Интегрированный учебный модуль «Применение математики к решению задач физического содержания при подготовке к ЕГЭ»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное  учреждение  Газимуро-Заводская средняя общеобразовательная школа

Интегрированный учебный  модуль

«Применение математики к решению  задач физического содержания при подготовке к  ЕГЭ»

Авторы: учитель математики  МБОУ Газимуро-Заводская СОШ Макарова И.Ю.; учитель физики МБОУ Газимуро-Заводская СОШ Задорожина О.В.

2013 г

Аннотация: 

В условиях современной школы невозможно предоставить качественное образование школьникам без учета межпредметных связей. Это связано с увеличением объема информации в школьном курсе и необходимостью подготовки всех учащихся к работе по самообразованию. Особенно важное значение приобретают межпредметные связи в активизации познавательной деятельности учащихся.

Межпредметные связи физики и математики не только помогают более наглядному формированию конкретных понятий каждого из предметов, но и способствуют наиболее полному представлению об окружающем мире (понятия о строении материи, различных процессах, видах энергии). Необходимость связи между учебными предметами диктуется дидактическими принципами обучения, воспитательными задачами школы, подготовкой учащихся к практической деятельности.

Взаимосвязь предметов играет большую роль в повышении уровня подготовки школьников к ГИА и ЕГЭ, делает более значимыми знания, раскрывает их практическое применение в жизни. Задания с прикладным содержанием, включенные в экзаменационные варианты по математике под номером В 12, В 13 представляют собой широкий круг (задачи на движение, тепловое расширение, давление, свободное падение и т. д.); по физике под номером  А1, А2, А 3, В 1 и т.д.

Но как сделать эту подготовку наиболее эффективной? Как научить понимать и правильно применять полученные знания? Эти вопросы беспокоят многих учителей. Для этого и разработан  интегрированный учебный  модуль по теме «Применение математики к решению  задач физического содержания при подготовки к  ЕГЭ» для учащихся 11 класса.

Цель: создание условий для повышения  у учащихся качества подготовки  к ЕГЭ.

Задачи:

- сформировать у учащихся умение работать  с информацией (поиск, отбор необходимых сведений, фактов, опорных знаний)

- повысить  мотивацию к учению через решение личностно-значимой проблемы

- научить применять информацию при решение экзаменационных задач

Ожидаемые результаты: систематизация знаний в интеграции физики с математикой; повышение качества подготовки к ЕГЭ.

Учебный модуль включает  следующие блоки:

Блок 1 «Отбор содержания задач ЕГЭ по математике и по физике». Предполагает  самостоятельную деятельность учащихся по анализу содержания материалов ЕГЭ и отбору необходимой информации.

Блок 2 «Опорные знания по математике и по физике». Предполагает выделение опорных знаний  с помощью учителя на основе отобранных задач.

Блок 3 « Практикум по решению экзаменационных задач». Содержит примеры решения задач, на основе которых можно самостоятельно отработать выполнение задач ЕГЭ заданного блока.

Блок 1 «Отбор содержания задач ЕГЭ по математике и по физике»

Блок 2 «Опорные знания по математике и по физике»

1)    Вычислительные навыки, необходимые для решения задач ЕГЭ

·        Сложение чисел

·        Вычитание

·        Умножение

·        Деление

·        Приближенные вычислении, округление чисел

·        Стандартная запись числа

·        Свойства степени

      2)  Идеи теории симметрии, тесно связанной с математикой, в частности с геометрией, позволяют

·        в молекулярной физике рассмотреть строение молекул кристаллов

·        в оптике изучить построение изображений в плоских зеркалах

·        в физике элементарных частиц ознакомить учащихся со слабым взаимодействием кварков и лептонов

·        исследовать связь законов сохранения и т.д.

3) Язык математических формул позволяет в ряде физических ситуаций без эксперимента делать важные выводы. Например: законы для идеального газа: Бойля-Мариотта, Гей-Люссака, Шарля. Три закона выведены в предположении, что одна из величин (объем, либо температура, либо давление), характеризующих состояние газа, постоянна. Определить связь, в которой находится объем, давление и температура, когда каждая из величин (V, p, t) изменяется, можно через математические преобразования.

4)    Графический язык, основа которой – математика, широко используется в курсе физики при рассмотрении различных процессов.

ü Составление задач по заданному графику, формуле

ü Свойства некоторых функций, в основном линейной, квадратичной,  обратной пропорциональности, синуса и т.д. Сравнивая уравнения должны делать выводы о свойствах величины.

5)               Векторный язык. Используется в курсе физике для иллюстрации векторных величин, т.е.  величин, имеющих направление.

6)               Построение вектора суммы неколлинеарных и коллинеарных векторов.  Тоже используются широко при решении задач на применение законов Ньютона,  сложении сил, напряженности поля силы системы зарядов, векторов магнитной индукции, созданной различными токами в точке и т.д.

7)    Геометрические сведения:

·        Координатный метод

·        Теорема Пифагора

·        Определение синуса, косинуса

·        Подобие треугольников

7)               Метод пропорций (прямая и обратная пропорциональная зависимость) используется  не только для вывода, чтения формул, но и так же для решения задач.

Таким образом,  можно выявить основные метапредметные знания:

1.      Распознавание вида функции по формуле

2.      Вычисление значения функции по формуле

3.      Расчет по формуле значения аргумента, при которой функция принимает заданное значение.

4.      Выражение из формулы одной величины через другую

5.      Нахождение области определения функции

6.      Строить график

7.      По абсциссе точки графика находить ординату

8.      По ординате точки графика находить ее абсциссе

9.      По нескольким графикам, вычерченной в одной общей системе координат, находить координаты точек пересечения графиков

10.                        Определять интервалы, где функция возрастает и убывает

11.                        Указывать области «знакопостоянства» функции

12.                        Находить наибольшее и наименьшее значения функции и абсциссы точек, в которых эти  значения достигнуты

13.                        Определять по формуле, принадлежит ли точка с заданными координатами графику представленной функции.

Блок 3 « Примеры решения задач ЕГЭ»

МАТЕМАТИКА

Пример 1  После дождя уро­вень воды в ко­лод­це может по­вы­сить­ся. Маль­чик из­ме­ря­ет время  па­де­ния не­боль­ших ка­меш­ков в ко­ло­дец и рас­счи­ты­ва­ет рас­сто­я­ние до воды по фор­му­ле , где  – рас­сто­я­ние в мет­рах,  – время па­де­ния в се­кун­дах. До дождя время па­де­ния ка­меш­ков со­став­ля­ло 0,6 с. На сколь­ко дол­жен под­нять­ся уро­вень воды после дождя, чтобы из­ме­ря­е­мое время из­ме­ни­лось на 0,2 с? Ответ вы­ра­зи­те в мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пусть  – рас­сто­я­ние до воды до дождя,  – рас­сто­я­ние до воды после дождя. После дождя уро­вень воды в ко­лод­це по­вы­сит­ся, рас­сто­я­ние до воды умень­шит­ся, и время па­де­ния умень­шит­ся, ста­нет рав­ным с. Уро­вень воды под­ни­мет­ся на  мет­ров.

Ответ: 1.

Пример 2 Вы­со­та над землeй под­бро­шен­но­го вверх мяча ме­ня­ет­ся по за­ко­ну , где  – вы­со­та в мет­рах,  – время в се­кун­дах, про­шед­шее с мо­мен­та брос­ка. Сколь­ко се­кунд мяч будет на­хо­дить­ся на вы­со­те не менее трeх мет­ров?

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим мо­мен­ты вре­ме­ни, когда мяч на­хо­дил­ся на вы­со­те ровно три метра. Для этого решим урав­не­ние :

Про­ана­ли­зи­ру­ем по­лу­чен­ный ре­зуль­тат: по­сколь­ку по усло­вию за­да­чи мяч бро­шен снизу вверх, это озна­ча­ет, что в мо­мент вре­ме­ни (с) мяч на­хо­дил­ся на вы­со­те 3 метра, дви­га­ясь снизу вверх, а в мо­мент вре­ме­ни (с) мяч на­хо­дил­ся на этой вы­со­те, дви­га­ясь свер­ху вниз. По­это­му он на­хо­дил­ся на вы­со­те не менее трёх мет­ров 1,2 се­кун­ды.

 Ответ: 1,2.

Пример 3 Кам­не­ме­та­тель­ная ма­ши­на вы­стре­ли­ва­ет камни под не­ко­то­рым ост­рым углом к го­ри­зон­ту. Тра­ек­то­рия полeта камня опи­сы­ва­ет­ся фор­му­лой , где  м,  – по­сто­ян­ные па­ра­мет­ры,  – сме­ще­ние камня по го­ри­зон­та­ли,  – вы­со­та камня над землeй. На каком наи­боль­шем рас­сто­я­нии (в мет­рах) от кре­пост­ной стены вы­со­той 8 м нужно рас­по­ло­жить ма­ши­ну, чтобы камни про­ле­та­ли над сте­ной на вы­со­те не менее 1 метра?

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства : при за­дан­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ров a и b:

 м.

Камни будут пе­ре­ле­тать кре­пост­ную стену на вы­со­те не менее 1 метра, если кам­не­ме­та­тель­ная ма­ши­на будет на­хо­дить­ся на рас­сто­я­нии от 10 до 90 мет­ров от этой стены. Наи­боль­шее рас­сто­я­ние – 90 мет­ров.

 Ответ: 90.

Пример 4 . Урав­не­ние про­цес­са, в ко­то­ром участ­во­вал газ, за­пи­сы­ва­ет­ся в виде , где  (Па) – дав­ле­ние в газе,  – объeм газа в ку­би­че­ских мет­рах, a – по­ло­жи­тель­ная кон­стан­та. При каком наи­мень­шем зна­че­нии кон­стан­ты a умень­ше­ние вдвое раз объeма газа, участ­ву­ю­ще­го в этом про­цес­се, при­во­дит к уве­ли­че­нию дав­ле­ния не менее, чем в 4 раза?

Ре­ше­ние.

Пусть  и  – на­чаль­ные, а  и  – ко­неч­ные зна­че­ния объ­е­ма и дав­ле­ния газа, со­от­вет­ствен­но. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства , при­чем :

 .

Ответ: 2.

Пример 5 Eмкость вы­со­ко­вольт­но­го кон­ден­са­то­ра в те­ле­ви­зо­ре  Ф. Па­рал­лель­но с кон­ден­са­то­ром под­ключeн ре­зи­стор с со­про­тив­ле­ни­ем  Ом. Во время ра­бо­ты те­ле­ви­зо­ра на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре  кВ. После вы­клю­че­ния те­ле­ви­зо­ра на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре убы­ва­ет до зна­че­ния U (кВ) за время, опре­де­ля­е­мое вы­ра­же­ни­ем  (с), где  – по­сто­ян­ная. Опре­де­ли­те (в ки­ло­воль­тах), наи­боль­шее воз­мож­ное на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре, если после вы­клю­че­ния те­ле­ви­зо­ра про­шло не менее 21 с?

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства  при за­дан­ных зна­че­ни­ях на­чаль­но­го на­пря­же­ния на кон­ден­са­то­ре  кВ, со­про­тив­ле­ния ре­зи­сто­ра  Ом и ёмко­сти кон­ден­са­то­ра  Ф:

  кВ.

Ответ: 2.

ФИЗИКА

Пример 1 При пря­мо­ли­ней­ном дви­же­нии за­ви­си­мость ко­ор­ди­на­ты тела x от вре­ме­ни t имеет вид:   .

Чему равна ско­рость тела в мо­мент вре­ме­ни  при таком дви­же­нии?

1) 
2) 
3) 
4) 

Ре­ше­ние.

При рав­но­уско­рен­ном дви­же­нии за­ви­си­мость ко­ор­ди­на­ты тела  от вре­ме­ни в общем виде сле­ду­ю­щая:

.

Срав­ни­вая с вы­ра­же­ни­ем, дан­ным в усло­вии, по­лу­ча­ем, что на­чаль­ная ско­рость равна  а уско­ре­ние  Таким об­ра­зом, ско­рость тела в мо­мент вре­ме­ни  равна

.

Пра­виль­ный ответ: 3.

Пример 2.

A 14 Через ка­туш­ку течёт элек­три­че­ский ток, сила  ко­то­ро­го за­ви­сит от вре­ме­ни  так, как по­ка­за­но на гра­фи­ке. Ин­дук­тив­ность ка­туш­ки 10 . Какая энер­гия будет за­па­се­на в ка­туш­ке в мо­мент вре­ме­ни ?

1) 15 мДж
2) 30 мДж
3) 45 мДж
4) 180 мДж

Ре­ше­ние.

Энер­гия маг­нит­но­го поля в ка­туш­ке свя­за­на с ве­ли­чи­ной силы тока в ней и с ин­дук­тив­но­стью со­от­но­ше­ни­ем: . Из гра­фи­ка видно, что к мо­мен­ты вре­ме­ни  сила тока была равна 6 А. Сле­до­ва­тель­но, энер­гия маг­нит­но­го поля, за­па­сен­ная в ка­туш­ке была равна .

Пра­виль­ный ответ: 4.

Пример 3.

A 3 На ри­сун­ке пред­став­ле­ны три век­то­ра сил, ле­жа­щих в одной плос­ко­сти и при­ло­жен­ных к одной точке.

Мас­штаб ри­сун­ка таков, что сто­ро­на од­но­го квад­ра­та сетки со­от­вет­ству­ет мо­ду­лю силы 1 H. Опре­де­ли­те мо­дуль век­то­ра рав­но­дей­ству­ю­щей трех век­то­ров сил.

1) 0 H
2) 5 H
3) 10 H
4) 12 H

Ре­ше­ние.

Из ри­сун­ка видно, что рав­но­дей­ству­ю­щая сил  и  сов­па­да­ет с век­то­ром силы  Сле­до­ва­тель­но, мо­дуль рав­но­дей­ству­ю­щей всех трех сил равен

.

Ис­поль­зуя мас­штаб ри­сун­ка, на­хо­дим окон­ча­тель­ный ответ

.

Пра­виль­ный ответ: 3.

Пример 4.

B 1 Тем­пе­ра­ту­ру хо­ло­диль­ни­ка иде­аль­ной теп­ло­вой ма­ши­ны умень­ши­ли, оста­вив тем­пе­ра­ту­ру на­гре­ва­те­ля преж­ней. Ко­ли­че­ство теп­ло­ты, по­лу­чен­ное газом от на­гре­ва­те­ля за цикл, не из­ме­ни­лось. Как из­ме­ни­лись при этом КПД теп­ло­вой ма­ши­ны, ко­ли­че­ство теп­ло­ты, от­дан­ное газом за цикл хо­ло­диль­ни­ку, и ра­бо­та газа за цикл?

 Для каж­дой ве­ли­чи­ны опре­де­ли­те со­от­вет­ству­ю­щий ха­рак­тер из­ме­не­ния:

 1) уве­ли­чи­лась;

2) умень­ши­лась;

3) не из­ме­ни­лась.

 За­пи­ши­те в таб­ли­цу вы­бран­ные цифры для каж­дой фи­зи­че­ской ве­ли­чи­ны. Цифры в от­ве­те могут по­вто­рять­ся.

Ре­ше­ние.

Если по­ни­зить тем­пе­ра­ту­ру хо­ло­диль­ни­ка при не­из­мен­ной тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­те­ля, КПД иде­аль­ной теп­ло­вой ма­ши­ны уве­ли­чит­ся: . КПД свя­за­но с ра­бо­той газа  и ко­ли­че­ством теп­ло­ты , по­лу­чен­ным газом за цикл, со­от­но­ше­ни­ем . Таким об­ра­зом, по­сколь­ку при по­ни­же­нии тем­пе­ра­ту­ры хо­ло­диль­ни­ка ко­ли­че­ство теп­ло­ты, по­лу­ча­е­мое газом от на­гре­ва­те­ля за цикл, не из­ме­ня­ет­ся, за­клю­ча­ем, что ра­бо­та газа за цикл уве­ли­чит­ся. От­дан­ное хо­ло­диль­ни­ку ко­ли­че­ство теп­ло­ты можно найти из за­ко­на со­хра­не­ния энер­гии: . Так как после по­ни­же­ния тем­пе­ра­ту­ры хо­ло­диль­ни­ка ко­ли­че­ство теп­ло­ты  оста­нет­ся не­из­мен­ным, а ра­бо­та воз­рас­тет, ко­ли­че­ство теп­ло­ты , от­дан­ное хо­ло­диль­ни­ку за цикл ра­бо­ты, умень­шит­ся.

 Пример 5.

B 2 К ис­точ­ни­ку тока при­со­еди­не­ны два оди­на­ко­вых ре­зи­сто­ра, со­еди­нен­ных па­рал­лель­но.

Как из­ме­нят­ся общее со­про­тив­ле­ние цепи, сила тока в цепи и на­пря­же­ние на клем­мах ис­точ­ни­ка тока, если уда­лить один из ре­зи­сто­ров?

 Для каж­дой ве­ли­чи­ны опре­де­ли­те со­от­вет­ству­ю­щий ха­рак­тер из­ме­не­ния:

 1) уве­ли­чит­ся;

2) умень­шит­ся;

3) не из­ме­нит­ся.

 За­пи­ши­те в таб­ли­цу вы­бран­ные цифры для каж­дой фи­зи­че­ской ве­ли­чи­ны. Цифры в от­ве­те могут по­вто­рять­ся.

Ре­ше­ние.

При уда­ле­нии од­но­го из ре­зи­сто­ров общее со­про­тив­ле­ние цепи уве­ли­чи­ва­ет­ся. Дей­стви­тель­но, в ис­ход­ной схеме со­про­тив­ле­ние на­груз­ки рав­ня­лось , а в ко­неч­ной — R. Со­про­тив­ле­ние на­груз­ки воз­рас­та­ет, тоже самое вер­ное и для об­ще­го со­про­тив­ле­ния цепи. По за­ко­ну Ома, для силы тока в цепи имеем вы­ра­же­ние , где  — со­про­тив­ле­ние на­груз­ки. Так как со­про­тив­ле­ние на­груз­ки уве­ли­чи­ва­ет­ся, сила тока в цепи умень­ша­ет­ся. На­пря­же­ние на ис­точ­ни­ке тока опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем: . Легко ви­деть, что при уда­ле­нии од­но­го из ре­зи­сто­ров на­пря­же­ние уве­ли­чи­ва­ет­ся:

.

Пример 6.

A 24 На ри­сун­ке пред­став­лен уча­сток элек­три­че­ской цепи.

Ка­ко­во от­но­ше­ние ко­ли­честв теп­ло­ты , вы­де­лив­ших­ся на ре­зи­сто­рах  и  за одно и то же время?

1) 0,44
2) 0,67
3) 0,9
4) 1,5

Ре­ше­ние.

Най­дем, как от­но­сят­ся силы тока через ре­зи­сто­ры  и  Ис­поль­зуя ри­су­нок, по­лу­ча­ем

.

Сле­до­ва­тель­но,

.

Со­глас­но за­ко­ну Джо­у­ля-Ленца, ко­ли­че­ство теп­ло­ты, вы­де­ля­ю­ще­е­ся на про­вод­ни­ке при про­хож­де­нии тока, про­пор­ци­о­наль­но про­из­ве­де­нию квад­ра­та силы тока, ве­ли­чи­ны со­про­тив­ле­ния про­вод­ни­ка и вре­ме­ни про­хож­де­ния тока: . Таким об­ра­зом

.

Пра­виль­ный ответ: 3.

Ресурсы для самоподготовки:

1.     http://phys.reshuege.ru/

2.     http://ege.yandex.ru/

3.     http://4ege.ru/

4.     http://fipi.ru/

5.     30 вар. тип. зад. и 800 части 2(С)_Семенов, Ященко_2014 -216с.

6.     Математика. Подготовка к ЕГЭ. Вступительные испытания / Л.Д. Лаппо, М.А. Попов. - М.: Издательство «Экзамен», 2013.

7.     Подготовка к ЕГЭ-2014", "Физика. Тематические тесты для подготовки к ЕГЭ. … Издательство: Легион, 2013 г. Серия: Готовимся к ЕГЭ. Жанр: ЕГЭ по физике, ЕГЭ

8.     ЕГЭ 2013. Физика. Типовые тестовые задания / О.Ф. Кабардин, СИ. Кабардина, В.А. Орлов. — М. : Издательство «Экзамен», 2013. — 143 с. (Серия «ЕГЭ. Типовые тестовые задания»)

9.     3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1. Под. ред. Семенова А.Л., Ященко И.В