png содержат только

одно целое число.

6.Найдите все положительные значения параметра а, при которых область определения функции содержит ровно два целых числа, если

hello_html_1a6e8598.png


7.Найдите все значения переменной hello_html_m5547f17b.gif, при каждом из которых неравенство

hello_html_m12ed7e1c.pngверно хотя бы при одном значении параметра а из промежутка

[3; 6].

8. Найти все значения параметра а, при которых выражение hello_html_m41595172.png

больше выражения hello_html_656492ec.png при любом значении х, принадлежащем промежутку

(2, 5)

9. Найдите все значения параметра hello_html_m734afb91.gif, при каждом из которых график функции hello_html_m503c9de5.gifпересекает ось абсцисс более чем в двух различных точках.

10. Найдите все значения параметра hello_html_m734afb91.gif, при каждом из которых уравнениеhello_html_780865a9.gif имеет единственное решение.

11. Найдите все значения параметра hello_html_m734afb91.gif, при каждом из которых уравнение hello_html_m4583a320.gifимеет ровно 3 различных корня.

12.Найдите все значения параметра hello_html_m734afb91.gif, при каждом из которых уравнениеhello_html_m218c7df2.gif имеет единственное решение.

13.Найдите все значения параметра hello_html_m734afb91.gif, при каждом из которых уравнениеhello_html_35ca11a7.gif имеет единственное решение.

14. Решить уравнение: hello_html_m7138c7d8.gif.


Тема 7. Применение производной при решении уравнений и неравенств (4 часа)


При решении уравнений или неравенств часто бывает необходимо доказать монотонность (возрастание или убывание) функций, входящих в уравнение или неравенство. Возрастание и убывание функций удобно доказывать с помощью производной.

Пример 1. Решите уравнение:

hello_html_m269c2a06.gif.


Решение.

ОДЗ:

hello_html_1ecc4b76.gif

Рассмотрим правую часть уравнения. Введем функцию у =hello_html_9f054f.gif. График функции hello_html_m53d4ecad.gifпарабола с вершиной А (3;2) и ветви направлены вверх. Наименьшее значение функции у(3)=2,

т.е. hello_html_9f054f.gif≥2.

Введем функцию hello_html_m194271f0.gifhello_html_m53d4ecad.gif

С помощью производной найдем максимум функции, которая дифференцируема на hello_html_417a9bb8.gif

hello_html_6cce6b5a.gifhello_html_1d4fa6bd.gifhello_html_m7a62f339.gif

Решив первое уравнение системы, имеем hello_html_m5547f17b.gif=3.

Подставляя это значение во второе уравнение, убеждаемся, что hello_html_m5547f17b.gif=3-решение системы.

Ответ: hello_html_m5547f17b.gif =3.

Пример 2. Решите уравнение:

hello_html_32adcaf1.gif



Решение. О.Д.З. hello_html_m36269a98.gifhello_html_316663a3.gif

Очевидно, что hello_html_63a65cb4.gif=0.

Рассмотрим функцию hello_html_5c4ca5c0.gif.

Возьмем от нее производную:

hello_html_795edc9a.gif.

Все слагаемые в правой части производной положительны при всех допустимых значениях х. Значит, при любых допустимых значениях hello_html_m1b6cf52f.gif>0, т. е. f(x)- возрастающая функция.

По теореме о корне, уравнение имеет не более одного решения. Корень hello_html_m5547f17b.gif=0 - единственный.

Ответ: hello_html_m5547f17b.gif=0.

Пример 3. Решите неравенство 20hello_html_m5547f17b.gif7 + 28hello_html_m5547f17b.gif5 + 210hello_html_m5547f17b.gif – 35sin2hello_html_m5547f17b.gif >0


Рассмотрим функцию hello_html_m5f17f5cb.gif20hello_html_m5547f17b.gif7 + 28hello_html_m5547f17b.gif5 + 210hello_html_m5547f17b.gif – 35sin2hello_html_m5547f17b.gif.Она определена на всей числовой прямой имеет производную: hello_html_1bc87a88.gif, причем hello_html_63086ecb.gif>0 , следовательно, возрастает на всей области определения. Тогда уравнение hello_html_m75862105.gif имеет не более одного корня. Легко заметить, что таким корнем является число hello_html_m5547f17b.gif=0. Т.к. функция hello_html_278687bc.gifнепрерывна и возрастающая, то решением исходного неравенства является hello_html_m5547f17b.gifhello_html_m3886063b.gif.


