Разработка урока "Целые числа. Сравнение Целых чисел"

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Положительные числа появились в глубокой древности, когда они стали использоваться для счета предметов.       А вот числа отрицательные ― изобретение относительно недавнее.

      Такие числа возникали при вычитании, но представлялись математикам непонятными,       а действия с ними –     не имеющими реального смысла,      так как наименьшим количеством считалось «ничто», то есть нуль,    и казалось невозможным представить величину, которая была бы меньше нуля.

Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если при вычитании получались отрицательные корни уравнений, они отвергались как невозможные

      Впервые отрицательные числа встречаются в  одной из книг древнекитайского трактата Джан Цань     (I век до нашей эры).

      Эта книга составлена по более ранним источникам. В этой книге  указаны правила сложения и  вычитания положительных и отрицательных чисел с помощью метода «ЧЖЭН-ФУ». 

      «ЧЖЭН» означает «прибавляемый»,   а «ФУ» ― «вычитаемый».

Знака минус тогда не было, а чтобы отличить положительные числа от отрицательных, их изображали разными цветами: «ЧЖЭН» ― красным, а «ФУ» ― черным.

      Более точных сведений на этот счет мы не имеем, так как император Ши Хуан Ди, разгневавшись на ученых, повелел все научные труды сжечь, а их авторов и читателей казнить. Содержание этих книг дошло до нас лишь в отрывках.

СодВ  VI–VII веках нашей эры  индийские математики уже систематически пользовались отрицательными числами, понимая их как долг.

      Впервые все четыре арифметических действия с отрицательными числами приведены индийским математиком и астрономом Брахмагуптой   (598–660 гг.).

Независимо от индийцев к пониманию отрицательных чисел, как противоположности положительных пришел итальянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи), живший в XIII веке.

Но понадобилось еще около 400 лет, прежде чем «абсурдные» (бессмысленные) отрицатель-ные числа получили полное признание математиков,       а отрицательные  решения в задачах перестали  отбрасы-ваться как невозможные.

В 1544 году немецкий математик Штифель впервые рассматривает отрицательные числа  как числа, меньшие нуля (т. е. «меньшие, чем ничто»).

С этого момента отрицательные числа воспринимаются уже не как  долг, а совсем по-иному.

Но еще Паскаль (1623-1662 гг.) считал, что 0 − 4 = 0, так как нет ничего, что было бы меньше, чем ничто. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус), хотя алгебраически это совершенно разные понятия.

Рабочий лист к уроку «Целые числа. Сравнение целых чисел». 1 вариант.

ученика  6 «Б» класса__________________________________________________

 Тест №1

Задание. Верно ли высказывание?

Задание №1. Под каждым числом записать противоположное ему число

Задание №2. Вставьте в каждое предложение нужное слово

1)      Если а – положительное число, то –а ______________________число

2)      Если а – отрицательное число, то –а________________________число

Тест №2

1.      Какое из данных чисел расположено на координатной прямой правее других 2, -5, - 3, -11

А) 2                Б) -5                В) - 3              Г) - 11

2.      Сколько целых чисел расположено на координатной прямой между числами - 3 и 3?

А) 5                Б) 7                 В) 4                 Г) 6

3.      Расположите в порядке возрастания  числа 3; - 1; 0

А) 0; - 1; 3                  В) другой ответ

Б) - 1; 3; 0                  Г) - 1; 0; 3

4.      Укажите наименьшее из чисел - 9; - 5; 1; - 3.

А) - 9              Б) - 3               В) 1                 Г) - 5

5.      Какое из равенств неверно?

А)  -(-5) = 5                Б) +(+5) = 5               В) – (+5) = 5               Г) +(- 5) = - 5

6.      Какое из данных неравенств верно?

А) – 4 > - 9                 Б) 1 > - 3                    B) – 5 > - 2                 Г) – 5 > - 12

Количество баллов____________

Оценка______________________

Рабочий лист к уроку «Целые числа. Сравнение целых чисел». 2 вариант.

ученика  6 «Б» класса__________________________________________________

 Тест №1

Задание. Верно ли высказывание?

Задание №1. Под каждым числом записать противоположное ему число

Задание №2. Вставьте в каждое предложение нужное слово

3)      Если а – положительное число, то –а ______________________число

4)      Если а – отрицательное число, то –а________________________число

Тест №2

7.      Какое из данных чисел расположено на координатной прямой левее других - 1, -8, - 2, 1

А) - 1              Б) - 8               В) - 2              Г) 1

8.      Сколько целых чисел расположено на координатной прямой между числами - 4 и 4?

А) 5                Б) 7                 В) 4                 Г) 6

9.      Расположите в порядке убывания  числа 1, -2, 4

А) 1; - 2; 4                  В) другой ответ

Б) 4; - 2; 1                  Г) 4; 1; - 2

10.  Укажите наибольшее из чисел 7; - 2; - 8; 4.

А) 7                Б) -8                В) - 2              Г) 4

11.  Какое из равенств неверно?

А)  -(-3) = 3                Б) +(+3) = 3               В) – (+3) = 3              Г) +(- 3) = - 3

12.  Какое из данных неравенств неверно?

А) – 1 > - 5                 Б) 1 > 3                      B) – 4 > - 1                 Г) – 5 > - 4

Количество баллов____________

Оценка______________________

Рефлексия

 (Расставьте стрелочки)

Чтобы оперировать целыми числами, надо прежде    всего научиться их сравнивать .

      Вспомним, что из двух натуральных чисел большим считается то, которое при счете появляется позже, и меньшим – то, которое появляется раньше. Так , 10<14, 60<85, 248<500.

      В натуральном ряду числа идут в том порядке, в  котором они появляются при счете: 1, 2, 3, 4, 5, … . 

          Двигаясь по натуральному ряду вправо, мы переходим от меньшего числа к большему, а двигаясь влево – от большего числа к меньшему, поэтому запятые можно заменить на знак «меньше»: 1<2<3<4<5....                            

    Целые числа также можно расположить в ряд, но он не будет иметь ни начала, ни конца, продолжаясь бесконечно в обе стороны:

 ...,-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 ,1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6 , … .

   Правило сравнения целых чисел:

 Из двух целых чисел больше то, которое в ряду целых чисел стоит правее, и меньше то, которое стоит  левее.

Целые отрицательные числа, как и целые положительные (т.е. натуральные ), можно изображать точками на координатной прямой .

Положительные числа изображаются точками правее от 0, а отрицательные левее от 0.

Правило:

    На координатной прямой большему числу   соответствует точка , расположенная правее ,   а  меньшему – точка,  расположенная левее.

Точка с координатой о делит прямую на два луча.  На «правом» луче будем отмечать целые положительные числа, а на «левом» – целые отрицательные.

Важно!  Противоположные числа изображаются точками, которые находятся на одинаковом расстоянии от точки с координатой 0. Это расстояние называется модулем числа.

Например, числам 3 и – 3 соответствуют точки, расположенные справа и слева от нуля на расстоянии, равном трем единицам.

Чтобы сравнить два целых числа, можно представить, как они расположены на координатной прямой. Тогда можно сделать вывод, что:

1)    ноль меньше любого положительного числа и больше любого отрицательного.

2)    любое положительное число больше любого отрицательного.

А как сравнить два целых отрицательных числа?  Можно так же  представить, как они расположены на координатной прямой.  Точка с координатой – 10 левее, чем точка с координатой – 5. Поэтому – 10 < - 5

А можно применить понятие «модуль».

ПРАВИЛО.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше

До сих пор на уроках математики мы имели дело с числами натуральными и дробными.    Но  в жизни мы постоянно  встречаем и другие числа- отрицательные.  Например, в сообщениях о погоде: температура воздуха зимой может быть равна -12⁰.                                                                                   Числа со знаком «минус» нужны в тех случаях, когда величина может изменяться в двух противоположных направлениях.    

 Для выражения величины отрицательным числом вводят некоторую начальную, нулевую отметку.

ТЕРМОМЕТР

Для измерения температуры за начало отсчета принимается температура замерзания воды

Тепло ― градусы со знаком «плюс»:

Холод ― градусы со знаком «минус»:

Глубина морей

При измерении глубины морей  за начало отсчета принимают уровень Мирового океана

Итак, отрицательные числа, это числа, которые получаются из натуральных, приписыванием знака «минус»: -1; -2; -3…

Натуральное число и отрицательное число, полученное из натурального  приписыванием знака «минус», называют противоположными числами.  15 и -15;    -46 и 46.  Число О считается противоположным самому себе.

Натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и число О объединяют одним словом – целые числа.

Число О не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам. Оно их разделяет.      

Натуральные числа принято называть положительными целыми числами. Иногда перед положительными числами ставят знак «+». +7 =7. Два положительных числа или два отрицательных числа – это числа одного знака.

Положительное и отрицательное число – это числа разных знаков.

С помощью знака «минус» записывается число, противоположное данному.

Число, противоположное числу а, обозначают –а

Если а =25, то – а = - 25

Если а = - 40, то –а = -(-40) = 40

Если а = 0, то – а = 0

Цель урока:    формирование понятия «целое число», навыка сравнения целых чисел

Образовательные задачи урока (формирование познавательных УУД):

• познакомить учащихся с понятием целого числа, историей возникновения отрицательных чисел, правилом сравнения отрицательных чисел  и чисел с разными знаками
• тренировать способность к использованию выведенного алгоритма;
• организовать деятельность учащихся по приобретению необходимых умений и навыков;
• повторить и закрепить правила по данной теме;

Воспитательные задачи урока (формирование коммуникативных и личностных УУД):

• содействовать развитию познавательного интереса учащихся к предмету;
• прививать учащимся навыки самостоятельной работы;
• умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность.

Развивающие задачи урока: (формирование регулятивных УУД)

• развивать умения учащихся анализировать, делать выводы, определять взаимосвязь и логическую последовательность мыслей;
• развивать умения слушать и исправлять речь своих товарищей;
• тренировать способность к рефлексии собственной деятельности и деятельности своих товарищей.

Тип урока: применение метода проектов на уроке.

Ход урока.

1)    Вступительное слово учителя. Сообщение темы урока.

2)    Новая тема. Защита проектов учащимися.

«Определение целых чисел» Проект подготовил Меснянкин Савелий. (презентация в приложении 1)

До сих пор на уроках математики мы имели дело с числами натуральными и дробными. Но в жизни мы постоянно  встречаем и другие числа- отрицательные.  Например, в сообщениях о погоде: температура воздуха зимой может быть равна -12⁰. 

Числа со знаком «минус» нужны в тех случаях, когда величина может изменяться в двух противоположных направлениях.    

 Для выражения величины отрицательным числом вводят некоторую начальную, нулевую отметку.

ТЕРМОМЕТР

Для измерения температуры за начало отсчета принимается температура замерзания воды

Тепло ― градусы со знаком «плюс»:

Холод ― градусы со знаком «минус»:

Глубина морей

При измерении глубины морей  за начало отсчета принимают уровень Мирового океана

Итак, отрицательные числа, это числа, которые получаются из натуральных, приписыванием знака «минус»: -1; -2; -3…

Натуральное число и отрицательное число, полученное из натурального  приписыванием знака «минус», называют противоположными числами.  15 и -15;    -46 и 46.  Число О считается противоположным самому себе.

Натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и число О объединяют одним словом – целые числа.

Число О не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам. Оно их разделяет.      

Натуральные числа принято называть положительными целыми числами. Иногда перед положительными числами ставят знак «+». +7 =7. Два положительных числа или два отрицательных числа – это числа одного знака.

Положительное и отрицательное число – это числа разных знаков.

С помощью знака «минус» записывается число, противоположное данному.

Число, противоположное числу а, обозначают –а

Если а =25, то – а = - 25

Если а = - 40, то –а = -(-40) = 40

Если а = 0, то – а = 0

После защиты проекта выполняется первичное закрепление знаний. Перед каждым учащимся рабочий лист (приложение 2), который они заполняют в ходе урока.  Выполняются ТЕСТ 1 и задания 1 и 2, которые проверяются с помощью презентации (приложение 5).

Проект Дудаевой Дианы «История возникновения отрицательных чисел» (приложение 3)

Положительные числа появились в глубокой древности, когда они стали использоваться для счета предметов.       А вот числа отрицательные ― изобретение относительно недавнее.

      Такие числа возникали при вычитании, но представлялись математикам непонятными,       а действия с ними –     не имеющими реального смысла,      так как наименьшим количеством считалось «ничто», то есть нуль,    и казалось невозможным представить величину, которая была бы меньше нуля.

Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если при вычитании получались отрицательные корни уравнений, они отвергались как невозможные

      Впервые отрицательные числа встречаются в  одной из книг древнекитайского трактата Джан Цань     (I век до нашей эры).

      Эта книга составлена по более ранним источникам. В этой книге  указаны правила сложения и  вычитания положительных и отрицательных чисел с помощью метода «ЧЖЭН-ФУ». 

      «ЧЖЭН» означает «прибавляемый»,   а «ФУ» ― «вычитаемый».

Знака минус тогда не было, а чтобы отличить положительные числа от отрицательных, их изображали разными цветами: «ЧЖЭН» ― красным, а «ФУ» ― черным.

      Более точных сведений на этот счет мы не имеем, так как император Ши Хуан Ди, разгневавшись на ученых, повелел все научные труды сжечь, а их авторов и читателей казнить. Содержание этих книг дошло до нас лишь в отрывках.

СодВ  VI–VII веках нашей эры  индийские математики уже систематически пользовались отрицательными числами, понимая их как долг.

      Впервые все четыре арифметических действия с отрицательными числами приведены индийским математиком и астрономом Брахмагуптой   (598–660 гг.).

Независимо от индийцев к пониманию отрицательных чисел, как противоположности положительных пришел итальянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи), живший в XIII веке.

Но понадобилось еще около 400 лет, прежде чем «абсурдные» (бессмысленные) отрицатель-ные числа получили полное признание математиков,       а отрицательные  решения в задачах перестали  отбрасы-ваться как невозможные.

В 1544 году немецкий математик Штифель впервые рассматривает отрицательные числа  как числа, меньшие нуля (т. е. «меньшие, чем ничто»).

С этого момента отрицательные числа воспринимаются уже не как  долг, а совсем по-иному.

Но еще Паскаль (1623-1662 гг.) считал, что 0 − 4 = 0, так как нет ничего, что было бы меньше, чем ничто. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус), хотя алгебраически это совершенно разные понятия.

Проект Икаевой Елизаветы «Сравнение целых чисел». (приложение 4)

Чтобы оперировать целыми числами, надо прежде    всего научиться их сравнивать .

      Вспомним, что из двух натуральных чисел большим считается то, которое при счете появляется позже, и меньшим – то, которое появляется раньше. Так , 10<14, 60<85, 248<500.

      В натуральном ряду числа идут в том порядке, в  котором они появляются при счете: 1, 2, 3, 4, 5, … . 

          Двигаясь по натуральному ряду вправо, мы переходим от меньшего числа к большему, а двигаясь влево – от большего числа к меньшему, поэтому запятые можно заменить на знак «меньше»: 1<2<3<4<5....                           

    Целые числа также можно расположить в ряд, но он не будет иметь ни начала, ни конца, продолжаясь бесконечно в обе стороны:

 ...,-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 ,1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6 , … .

   Правило сравнения целых чисел:

 Из двух целых чисел больше то, которое в ряду целых чисел стоит правее, и меньше то, которое стоит  левее.

Целые отрицательные числа, как и целые положительные (т.е. натуральные ), можно изображать точками на координатной прямой .

Положительные числа изображаются точками правее от 0, а отрицательные левее от 0.

Правило:

    На координатной прямой большему числу   соответствует точка , расположенная правее ,   а  меньшему – точка,  расположенная левее.

Точка с координатой о делит прямую на два луча.  На «правом» луче будем отмечать целые положительные числа, а на «левом» – целые отрицательные.

Важно!  Противоположные числа изображаются точками, которые находятся на одинаковом расстоянии от точки с координатой 0. Это расстояние называется модулем числа.

Например, числам 3 и – 3 соответствуют точки, расположенные справа и слева от нуля на расстоянии, равном трем единицам.

Чтобы сравнить два целых числа, можно представить, как они расположены на координатной прямой. Тогда можно сделать вывод, что:

1)    ноль меньше любого положительного числа и больше любого отрицательного.

2)    любое положительное число больше любого отрицательного.

А как сравнить два целых отрицательных числа?  Можно так же  представить, как они расположены на координатной прямой.  Точка с координатой – 10 левее, чем точка с координатой – 5. Поэтому – 10 < - 5

А можно применить понятие «модуль».

ПРАВИЛО.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше

После защиты проекта и вопросов учащихся, в рабочем листе выполняется ТЕСТ 2, ключи к тесту в презентации.

3)    Подведение итогов. Выставление оценок.

Обучающиеся подсчитывают количество баллов, полученных ими при выполнении заданий и выполняют самооценку по следующим критериям:

«5» – 22 - 25 баллов

«4» – 19 - 21 балл

«3» – 15 -18 баллов

4)    Рефлексия

 (Расставьте стрелочки)

5)    Задание на дом. Пункты 9.1 и 9.2, №702, 703, 704, 710

Рабочий лист к уроку «Целые числа. Сравнение целых чисел». 1 вариант.

ученика  6 «Б» класса__________________________________________________

 Тест №1

Задание. Верно ли высказывание?

Задание №1. Под каждым числом записать противоположное ему число

Задание №2. Вставьте в каждое предложение нужное слово

1)      Если а – положительное число, то –а ______________________число

2)      Если а – отрицательное число, то –а________________________число

Тест №2

1. Какое из данных чисел расположено на координатной прямой правее других 2, -5, - 3, -11

А) 2                Б) -5                В) - 3              Г) - 11

2. Сколько целых чисел расположено на координатной прямой между числами - 3 и 3?

А) 5                Б) 7                 В) 4                 Г) 6

3. Расположите в порядке возрастания  числа 3; - 1; 0

А) 0; - 1; 3                  В) другой ответ

Б) - 1; 3; 0                  Г) - 1; 0; 3

4. Укажите наименьшее из чисел - 9; - 5; 1; - 3.

А) - 9              Б) - 3               В) 1                 Г) - 5

5. Какое из равенств неверно?

А)  -(-5) = 5                Б) +(+5) = 5               В) – (+5) = 5              Г) +(- 5) = - 5

6. Какое из данных неравенств верно?

А) – 4 > - 9                 Б) 1 > - 3                    B) – 5 > - 2                 Г) – 5 > - 12

Количество баллов____________

Оценка______________________

Рабочий лист к уроку «Целые числа. Сравнение целых чисел». 2 вариант.

ученика  6 «Б» класса__________________________________________________

 Тест №1

Задание. Верно ли высказывание?

Задание №1. Под каждым числом записать противоположное ему число

Задание №2. Вставьте в каждое предложение нужное слово

3)      Если а – положительное число, то –а ______________________число

4)      Если а – отрицательное число, то –а________________________число

Тест №2

7. Какое из данных чисел расположено на координатной прямой левее других - 1, -8, - 2, 1

А) - 1              Б) - 8               В) - 2              Г) 1

8. Сколько целых чисел расположено на координатной прямой между числами - 4 и 4?

А) 5                Б) 7                 В) 4                 Г) 6

9. Расположите в порядке убывания  числа 1, -2, 4

А) 1; - 2; 4                  В) другой ответ

Б) 4; - 2; 1                  Г) 4; 1; - 2

10. Укажите наибольшее из чисел 7; - 2; - 8; 4.

А) 7                Б) -8                В) - 2              Г) 4

11. Какое из равенств неверно?

А)  -(-3) = 3                Б) +(+3) = 3               В) – (+3) = 3              Г) +(- 3) = - 3

12. Какое из данных неравенств неверно?

А) – 1 > - 5                 Б) 1 > 3                      B) – 4 > - 1                 Г) – 5 > - 4

Количество баллов____________

Оценка______________________

Урок математики в 6 классе

с применением метода проектов.

Тема урока:

«Целые числа. Сравнение целых чисел»

                                                       Подготовила учитель математики

МБОУ СОШ №34 Ляликова Н.В.