Исследование резонанса нитяного маятника с вращающейся точкой подвеса

Некрасов Александр Григорьевич

канд. хим. наук, учитеь физики высшей категории,

ГБОУ СОШ №447

г. Санкт-Петербург

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗОНАНСА НИТЯНОГО МАЯТНИКА С ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ТОЧКОЙ ПОДВЕСА

Аннотация: проведено Исследование вращательного движения нитяного маятник, подвешенного     внутри вращающейся рамы с использованием лаборатории L-микро.

Ключевые слова: нитяной маятник, колебание, резонанс, вращение

          Стандарты ФГОС преподавания физики предполагают уделение  большего внимания учебно-исследовательским работам. Это стало возможным в настоящее время тем обстоятельством, что в школы поступили новые физические лаборатории (классы), такие как лаборатория L-микро, «Архимед» и т.п., с помощью которых можно проводить не только демонстрационные опыты, но и исследовательские эксперименты. С другой стороны необходимо отметить поступление программных ресурсов, с помощью которых можно проводить виртуальные эксперименты. К ним можно отнести такие программы, как «Живая физика», «Начала электроники», по сути, являющиеся компьютерными, не побоюсь этого слова, лабораториями.

         В руководстве [1] приведен демонстрационный эксперимент «Вращательное движение».  Этот эксперимент посвящен вынужденным механическим колебаниям и резонансу. Описание работы очень грамотное, эффект, о котором говорится в описании, воспроизводится. Как утверждают авторы, при совпадении частоты вращения рамки установки с собственной частотой нитяного маятника, наблюдается значительное увеличение амплитуды колебаний маятника, т.е. наблюдается резонанс. В работе [1] даже дается теоретическое обоснование этого опыта. Одноко, остается какое-то чувство неудовлетворенности от этого опыта. Авторы описания отмечают: «Однако получить резонанс в «классическом» виде (возрастание амплитуды колебаний при приближении частоты вращения к частоте собственных колебаний и затухание колебаний при увеличении разности этих частот) в данной механической системе невозможно. При достижении условий резонанса и развитии колебаний движение шарика приобретает круговой характер (вращение вместе рамой). Такое движение является устойчивым состоянием вращающегося на нити шара, и он уже не может вернуться в положение равновесия без полной остановки вращения рамы. Поэтому в эксперименте «резонансная кривая» демонстрируется в виде двух ветвей: показывается отклонение маятника от положения равновесия при возрастании частоты вращения от 0,25 до 1,1 с^-1 и развитие колебаний при уменьшении частоты вращения от 3 до 1 с^-1».  В данной статье и сделана попытка обЪяснить указанные выше «противоречия».

Экспериментальная часть.  На рис.1 приведена схема установки L-микро.

Рис. 1. Экспериментальная установка: 1 – основание, 2 – рама, 3 - диск, 4 – стробоскоп, 5 – шар, 6 – нить, 7 – подвес, 8 – оптоэлектрический датчик, 9 – электродвигатель, 10- разъем для подключения к компьютерному измерительному блоку.

 Для проведения опыта необходимо запустить программу, выбрать в разделе «Датчики» пункт меню «Датчик частоты вращения», в котором войти в сценарий «Вращение с постоянной или медленно изменяющейся скоростью». Ручку регулировки частоты вращения установить в крайнее левое положение и включить блок управления. Медленно вращая регулировку, плавно увеличиваем частоту, наблюдая за поведением шара. При наступлении резонанса необходимо выключить блок управления во-избежании поломки.

Рис. 2. Результат измерений частоты вращения.

Нитяной маятник невозможно подвесить строго на оси вращени, поэтому точка подвеса будет двигаться по окружности, маятник при этом будет испытывать периодическое воздействие со стороны рамы. Далее опыт проводится при уменьшении частоты от максимального значения до резонансной частоты. Частота вращения рамки выводится на экран монитора (рис.2).

Теоретическая часть. Для того чтобы понять механизм рассмотренного явления необходимо составить уравнение движения маятника, найти его решения. Исходя из решений, объяснить наблюдаемые явления. Рассмотрим рис.3, иллюстрирующий движение маятника. Рама вращается с частотой , длина нити , длина подвеса , угол отклонения маятника . На рис.3 указаны силы, действующие на шар. В данный момент времени шар имеет координаты  Известно, что все рассматриваемые в школьной механике объекты являются идеализациями (материальная точка, твердое тело и т.п.).

Рис. 3. Схема движения маятника.

Идеализациями также являются и взаимодействие тел и, что важно, чтобы эти взаимодействия не зависили от скоростей. Поэтому в нашем случае будем считать нить невесомой и нерастяжимой, а шар – материальной точкой. На шар действуют две силы: сила тяжести   и сила натяжения нити (иногда ее называют реакцией связи) , направленной вдоль нити. Для описания нашей колебательной системы достаточно знать координату . Проще всего найти уравнение движения для координаты  используя свойство уравнений Лагранжа: эти уравнения можно записать в любых обобщенных координатах. Функция Лагранжа, равная  где  – кинетическая и потенциальная энергия соответственно. Кинетическая энергия шарика  в декартовой системе координат равна

                                                                          (1)

Здесь  – проекции скоростей шара на координатные оси.

Потенциальная энергия (за нулевой уровень принята плоскость )

 

Координаты шара равны (смотри рис.2):

 

                                                             (2)

 

Подставляя выражения (2) в (1), после преобразований, получим для кинетической и потенциальной энергий выражения:

                                                            (3)

.                                                                                      (4)

Тогда функция Лагранжа оказывается равной

                                         (5)

и не зависит явно от времени. В выражении (5) слагаемое  отвечает кинетической энергии, связанной с вращением.