Пример 4. Найти количество решений уравнения: hello_html_m5547f17b.gif3 - hello_html_m5547f17b.gif2 - hello_html_m5547f17b.gif + 0,1 = 0


Рассмотрим функцию hello_html_m5f17f5cb.gifhello_html_m5547f17b.gif3 - hello_html_m5547f17b.gif2 - hello_html_m5547f17b.gif + 0,1;

hello_html_4dc4a79d.gif

hello_html_63086ecb.gif>0 на hello_html_5daef707.gif, следовательно, функция возрастает на этих промежутках.

hello_html_63086ecb.gif<0 на hello_html_m423a64c1.gif тогда функция убывает на этом промежутке.

limhello_html_m5f17f5cb.giflimhello_html_m5547f17b.gif3(1-hello_html_5a1eafb4.gif

hello_html_m5547f17b.gifhello_html_m4ed9e70f.gifhello_html_m5547f17b.gifhello_html_m4ed9e70f.gif


lim hello_html_m5f17f5cb.gif+ hello_html_m74e6612e.gif,hello_html_m6c90a083.gif >0, hello_html_4794aecb.gif<0hello_html_1b730b13.gif на каждом из интервалов hello_html_m1a0a78c5.gif

hello_html_m5547f17b.gifhello_html_m4ed9e70f.gif

hello_html_m2a7690f7.gif

есть единственная точка, в которой hello_html_m75862105.gif(в силу непрерывности функции hello_html_278687bc.gif

уравнение имеет 3 корня.

Ответ: 3 корня.


Задания для самостоятельного решения


1.

2.Решите уравнение hello_html_m5e7d3dd6.gif

3. Решите уравнение hello_html_m3241da61.gif

4. Решить систему уравнений hello_html_mcfe75b1.gif

5. Доказать, что уравнение hello_html_4b997d96.gif имеет единственный корень, лежащий в интервале hello_html_m687b060e.gif.

6. Доказать, что уравнение hello_html_33889eae.gif при hello_html_m1a705a5d.gif, hello_html_m58af411b.gif имеет не более одного действительного корня.

7. Решить уравнение hello_html_4f227404.gif.

8.Докажите, что данное уравнение имеет единственный корень hello_html_408332d4.gif

9. Докажите, что данное уравнение имеет единственный корень hello_html_7d9e39fa.gif

10.Решите неравенство:hello_html_25d6cdf8.gif

11. Решите неравенство:hello_html_3390531a.gif

12.Докажите неравенство:hello_html_ma2a4c87.gifпри hello_html_1181c650.gif

13.Докажите неравенство:hello_html_m581aab1b.gif при hello_html_1181c650.gif

14.Решите уравнениеhello_html_m140e7356.gif

15. Решите уравнениеhello_html_3af783f4.gif

Тема 8. Тригонометрическая подстановка при решении уравнений и неравенств. (4 часа)


Применение тригонометрической подстановки при решении алгебраических задач направлено на установление взаимосвязи различных разделов математики, а именно: алгебры и тригонометрии. Важно воспитать у учащихся смелости и находчивости в поиске способов решения задач не только в ближайшем окружении условия, но и в более широкой, иногда неожиданной области. Тригонометрическая подстановка является одним из способов реализации метода замены переменной и используется в тех случаях, когда область определения исходного уравнения совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область. Выбор той или иной функции при этом зависит от вида уравнения, неравенства, их систем или алгебраического выражения, которое требуется упростить.

Если из условия задачи следует, что допустимые значения переменной hello_html_35ea3983.gif определяются неравенством hello_html_m6fadf3e1.gif, то удобны замены hello_html_7b48d0cb.gif или hello_html_56920ed1.gif.

Пример 1. Решите уравнение

hello_html_3e8b9dc9.gif

Решение. Так как hello_html_m37369469.gif, то hello_html_m705bd396.gif. Поэтому можно положить hello_html_6cf1b9fc.gif. Уравнение примет вид

hello_html_m64c556a2.gif.

Положим hello_html_m61dedfa1.gif, где hello_html_m20f51dc0.gif, тогда

hello_html_7b842b18.gif.

hello_html_m6993488b.gif.

hello_html_m57986440.gif.

Ответ: hello_html_7846040b.gif.

Алгебраическое решение

hello_html_m66222a28.gif.

Так как hello_html_m72552a5c.gif, то hello_html_m4a07da07.gif. Значит, hello_html_m7a6c0f34.gif, поэтому можно раскрыть модуль

hello_html_2b469bed.gifhello_html_m17a3b450.gif

hello_html_4ce2de30.gif.

Ответ: hello_html_7846040b.gif.

Пример 2. Решите уравнение

hello_html_m5bd40821.gif[14].

Область определения уравнения задается неравенством hello_html_m196d3aa7.gif, что равносильно условию hello_html_6602f746.gif, тогда hello_html_131fd724.gif. Поэтому можно положить hello_html_7f924830.gif. Уравнение примет вид

hello_html_m69f650ba.gif

hello_html_m9dcff62.gif.

Так как hello_html_m676de2df.gif, то hello_html_m142e2cc2.gif. Раскроем внутренний модуль

hello_html_528d27d5.gif.

Положим hello_html_m3fa897ef.gif, тогда

hello_html_m7f30ece2.gif

hello_html_67bdf4bd.gif.

Условию hello_html_5465c7d4.gif удовлетворяют два значения hello_html_6109b888.gif и hello_html_m4ee8c6f6.gif.

hello_html_m61db496f.gif.

hello_html_65a32b24.gif

hello_html_993a777.gif

hello_html_m6421fff2.gif.

Ответ: hello_html_m42c96dc.gif.

Пример 5. Решить уравнение

hello_html_m20f13d2c.gif

Так как переменная hello_html_2a1c19f6.gif может принимать любые действительные значения, можно положить hello_html_m6f7ad366.gif. Уравнение примет вид

hello_html_7647a55c.gif.

В силу того, что hello_html_7709da84.gif, можно раскрыть модуль

hello_html_5f3c8768.gif

hello_html_m781b8caa.gif.

Так как hello_html_7709da84.gif, то hello_html_3ef2b61b.gif.

Ответ: hello_html_m3a46cb68.gif.

Пример 3. Решить уравнение hello_html_478dd13e.gif.

Пусть hello_html_297167ed.gif, тогда уравнение перепишется в виде

hello_html_783610af.gif.

Введем замену hello_html_4819300e.gif, получим

hello_html_552e61f6.gif.

Корни этого уравнения:

hello_html_m51139909.gif.

Два последних значения меньше нуля, поэтому нам подходит только hello_html_m1c8e0cbb.gif. Перейдем к переменной hello_html_m4567ae1d.gif, а затем к переменной hello_html_35ea3983.gif

hello_html_73a51a9d.gif.

Ответ: hello_html_m26c15638.gif.

Пример 4. Доказать, что hello_html_2ab507b3.gif

При hello_html_m7e225e8b.gif неравенство верное.

Решение. Для любых hello_html_5dfd1924.gif найдется угол hello_html_284e617c.gif, что hello_html_m2eda96c.gif. Исходное неравенство примет вид

hello_html_m2c8021c.gif.

Так как hello_html_m327a2188.gif, то hello_html_7dce7e8f.gif. Умножим обе части неравенства на hello_html_m2a35ca0e.gif, получим


hello_html_m3eb092c4.gif

hello_html_c321b72.gif

hello_html_m6088bc62.gif

hello_html_770f16da.gif.

Второй множитель всегда положительный, а первый не превосходит 0, поэтому все произведение не положительно.

Пример 5. При каких значениях а неравенство hello_html_m6c57240a.gifимеет решение.

Решение. Неравенство hello_html_m6c57240a.gif имеет решение при а большем наименьшего значения выражения hello_html_450f4238.gif.

Положим hello_html_m5c433560.gif, тогда

hello_html_m1ced94f2.gif

hello_html_431b8c92.gif, где hello_html_m7e43dbc3.gif.

Оценим выражение hello_html_4248567a.gif

hello_html_md3f91de.gif

hello_html_m33265438.gif

hello_html_54a21468.gif

hello_html_m7adc5dd8.gif.

Наименьшее значение выраженияhello_html_450f4238.gif равно hello_html_7d952e6a.gif. Значит, при hello_html_m3b385bcb.gif неравенство имеет решение.

Ответ: при hello_html_m3b385bcb.gif неравенство имеет решение.

Задания для самостоятельной работы

  1. Решить уравнение hello_html_2a7a2032.gif.

  2. Выяснить, сколько корней имеет уравнение hello_html_m4d42bc4a.gif.

  3. 3. Решите уравнение hello_html_m5be70bdd.gif.

  4. Решите уравнение hello_html_4be1cff3.gif.

  5. Решите уравнение hello_html_15b0ca8.gif.

  6. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения hello_html_16cfc88c.gif в области hello_html_m723fc922.gif.

  7. Сколько корней имеет уравнение hello_html_5d94e1a.gif

  8. Решить уравнение hello_html_6950d8e8.gif.

  9. Решить уравнение hello_html_m20f13d2c.gif

  10. Решить уравнение hello_html_c09f247.gif

  11. Решить уравнение hello_html_3e8b9dc9.gif.

  12. Решите уравнение hello_html_m14fd19f8.gif.

  13. Решить уравнение hello_html_4dc4bc0f.gif.

  14. Решить уравнение hello_html_m5bd40821.gif.

  15. Решить уравнение hello_html_3eadd01c.gif.

  16. Решить уравнение hello_html_4f2f23e9.gif.

  17. Решить уравнение hello_html_m139a68ed.gif.

Тема 11. Обобщающее повторение курса.(2 часа)

Повторение изученных нестандартных методов, алгоритмов решения задач с помощью этих методов. Решение задач с применением всех методов в комплексе.


Учебно-тематический план


Наименование тем курса

Всего часов

В том числе

Форма контроля

Лекц.

Практ.

Семин

1

Введение в курс

2

1

1


Тест

2

Метод мажорант

5

2

2

1

Самостоятель.

работа

3

Использование метода монотонности для решения нестандартных уравнений и неравенств

5

2

3


Практикум

4.

Использование области определения функций при решении уравнений и неравенств

4

1

2

1

Контрольная работа

5.

Использование свойств числовых неравенств

4

1

2

1



6.

Геометрическое решение алгебраических задач.

4

1

3


Самостоятель.

работа

7.


Применение производной при решении уравнений и неравенств

4

1

2

1


8.

Тригонометрическая подстановка

4

1

2

1

Самостоятельная работа

9.

Обобщающее повторение

2


2


Контрольная работа

hello_html_m53d4ecad.gif

Контрольная работа№1 за 1 полугодие


Решить уравнение:

1.hello_html_c3e95a6.gif

2. hello_html_m107faeeb.gif

3. hello_html_m4a16d49b.gif

4.hello_html_448ccd0b.gif

5. hello_html_m578dcb58.gif

Ответы 1. 0,25 2. 2 3. 4 4. -2; -1,5; -0,5 ; 0,5 ;1,5; 2 5. 0


Самостоятельная работа

I Вариант

  1. Решить уравнение hello_html_md70a388.gif

  2. Решите уравнение hello_html_5e86a010.gifhello_html_m53d4ecad.gif

  3. Решите неравенство hello_html_6182eb41.gif

  4. Решите неравенство:hello_html_27f65811.gif

  5. hello_html_mb3d0b42.gif

Ответы: 1. hello_html_m7e47badf.gif 2. 0 3. 2 4.(1;+hello_html_m3d17582d.gif 5. (0;2)



II Вариант

  1. Решить уравнениеhello_html_96254e2.gif

  2. Решите уравнение hello_html_m120d351d.gif

  3. Решите неравенство hello_html_68ae0f3e.gif .

  4. Решите неравенство hello_html_m5014cfa7.gif

  5. Решите неравенство еhello_html_m2f455936.gif

Ответы: 1. 0,5 2. hello_html_m2eb0ad28.gif 3. 2 4.(1;+hello_html_m3d17582d.gif 5. .(0;+hello_html_m3d17582d.gif



Итоговая контрольная работа


Вариант 1

1.Решите уравнение:hello_html_759825bc.gif

2. Решите уравнение hello_html_5b1352ba.gif

3.Решите уравнение hello_html_4601a765.gif

4.Решите неравенство:hello_html_795210ac.gifпри любом hello_html_m5547f17b.gif

5.Найти все значения параметра ,для которых неравенство hello_html_63d4f7b1.gifимеет хотя бы одно решение.


Вариант 2

1.Решите уравнение:hello_html_2e707f1f.gif

2. Решите уравнение hello_html_m4b4afd47.gif

3.Решите уравнение hello_html_m631b1861.gif

4.Решите неравенство:hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_701075d3.gif при любом hello_html_m5547f17b.gif

5.Найти все значения параметра, для которых уравнение hello_html_m40811810.gif имеет единственное решение.



Тест по теме «Применение свойств числовых неравенств».


Вариант 1.

  1. Решить уравнения:

  1. 2x+ 2-x= 2cos2 hello_html_m22274c1c.gif

a) -2 б) 1 в) 3 г) 0


  1. log2(3+2x-x2)=tg2hello_html_m28a19252.gifhello_html_5549bf3f.gif

a) 0 б) 1 в) -1 г)2


  1. 2sin(x+hello_html_34b323bb.gif

a) hello_html_m66be176e.gif б) - hello_html_m66be176e.gif в) hello_html_m4a3be05.gif г) -hello_html_m4a3be05.gif


  1. (log23)x + (log32)x = 2-cos2hello_html_m338ca498.gif

a) 1 б) 0 в) 3 г)-1


5) hello_html_7a1c3bae.gif

а) hello_html_m7e1bfa68.gif б) hello_html_m7570923c.gif в) решений нет г) hello_html_7f48831c.gif



  1. Решить неравенства:


6) hello_html_m2f3197e7.gif

а) нет решений б) -1 в) 0 г) 1


7) hello_html_7dbbf180.gif

а) -hello_html_1bfc1af9.gif б) решений нет в) hello_html_1bfc1af9.gif г) hello_html_70ac29e.gif


8) hello_html_6ccb7fac.gif

а) hello_html_m572c12c3.gif б) hello_html_7f48831c.gif в) hello_html_m12edfb30.gif г) решений нет



Тест по теме «Применение свойств числовых неравенств».


Вариант 2.

  1. Решить уравнения:


  1. 3x+ 32-x = 3(1+cos2hello_html_55d2b2fb.gif


a) -1 б) 1 в) 2 г) решений нет


2) log3 (8+2x-x2) = 2x-1 + 21-x

a) 0 б) -1 в) 2 г) 1


3) 2-cosx= hello_html_3776afad.gif

а) - hello_html_1bfc1af9.gif б) hello_html_1bfc1af9.gif в) 1 г)2


4) hello_html_m18307d9f.gif

а) 0 б) решений нет в) 1 г)-1


  1. tg2x + ctg2x = 2sin2hello_html_7e0e19c4.gif

a) решений нет б) hello_html_m7570923c.gif в) hello_html_70ac29e.gif г) hello_html_7f48831c.gif


  1. Решить неравенства:


6)hello_html_m3a9b1cdf.gif

а) -1 б) -1;0 в) решений нет г) 0


7) hello_html_maee2f26.gif

а) решений нет б) hello_html_m7570923c.gif в) hello_html_6f90481b.gif г) hello_html_m77fdfc92.gif


8) hello_html_963d34d.gif

а) hello_html_m12edfb30.gif б) hello_html_m572c12c3.gif в) hello_html_7f48831c.gif г) решений нет

Ответы

1вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

г

б

а

б

в

г

в

а

2 вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

б

г

б

а

г

б

в

а


Использованная литература


  1. Олехник С. Н. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: Справочник / С. Н. Олехник, М. К. Потапов, П. И. Пасиченко. – М.: Изд-во МГУ, 1991. – С. 143

  2. Бродский Я.С., Слипенко А.К. Производная и интеграл в неравенствах, уравнениях, тождествах. – К., Выща школа, 1988. – 120с.

  3. Дорофеев Г.М. Применение производных при решении задач в школьном курсе математики // Математика в школе. – 1980. – №5 – с. 12-21, №6 – с. 24-30.

