- 04.02.2015
- 1855
- 21
Различные методы решения иррациональных уравнений
с параметрами
Методы решения иррациональных уравнений с параметрами.
Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами.
Далее в работе различные способы решения иррациональных уравнений с параметрами будем разбирать на конкретных примерах.
Способ 1.
Решить уравнение
х - 
=
1 (1)
Решение:
Возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с последующей проверкой полученных решений.
Перепишем исходное уравнение в виде:
= х –
1 (2)
При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим:
2 х2 – 2х + (1 - а) = 0, D = 2а – 1.
Особое значение: а = 0,5.
Отсюда:
1.
при а > 0,5 х1,2 =
0,5 (1 ± 
);
2. при а = 0,5 х = 0,5;
3. при а <0,5 уравнение не имеет решений.
Проверка:
1. при подстановке х = 0,5 в уравнение (2), равносильное исходному, получим неверное равенство. Значит, х=0,5 не является решением (2) и уравнения (1).
2.
при подстановке х1 =
0,5 ( 1 ± ) в (2) получим:
-0,5 (1 + ) = 
–
( 0,5 ( 1 - ))2
Так как левая часть равенства отрицательна, то х1 не удовлетворяет исходному уравнению.
3. Подставим х2 в уравнение (2):
= 
Проведя равносильные преобразования, получим:
Если 
,
то можно возвести полученное равенство в квадрат:
Имеем истинное равенство при условии,
что
Это условие выполняется, если а ≥1. Так как равенство истинно при а ≥1, а х2 может быть корнем уравнения (1) при а > 0,5, следовательно, х2 – корень уравнения при а ≥1.
Способ 2.
;
;
;
;
;
Изобразим график: 
; 
Ответ:
·
Если 
, то нет решений;
·
Если 
, то 
·
Если 
, то 
;
·
Если 
, то 1 – решение.
Способ 3.
= 2x - 1
x₁ = 
x₂ = 
Рассмотрим функцию f(x)=4x²-8x+1-a
Xв=1
1.
уравнение имеет 2корня.
2.
уравнение имеет 1 корень.
3. D<0 уравнение не имеет корней.
Ответ:
· Если a<-3 уравнение не имеет корней;
·
Если a=3 или a
-2 уравнение имеет 1 корень x = 1 или x = ;
· Если -3 < a < -2 уравнение имеет 2 корня:
X1=
;
X2=
.
Способ 4.
 |
= 2x – 1
4х+а = (2х-1)2
Х ≥ ½
4х²-8х+(1-а) = 0
Х ≥ ½
D/4 = 16 – 4(1 – а) = 16 – 4 + 4а
D/4 =4(3 + а)
• Если а < -3, то D < 0, уравнение не имеет решений.
• Если а = -3, то D = 0.
х1 = х2 = 4/4 = 1
•
Если а > -3, то D >0.
х1 = ½( 2 - );
|
х2 = ½( 2 + ).
·
Система имеет два решения:
½( 2 + ) ≥ ½
а > -3
а > -3
≤ 1
2 ≤ а <3
· Единственное решение, если
х1 < ½ и х2 ≥ ½
½( 2 - ) < ½
½( 2 + ) ≥ ½
> 1
≥
-1
а > -2
а ≥ -3
а > -2
Ответ:
· Если a<-3 уравнение не имеет корней;
·
Если a=3 или a-2 уравнение имеет 1 корень x = 1 или x = ;
· Если -3 < a < -2 уравнение имеет 2 корня:
X1=;
X2=.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Методы решения иррациональных уравнений с параметрами.
Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами.
Далее в работе различные способы решения иррациональных уравнений с параметрами будем разбирать на конкретных примерах.
Способ 1.
Решить уравнение
х - = 1 (1)
Решение:
Возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с последующей проверкой полученных решений.
Перепишем исходное уравнение в виде:
= х – 1 (2)
При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим:
2 х2 – 2х + (1 - а) = 0, D = 2а – 1.
Особое значение: а = 0,5.
Отсюда:
1. при а > 0,5 х1,2 = 0,5 (1 ± );
2. при а = 0,5 х = 0,5;
3. при а <0,5 уравнение не имеет решений.
Проверка:
1. при подстановке х = 0,5 в уравнение (2), равносильное исходному, получим неверное равенство. Значит, х=0,5 не является решением (2) и уравнения (1).
2. при подстановке х1 = 0,5 ( 1 ± ) в (2) получим:
-0,5 (1 + ) = – ( 0,5 ( 1 - ))2
Так как левая часть равенства отрицательна, то х1 не удовлетворяет исходному уравнению.
3. Подставим х2 в уравнение (2):
=
Проведя равносильные преобразования, получим:
Если , то можно возвести полученное равенство в квадрат:
Имеем истинное равенство при условии, что
Это условие выполняется, если а ≥1. Так как равенство истинно при а ≥1, а х2 может быть корнем уравнения (1) при а > 0,5, следовательно, х2 – корень уравнения при а ≥1.
Способ 2.
;
;
;
;
;
Изобразим график:
;
Ответ:
· Если , то нет решений;
· Если , то
· Если , то ;
· Если , то 1 – решение.
Способ 3.
= 2x - 1
x₁ =
x₂ =
Рассмотрим функцию f(x)=4x²-8x+1-a
Xв=1
1.
уравнение имеет 2корня.
2.
уравнение имеет 1 корень.
3. D<0 уравнение не имеет корней.
Ответ:
· Если a<-3 уравнение не имеет корней;
· Если a=3 или a-2 уравнение имеет 1 корень x= 1 или x= ;
· Если -3 < a< -2 уравнение имеет 2 корня:
X1=;
X2=.
Способ 4.
= 2x – 1
4х+а = (2х-1)2
Х ≥ ½
4х²-8х+(1-а) = 0
Х ≥ ½
D/4 = 16 – 4(1 – а) = 16 – 4 + 4а
D/4 =4(3 + а)
• Если а < -3, то D < 0, уравнение не имеет решений.
• Если а = -3, то D = 0.
х1 = х2 = 4/4 = 1
• Если а > -3, то D >0.
х1 = ½( 2 - );
х2 = ½( 2 + ).
· Система имеет два решения:
½( 2 + ) ≥ ½
а > -3
а > -3
≤ 1
2 ≤ а <3
· Единственное решение, если
х1 < ½ и х2 ≥ ½
½( 2 - ) <½
½( 2 + ) ≥ ½
> 1
≥ -1
а > -2
а ≥ -3
а > -2
Ответ:
· Если a<-3 уравнение не имеет корней;
· Если a=3 или a-2 уравнение имеет 1 корень x= 1 или x= ;
· Если -3 < a< -2 уравнение имеет 2 корня:
X1=;
X2=.
6 665 111 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Синкина Ольга Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
2 ч.
Мини-курс
5 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.