Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Различные методы решения иррациональных уравнений с параметрами
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Различные методы решения иррациональных уравнений с параметрами

библиотека
материалов

hello_html_m4e2201f3.gifhello_html_m5fff65db.gifhello_html_m7d9c71a8.gifhello_html_51af2777.gifhello_html_4cdb85e6.gifhello_html_51af2777.gifhello_html_5b80d333.gif





Различные методы решения иррациональных уравнений

с параметрами
































































Методы решения иррациональных уравнений с параметрами.


Существует  несколько  способов  решения  иррациональных уравнений  с  параметрами.


Далее в работе различные способы решения иррациональных уравнений с параметрами будем разбирать на конкретных примерах.

Способ 1.

  Решить  уравнение 


  х - http://parametry.narod.ru/img/uravneniya/image020.gif  = 1 (1)


    Решение:

    Возведем  в  квадрат  обе  части  иррационального  уравнения  с  последующей проверкой  полученных  решений.

Перепишем  исходное  уравнение  в  виде:


http://parametry.narod.ru/img/uravneniya/image020.gif х – 1     (2)


При  возведении  в  квадрат  обеих  частей  исходного  уравнения  и  проведения  тождественных  преобразований  получим: 


х2 – 2х + (1 - а) = 0, D = 2а – 1.


Особое  значение: а = 0,5.

Отсюда:

  1. при  а > 0,5  х1,2 = 0,5 (1 ± http://parametry.narod.ru/img/uravneniya/image022.gif);

  2. при  а = 0,5  х = 0,5;

  3. при  а <0,5  уравнение  не  имеет  решений.


Проверка:

  1. при  подстановке  х = 0,5  в  уравнение  (2), равносильное  исходному, получим  неверное  равенство. Значит,  х=0,5  не  является  решением (2)  и  уравнения  (1).

  2. при   подстановке  х1 = 0,5 ( 1 ± http://parametry.narod.ru/img/uravneniya/image022.gif )  в  (2)  получим:

-0,5 (1 + http://parametry.narod.ru/img/uravneniya/image022.gif) = http://parametry.narod.ru/img/uravneniya/image024.gif  – ( 0,5 ( 1 - http://parametry.narod.ru/img/uravneniya/image022.gif ))2

      Так  как  левая  часть  равенства  отрицательна, то  х1  не  удовлетворяет  исходному  уравнению.

  1. Подставим  х2  в  уравнение (2):

 

                                            http://parametry.narod.ru/img/uravneniya/image026.gif http://parametry.narod.ru/img/uravneniya/image028.gif

 

Проведя  равносильные  преобразования, получим:

 

Если   http://parametry.narod.ru/img/uravneniya/image030.gif , то  можно  возвести  полученное  равенство  в  квадрат:


                                 http://parametry.narod.ru/img/uravneniya/image032.gif


Имеем  истинное  равенство  при  условии, что http://parametry.narod.ru/img/uravneniya/image030.gif

Это  условие  выполняется, если а ≥1. Так  как  равенство  истинно  при а ≥1, а  х2  может  быть  корнем  уравнения  (1)  при  а > 0,5, следовательно, х2 – корень  уравнения  при а ≥1.  



Способ 2.


hello_html_5f7e37cf.gif;


hello_html_m2fadad6e.gif;


hello_html_m2b028011.gif;


hello_html_36b1601c.gif;


hello_html_5c3c112c.gif;


Изобразим график: hello_html_5d11bbc.gif


hello_html_6a324ab8.gif; hello_html_m604e3aa2.gif



Ответ:

  • Если hello_html_m6058e068.gif, то нет решений;

  • Если hello_html_m9f169e4.gif, то hello_html_mf135353.gif

  • Если hello_html_233a2d68.gif, то hello_html_m5b3b5695.gif;

  • Если hello_html_m4d93e007.gif, то 1 – решение.



Способ 3.


hello_html_m5d516a7f.gif= 2x - 1


hello_html_68115a9f.gif



x= hello_html_422e5492.gif


x= hello_html_m4b5ad25a.gif








Рассмотрим функцию f(x)=4x²-8x+1-a

Xв=1



  1. hello_html_m3f06bafb.gif



hello_html_mb870e45.gif уравнение имеет 2корня.


hello_html_m65061db5.gif




  1. hello_html_ma744de0.gif


hello_html_m2741cc52.gif уравнение имеет 1 корень.


hello_html_26aeb5c2.gif




  1. D<0 уравнение не имеет корней.


Ответ:

  • Если a<-3 уравнение не имеет корней;

  • Если a=3 или ahello_html_m30bfbdb1.gif-2 уравнение имеет 1 корень x = 1 или x = hello_html_m4b5ad25a.gif;

  • Если -3 < a < -2 уравнение имеет 2 корня:

X1=hello_html_m4b5ad25a.gif;

X2=hello_html_422e5492.gif.


Способ 4.

hello_html_m57922fd8.gif

= 2x – 1

4х+а = (2х-1)2

Х ≥ ½

4х²-8х+(1-а) = 0

Х ≥ ½



D/4 = 16 – 4(1 – а) = 16 – 4 + 4а


D/4 =4(3 + а)


  • Если а < -3, то D < 0, уравнение не имеет решений.

  • Если а = -3, то D = 0.

х1 = х2 = 4/4 = 1

  • hello_html_m4f12f581.gifЕсли а > -3, то D >0.

х1 = ½( 2 - );

hello_html_m6b359e9d.gif

х2 = ½( 2 + ).



  • hello_html_494d8134.gifСистема имеет два решения:

½( 2 + ) ≥ ½

а > -3


hello_html_m5dac893a.gifа > -3

1


2 ≤ а <3


  • Единственное решение, если

х1 < ½ и х2 ≥ ½


hello_html_a6f515e.gif½( 2 - ) < ½

hello_html_69a9f7b6.gif½( 2 + ) ≥ ½


hello_html_3ccb98a5.gif> 1

hello_html_485e85ac.gif-1


а > -2

а ≥ -3


а > -2


Ответ:

  • Если a<-3 уравнение не имеет корней;

  • Если a=3 или ahello_html_m30bfbdb1.gif-2 уравнение имеет 1 корень x = 1 или x = hello_html_m4b5ad25a.gif;

  • Если -3 < a < -2 уравнение имеет 2 корня:

X1=hello_html_m4b5ad25a.gif;

X2=hello_html_422e5492.gif.






Краткое описание документа:

 

 

Методы решения иррациональных уравнений с параметрами.

 

Существует  несколько  способов  решения  иррациональных уравнений  с  параметрами.

 

Далее в работе различные способы решения иррациональных уравнений с параметрами будем разбирать на конкретных примерах.

 

Способ 1.

    Решить  уравнение 

 

  х -   = 1         (1)

 

    Решение:

    Возведем  в  квадрат  обе  части  иррационального  уравнения  с  последующей проверкой  полученных  решений.

Перепишем  исходное  уравнение  в  виде:

 

 = х – 1            (2)

 

При  возведении  в  квадрат  обеих  частей  исходного  уравнения  и  проведения  тождественных  преобразований  получим: 

 

2 х2 – 2х + (1 - а) = 0, D = 2а – 1.

 

Особое  значение: а = 0,5.

Отсюда:

1.            при  а > 0,5  х1,2 = 0,5 (1 ± );

2.            при  а = 0,5  х = 0,5;

3.            при  а <0,5  уравнение  не  имеет  решений.

 

Проверка:

1.      при  подстановке  х = 0,5  в  уравнение  (2), равносильное  исходному, получим  неверное  равенство. Значит,  х=0,5  не  является  решением (2)  и  уравнения  (1).

2.      при   подстановке  х1 = 0,5 ( 1 ±  )  в  (2)  получим:

-0,5 (1 + ) =   – ( 0,5 ( 1 -  ))2

      Так  как  левая  часть  равенства  отрицательна, то  х1  не  удовлетворяет  исходному  уравнению.

3.      Подставим  х2  в  уравнение (2):

 

                                             = 

 

Проведя  равносильные  преобразования, получим:

 

Если    , то  можно  возвести  полученное  равенство  в  квадрат:

 

                                 

 

Имеем  истинное  равенство  при  условии, что 

Это  условие  выполняется, если а ≥1. Так  как  равенство  истинно  при а ≥1, а  х2  может  быть  корнем  уравнения  (1)  при  а > 0,5, следовательно, х2 – корень  уравнения  при а ≥1.  

 

 

Способ 2.

 

;

 

;

 

;

 

;

 

;

 

Изобразим график:

 

;    

 

Ответ:

·         Если , то нет  решений;

·         Если , то

·         Если ,  то     ;

·         Если , то 1 – решение.

 

 

Способ 3.

 

 = 2x - 1

 

 

 

x=

 

x=

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим функцию f(x)=4x²-8x+1-a

Xв=1

 

 

1.    



          уравнение имеет 2корня.

 

 

 

2.    

 

  уравнение имеет 1 корень.

 

 

 

3.      D<0   уравнение не имеет корней.

 

Ответ:

·         Если a<-3 уравнение не имеет корней;

·         Если a=3 или a-2 уравнение имеет 1 корень x= 1 или x= ;

·         Если -3 < a< -2 уравнение имеет 2 корня:

                X1=;

                X2=.

 

Способ 4.

 

   

 

                     =   2x – 1

                      

                4х+а = (2х-1)2

                 Х ≥ ½

                              

                 4х²-8х+(1-а) = 0

                Х ≥ ½

 

 

D/4 = 16 – 4(1 – а) = 16 – 4 + 4а

 

D/4 =4(3 + а)

 

         Если а < -3, то D < 0, уравнение не имеет решений.

         Если а = -3, то D = 0.

                       х1 = х2 = 4/4 = 1

         Если а > -3, то D >0.

                       х1 = ½( 2 -          );  

 

   

 

                    х2 = ½( 2 +          ).

 

 

·         Система имеет два решения:

  ½( 2 +          ) ≥ ½

  а > -3

 

  а > -3

            ≤ 1

 

  2 ≤ а <3

 

·         Единственное решение, если

х1 < ½ и х2 ≥ ½  

 

½( 2 -          ) <½

½( 2 +          ) ≥ ½

 

           > 1

          ≥ -1

 

 

а > -2

а ≥ -3

 

а > -2

 

Ответ:

·         Если a<-3 уравнение не имеет корней;

·         Если a=3 или a-2 уравнение имеет 1 корень x= 1 или x= ;

·         Если -3 < a< -2 уравнение имеет 2 корня:

                X1=;

                X2=.

Автор
Дата добавления 04.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров324
Номер материала 364994
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх