Исследовательская работа «Нестандартные способы умножения» (5 класс)

Школьная  научно-практическая конференция

Секция МАТЕМАТИКА

Нестандартные способы умножения

Кобзева София

  МКОУ Поваренская СОШ, 5 класс,

учитель:

Тропина Елена Геннадьевна

Контактный телефон  8**********

Оглавление.

1. Введение.

В  21 веке невозможно  представить себе жизнь человека, не производящего вычислений: это и продавцы, и бухгалтера, и обыкновенные школьники.

Изучение почти любого предмета в школе предполагает хорошие знания математики, и без нее нельзя освоить эти предметы. Две стихии господствуют в математике — числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и действий с ними.

            В этом учебном году мы работаем по учебнику «Математика 5» Н.Я.Виленкина, со страниц которого узнаём некоторые исторические сведения о числах. Нам захотелось больше узнать об истории возникновения математических действий. Сейчас, когда стремительно развивается вычислительная техника, многие не хотят утруждать себя счётом в уме. Поэтому мы решили показать не только то, что сам процесс выполнения действий может быть интересным, но и что, хорошо усвоив приёмы быстрого счёта, можно поспорить с ЭВМ.

Цель работы: изучить некоторые нестандартные приёмы умножения и показать, что их применение делает процесс вычисления рациональным и интересным и  для вычисления которыми, достаточно устного счета или применения карандаша, ручки и бумаги.

Гипотеза: Я предполагаю, что для  овладения искусством быстрого и безошибочного умножения многозначных чисел не нужно особое природное дарование, исключительные способности. Что  существуют способы умножения чисел, для которых достаточно наличие  карандаша и бумаги.

Для достижения своей цели я выдвинул следующие задачи: 

1) Познакомиться со старинными способами умножения, такими как: «Египетский способ умножения на пальцах», умножение  «по китайско-японски»

2)  Изучить способ умножения чисел «Круги». Проверить его для любых  чисел.

3)  Провести анкетирование по исследуемой теме.

Объект исследования: математическое действие умножение

Предмет исследования: способы умножения

Методы исследования:

- поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;

- исследовательский метод при определении способов умножения;

- практический метод при решении примеров;

-- анкетирование респондентов о знании нестандартных  способов умножения.

2. Основная часть.

2.1. Историческая справка

2.1.1.  «Чудо — счётчики»

Встречаются люди с необыкновенными способностями, которые по быстроте устных вычислений могут состязаться с ЭВМ. Их называют «чудо - счётчиками». И таких людей немало.

Рассказывают, что отец Гаусса, рассчитываясь со своими рабочими в конце недели, прибавлял оплату к каждому дневному заработку за сверхурочные часы. Однажды после того как Гаусс-отец закончил расчёты, следивший за операциями отца ребёнок, которому было 3 года, воскликнул: «Папа, подсчёт не верен! Вот такая должна быть сумма!» Вычисления повторили и с удивлением убедились, что мальчик указал правильную сумму.

            В России в начале XX века блистал своими умениями «волшебник вычислений» Роман Семенович Левитан, известный под псевдонимом Арраго. Уникальные способности стали проявляться у мальчика уже в раннем возрасте.

            За несколько секунд он возводил в квадрат и куб десятизначные числа, извлекал корни разной степени. Казалось, всё это он делал с необычайной легкостью. Но эта легкость была обманчива и требовала большой работы мозга.

В 2007 году Марк Вишня, которому тогда было 2,5 года, поразил всю страну своими интеллектуальными способностями. Юный участник шоу «Минута славы» без труда считал в уме многозначные числа, опережая при вычислениях родителей и жюри, которые пользовались калькуляторами. Уже в два года он освоил таблицу косинусов и синусов, а также некоторые логарифмы.

В институте кибернетики Украинской академии наук проводились соревнования ЭВМ и человека. В соревновании участвовал молодой счётчик-феномен Игорь Шелушков и ЗВМ «Мир». Машина за несколько секунд сделала множество сложных операций, но победителем оказался Игорь Шелушков.

            В Сиднейском университете в Индии тоже проходили соревнования человека и машины. Шакунтала Деви тоже опередила ЭВМ.

            Большинство таких людей обладает прекрасной памятью и имеют дарование. Но некоторые из них никакими особыми способностями к математике не обладают. Они знают секрет! А секрет этот в том, что они усвоили приёмы быстрого счёта, запомнили несколько специальных формул. Значит, и мы тоже можем, пользуясь этими приёмами, быстро и точно считать.

Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.

Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия.

Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления — приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».

И все эти приемы умножения — «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.

Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.

2.2. Старинные способы умножения

2.2.1. Египетский способ умножения на пальцах.

Этот счёт умножения  однозначных чисел от 6 до 9 (приложение 1). Например, надо 6 Х 9.  Для этого:

1. пронумеруем пальцы рук от 1 до 10 начиная с мизинца левой руки, как показано на рисунке 1.

                                                                                                                            Рис.1 

2. на одной руке вытянуть столько пальцев, на сколько первый множитель больше 5, остальные пальцы загнуть (т.е. 1-вытянуть,4-загнуть);

3. на второй руке сделать тоже самое для второго множителя(4-вытянуть, 1-загнуть);

4. в результате  взять столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках вместе (т.е. сумму вытянутых пальцев: 4+1=5):

5. число единиц в результате равно произведению загнутых пальцев (1х4=4).                      9x6=54.

     Этот способ умножения простой и может быть рекомендован для запоминания таблицы умножения от 6 до 9. (3)

2.2.2. Умножение  «по китайско-японски».

Как японцы умножают числа? Очень просто. Они всего лишь чертят линии и считают пересечения.

Умножим 21 х 13 (рисунок 2). Чертим линии: горизонтально  две и одну; вертикально одну и три. Отмечаем точки пересечения. Разбиваем на области и считаем точки в каждой области отдельно. Начиная с права против часовой стрелке получаем ответ: 273.

Рис.2

Умножим 12 х 15. Выполняем все аналогично. Получаем: 10, ноль пишем – один в уме, 7 + 1 = 8 и 1, всего 180

Далее, я попробовала умножить трехзначные числа, и у меня это получилось (рисунок 3).

Рис.3

2.2.3. Способ умножения «Круги».

Этот метод  умножения мы обнаружили в Интернете. Нас  заинтересовал этот способ умножения, потому что он похож на китайско-японский способ умножения.

В Интернете был указан только один пример умножения двузначного числа на двузначное (Приложение 2).

Я провела самостоятельное исследование и определила способ решения еще двух примеров:

1. Умножение трехзначного числа на двузначное (Приложение 3).
2. Умножение трехзначного числа с нулем на двузначное.

Умножим 103 х 12 = 1236

Последовательность работы.

1. Чертим круги, так как второй множитель 12  - двузначное число, то и два столбца. Первый множитель равен 103 – трехзначное число, значит у нас будет три ряда. По этому в первом ряду по одному кругу, во втором ряду круг чертим пунктирной линией - это воображаемая линия, точек на ней не существует. в третьем ряду по три круга (рисунок 4)                                                                     

                                                                                                                                     рис. 4

2. Второй множитель число 12, то круги, которые в первом столбце остаются целыми, а круги, которые во втором столбце делим на две части (рисунок 5).

3. Проводим прямые и считаем точки.                                    1

                                    6

                    Рис.4                                                                                      Рис.5

Ответ записывается следующим образом (рисунок. 5), смотрим снизу вверх количество точек 6-последняя цифра результата, количество точек во второй области 3, в третьей области - 2, в четвертой области - 1. Ответ. 1236.

Все примеры, приведенные для показа данного метода придуманы и решены мною самостоятельно.
2.2.4. Результаты исследования по теме «Нестандартные способы умножения».

Для того чтобы выяснить, знают ли нынешние ученики другие способы умножения кроме нашего современного, нами было проведено небольшое исследование. Для этого мы составили вопросы для анкеты, вот они:

Умеете ли вы умножать?

Знаете ли вы таблицу умножения?

Знаете ли вы, другие способы умножения кроме нашего современного?

Хотели бы вы узнать другие способы умножения?

Согласны ли вы, что «чудо-счетчиком может стать каждый?

После этого был проведён опрос учащихся, в котором принимали участие учащиеся 5-7 классов. Обработав полученный материал, были составлены следующие результаты. ( Приложение №4)

В результате исследования выяснилось, что все опрошенные умеют умножать и делить. А вот таблицу умножения знают не все на «отлично»:

5 класс-93%;

6 класс – 99%;

7 класс- 96%;

Также выяснилось, что о других способах умножения мало кто слышал. И есть желающие познакомиться с ними. Многие ребята не согласны, что «чудо-счетчиком может стать каждый.

3. Заключение

В истории математики есть много интересных событий и открытий, к сожалению не вся эта информация доходит до нас, современных учеников.

При выполнении исследовательской работы мне понадобились не только те знания, которые имеются у меня, но и необходимая работа с дополнительной литературой.

            В ходе роботы мы познакомились с нетрадиционными способами умножения, такими как «Египетский способ умножения», с китайско-японскими способами.

Ранее признавалось, что для овладения искусством быстрого и безошибочного умножения многозначных чисел нужно особое природное дарование, исключительные способности; рядовым людям премудрость эта недоступна.

Своей работой мы доказали, что наша гипотеза верна, не нужно обладать сверхъестественными способностями, чтобы уметь пользоваться старинными способами умножения.   Есть способы умножения чисел, для которых достаточно наличие  карандаша и бумаги.

