Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка конспекта урока по алгебре и началам математического анализа на тему "Применение производной к исследованию функций"(11 класс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Разработка конспекта урока по алгебре и началам математического анализа на тему "Применение производной к исследованию функций"(11 класс)

библиотека
материалов






Открытый урок.


«Применение производной для исследования функций»





Цели:

  • повторить алгоритм исследования непрерывной функции y=f(x) на монотонность и экстремумы;

  • используя общую схему исследования свойств функции и построения ее графика, строить графики функций;

  • способствовать развитию вкуса к исследованиям и поискам закономерностей, умению осуществлять наблюдения, формулировать гипотезы.


Планируемый результат урока:

  • знать необходимые и достаточные условия экстремума;

  • знать схему построения графиков функций;

  • уметь по графику производной и изображению знаков производной находить промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремумов функций;

  • уметь по графику функции определять, сколько решений (в зависимости от параметра а ) имеет уравнение f(x) = a.


Девиз урока: «Решай, ищи, твори и мысли».


Ход урока:

1. Организационный момент.

Активизировать внимание, объявить тему и цель урока.

Вводное слово учителя:

Вы уже накопили некоторый опыт исследования функций и построения графиков функций. Сегодня мы рассмотрим изученный материал с более общих позиций. Все задачи объединены по сюжетному принципу.

Весьма важно уметь переформулировать задачу и за внешними различиями увидеть общую схему решения.


2. Повторение теоретического материала.


  1. Как находить экстремумы функции?

Т4 (необходимое и достаточное условие существование экстремума)

Если f ´(х)=0, то х0 – стационарная точка,

если f ´(х) не существует, то х0 – критическая точка.

Т5 (достаточное условие существования экстремума)


а) x0 – точка max

f '(x) + -

hello_html_m785da55e.gif

hello_html_1cdbb09a.gifhello_html_m4c7cd259.giff (x) x0x


б) x0 – точка min

f ' (x) + -

hello_html_m61bfa.gif

f (x) x


в) x0 – точка перегиба

f ' (x) + - f '(x) - + _________________________________ x __________________________________x

hello_html_1cdbb09a.gifhello_html_1cdbb09a.gifhello_html_69d9ef32.gifhello_html_3a46b3fe.gif

f (x) f(x)

3. Исследование функции по графику производной.


Задачи ЕГЭ (группа В)

Функция y=f(x) определена на промежутке [-6;3]. График производной изображен на рисунке.

у y=f ' (x) hello_html_m759a23de.gif


f ' (x) _ + _ + _

_______●______________●__________●______________●______________________

fhello_html_69d9ef32.gifhello_html_cdfd8ce.gifhello_html_m2d9c3ff9.gifhello_html_cdfd8ce.gifhello_html_m77f95573.gif (x) -5 -2 0 2



Задания для учащихся .


1) Изобразить схематически знаки производной на промежутке области определения:

  1. Как называются точки -5, -2, 0, 2 ?

  2. Ответить на вопросы:

    • Укажите число точек максимума. ( хmax=-2, хmin=2). Ответ: 2.

    • Найти число точек экстремумов. Ответ: 4.

    • Укажите число точек минимума функции. (xmin=-5, xmin=0) Ответ:2.

    • Укажите число промежутков возрастания функции. [-5;-2],[0;2]. Ответ: 2.

    • Укажите количество точек графика функции, в которых касательная параллельна оси ОХ. hello_html_21fed30a.gif-5; -2; 0; 2hello_html_m5061e6c1.gif . Ответ: 4.

    • Найдите наибольшую из длин промежутков убывания функции. [-2;0] Ответ: 2.

    • Укажите количество промежутков убывания функции. Ответ: 3.

    • Найдите суммарную длину промежутков возрастания функции. (3+2=5) Ответ: 5.

    • Укажите количество интервалов убывания функции. Ответ: 3.


4. Схема исследования свойств функции и построение графика функции.


Пример 1. а) Построить график функции y=5x3 – 3x5

б) Для каждого значения параметра а решить уравнение.

Решение:

а) у=5х3 - 3х5

1).D(y) = (- ∞; +∞).

2). Функция нечетная.hello_html_m53d4ecad.gif

3.)Нули функции: у=0 х3 ( 5 – 3х2) = 0,

х = 0, х = ± hello_html_m85e41e2.gif

4). Промежутки монотонности :

у ' = 15х2 – 15 х4 ,

у ' = 0, 15х2 (1 – х2) = 0

х = 0, х = ±1 – стационарные точки.


