Фрагмент урока Арифметическая и геометрическая прогрессия

очень многих сейчас интересует будущее, мир бизнеса и возможность заработать. 

Представляю фрагмент урока математики в 9 классе.

- Нам уже знакомы некоторые экономические термины, и сегодня мы дадим математическое обоснование этим процессам. Сделаем мы это с помощью интересных задач.

Сегодня вам всем предоставляется возможность почувствовать себя олигархом, “побывать в его шкуре”, кем вы себя вообразите - Лисиным, Прохоровым или Абрамовичем - выбирайте сами, но сейчас каждый из вас - владелец завода. Вы должны проанализировать работу вашего предприятия, наметить дальнейший план развития производства. Прежде всего, нас интересует эффективность работы. Мы будем рассматривать ее по нескольким направлениям:

себестоимость продукции и прибыль от ее реализации,

численность персонала,

уровень заработной платы по отношению к инфляции,

расходы на рекламу,

налог на прибыль,

эмиссия ценных бумаг.

Сначала рассмотрим вопрос, связанный с работой персонала предприятия. Нас интересует численность работающих и их заработная плата. Заработная плата-это плата за труд.

ЗАДАЧА 1.

Численность административно-технических сотрудников на предприятии 50 человек, а рабочих-100 человек. В течение 3-х лет мы планируем ежегодно увеличивать численность сотрудников на 20% от начального количества и  в 1,1 раза- число рабочих. Сможем ли мы на предприятии содержать такой штат, если зарплату можно выплатить лишь двумстам рабочим?

(Решение: Численность сотрудников подчиняется арифметической прогрессии: а₁=50, d=10; численность рабочих- геометрической прогрессии: b₁=100 ,d=1,1. Необходимо проверить условие:a₃+b₃<200

Класс проводит расчеты. Ответ: 191 человек.)

Учитель: Да. Сможем. Но через три года нам придется еще раз вернуться к этому вопросу. На предприятии предусмотрена индексация заработанной платы в зависимости от инфляции. Инфляция - рост цен на товары и услуги, вызванный обесцениванием денег. Индексация - регулярное изменение заработанной платы в зависимости от роста стоимости жизни.

ЗАДАЧА 2.

В течение года ожидается инфляция около 10% в месяц от уровня января. В январе работник получил 8тыс.руб. Превысит ли его годовая зарплата 140 тыс.руб.?

(Решение: Так как на нашем предприятии индексация тесно связана с инфляцией, то a₁=8, d=0,8.Найти S_12.

Класс проводит расчеты. Ответ: 148,8, что превышает 140тыс.руб.)

Учитель: Да, превысит. Администрации необходимо предпринять шаги для решения этой проблемы.

Наше предприятие выпустило акции, которые стали пользоваться большим спросом. Владельцами нашего предприятия является большое число акционеров. Они являются владельцами денежных средств, переданных предприятию, каждый из них имеет право на часть прибыли и отвечает по части обязательств. Выпущенные нами акции являются ценными бумагами, выданными акционерам в обмен на полученные от них денежные средства. Акции приносят владельцам хорошие дивиденды- часть чистой прибыли. Поэтому они и пользуются спросом.

ЗАДАЧА 3.

Пять лет назад мы выпустили акций на 100тыс.рублей. Ежегодно выпуск акций увеличивается в 1,2 раза. В год мы можем выпустить акции на 300тыс. рублей. Сколько лет еще можно увеличивать выпуск акций по тому же закону?

( Решение: В данном случае мы имеем дело с геометрической прогрессией:b₁=100, q=1,2. Необходимо найти n, удовлетворяющее условию задачи b_n <300.

Класс проводит расчеты. Ответ:1,2^n-1 <3; n=6,7)

Учитель: Можно еще 6 лет продолжать увеличивать выпуск акций. В дальнейшем необходимо будет разработать новую тактику для выпуска акций. 

Для того, чтобы увеличить сбыт продукции и повысить прибыль, необходимо более активно рекламировать продукцию.

ЗАДАЧА 4.

Стоимость изготовления рекламных буклетов в одной типографии такова: за первую партию 10 тыс.руб., каждая следующая – на 4% дешевле. В другой типографии первая партия стоит 10 тыс.руб., а каждая следующая имеет скидку 10%. Где выгоднее разместить заказ на три партии?

(Решение: Скидка в 10% означает, что мы имеем дело с геометрической прогрессией, а в первой типографии работает арифметическая прогрессия. Необходимо сравнить S₃ в обоих случаях.

Класс проводит расчеты. В первой типографии заказ стоит 28800руб., во второй-27100руб.)

Учитель: разместить заказ выгоднее во второй типографии.

Следующий вопрос, который мы должны решить- где выгоднее реализовывать выпускаемую продукцию? На нашем предприятии производится продукция нескольких видов. Мы продаем ее и в нашем городе, и по всей России. Под оборотом товаров понимается транспортировка, хранение и реализация товара.

ЗАДАЧА 5.

Оборот продукции в городе увеличивается на 20% от первоначального ежегодно, а по всей России – в 1,2 раза. Начальный оборот год назад составлял 2000 тыс.руб. Где будет выгоднее реализовывать наши товары через год?

( Решение: Оборот продукции в городе подчиняется законам арифметической прогрессии:a₁=200, d=40. Необходимо найтиa₃. Оборот по России подчиняется геометрической прогрессии: b₁=200,  q=1,2. Найти b₃.

Класс проводит расчеты. Ответ:  a₃=280.  B₃=288)

Учитель: Выгоднее продавать продукцию по всей России, но необходимо провести дополнительные исследования, т.к. затраты на транспортировку и хранение товаров могут оказаться слишком большими и мы не получим ожидаемой прибыли. Оставим этот вопрос для дальнейших исследований. А пока проанализируем себестоимость продукции на сегодняшний день. Под себестоимостью понимаются затраты предприятия на производство и реализацию товара в денежном выражении.

Задача 6.

Себестоимость первых партий товара составила 10 тыс.руб. Из-за увеличения стоимости электроэнергии себестоимость каждой следующей партии в 1-ом цехе увеличилась в 1,2 раза, а во 2-ом- на 25% от себестоимости первых партий. В каком цехе выгоднее выпустить три партии данной продукции.

( Решение : В первом цехе работает геометрическая прогрессия, а во втором- арифметическая.

Класс проводит расчеты. Ответ: в 1-ом-17,5; во 2-ом-17,04 )

Учитель: Выгоднее выпускать продукцию в первом цехе. Последний вопрос, который сегодня мы затронем - это налоги. Каждое предприятие обязано платить налоги - часть своего дохода для содержания бюджета.

ЗАДАЧА 7.

Как выгоднее платить налог – в конце года или ежемесячно? Каждый месяц платится 40% от прибыли в 1000тыс. руб. или за целый год платится налог в конце года, но за каждый месяц просрочки необходимо заплатить не только налог, но и штраф-0.3 от суммы налога.

( Решение :В случае просрочки за декабрь платится 40 тыс.руб., за ноябрь-40+0,3*40=52 тыс.руб., за октябрь-52+0,3*40=64. Т.е. мы имеем дело с арифметической прогрессией.

Класс проводит расчеты. 1 случай:40*12=480тыс.руб, 2 случай-1252тыс.руб.)

Учитель: Как видите, платить налоги ежемесячно выгоднее почти в 3 раза.

Мы рассмотрели все вопросы, связанные с работой нашего предприятия, а также повторили все, касающееся арифметической и геометрической прогрессии, попытались проанализировать происходящие события.