  4. Петров В. В. Нестандартные задачи / В. В. Петров, Е. В. Елисеева // Математика в школе. №8. – 2001. – С. 56-59.

  5. Морозова Е. А. Международные математические олимпиады. Задачи, итоги, решения. Пособие для учащихся / Е. А. Морозова. – М.: Просвещение, 1976. – С. 288.

  6. Мерзляк А. Г. Неожиданный шаг или сто тринадцать красивых задач / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. – Киев: Агрофирма Александрия, 1993. – С. 59.

  7. Дорофеев Г. В. Пособие по математике для поступающих в вузы. Избранные вопросы элементарной математики / Г. В. Дорофеев, М. К. Потапов, Н. Х. Розов. – М.: Просвещение, 1976. – С. 640.

  8. Горнштейн П. И. Тригонометрия помогает алгебре / П. И. Горнштейн. – М.: Бюро Квантум, 1995. – С. 100-103. – Приложение к ж. «Квант», №3/95.

  9. Вороной А. Н. Пять способов доказательства одного неравенства / А. Н. Вороной // Математика в школе. №4. 2000. С. 12.

  10. Алгебра и математический анализ. 11 класс: Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2001. – С. 288.

  11. Б.М. Ивлев, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин, С.И. Шварцбурд Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа для учащихся 10-11 классов средней школы М.: Просвещение, 1976. – С. 47.

  12. Денищева Л. О., Карюхина Н. В., Михеева Т. Ф. ‘’Учимся решать ур-я и нер-ва’’, 10-11 кл.; Интеллект-центр, М., 2002

  13. В. В. Ткачук ‘’Математика абитуриенту’’, М., Изд-во МЦНМО, 2006г.

  14. П. И. Самсонов ‘’Четыре месяца до выпускного экзамена’’, М., ’’Школьная пресса’’, 2003г.

  15. С. М. Никольский, М. К. Потапов и др. ‘’Алгебра и начала анализа’’, учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений, М., ‘’Просвещение’’, 2006г.

  16. Е. В. Галкин “Нестандартные задачи по математике”, учебное пособие для учащихся 7-11 кл. Алгебра, Челябинск, Взгляд”, 2004г.

  17. А. А. Максютин “Математика-10”, Самара, 2002

  18. C. Г. Молчанов, Р. Я. Симонян “Предпрофильное и профильное образование”, Изд. Дом Фёдоров”, Изд-во Учебная лит-ра”, 2006г.

  19. Г. И. Ковалёва, Т. И. Бузумная и др., Математика, тренировочные тематические задания повышенной сложности, Волгоград, Изд-во “Учитель”, 2007г.

  20. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы, алгебра. Под редакцией М. И. Сканави, М., ОНИКС, 21 век, 2002г.

  21. Мат-ка ЕГЭ-2007, вступит. Экзамены, изд-во “Экзамен”, М., 2005, 2007 г. г.

  22. Т. А. Корешкова, Ю. А. Гладков и др., Математика ЕГЭ, Изд-во “Экзамен”, М., 2005, 2007 г.

  23. С. Н. Богданов, Е. А. Богданова, Г. А. Клековкин, Ю. Н. Неценко, Т. П. Шаповалова “Тренировочные материалы для подготовки К ЕГЭ по мат-ке 2004, Самара, 2004г., 2005г.”

  24. Федеральный центр тестирования, ЕГЭ-2006г., М., ФГУ, 2006г.

  25. Л. О. Денищева, Глазков Ю. А. и др. “ЕГЭ-2007”, Математика, М., изд-во Интеллект-центр, 2007





57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Краткое описание документа:

Данная программа разработана она на основе государственной программы по математике для 5 – 11 классов курса и  предназначена для повышения эффективности подготовки учащихся 10 - 11 классов к итоговой аттестации по алгебре и началам анализа за курс полной средней школы и предусматривает их подготовку к дальнейшему математическому образованию. Наибольшие затруднения у учащихся вызывают решения так называемых нестандартных задач, которые занимают значительное место среди задач повышенной сложности в заданиях ЕГЭ и олимпиадах по математике.Курс рассчитан на 34 часа в год. Приведены контрольные работы за полугодия и за год. 

Автор
Дата добавления 10.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров808
Номер материала 520784
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх