Использование метода инвариантов при решении нестандартных задач

• 1 слайд

  
  МУНИЦИПАЛЬНАЯ УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
  «ЮНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬ ЧУКОТКИ»
  
  Направление Математика
  
  
  
  Использование метода инвариантов
  при решении нестандартных математических задач
  
  исследовательская работа
  
  
  
  Выполнила: ученица 8 класса
  муниципального бюджетного
  общеобразовательного учреждения
  «Центр образования села Конергино»
  Нахсип Анастасия Витальевна
  
  Научный руководитель:
  учитель математики
  муниципального бюджетного
  общеобразовательного учреждения
  «Центр образования села Конергино»
  Ташбулатова Айсылу Абильевна
  
  
  с. Конергино, 2019 год
  

• 2 слайд

  Актуальность темы: тема «Использование метода инвариантов при решении нестандартных математических задач» интересна и актуальна в данное время при решении логических и олимпиадных задач в школе.
  Предмет исследования: инварианты в решениях задач.
  Гипотеза: повышение уровня подготовки к олимпиадам будет достигнуто, если внимательно изучить инварианты и понять, как найти инвариант и научиться решать нестандартные логические задачи.
  Проблема: как решать логические задачи методом инвариантов.
  Цель исследования: развитие умений и навыков исследовательской работы при решении олимпиадных задачи в качестве результата исследования создать обучающий видеоролик об инвариантах.
  Задача: расширение и углубление представлений о методах решений олимпиадных задач, потренироваться в решении логических задач и найти для себя принципы их решения.
  Методы исследования: изучение специальной литературы, работа с ресурсами Internet, размышления и наблюдения, практический метод, сравнение и анализ условий, практическое применение задач.
  Новизна: раньше не рассматривали инварианты как конкретный раздел математики, поэтому вся работа с ними будет для нас новой деятельностью.
  

• 3 слайд

  Понятие инвариант употреблялось ещё немецким математиком Отто Гессе (1811-1874) еще в 1844 году, но систематическое развитие теория инвариантов получила у английского математика Джеймса Сильвестра (1814-1897) в 1851—52 годы, предложившего и термин «Инвариант».
  Инвариант – (от лат. invarians — неизменяющийся), величина, которая не изменяется в результате некоторых операциях или преобразованиях (например, разрезание и перестановка частей не меняет суммарной площади фигуры).
  Слово инвариант не часто встречается в повседневной жизни, и некоторым людям оно может показаться непонятным, хотя мы инвариантность используем в повседневной жизни. Например, инвариантом могут быть четность или нечетность какой-то величины, остаток при делении на число, алгебраическое выражение (сумма чисел, произведение чисел, сумма обратных величин), количество дней в месяцах, смена времен года, день рождения и праздники. Также инвариантами являются количество часов в сутках, порядок течения дня (вечер не может наступить раньше, чем утро), режим дня, площадь какой-либо фигуры, угол между двумя прямыми, инвариант движения, из курса физики известно, что угол падения равен углу отражения, что скорость при равномерном движении постоянна.
  Джеймс Джозеф Сильвестр (англ. James Joseph Sylvester, 3 сентября 1814, Лондон — 15 марта, 1897, Оксфорд) — известный английский математик еврейского происхождения. Известен своими работами в теории матриц, теории чисел и комбинаторике.
  Основатель Американского математического журнала
  

• 4 слайд

  Алгоритм решения инвариантных задач: убедится, что задача – инвариантная и выполнить условия эксперимента (сделать схему решения в тетради); найти что-либо неизменяемое из условия задачи во всех ваших экспериментах; найти инвариант и условия для решения; сделать вывод исходя из этого соотношения (Ч+Ч=Ч, Н+Н=Ч, Ч+Н=Н, Н+Ч=Н).
  Основные правила четности:
  - Сумма четных слагаемых - четна.
  - Если число нечетных слагаемых четно, то и сумма четна.
  - Если сумма двух чисел - четное число, то и их разность тоже четное число.
  - Если сумма двух чисел - нечетное число, то и их разность тоже нечетное число.
  - Если число нечетных слагаемых нечетно, то и сумма нечетна.
  - Если один из множителей - четное число, то и произведение четно.
  - Если все множители нечетны, то и произведение нечетно.
  

• 5 слайд

• 6 слайд

  Характер чётности числа чёрных клеток среди четырёх угловых не меняется при перекрашиваниях
  1чёрная и 3 белые
  1чёрная и 3 белые
  3 чёрные и 1 белая
  3 чёрные и 1 белая
  Задача 1. В таблице 3*3 угловая клетка закрашена чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.
  Ответ: невозможно
  

• 7 слайд

  Задача 2. В таблице 4*4 знаки «+» и «-» расставлены так, как показано на рисунке.
  Разрешается изменить знак на противоположный одновременно во всех клетках, расположенных в одной строке, в одном столбце или вдоль прямой, параллельной какой-нибудь из диагоналей
  (в частности, в любой угловой клетке). Можно ли с помощью этих операций получить таблицу, не содержащую ни одного минуса?
  среди заштрихованных чисел всегда будет оставаться –1
  Ответ: нельзя
  

• 8 слайд

  Задание 3. Алёша Попович сказал: «У Змея Горыныча больше трёх голов».
  Добрыня Никитич сказал: «У Змея Горыныча больше четырёх голов».
  Илья Муромец сказал: «У Змея Горыныча больше пяти голов».
  Князь Киевский сказал: «У Змея Горыныча больше шести голов».
   Известно, что двое из них сказали неправду. Сколько голов у Змея Горыныча?
  
  Решение: если двое из них сказали неправду, то это были последние два. Так как, если бы Князь Киевский сказал правду, то тогда, были бы все правы. Аналогично и с Ильёй Муромцем. Следовательно, у Змея Горыныча больше четырёх голов, а значит, ответ 5.
  

• 9 слайд

  Задача 4. На Марсе есть 40 амеб типа A, 32 амебы типа B и 31 амеба типа C. Любые две амебы двух разных типов могут слиться и образовать амебу третьего типа. Через некоторое время на Марсе осталась одна амеба. Какого она может быть типа?
  
  Решение: В этой задаче инвариантом, который помогает решить задачу, является совпадение чётностей числа амеб типов A и C. При каждом слиянии общее число амёб уменьшается на 1. Если осталась одна амёба, то слияний было (40+32+31) -1 =102 (чётное число) и при каждом слиянии участвовало 2 амёбы (чётное число), значит должна остаться амёба нечётного вида, то есть вида С, так как общее число всех амёб 103 (нечётно). Тогда амёб каждого вида стало А-38, В-30, С=29 , то есть значение чётности А и В сохранилось и амёб каждого вида уменьшилось на 2, С - нечетное число. Ответ: С
  

• 10 слайд

• 11 слайд

  Я достигла своей цели, так как научилась решать инвариантные задачи и создала презентацию про инварианты, исследование считаю результативным. Я думаю, что желающих решать олимпиадные задачи и развивать логическое мышление будут многие учащиеся нашей школы, изучение данной темы может быть бесконечным и будет появляться все больше различных вариантов решения задач.
  

Краткое описание документа:

Концепция инварианта является одной из важнейших в математике, поскольку изучение инварианта непосредственно связано с задачами классификации объектов того или иного типа. По существу, целью всякой математической классификации является построение некоторой полной системы инвариантов (по возможности, наиболее простой), то есть такой системы, которая разделяет любые два неэквивалентных объекта из рассматриваемой совокупности