А ещё мы научились подбирать материал, обрабатывать его, то есть выделять главное и систематизировать.

4. Список литературы

1. Глейзер, Г. И.  История  математики  в  школе  ⁄  Г. И. Глейзер ⁄⁄  История  математики  в  школе:  пособие  для  учителей  ⁄  под редакцией             В. Н. Молодшего. – М.: Просвещение, 1964. – 376 с.

2. Перельман Я. И. Занимательная арифметика: Загадки и диковинки в мире чисел. – М.: Издательство Русанова, 1994. – С. 142-144.

3. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика /Глав. ред. М. Д. Аксенова. – М.: Аванта+, 2003. – С. 130-131. 

Приложение 1.

Египетский способ умножения на пальцах.

Описание алгоритма умножения на пальцах:

1. умножать можно только  однозначные числа от 6 до 9

2. пронумеруем  пальцы  рук от 1 до 10 начиная с мизинца левой руки, как показано на рисунке 1

                                                                            Рис.1

3. на одной руке вытянуть столько пальцев, на сколько первый множитель больше 5, остальные пальцы загнуть

4. на второй руке сделать тоже самое для второго множителя

5. в результате  взять столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках вместе (т.е. сумму вытянутых пальцев)

6. число единиц в результате равно произведению загнутых пальцев

Например:    Найдем произведение двух чисел 7 и 8

1. на левой руке вытягиваем 2 пальца,                 2. на правой руке вытянем 3 пальца,

 потому что 7 больше 5 на 2 (рисунок 2)             потому что 8 больше 5 на 3 (рисунок 3)

         (рисунок 2)                                                                                  Рис.3

3. считаем десятки на вытянутых

пальцах

4.  считаем единицы: количество согнутых пальцев на левой руке умножим на количество пальцев на правой руке

5. получаем результат: 7х8=56 (рисунок 4)

                                                                                                        Рис.4

Приложение 2.

Умножение двузначных чисел.

12 х 34 = 408

Последовательность работы.

1. Чертим круги, так как второй множитель двузначное число, то и два столбца.

В первом ряду по одному кругу, во втором ряду по два круга (рисунок 1).

                                       Рис. 1

2. Второй множитель число 34, то круги, которые в первом столбце делим на три части, а круги, которые во втором столбце делим на четыре части (рисунок 2).

                                       Рис. 2

3. Проводим прямые и считаем точки (рисунок 3).

                             3                        10

                                                                                                       12 х 34 = 408

                                                         8

                                     Рис. 3

Ответ записывается следующим образом, смотрим снизу вверх количество точек 8, количество точек во второй области 10, 0 – последняя цифра результата, один в уме, количество точек в третьей области 3 и +1, того 4. Ответ.  408.

Приложение 3.

Умножение трехзначного числа на двузначное.

123 х 21 = 2583

1. Чертим круги, так как второй множитель двузначное число, то и два столбца. Первый множитель равен 123. По этому в первом ряду по одному кругу, во втором ряду по два круга, в третьем ряду по три круга (рисунок 1)

                                                                 Рис.1                                                       

2. Второй множитель число 21, то круги, которые в первом столбце делим на две части, а круги, которые во втором столбце так и остаются (рисунок 2).

                                                                 Рис.2                                                       

3. Проводим прямые и считаем точки (рисунок 3).

                                                        2

                                                                                                       8

                                                                                                         3

Ответ записывается следующим образом (рис. 10), смотрим снизу вверх количество точек 3-последняя цифра результата, количество точек во второй области 8, в третьей области 5, в четвертой области 2. Ответ. 2583.

Приложение 4

РЕЗУЛЬТАТЫ АНКЕТИРОВАНИЯ

ПО ВЫЯВЛЕНИЮ ИНТЕРЕСА

К СТАРИННЫМ СПОСОБАМ УМНОЖЕНИЯ.

Была проведена анкета по выявлению сохранения интереса к старинным способам умножения. Было опрошено 37 респондентов, среди  учащихся 5-7 классов МКОУ Поваренская СОШ. Каждому из них было задано 4 вопроса. Затем были построены диаграммы сравнения в процентном отношении между ответами учащихся разных классов.

Первый вопрос: Умеете ли вы умножать?

Второй вопрос: Знаете ли вы таблицу умножения?

Третий  вопрос: Знаете ли вы, другие способы умножения кроме нашего современного?

Четвертый  вопрос: Хотели бы вы узнать другие способы умножения?

Пятый   вопрос: Согласны ли вы, что «чудо-счетчиком может стать каждый?

На основании анкетирования было выявлено, что все опрошенные умеют умножать. А вот таблицу умножения знают не все на «отлично».

Также выяснилось, что о старинных способах умножения большинство ребят  не знают. И есть желающие познакомиться с ними.

Большинство ребят не верят, что любой из них может  научиться очень быстро считать в уме.