- 18.04.2015
- 1341
- 4
Открытый урок.
«Применение производной для исследования функций»
Цели:
Планируемый результат урока:
Девиз урока: «Решай, ищи, твори и мысли».
Ход урока:
1. Организационный момент.
Активизировать внимание, объявить тему и цель урока.
Вводное слово учителя:
Вы уже накопили некоторый опыт исследования функций и построения графиков функций. Сегодня мы рассмотрим изученный материал с более общих позиций. Все задачи объединены по сюжетному принципу.
Весьма важно уметь переформулировать задачу и за внешними различиями увидеть общую схему решения.
2. Повторение теоретического материала.
1) Как находить экстремумы функции?
Т4 (необходимое и достаточное условие существование экстремума)
Если f ´(х)=0, то х0 – стационарная точка,
если f ´(х) не существует, то х0 – критическая точка.
Т5 (достаточное условие существования экстремума)
а) x0 – точка max
f '(x) + -
f (x)
x0
x
б) x0 – точка min
f ' (x) + -
f (x) x
в) x0 – точка перегиба
f ' (x) + - f '(x) - + _________________________________ x __________________________________x
f (x) f(x)
3. Исследование функции по графику производной.
Задачи ЕГЭ (группа В)
Функция y=f(x) определена на промежутке [-6;3]. График производной изображен на рисунке.
у y=f ' (x) 
f ' (x) _ + _ + _
_______●______________●__________●______________●______________________
f (x) -5 -2
0 2
Задания для учащихся .
1) Изобразить схематически знаки производной на промежутке области определения:
2) Как называются точки -5, -2, 0, 2 ?
3) Ответить на вопросы:
· Укажите число точек максимума. ( хmax=-2, хmin=2). Ответ: 2.
· Найти число точек экстремумов. Ответ: 4.
· Укажите число точек минимума функции. (xmin=-5, xmin=0) Ответ:2.
· Укажите число промежутков возрастания функции. [-5;-2],[0;2]. Ответ: 2.
·
Укажите количество точек
графика функции, в которых касательная параллельна оси ОХ. 
-5; -2; 0; 2
.
Ответ: 4.
· Найдите наибольшую из длин промежутков убывания функции. [-2;0] Ответ: 2.
· Укажите количество промежутков убывания функции. Ответ: 3.
· Найдите суммарную длину промежутков возрастания функции. (3+2=5) Ответ: 5.
· Укажите количество интервалов убывания функции. Ответ: 3.
4. Схема исследования свойств функции и построение графика функции.
Пример 1. а) Построить график функции y=5x3 – 3x5
б) Для каждого значения параметра а решить уравнение.
Решение:
а) у=5х3 - 3х5
1).D(y) = (- ∞; +∞).
2). Функция нечетная.
3.)Нули функции: у=0 х3 ( 5 – 3х2) = 0,
х = 0, х = ± 
4). Промежутки монотонности :
у ' = 15х2 – 15 х4 ,
у ' = 0, 15х2 (1 – х2) = 0
х = 0, х = ±1 – стационарные точки.
у '(х) - + + -
______________________________________________
у(х) -1 0 1 х
хmin =-1, xmax=1, x=0 –точка перегиба
уmin = у(- 1)= - 5 + 3 = - 2
ymax = y(1) = 5 – 3 =2
y(0) = 0
5). Построим график функции:
б). Решим уравнение: 5х3 – 3х2 = а графически:
Пусть y= 5x3 -3x2, y = a.
При а 
(-∞; -2) 
(2;∞) уравнение имеет 1 корень;
при а = -2, а = 2 уравнение имеет 2 корня;
при а 
уравнение имеет 3 корня.
5. Задачи централизованного тестирования.
1. Найдите количество точек экстремума функции у=0,6х5-1,5х4+х3+4.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5)5
у ' = 3х4 – 6х3 + 3х2 Решение:
у ' + + + х
3х2 (х2 – 2х + 1) = 0 __________________________
х2 (х – 1)2
= 0 у 0 1
Нет экстремумов
Ответ: 1
2. Найдите длину промежутка убывания функции у=3х5-5х3+1.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5) 5
Решение :
у ' =15х4 – 15х2
15х2 (х2 -1) = 0
х=0 – корень четной кратности
у ' + - - +
___________________________________
у - 1 0 1
х = ± 1
Промежуток убывания [-1; 1], длина промежутка 2.
Ответ: 3
3. Найдите количество точек экстремумов функции у = 3х5 – 15х2.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4
Решение:
у ' =15х4 – 30х
15х ( х3 - 2) = 0 у ' + - +
х = 0, х =
- точки экстремумов ___________________________________
х
у
Ответ : 3
4.
Найдите значение функции у = 2х2 - 
в
точке минимума.
Ответы: 1) -
2) -
3) -
4) -
5) 0
Решение:
у ' =4х -
=0, 8х3/2 – 1 =0, х > 0, х
=
уmin = у() = 2 
- 
= - = -
у ' - +
_________○________________●__________х
у 0
Ответ: 2
5.
Найдите количество точек экстремума функции у = 
.
Ответы: 1) 1 2)2 3) 3 4) 4 5) 0
Решение:
у =
- 
+ 
у ' = 
- 
=0
х = ± 1 – стационарная точка
х = 0 - критическая точка
у ' + - - +
_______________●______○______●_______ х хmax = -1, хmin = 1
у
-1 0 1
Ответ: 2
6.
Найдите точку минимума функции у = (х -1 )2 
.
Ответы: 1)0 2) 1 3) 2 4) 3 5) 
Решение:
у ' =2 (х
-1) + 
ОДЗ.
х > 0
=0; 
= 0;
5х2
– 6х +1 = 0 х 1= 1, х2 = - стационарные точки, х = 0 – критическая
точка
х > 0
у ' + - +
__________○________●________●________х хmin = 1
у 0 1
Ответ: 2
7.
Найти количество точек экстремумов функции у = 
.
Ответы: 1)2 2) 3 3) 1 4) 0 5) 4
Решение:
у = 
- 
+ 
у ' = 
- 
,
=0
х = ± 3 – стационарные точки
х = 0 - критическая точка четной кратности
у ' + - - +
____________●________○_________●_______ х хmax = -3, xmin = 3
у -3 0 3
Ответ: 1
8.
Найдите точку максимума функции у = (х -1)4 .
Ответы: 1) 0 2) 
3) 
4)
5) 1
Решение:
у ' =4 (х
– 1)3 + 
; 
=0; 
=0
х = 1, х
= - стационарные точки
х = 0 – критическая точка (х > 0)
у ' + - +
______○_________●_________●_________х
хmax =
у 0 1
Ответ: 4
6. Итоги урока.
· Повторили условия существования экстремума.
· По графику производной находили промежутки монотонности функции, определяли характер экстремумов.
· По графику функции, построенному с применением производной, исследовали, сколько решений может иметь уравнение, содержащее параметр.
· Познакомились с заданиями централизованного тестирования.
Приложения.
1. Найдите количество точек экстремума функции у=0,6х5 -1,5х4+х3+4.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5)5
2. Найдите длину промежутка убывания функции у=3х5-5х3+1.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5) 5
3. Найдите количество точек экстремумов функции у = 3х5 – 15х2.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4
4. Найдите значение функции у = 2х2
- в точке минимума.
Ответы: 1) -
2) -
3) -
4) -
5) 0
5. Найдите количество точек экстремума
функции у = 
.
Ответы: 1) 1 2)2 3) 3 4) 4 5) 0
6. Найдите точку минимума функции у = (х
-1 )2 .
Ответы: 1)0 2) 1 3) 2
4) 3 5)
7. Найти количество точек экстремумов
функции у = .
Ответы: 1)2 2) 3 3) 1 4) 0 5) 4
8. Найдите точку максимума функции у =
(х -1)4 .
Ответы: 1) 0 2) 3) 4)
5) 1
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Главная задача для учителя математики- это научить учащихся мыслить, творчески работать! Для этого учитель прилагает очень много усилий! Производная и ее применение одна из наиболее значимых и интересных тем математики! Научить учащихся исследовать функции, пользуясь производной, является одной из важнейших задач учителя! Данная разработка урока позволяет привлечь внимание учащихся к творческому процессу исследования, аккуратности в построении графика. Поэтому, предлагая данную разработку, я думаю, что вам удастся убедить своих воспитаников в значимости и важности данной темы! Желаю Вам удачи!
6 664 525 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Табачкова Наталья Валентиновна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Мини-курс
5 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.