Уравнение Лагранжа имеет вид

                                                                                             (6)

Подставляя (5) в (6), после упрощений, получим

                       (7)

Сокращая в (7) на , получим

                                           (8)

Будем считать, что угол  т.е. мал, тогда  C учетом этого окончательно получим уравнение, описывающее движение шара, участвующего  во вращательном  движении:

.                                                                               (9)

Из полученного уравнения видно, что критическая угловая скорость не зависит от массы шара и равна

 

Полученное уравнение (9) не совпадает с уравнением вынужденных колебаний, имеющих, как правило, вид

                                                                                    (10)  

При совпадении частоты возмущающей силы и собственной частотой колебания маятника, частное решение (10), соответствующее вынужденным колебаниям, будет

                                                                                               (11)

Из (11) следует, что обычный (классический) резонанс представляет неограниченное возрастание вынужденных колебаний устойчивой системы. Так что же, в нашем опыте наблюдаются не вынужденные колебания в обычном смысле? Резонанс появляется только при одной частоте внешней вынуждающей силы   . Кстати, начальные условия при этом не играют никакой роли. В случае  частное решение имеет вид

.

А это значит, что амплитуды вынужденных колебаний не возрастают. Вернемся к полученному уравнению (9). Примем начальные условия  Рассмотрим следующие случаи:

1)    тогда (9) принимает вид 

 

откуда, с учетом начальных условий, получим

 

                                           (12)

2)   Уравнение  (9) можно свести к линейному однородному уравнению. Положим

                                                                               (13)

Относительно новой функции уравнение (9) примет вид

                                                                                          (14)

где  Начальные условия для новой функции примут вид

 

В случае  решение имеет вид

откуда

                                                          (15)

Если то решение примет вид

       (15a)

Решение (15) говорит об устойчивости системы, которая совершает колебательное движение.

Если фундаментальное решение запишется как

 откуда

                                                               (16)

C учетом начального условия решение в данном случае имеет вид

      (16a)                        

В этом случае состояние относительного равновесия системы неустойчиво.

Таким образом, получены три вида решений (12), (15) и (16) уравнений движения маятника в нашей задаче. Эти решения не соответствуют уравнениям для классических вынужденным колебаниям и резонансу. Это справедливо подметили авторы руководства [1]. Для наглядности построим трехмерные графики  для указанных трех областей. При построении графиков   было принято  Графики построены для маятника с собственной частотой . Длина нити  Радиус вращения точки подвеса На рис.4 приведен график для угловых скоростей вращения рамы до критической скорости

 Из рисунка видим, что при   слева амплитуда колебаний возрастает, а период растет (частота колебаний маятника уменьшается).

Рис.4. Записимость угла отклонения от частоты во времени.

 На рис.5 показано развитие колебаний по достижении критической частоты. Рассмотрим трехмерную картину развития колебаний для случая  

Рис. 5. Колебания маятника                              Рис. 6. Колебания маятника после

вблизи резонанса                                                 резонанса 

(рис.6). Из рисунка видим, что для частот меньше критической картина колебаний соответствует докритической области. Начиная с частот, больших критической частоты характер колебаний маятника изменяется. Наблюдается переход периодических колебаний к экспоненциальному росту функции  Вот почему в реальном опыте при переходе через критическую частоту колебания не затухают. При уменьшении круговой частоты вращения рамы от максимальной до критической картина аналогична той, которая была при росте частоты вращения рамы. На рис.7 эта ситуация показана: при подходе к критической частоте колебания усиливаются.

         Таким образом, полученные решения правильно описывают поведение маятника в опыте. Неустойчивое движение шара наступает при строгом совпадении угловой скорости рамы с собственной частотой только в случае, когда   При  наступление неустойчивости может произойти раньше критической частоты. На рис.8 показаны колебания при разных  значениях отношения  

Зададимся вопросом, к какому виду резонанса соответствует опыт, рекомендованный в [1]. Обратимся к уравнению (9).  При проведении опыта угловая частота вращения рамы плавно увеличивается.

Рис. 8. Картина колебаний маятника при различных

Тогда можно считать, что , а это значит, что и   Эти временные зависимости можно разложить в ряд Фурье и свести уравнение (9) к уравнению Хилла, которое описывает параметрические колебания. Принято считать, что параметрические колебания возникают при изменении во времени одгого из параметров колебательной системы. Особенно, если эти параметри меняются периодически. Однако в определенных случаях частота изменения параметра может совпадать с собственной частотой колебательной системы. При этом параметр меняется в такт собственным колебаниям, а это значит, что колебательная система способна к самовозбуждению (пример – качели). В этом случае при определенных значениях отношения собственной частоты колебаний к частоте возбуждения, даже малое возмущение может вызвать параметрические колебания. Это возможно и для положения равновесия. Необходимость такого возмущения, приводящего к изменению параметров системы, отличают параметрические колебания от вынужденных колебаний. Предположим, что к таким возмущениям можно отнести также периодическое изменение натяжения нити, возникающее в результате вращения точки подвеса.  

         Можно приближенно определить границы зон устойчивости колебаний [3]. Введем общепринятые  параметры  и параметр  Плоскость изменения этих параметров может быть разделена на зоны, соответствующие устойчивым и неустойчивым движениям. Эта плоскость называется диаграммой устойчивости Айнса. Диаграмма Айнса при  для  имеет  (рис.9).

На рис.9 указаны зоны устойчивости и неустойчивости. Стрелками показаны направления изменения частоты вращения рамы.

Рис. 9. Зоны устойчивости и неустойчивости колебаний маятника.

Список литературы

1.     Поваляев О.В. Лаборатория микро. Вращательное движение: Руководство по выполнению экспериментов / О. В. Поваляев. – М.: МГИУ, 2008. – 45с.