Статья на тему “ Однопараметрические оптические катастрофы”

Статья на тему: “ Однопараметрические оптические катастрофы”

Учитель физики МБОУ «СОШ №32»

Форысь Юрий Юрьевич

Однопараметрические оптические катастрофы

           Термин катастрофа имеет да значения: во-первых, он означает внезапное изменение поведение  системы; во-вторых характеризует общий тип систем, в которых такие изменения происходят. Все типы систем состоят из семи так называемых элементарных катастроф. Под элементарными катастрофами понимают не простоту системы, а элементы, как составные части. Любой произвольный тип системы можно составить из этих семи катастроф.

         Это чем-то напоминает игру в детские кубики, где каждый кубик – это  тип катастрофы. Складывая кубики можно составить все слова и предложения, так и с элементарными катастрофами. Складывая катастрофы в различных вариациях, можно получить любой тип системы. Необходима азбука катастроф, а без букв она невозможна. Например: функция прогиба линейки гибкой от приложенной нагрузки, рассматриваемая ранее, – это  z – образная кривая состоит из двух складок.

     И так, элементарная катастрофа имеет совой элементы: пространство управления будем обозначать S  имеет  размерность и пространс

тво переменных состоит – C  и соответственно  – размерность. Многообразием катастрофы   M называется  подмножество определяемое уравнением , где V – потенциальная энергия системы, а  – множество всех критических точек из нашего семейства V.

       Отображения катастрофы – есть проекция многообразия катастрофы М на пространство управления S.

      Особым множеством S – называется  проекция множества М состоит из особых точек  отображения.

       Образ  особого множества в пространстве B –бифуркационное множество.

        Для 4-х (или менее) управляющих параметров и любого числа переменных состояния существует только семь типов элементарных катастроф.

       Ради упрощения обозначений будем использовать для переменных состояний обозначения: x,y,z , а для переменных управления  – a,b,c,d.

                                               1.Катастрофа складки

        Стандартная деформация (потенциальная энергия) задается формулой:

                                              

         У складки пространство управления  и пространство переменных состояний одномерно. Числовой коэффициент введен, чтобы   упростить  дальнейшие вычисления. Продифференцируем   по (найдем экстремумы функций).

-это многообразие  катастрофы . Пространство -двумерно.        Общая точка многообразия имеет  координаты: .

 Разложим  функцию V в ряд Тейлора:

                    

         Исследуем квадратичный член .Он выражен при . Поэтому особое множество состоит из одной точки .При , квадратичный член  - положителен и потенциал имеет минимум, при -потенциал имеет максимум.

Всю геометрию катастрофы

суммирует  рисунок. Многообразие

катастрофы представляет собой параболу.

Бифуркационное  множество состоит

из одной точки . Слева от

него:имеются 2 состояния

(максимум и минимум), направо ни одного.

                                            2.Катастрофа сборки

       Стандартная деформация:

                                        

 Многообразие катастрофы задается уравнением:

                                      

 мерно: пространство управления    – мерно, пространство

переменных состояние мерно.

        Точка имеет координаты: , следовательно карта катастрофы

описывается  координатами точки: .

Найдем Тейлоровское  разложение:

                   

      Введем обозначения квадратичного, кубического  и квартичного разложения:

- квадратичное разложения

           - кубическое разложение    

           - квартичное разложение    

         Поменяет карту и возьмем новые

координаты. Рассмотрим  плотность

 , взяв : .

Квадратичный член вырожден -это

ось в пространстве .Ее образом в

служит кривая складок на карте .

     При  мы имеем ,  

или . Если  то мы

имеем  локальный минимум, если

 локальный максимум.

          При  переходим к кубическому

члену. Кубический член определяет пик

 критической точки (складки). При , мы попадаем в начало координат ; и получаем квадратичный член – который   отвечает за  сборки.

             Образ прямой  задет равенство  получаем линий складки .Бифуркационное  множество это образ кривой С: .

            Исключив  из этого уравнения, получим: геометрическая картина представлена на рис.

На отвечает за точки складки.

На отвечает за точки сборки.

            На кривой бифуркационной одна точка сборки – острые и сама бифуркационная линия – линия складок.

                               3.Катастрофа ласточкина хвост

Стандартная деформация:

задается уравнением:

 

 Возьмем  за карту для

, где:

Запишем разложения Тейлора:

Тейлоровские коэффициенты примем за координаты:

квадратичный  

кубический   

квартичный  

квинтичный

          На гиперплоскости выберем точку  и рассмотрим карту в пространстве . Эта новая карта в пространстве связана с картой в пространстве  преобразованием.

          Квадратичный член вырождается в том случае, когда . Когда потенциальная энергия имеет min состояние устойчиво.  Когда maxоно неустойчиво. При вырождение  имеем плоскость это плоскость складок. При вырождении получаем ось это ось сборок наконец при вырождении: получаем особую точкуласточкин хвост. Рассмотрим эту катастрофу  в пространстве .

         Мы имеем следующую  параметризацию:

               .

Найдем особое (бифуркационное множество) оно задается :

                множество складок.

Если это множество сборок:

                                              

         Точка ласточкина хвоста – в начале координат. На рисунке представлены линия сборки в различных проекциях в пространстве управляющих параметров. Скажем ясно, что а и с должны быть отрицательны.

        Для катастрофы ласточкина хвоста можно исследовать  и плотность складок. Представим  эту поверхность в пространстве (с,b) фиксируя а.

И так: бифуркационное  множество имеет вид: имеются линий самопересечения  (вдоль этих линий функция имеет две различные точки перегиба). Линия самопересечения имеет формулу параболы с вершиной в начале.

                                   4. Катастрофа бабочки

      Деформация бабочки:

                         

Деформация 5 – мерно. Пространство управление 4 – мерно. Это изобразить трудно, поэтому  изображается в основном проекции пространства управления.

       Исследование же этой функций совершено такое же, просто формулы значительно длиннее:

-множество критических точек или множество.

       Исследуем эту поверхность на проекции – пространстве  управления.

При b=0 и a>0– сечение выступает  как   бифуркационное  множество катастрофы сборки с управляющими параметрами c и d.  Изменение  b приводит к тому, что вся картина “наклоняется” в ту или иную сторону, причем направление наклона зависит от знака b. Когда мы переходим в область отрицательных значений а  (а<0)  это приводит к существенно более сложной картины с “карманом”. Теперь изменение b вызывает, помимо качания из стороны в сторону следующее: та или другая стона кармана сжимается, превращаясь в подобие ласточкина хвоста, а затем исчезает – и снова лишь кривая с острием.

бифуркационное –бифуркационное

 

                                                                                                    – бифуркацион-

                                                                                                    ное множество.

                                                                                                         

                                                                                                    бифуркационное

                                                                                                      множество в пр-ве

                                                                                                   (b,c,d) в пр-ве

                                                                                                   (abcd) – бифур-                                                        

                                                                                                кационное множество

                                                                                                 – это объем.

                                                     Заключение

В курсовой работе, посвященной теории катастроф были получены следующие результаты: изучены  катастрофы  складки, сборки, бабочки и  катастрофа ласточкина хвоста. В данной курсовой работе рассмотрены однопараметрические оптические катастрофы. Все типы систем состоят из семи так называемых элементарных катастроф.  Под элементарными катастрофами понимают не простоту системы, а элементы, как составные части. У складки пространство управления (а) и пространство переменных состояний (х) одномерно. Катастрофа сборки пространство управления 2х –  мерно, пространство переменных тоже одномерно и катастрофа ласточкин хвост переменных тоже одномерно. Катастрофа  бабочки пространство управления 4 – мерно. Это изобразить трудно, поэтому  изображается в основном проекции пространства управления.

                              Список используемой литературы

1.Т.Постон, И.Стюарт. Теория катастроф и ее приложения. М.: Мир, 1980, 608 с.

2. Арнольд В.И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук шаги математического анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов.-М.: Наука, 1989. – 134 с.

3. Арнольд В.И. Теория катастроф.-3-е изд., доп.-М.:Наука, 1990.-128 с.

4.Стюарт И. Тайны катастрофы: пер. с франц.-М.: Мир, 1987.-76 с.