трудные вопросы при подготовке к ЕГЭ

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Задачи типа В 8 на ЕГЭ по математике Филиппова Оксана Николаевна, Моу Лицей, учитель математики

• 

  2 слайд

  «Бугорки и впадины»

• 

  3 слайд

• 

  4 слайд

• 

  5 слайд

• 

  6 слайд

• 

  7 слайд

  Вычисление точек максимума и минимума

• 

  8 слайд

  Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Отмечаем на координатной оси нули производной — и все. 2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x0 известно, что f’(x0) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x0) ≥ 0 или f’(x0) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0. 3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума.

• 

  9 слайд

  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

• 

  10 слайд

  Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки: Ответ: −3

• 

  11 слайд

  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

• 

  12 слайд

  Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем: Ответ: 5

• 

  13 слайд

  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

• 

  14 слайд

  Строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него, точки x = −3,5 и x = 2. На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Ответ: 1

• 

  15 слайд

  2)На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [-4;4]. Ответ: 3

• 

  16 слайд

  На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-9;8). Найдите точку экстремума функции f(x) на ин- тервале (-3;3). Ответ: -2

• 

  17 слайд

  Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

• 

  18 слайд

  Алгоритм: 1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, оставляем только их. 2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает.( Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.) 3. Вычислить требуемую в задаче величину.

• 

  19 слайд

  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

• 

  20 слайд

  1. Перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. 2. Отметим знаки производной. 3. Так как на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. 4. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала: −1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14. Ответ: 14

• 

  21 слайд

  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

• 

  22 слайд

  1. Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку: Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). 3. Вычислим их длины: l1 = − 6 − (−8) = 2; l2 = 2 − (−3) = 5. Ответ: 5

• 

  23 слайд

  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-8;3). Найдите проме- жутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. Ответ: -19

• 

  24 слайд

  На рисунке изображен график функции  , определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

• 

  25 слайд

  Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (−3; 0) и (4,2; 7). В них содержатся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4.   Ответ: 4.

• 

  26 слайд

  На рисунке изображен график функции y=f(x),определенной на интервале (-5;5). Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) положительна. Ответ: 1

• 

  27 слайд

  На рисунке изображён график дифференцируемой функции . На оси абсцисс отмечены девять точек: . Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек. Ответ: 3

• 

  28 слайд

  На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале(-11;3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Ответ: 4

• 

  29 слайд

  На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале(-6;12). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Ответ: 3

• 

  30 слайд

  На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-6;6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. Ответ: 9

• 

  31 слайд

  На рисунке изображен график функции y=f(x),определенной на интервале (-5;5). Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) отрицательна. Ответ: 8

• 

  32 слайд

  Нахождение наибольшего, наименьшего значения функции

• 

  33 слайд

  На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-5;5). В какой точке отрезка [-4;-1] f(x) принимает наибольшее значение. Ответ: -1

• 

  34 слайд

  На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-9;8). В какой точке отрезка [0;6] f(x) принимает наибольшее значение. Ответ: 6

• 

  35 слайд

  На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-9;8). В какой точке отрезка [-8;-4] f(x) принимает наименьшее значение. Ответ: -4

• 

  36 слайд

  На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-6;6). В какой точке отрезка [-4;0] f(x) принимает наименьшее значение. Ответ: 0

• 

  37 слайд

  На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-9;8). В какой точке отрезка [-7;-3] f(x) принимает наибольшее значение. Ответ: -7

• 

  38 слайд

  На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-9;8). В какой точке отрезка [1;7] f(x) принимает наименьшее значение. Ответ: 1

• 

  39 слайд

  На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-6;6). В какой точке отрезка [-3;3] f(x) принимает наименьшее значение. Ответ: 2

• 

  40 слайд

  На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-6;6). В какой точке отрезка [3;5] f(x) принимает наибольшее значение. Ответ: 5

• 

  41 слайд

• 

  42 слайд

• 

  43 слайд

  Задачи с уравнением касательной

• 

  44 слайд

  Алгоритм: Метод двух точек Если в задаче дан график функции f(x). 1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x1; y1) и B (x2; y2). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу. 2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x2 − x1 и приращение функции Δy = y2 − y1. 3. Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. И это будет ответ. Точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x). Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

• 

  45 слайд

  На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

• 

  46 слайд

  Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения: Δx = x2 − x1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y2 − y1 = 6 − 2 = 4. Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2. Ответ: 2

• 

  47 слайд

  На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

• 

  48 слайд

  Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения: Δx = x2 − x1 =3 − 0 = 3; Δy = y2 − y1 = 0 − 3 = −3. Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1. Ответ: −1

• 

  49 слайд

  На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой xо. Найдите значение производной функции f(x) в точке xо. Ответ: 0.75

• 

  50 слайд

  На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой xo. Найдите значение производной функции f(x) в точке xo.. Ответ: -0.25

• 

  51 слайд

  На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой xo. Найдите значение производной функции f(x) в точке xo. Ответ: 0.5

• 

  52 слайд

  На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

• 

  53 слайд

  Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения: Δx = x2 − x1 = 5 − 0 = 5; Δy = y2 − y1 = 2 − 2 = 0. Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0. Ответ: 0

• 

  54 слайд

• 

  55 слайд

• 

  56 слайд

  На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-6;6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=-2x+4 или совпадает с ней. Ответ: 4

• 

  57 слайд

• 

  58 слайд

• 

  59 слайд

  На рисунке изображен график функции y=f(x),определенной на интервале (-11;2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=-6. Ответ: 7 (бугорки и впадины)

• 

  60 слайд

  На рисунке изображен график функции y=f(x),определенной на интервале (-6;6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=-5. Ответ: 4

• 

  61 слайд

  На рисунке изображен график функции y=f(x),определенной на интервале (-9;8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=10. Ответ: 6

• 

  62 слайд

  На рисунке изображен график функции y=f(x),определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=6. Ответ: 4

• 

  63 слайд

  На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-6;6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=-3x-11 или совпадает с ней. Ответ: 4

• 

  64 слайд

  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x−11 или совпадает с ней.

• 

  65 слайд

• 

  66 слайд

  Прямая y=8x-5 параллельна касательной к графику функции y=x²+7x+7. Найдите абсциссу точки касания. Ответ: 0.5

• 

  67 слайд

• 

  68 слайд

  Прямая y=8x-9 является касательной к графику функции y=x³+x²+8x-9. Найдите абсциссу точки касания. Ответ: 0

• 

  69 слайд

  Так как касательная параллельна прямой y =−2x−11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2. Найдем количество точек, в которых y'(x0) = −2, геометрически это соответствует количеству точек пересечения графика производной с пря­мой y= −2. На данном интервале таких точек 5.   Ответ: 5.

• 

  70 слайд

  Прямая y=4x+8 параллельна касательной к графику функции y=x²-5x+7. Найдите абсциссу точки касания. Ответ: 4.5

• 

  71 слайд

• 

  72 слайд

• 

  73 слайд

• 

  74 слайд

• 

  75 слайд

  Задачи с первообразной

• 

  76 слайд

• 

  77 слайд

  На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (−3;5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [−2;4].

• 

  78 слайд

  На рисунке изображён график некоторой функции . Функция    — одна из первообразных функции  . Найдите площадь закрашенной фигуры.

• 

  79 слайд

  На рисунке изображён график некоторой функции . Функция    — одна из первообразных функции  . Найдите площадь закрашенной фигуры.

• 

  80 слайд

  И.В. Фельдман, репетитор по математике. Видеолекция 11. «Производная. Касательная. Применение производной к исследованию функции. Задание В8″ Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Задание В8 Производная. Физический смысл производной. Задание В8 Абсцисса точки касания. Задание В8 Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Задание В8 http://uztest.ru http://www.egehelp.ru http://www.mathege.ru http://www.matematika http://webmath.exponenta http://www.math.com.ua/mathdir http://www.ctege.org www.fipi.ru www.mioo.ru