Задача об оптимальной стратегии замены оборудования

• 1 слайд

  Динамическое программирование.
  Задача о замене оборудования
  

• 2 слайд

  Задача о замене оборудования состоит в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Критерием оптимальности являются либо доход от эксплуатации оборудования (задача максимизации), либо суммарные затраты на эксплуатацию (задача минимизации) в течение планируемого периода.
  

• 3 слайд

  Эксплуатация оборудования планируется в течение n лет, но оборудование имеет тенденцию с течением времени стареть и приносить все меньшую годовую прибыль r(t), где t – возраст оборудования. При этом есть выбор: либо в начале любого года продать устаревшее оборудование за цену s(t), которая также зависит от возраста, и купить новое оборудование за цену P, либо оставить оборудование в эксплуатации. Требуется найти оптимальный план замены оборудования с тем, чтобы суммарная прибыль за все n лет была максимальной, учитывая, что к началу эксплуатационного периода возраст оборудования составляет t0 лет.
  

• 4 слайд

  Входными данными к этой задаче являются: r(t) – доход от эксплуатации в течение одного года оборудования возраста t лет; s(t) – остаточная стоимость оборудования;
  P – цена нового оборудования; t0 – начальный возраст оборудования.
  Переменной управления на k-м шаге является логическая переменная, которая может принимать два значения:
  С – сохранить, З – заменить оборудование в начале k-го года.
  Переменной состояния системы на k-м шаге является переменная t.
  

• 5 слайд

  Введем функцию Беллмана Fk(t) - максимально возможная прибыль от эксплуатации оборудования за годы с k-го по n-й, если к началу k-го года возраст оборудования составлял t лет.
  Уравнение Беллмана на каждом шаге имеет вид:
  𝐹 𝑘 𝑡 =𝑚𝑎𝑥 &𝑟 𝑡 + 𝐹 𝑘+1 𝑡+1 С &𝑠 𝑡 −𝑃+𝑟 0 + 𝐹 𝑘+1 1 З
  Функцию Беллмана для первого шага (k=n) легко вычислить – это максимально возможная прибыль только за последний n-й год:
  𝐹 𝑘 𝑡 =𝑚𝑎𝑥 &𝑟 𝑡 С &𝑠 𝑡 −𝑃+𝑟 0 З
  

• 6 слайд

  Задача №1: Найти оптимальный план замены оборудования на 6-летний период, если известны производительность оборудования R(t) и остаточная стоимость оборудования S(t) в зависимости от возраста, стоимость нового оборудования P (заданы в таблицах). Возраст оборудования к началу эксплуатации равен 1 год.
  

• 7 слайд

  Решение:
  6 этап (t=1, 2, 3, 4, 5, 6)
  
  5этап (t=1, 2, 3, 4, 5)
  
  

• 8 слайд

  4этап (t=1, 2, 3, 4)
  
  
  3этап (t=1, 2, 3)
  
  
  

• 9 слайд

  2этап (t=1, 2)
  
  
  
  1этап (t=1)
  
  𝐹 1 1 → С → 𝐹 2 2 → 𝐶 → 𝐹 3 3 → З →
  𝐹 4 (1)→(𝐶)→ 𝐹 5 (2)→(𝐶)→ 𝐹 6 (3)→(𝐶)
  

• 10 слайд

  Задача №2. Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход r(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы в таблице, стоимость нового оборудования равна P = 13, а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.
  F1(1) → (C) → F2(2) → (C) → F3(3) → (З) → F4(1) → (C) → F5(2) → (C) → F6(3) → (C) →
  Таким образом, за 6 лет эксплуатации оборудования замену надо произвести в начале 3-го года эксплуатации
  

• 11 слайд

  Задача №3. В начале 5-ти летнего периода имеется машина фиксированного возраста. Функции r(t), u(t) и s(t), описывающие стоимость продукции, эксплуатационные затраты на машину и остаточную стоимость машины соответственно, заданы таблицей. Цена новой машины на протяжении всего периода равна 20 денежным единицам.
  Возможные управления:
  a) сохранить машину: r(t) – u(t) (1);
  b) продать имеющуюся машину и купить новую: s(t) – р + r(t0) – u(t0) (2).
  

• 12 слайд

  Задача №4. Разработать план замены оборудования на предприятии, с 2-летним сроком эксплуатации на
  последующие 5 лет (до 6-ого года). Данные приведены в таблице.
  Предприятие требует обязательной замены оборудования со сроком эксплуатации 6 лет. Стоимость нового оборудования A = 100 000.
  С С З С С или С З С С С. Прибыль от применения этих стратегий
  составит 215 000
  

• 13 слайд

  Задача №5. К началу текущей пятилетки на предприятии установлено новое оборудование. Зависимость производительности этого оборудования в стоимостном выражении от времени его использования предприятием, а также зависимость затрат на содержание и ремонт оборудования при различном времени его использования приведены в таблице.
  Зная, что затраты, связанные с приобретением и установкой нового оборудования, идентичного с установленным, составляют 40 тыс. руб., а заменяемое оборудование списывается, составить такой план замены оборудования в течение пятилетки, при котором общая прибыль за данный период времени максимальна.
  Оптимальным планом замены оборудования будет и = (С; С; 3; С; С). Максимальная прибыль предприятия, соответствующая оптимальному плану, равна 215 тыс. руб.
  

• 14 слайд

  Задача №6. Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход r(t) и остаточная стоимость s(t) в зависимости от возраста заданы в таблице.
  Стоимость нового оборудования равна 10 уел. ед., а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.
  Ответ: за 6 лет эксплуатации оборудования замену надо произвести в начале 2-го года эксплуатации. Максимальный доход составит 40 уел. ед.
  

• 15 слайд

  Задача №7. Пусть рассматривается вопрос эксплуатации оборудования в период времени длительностью 10 лет. Этот период условно разбиваем на этапы: один этап – один год. В таблице 3 приведены исходные данные по производительности, по величине эксплуатационных расходов и остаточной стоимости старого оборудования. Стоимость нового оборудования равна 25 ден. ед. Требуется определить цикл замены оборудования в заданный период времени длительностью 10 лет, чтобы суммарная прибыль от его использования была максимальной.
  

Краткое описание документа:

В презентации рассматривается Задача о замене оборудования. Приводится подробное решение одной задачи и 6 задач с ответами для самостоятельной работы. Данный материал предназначен для студентов 3 курса по МДК 02.03.