Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Статья: "Методы решения тригонометрических уравнений"

Статья: "Методы решения тригонометрических уравнений"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

hello_html_2d395223.gifhello_html_4c9bf25d.gifМЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Аннотация

В статье рассматриваются различные способы решения одного уравнения с целью углубления, систематизации и совершенствования знаний учащихся по теме "Тригонометрические уравнения". Материал статьи адресован учащимся старших классов, а также студентам физико-математических специальностей, проходящим педагогическую практику в школе.

Ключевые слова: тригонометрические уравнения, функции половинного аргумента, вспомогательный угол, формулы понижения степени, метод оценивания, формулы приведения.

К сожалению, не существует общего метода решения, следуя которому можно было решить любое уравнение, в котором участвуют тригонометрические функции. В процессе решения тригонометрических уравнений надо особенно следить за эквивалентностью уравнений, чтобы не допустить потери корней или приобретения лишних корней.

Тригонометрическим уравнением называется равенство тригонометрических выражений, содержащих переменную только под знаком тригонометрических функций. Решить тригонометрическое уравнение – значит найти все его корни – все значения неизвестного, удовлетворяющие уравнению. Тригонометрические уравнения сводятся цепочкой равносильных преобразований, заменами и решениями алгебраических уравнений к простейшим тригонометрическим уравнениям.

Выделим методы решения тригонометрических уравнений

  1. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

  2. Подстановка через функции половинного аргумента.

  3. Введение вспомогательного угла.

  4. Использование формул понижения степени.

  5. Использование замены с помощью основного тригонометрического тождества.

  6. Способ замены sin x=a, cos x=b.

  7. Графический способ.

  8. Использование формул приведения и формул сложения.

  9. Использование универсальных тригонометрических подстановок.

  10. Метод оценивания.

Рассмотрим уравнение hello_html_m15d8847e.gif и решим его наибольшим количеством способов.

Способ 1. Возведение обеих частей уравнения в квадрат

hello_html_m15d8847e.gif

hello_html_m16249441.gif

hello_html_780f0748.gif

hello_html_189e1c89.gif

hello_html_m7e078fb5.gif

hello_html_m7ca22ea1.gifили hello_html_10066e4d.gif

hello_html_m76f2943b.gifhello_html_m64ed688.gif

При возведении в степень возможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна потеря корней, т.е. получается уравнение-следствие.

При возведении в квадрат обеих частей уравнения sin x + cos x = 1, мы производим эту же операцию и с частями "теневого" уравнения (- sin x - cos x = 1), поскольку результат этих действий будет один и тот же. Следовательно, по окончании решения, обязательно следует производить отбор корней.



Способ 2. Подстановка через функции половинного аргумента

Надо перейти к аргументу x/2 и применить формулы половинного аргумента к функциям в левой и правой частях уравнения hello_html_m15d8847e.gif. Выразим sin x, cos x и 1 через формулы половинного аргумента:

hello_html_m73803094.gif

hello_html_m48ea190f.gif

Делим обе части уравнения на hello_html_m29128d02.gif или выносим hello_html_ma01877.gif за знак скобки.

  1. : hello_html_1894a9b5.gif

hello_html_m34f753d0.gif

hello_html_m57492706.gifили hello_html_md0d4a4d.gif

hello_html_11ad072f.gifhello_html_md0eafaa.gif

hello_html_m64ed688.gif

(2):hello_html_761a5502.gif

hello_html_4408844.gifили

hello_html_m52bcdb9f.gif(разделим на hello_html_m5f28067e.gif)

hello_html_11ad072f.gif





Способ 3. Введение вспомогательного угла

Рассмотрим уравнение hello_html_m758e6a48.gif



Разделим левую и правую часть уравнения на:hello_html_m4b5338f0.gif. Так как hello_html_7f2bb5c6.gif, то существует угол φ такой, что hello_html_m3a077e2c.gif при этом hello_html_m4504aa45.gifТогда уравнение примет вид hello_html_771e82b4.gif. Отметим, что к выбору угла φ в задачах с параметрами нужно относиться внимательно: выборhello_html_41b34eac.gif  и выбор hello_html_6484e64b.gif  будут не всегда равносильны. 

hello_html_m15d8847e.gif(hello_html_m1e5d4ba2.gif)

hello_html_79308cc0.gif

Это уравнение разбивается на два:



(1): hello_html_5d65f21.gif

hello_html_mf639e34.gif

hello_html_11ad072f.gif



(2): hello_html_729e6cec.gif

hello_html_7fcec0c0.gif

hello_html_m64ed688.gif


Способ 4. Использование формул понижения степени

При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы понижения степени hello_html_75237fb3.gif hello_html_m33b1f121.gif

hello_html_5cfece25.gif

hello_html_m5d80c8d5.gif

hello_html_m48ea190f.gif

Решается с помощью второго способа.

Способ 5. Использование замены с помощью основного тригонометрического тождества hello_html_m972a4d3.gif

hello_html_m49f0db2.gif

hello_html_m3c3b0b89.gifвозводим обе части в квадрат

hello_html_3072af92.gif

hello_html_5ff43fd0.gif


hello_html_m7ca22ea1.gifили hello_html_m57607330.gif

hello_html_m76f2943b.gifhello_html_47d34f52.gif


Способ 6. Способ замены sin x=a, cos x=b


hello_html_4bcdbc88.gifhello_html_790ca372.gifhello_html_m21fc115f.gif


hello_html_m10e2de9.gifhello_html_m321e2750.gifhello_html_67965f2e.gifhello_html_m1914503.gif

hello_html_672bcb19.gifhello_html_m7ca22ea1.gifhello_html_10066e4d.gifhello_html_m12c260ed.gif

hello_html_m76f2943b.gifhello_html_m76f2943b.gifhello_html_m15f17be5.gifhello_html_m183e30d2.gif



Способ 7. Графический способ

hello_html_m15d8847e.gif

hello_html_5cfece25.gif

Построим графики функций f(x)=hello_html_m4edd078b.gif и h(x)=hello_html_m936a689.gif (Рис.1)

C:\Users\уваровы\Desktop\1.jpg

Рис.1

Способ 8. Использование формул приведения и формул сложения

hello_html_m379797eb.gif

hello_html_m16ab386d.gif

hello_html_5c11b469.gif

hello_html_m5811112.gif

hello_html_m6f93332b.gif

hello_html_m4e13a287.gif

hello_html_m183e30d2.gif

Способ 9. Использование универсальных тригонометрических подстановок

Они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию —

тангенс половинного угла.

hello_html_75503868.gif

hello_html_1702463b.gif


Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул неопределенны при hello_html_44fd6142.gif Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.



hello_html_m997e2d8.gif

hello_html_2ebbdadf.gif

hello_html_1894a9b5.gif

hello_html_m34f753d0.gif


hello_html_m57492706.gif

hello_html_m76f2943b.gif



hello_html_md0d4a4d.gif

hello_html_m183e30d2.gif



Способ 10. Метод оценивания. (Оценивание рассматривается по четвертям)

Уравнение f(x) = g(x). Если на промежутке Х наибольшее значение одной из функций y=f(x), y=g(x) равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f(x)=g(x) равносильно на промежутке Х системе уравнений hello_html_m1d8c4646.gif

I: hello_html_3ea08231.gif корней нет

hello_html_11852162.gif

II: hello_html_mf288c9a.gif корней нет


III: hello_html_m412b4b15.gif корней нет

IV: hello_html_m3fdd752a.gif корней нет

hello_html_m489fe890.gif(Нужно проверить граничные точки)

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений.

В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или иные методы. Это приходит только с опытом.



ЛИТЕРАТУРА

  1. Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл.: Учебник (базовый уровень). 18-е изд.-М.: Просвещение, 2012.-464с.

  2. Мордкович А.Г.: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч.1: Учебник (профильный уровень). 10-е изд., испр.-М.: Мнемозина, 2009.-399с.

Краткое описание документа:

В  статье рассматриваются различные способы решения одного уравнения с целью углубления, систематизации и совершенствования знаний учащихся по теме "Тригонометрические уравнения". Материал статьи адресован учащимся старших классов, а также студентам физико-математических специальностей, проходящим педагогическую практику в школе.

Ключевые слова: тригонометрические уравнения, функции половинного аргумента, вспомогательный угол, формулы понижения степени, метод оценивания, формулы приведения.

К сожалению, не существует общего  метода решения, следуя которому можно было решить любое уравнение, в котором участвуют тригонометрические функции. В процессе решения тригонометрических уравнений надо особенно следить за эквивалентностью уравнений, чтобы не допустить потери корней или приобретения лишних корней.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

Общая информация

Номер материала: 121511

Похожие материалы