у '(х) - + + -

______________________________________________

у(х) -1 0 1 х

hello_html_10bab634.gif

хmin =-1, xmax=1, x=0 –точка перегиба

уmin = у(- 1)= - 5 + 3 = - 2

ymax = y(1) = 5 – 3 =2

y(0) = 0

5). Построим график функции:



hello_html_1afcbb33.png


б). Решим уравнение: 5х3 – 3х2 = а графически:

Пусть y= 5x3 -3x2, y = a.

При а hello_html_m289d78ff.gif (-∞; -2) hello_html_m1892df5d.gif(2;∞) уравнение имеет 1 корень;

при а = -2, а = 2 уравнение имеет 2 корня;

при а hello_html_7bb9e177.gif уравнение имеет 3 корня.


5. Задачи централизованного тестирования.


1. Найдите количество точек экстремума функции у=0,6х5-1,5х43+4.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5)5


у ' = 3х4 – 6х3 + 3х2 Решение:

у ' + + + х

22 – 2х + 1) = 0 __________________________

хhello_html_1cdbb09a.gifhello_html_1cdbb09a.gifhello_html_1cdbb09a.gif2 (х – 1)2 = 0 у 0 1

Нет экстремумов

Ответ: 1



2. Найдите длину промежутка убывания функции у=3х5-5х3+1.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5) 5


Решение :

у ' =15х4 – 15х2

15х22 -1) = 0

х=0 – корень четной кратности

у ' + - - +

___________________________________

hello_html_1cdbb09a.gifhello_html_3a46b3fe.gifhello_html_1cdbb09a.gifhello_html_6abcfc6.gifу - 1 0 1



х = ± 1

Промежуток убывания [-1; 1], длина промежутка 2.

Ответ: 3



3. Найдите количество точек экстремумов функции у = 3х5 – 15х2.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4

Решение:

у ' =15х4 – 30х

15х ( х3 - 2) = 0 у ' + - +

х = 0, х =hello_html_m2031ba.gif- точки экстремумов ___________________________________ х

hello_html_6abcfc6.gifhello_html_1cdbb09a.gifhello_html_1cdbb09a.gifу

Ответ : 3

hello_html_m53d4ecad.gif

4. Найдите значение функции у = 2х2 - hello_html_45443a93.gif в точке минимума.

Ответы: 1) -hello_html_m233bf45f.gif 2) -hello_html_78605497.gif 3) -hello_html_6a148f9f.gif 4) -hello_html_58ed12b7.gif 5) 0

Решение:

у ' =4х -hello_html_7f761cbe.gif

hello_html_1cdd07f4.gif=0, 8х3/2 – 1 =0, х > 0, х = hello_html_6a148f9f.gif

уmin = у(hello_html_6a148f9f.gif) = 2 hello_html_mb270eae.gifhello_html_mfcaf84b.gif - hello_html_m3907a0ac.gif = hello_html_58ed12b7.gif - hello_html_m3907a0ac.gif = - hello_html_78605497.gif

у ' - +

_________○________________●__________х

уhello_html_1cdbb09a.gifhello_html_6abcfc6.gif 0 hello_html_6a148f9f.gif

hello_html_m53d4ecad.gif

Ответ: 2

5. Найдите количество точек экстремума функции у = hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_63e4ef1e.gif.

Ответы: 1) 1 2)2 3) 3 4) 4 5) 0

Решение:

у =hello_html_6a148f9f.gif- hello_html_m292c9df5.gif + hello_html_46fa887e.gif


у ' = hello_html_m16a4922e.gif- hello_html_m33044fa9.gifhello_html_mf08fdb.gif=0

х = ± 1 – стационарная точка

х = 0 - критическая точка

у ' + - - +

_______________●______○______●_______ х хmax = -1, хmin = 1

уhello_html_1cdbb09a.gifhello_html_1cdbb09a.gifhello_html_m11af5ab6.gifhello_html_69d9ef32.gif

-1 0 1

Ответ: 2


6. Найдите точку минимума функции у = (х -1 )2 hello_html_45443a93.gif.

Ответы: 1)0 2) 1 3) 2 4) 3 5) hello_html_59f000e1.gif

Решение:

у ' =2 (х -1) hello_html_45443a93.gif+ hello_html_162407cb.gif ОДЗ. х > 0

hello_html_m496f4647.gif=0; hello_html_m35e475d7.gif = 0;

2 – 6х +1 = 0 х 1= 1, х2 =hello_html_59f000e1.gif - стационарные точки, х = 0 – критическая точка

х > 0

у ' + - +

__________○________●________●________х хmin = 1

уhello_html_1cdbb09a.gifhello_html_1cdbb09a.gifhello_html_69d9ef32.gif 0 hello_html_59f000e1.gif 1

Ответ: 2


7. Найти количество точек экстремумов функции у = hello_html_590fd226.gif.

Ответы: 1)2 2) 3 3) 1 4) 0 5) 4

Решение:

у = hello_html_5095069a.gif- hello_html_m378cf1a.gif+ hello_html_m55e968d2.gif


у ' = hello_html_m5153f3b4.gif- hello_html_60307cca.gif, hello_html_bed498.gif=0

х = ± 3 – стационарные точки

х = 0 - критическая точка четной кратности

у ' + - - +

____________●________○_________●_______ х хmax = -3, xmin = 3

уhello_html_1cdbb09a.gifhello_html_m11af5ab6.gifhello_html_m11af5ab6.gifhello_html_1cdbb09a.gif -3 0 3


Ответ: 1



8. Найдите точку максимума функции у = (х -1)4 hello_html_45443a93.gif.

Ответы: 1) 0 2) hello_html_m233bf45f.gif 3) hello_html_1e2e74f7.gif 4) hello_html_2847ba86.gif 5) 1



Решение:

у ' =4 (х – 1)3 hello_html_45443a93.gif + hello_html_73340075.gif; hello_html_2c0e91e.gif=0; hello_html_m8d8754d.gif=0

х = 1, х = hello_html_2847ba86.gif - стационарные точки

х = 0 – критическая точка (х > 0)

у ' + - +

______○_________●_________●_________х хmax = hello_html_2847ba86.gif

уhello_html_1cdbb09a.gifhello_html_1cdbb09a.gifhello_html_m5274f4d5.gif 0 hello_html_2847ba86.gif 1

Ответ: 4


6. Итоги урока.

  • Повторили условия существования экстремума.

  • По графику производной находили промежутки монотонности функции, определяли характер экстремумов.

  • По графику функции, построенному с применением производной, исследовали, сколько решений может иметь уравнение, содержащее параметр.

  • Познакомились с заданиями централизованного тестирования.



Приложения.

1. Найдите количество точек экстремума функции у=0,6х5 -1,5х43+4.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5)5

2. Найдите длину промежутка убывания функции у=3х5-5х3+1.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5) 5

3. Найдите количество точек экстремумов функции у = 3х5 – 15х2.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4

4. Найдите значение функции у = 2х2 - hello_html_45443a93.gif в точке минимума.

Ответы: 1) -hello_html_m233bf45f.gif 2) -hello_html_78605497.gif 3) -hello_html_6a148f9f.gif 4) -hello_html_58ed12b7.gif 5) 0

5. Найдите количество точек экстремума функции у = hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_63e4ef1e.gif.

Ответы: 1) 1 2)2 3) 3 4) 4 5) 0

6. Найдите точку минимума функции у = (х -1 )2 hello_html_45443a93.gif.

Ответы: 1)0 2) 1 3) 2 4) 3 5) hello_html_59f000e1.gif

7. Найти количество точек экстремумов функции у = hello_html_590fd226.gif.

Ответы: 1)2 2) 3 3) 1 4) 0 5) 4

8. Найдите точку максимума функции у = (х -1)4 hello_html_45443a93.gif.

Ответы: 1) 0 2) hello_html_m233bf45f.gif 3) hello_html_1e2e74f7.gif 4) hello_html_2847ba86.gif 5) 1

7


Краткое описание документа:

 Главная задача для учителя математики- это научить учащихся мыслить, творчески работать! Для этого учитель прилагает очень много усилий! Производная и ее применение одна из наиболее значимых и интересных тем математики! Научить учащихся исследовать функции, пользуясь производной, является одной из важнейших задач учителя! Данная разработка урока позволяет привлечь внимание учащихся к творческому процессу исследования, аккуратности в построении графика. Поэтому, предлагая данную разработку, я думаю, что вам удастся убедить своих воспитаников в значимости и важности данной темы! Желаю Вам удачи! 

Автор
Дата добавления 18.04.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров589
Номер материала 487466
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх