Конспект по физике на тему "идеальные газы"

ИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ ФЕРМИ – ДИРАКА И БОЗЕ – ЭЙНШТЕЙНА

Распределение Ферми – Дирака

Распределение Больцмана для идеального газа было выведено в предположении, что средние числа заполнения различных квантовых состояний малы. Если температура газа достаточно низка, то средние числа заполнения n_k уже не являются малыми и статистика Больцмана становится неприменимой. Поэтому возникает необходимость в новой статистике, в которой средние числа заполнения не предполагались бы малыми. Эта новая квантовая статистика оказывается различной для частиц с целым и полуцелым спином. Для системы одинаковых частиц, имеющих полуцелый спин, справедлив так называемый принцып Паули: в каждом квантовом состоянии может находиться не больше одной частицы с полуцелым спином. Другими словами, число заполнения любого квантового состояния n_k может принимать только два значения:

n_k = 0,1.

(1)

Cтатистика, основанная на принципе Паули называется статистикой Ферми – Дирака или просто статистикой Ферми.

Выведем распределение Ферми. Рассмотрим систему невзаимодействующих одинаковых частиц, которую будем описывать в терминах одночастичных состояний. Как и ранее будем обозначать посредством ε _k энергию одной частицы в k-ом квантовом состоянии и посредством n_k число частиц в этом состоянии. Тогда состояние всей системы определяется заданием чисел заполнения n_k различных квантовых состояний.

Обменное взаимодействие, связанное с тождественностью и неразличимостью частиц, существует для частиц, находящихся в одном и том же квантовом состоянии. Для частиц в различных квантовых состояниях оно отсутствует. Поэтому к совокупности частиц, находящихся в данном квантовом состоянии, можно применить распределение Гиббса, т.е. поставить вопрос, какова вероятность того, что в данном квантовом состоянии k находится n_k частиц. Поскольку число частиц n_k может быть различным, то следует воспользоваться большим каноническим распределением, определяемым формулой (2.43). Полагая в ней

N = n_k,              E_nN = ε _kn_k,              Ω = Ω _k,

(2)

получим вероятность того, что в k-ом квантовом состоянии находится n_k частиц:

где Ω _k определяется условием нормировки

Поскольку для частиц с полуцелым спином n_k принимает только два значения – 0 и 1, то это условие дает

откуда В результате выражение для принимает вид

Среднее число частиц в k-ом квантовом состоянии

Деля числитель и знаменатель дроби на экспоненту, получаем

Это и есть функция Ферми, которая описывает распределение частиц с полуцелым спином по различным квантовым состояниям. Величина n_k равнв вероятности того, что состояние k заполнено.

В предельном случае высоких температур, когда

Функция Ферми переходит в функцию распределения Больцмана:

Химический потенциал μ определяется из условия, что полное число частиц в газе равно заданному числу N:

Это соотношение определяет химпотенциал μ как функцию T и N.

Термодинамический потенциал Ω для всего газа получается суммированием Ω _k по всем квантовым состояниям:

Заметим, что распределение Ферми можно получить из выражения для Ω _k, воспользовавшись общим соотношением

которое в рассматриваемом случае принимает вид

Если в (13) подставить

то получается распределение Ферми (7).

Распределение Бозе – Эйнштейна

Перейдем теперь к изучению статистики, которой подчиняется система одинаковых частиц с целым спином. Эта квантовая статистика называется статистикой Бозе – Эйнштейна или просто статистикой Бозе. Из квантовой механики известно, что частицы с целым спином не подчиняются принципу Паули и в данном квантовом состоянии k может находиться любое число одинаковых частиц, т.е. для частиц с целым спином числа заполнения n_k могут принимать любые целые значения от 0 до ∞.

Вывод распределения Бозе аналогичен выводу распределения Ферми. Единственное отличие – число заполнения n_k пробегает теперь все целые значения от 0 до ∞. Таким образом, вероятность нахождения n_k частиц в состоянии k определяется тем же выражением (3) и тем же условием нормировки (4), что и в случае Ферми-газа, однако суммирование производится теперь по всем n_k от 0 до ∞. При этом условие нормировки, определяющее потенциал Ω _k, принимает вид

Вводя обозначение

перепишем (15) в виде Эта бесконечная геометрическая прогрессия сходится только при условии x<1, т.е. при условии μ –ε _k<0. Поскольку это условие должно выполняться при всех ε _k, в том числе и при ε _k = 0, то из него следует, что μ ≤ 0.

(16)

Таким образом, в статистике Бозе химпотенциал не может быть положительным. Для сравнения отметим, что в статистике Ферми μ может быть как отрицательным, так и положительным.

При выполнении условия (16) геометрическая прогрессия в (15) сходится. Ее сумма равна , и условие нормировки принимает вид

Отсюда

Дифференцируя Ω _k по μ, находим

Деля теперь числитель и знаменатель дроби на kT и на экспоненту, получаем

Это и есть функция распределения Бозе, которая описывает распределение одинаковых частиц с целым спином по различным квантовым состояниям.

В области высоких температур (18) функция Бозе, как и функция Ферми переходит в функцию распределения Больцмана.

Химический потенциал определяется соотношением

Термодинамический потенциал Ω газа в целом получается суммированием Ω _k по различным состояниям k:

Ферми- и Бозе-газы элементарных частиц

Рассмотрим идеальный газ, состоящий из элементарных частиц или частиц, которые в данных условиях можно считать элементарными. Это может быть газ электронов, фотонов, фононов или других элементарных возбуждений в кристаллах. К обычным атомным или молекулярным газам распределения Ферми и Бозе вообще не приходится применять, так как эти газы с хорошей точностью описываются распределением Больцмана.

Поскольку распределения Ферми и Бозе формально отличаются только знаком перед единицей в знаменателе, то формулы, которые будут получены, также будут отличаться только знаком одного члена. В дальнейшем верхний знак будет относиться к статистике Ферми, а нижний – к статистике Бозе.

В отсутствие внешнего поля энергия элементарной частицы сводится к кинетической энергии ее поступательного движения, которое всегда квазиклассично. Поэтому

и мы можем перейти от распределения по квантовым состояниям к распределению по фазовому пространству частицы. Чтобы получить число частиц в элементе фазового объема dp_xdp_ydp_zdV, нужно умножить функцию распределения на величину где g = 2s+1, s – спин частицы, g – степень вырождения, равная числу возможных проекций спина на некоторое заданное направление. Если частицы не имеют спина, s = 0, то g = 1. Для электронов s = 1/2 и g = 2.

Таким образом, число частиц в элементе фазового объема

Это выражение не зависит от координат. Поэтому интегрирование его по dV сводится к умножению на V. В результате мы получаем распределение частиц по импульсам

Эта формула заменяет классическое распределение Максвелла, которое может быть получено из нее в результате пренебрежения единицей в знаменателе по сравнению с экспонентой .

Энергия частицы ε зависит только от квадрата ее импульса p и не зависит от направления p. Поэтому мы можем перейти к сферическим координатам в пространстве импульсов и проинтегрировать распределение (22) по всем возможным направлениям вектора p. В результате получаем распределение по абсолютной величине импульса p:

Если учесть, что и pdp/m = dε, то из (23) получим распределение по энергии частицы

где

Интегрируя (24) по ε получаем полное число частиц

Сравним эту формулу с условием нормировки распределений Ферми и Бозе

Видно, что переход от суммирования по квантовым состояниям к интегрированию по энергии частицы ε производится с помощью замены

Это соотношение имеет место для любой функции f, зависящей только от энергии частицы ε _k. Термодинамический потенциал газа Ω также представляет сумму членов, зависящих от ε _k. Поэтому в выражении для Ω можно перейти от суммирования по k к интегрированию по ε :

Преобразуем этот интеграл. Имеем В результате выражение для потенциала Ω можно представить в форме

Вычислим теперь полную энергию газа E. Для этого умножим ε на dN_ε и проинтегрируем по ε от 0 до ∞ :

Сравнение (29) с (30) показывает, что

и, следовательно,

Это – уравнение состояния Ферми- и Бозе-газов.

В предельном случае больцмановского газа и полученное уравнение состояния переходит в уравнение Клапейрона.

При низких температурах свойства Ферми- и Бозе-газов отличаются от свойств больцмановского газа. Отступление в их поведении от классического называется вырождением. Это понятие вырождения не следует смешивать с вырождением энергетических уровней в квантовой механике.

С помощью общих формул для энергии газа E и числа частиц N можно получить уравнение состояния в области температур, где свойства квантового газа еще мало отличаются от свойств классического газа, т.е. где вырождение является слабым. В этом случае химпотенциал μ нужно считать отрицательным и большим по абсолютной величине по сравнению с kT, так что . Если разложить подынтегральные функции в формулах для E и N по степеням малого параметра , ограничиться двумя первыми членами разложения и выразить этот параметр через концентрацию газа из формулы для N, то выражение для E можно записать в форме

Единица в квадратных скобках соответствует энергии газа в классическом пределе, а второе слагаемое представляет поправку, обусловленную неразличимостью тождественных частиц. Эта поправка является малой, и, следовательно, вырождение является слабым при условии При выполнении этого неравенства химический потенциал оказывается большой отрицательной величиной и свойства газа можно приближенно описывать распределением Больцмана. Вырождение, обусловленное обменным взаимодействием, приводит к поправкам, которые имеют разные знаки для Ферми- и Бозе-газов. Энергия и, следовательно, давление Ферми-газа увеличиваются по сравнению с их значениями в классическом пределе. Другими словами, квантовомеханические обменные эффекты в Ферми-газе приводят к появлению "отталкивания" между частицами (это является следствием принципа Паули: невозможность нахождения двух частиц в одном состоянии эквивалентна отталкиванию). В статистике Бозе значения энергии и давления отклоняются в обратную сторону – в сторону уменьшения по сравнению с классическими значениями. В этом случае между частицами как бы появляется "притяжение".

Вырожденный электронный газ

Свойства вырожденного Ферми-газа резко отличаются от свойств больцмановского газа. Это отличие особенно проявляется в условиях сильного вырожде6ия, которое наступает при низких температурах. Под низкими в данном случае следует понимать такие, при которых энергия теплового движения kT много меньше химического потенциала μ. С обычной точки зрения это могут быть весьма высокие температуры.

Наиболее важным примером Ферми-газа является электронный газ. Спин электрона s = 1/2, так что величина g = 2. Начнем с рассмотрения электронного газа при абсолютном нуле температуры. В этом случае говорят, что электронный газ полностью вырожден. В полностью вырожденном газе электроны распределяются по различным квантовым состояниям таким образом, чтобы полная энергия газа имела наименьшее возможное значение. Поскольку в каждом квантовом состоянии может находиться не больше одного электрона, то электроны занимают все состояния с энергиями от наименьшей (нулевой) до некоторой наибольшей, величина которой определяется концентрацией электронного газа. Число квантовых состояний поступательного движения электрона с абсолютной величиной импульса в интервале от p до p+dp равно

Умножая это число на g = 2, получаем полное число квантовых состояний с рассматриваемыми импульсами:

Число электронов, заполняющих все состояния с импульсами от нулевого до некоторого p_F, равно N, т.е.

Отсюда находим, что граничный импульс Ферми

Соответствующая ему граничная энергия Ферми есть

Эта энергия имеет простой физический смысл. Для его выяснения рассмотрим функцию распределения Ферми

в пределе T→ 0. Очевидно, что при ε <μ экспонента в знаменателе обращается в нуль, так что , т.е. все состояния с энергиями, меньшими μ, оказываются заполненными. Наоборот, при ε >μ экспонента обращается в бесконечность, а – в нуль, Так что эти состояния оказываются полностью свободными. Таким образом, значение химпотенциала μ при T = 0 и представляет собой граничную энергию электронов, т.е.

μ | _T = 0 = ε _F.

(36)

При этом функция Ферми имеет вид ступеньки единичной высоты:

Рис. 1.

Не следует смешивать энергию Ферми с уровнем Ферми. Уровнем Ферми называется химический потенциал электронов. Он совпадает с энергией Ферми только в случае полностью вырожденного электронного газа при T = 0.

Полная энергия электронного газа получается в результате умножения p²/2m на число состояний (32) и интегрирования по p от 0 до p_F:

или, подставляя сюда значение p_F,

Подставляя это выражение в уравнение состояния , находим давление полностью вырожденного электронного газа:

Таким образом, при абсолютном нуле температуры давление электронного газа оказывается пропорциональным его плотности n в степени 5/3.

Используя определение энергии Ферми ε _F, выражение для полной энергии газа E можно записать также в форме

Полученные формулы применимы не только при T = 0, но и при конечных достаточно низких температурах. Они приближенно справедливы, если энергия kT мала по сравнению с граничной энергией Ферми ε _F:

Это – условие сильного вырождения. Как и следовало ожидать, оно противоположно условию применимости статистики Больцмана. Температура T_в = ε _F/k называется температурой вырождения. Область T<T_в соответствует сильному вырождению Ферми-газа, а область T>> T_в – классическому больцмановскому пределу.

При абсолютном нуле температуры функция Ферми имеет вид ступеньки (см. рис. 3). При температурах, малых по сравнению с температурой вырождения функция Ферми заметно отличается от ступеньки только в узком интервале значений энергии, близких к граничной энергии ε _F. Тепловое движение электронов приводит к "размытию" ступеньки (рис. 3).

Рис. 2.

Ширина этой области размытия – порядка kT. Полученное выше выражение для E при T = 0, даваемое формулой (39), представляет первый член разложения полной энергии Ферми-газа по степеням малого параметра kT/ε _F. Порядок величины следующего члена разложения можно определить следующим образом. При конечной температере часть электронов, находившихся в состояниях с энергиями вблизи края ступеньки, переходит в состояния с ε >ε _F. Относительная доля этих электронов

так что

Соответствующее увеличение энергии Ферми-газа

Таким образом, энергия Ферми-газа при температуре T есть

где
Выражение для можно записать в форме здесь a – численный коэффициент. Точный расчет дает для a значение Таким образом, энергия электронного Ферми-газа есть

Теплоемкость Ферми-газа при постоянном объеме равна

а молярная теплоемкость

Таким образом, теплоемкость вырожденного Ферми-газа меньше теплоемкости классического газа в меру малости отношения kT/ε _F. Это отличие играет очень важную роль для термодинамических свойств металлов. Дело в том, что температура вырождения электронов проводимости в металлах T_в = ε _F/k имеет величину порядка нескольких десятков тысяч градусов, так что при обычных температурах теплоемкость электронного газа оказывается примерно в сто раз меньше теплоемкости атомов. Понимание этого обстоятельства устранило одно из важнейших противоречий, с которыми столкнулась статистическая физика в конце 19-го и начале 20-го веков.

Электронная теория металлов была развита во второй половине 19-го века. Она исходила из предположения, что каждый атом одновалентного металла отдает свой валентный электрон, который может свободно перемещаться по всему кристаллу. Это представление оказалось весьма плодотворным. Оно позволило объяснить высокую электропроводность и теплопроводность металлов и вывести хорошо подтвержденный на опыте закон Видемана – Франца. Таким образом, существование свободных электронов в металлах было установлено экспериментально. Однако с точки зрения классической статистики электроны проводимости должны вести себя подобно одноатомному газу, вследствие чего теплоемкость металлов должна была бы быть значительно больше теплоемкости диэлектриков. Однако это противоречило эксперименту. Таким образом, возникло необъяснимое противоречие между опытом и самыми общими положениями классической статистики. Некоторые физики считали это противоречие настолько фундаментальным, что предлагали вообще отказаться от электронной теории металлов, несмотря на все ее успехи. Противоречие было устранено в 1928 году Зоммерфельдом, который показал, что если к электронному газу в металлах применить статистику Ферми, основанную на принципе Паули, то теплоемкость электронного газа оказывается пренебрежимо малой по сравнению с теплоемкостью атомов.

Черное излучение

Рассмотрим свойства электромагнитного излучения, находящегося в состоянии теплового равновесия. Такое равновесное излучение, называемое черным, является важнейшим примером Бозе-газа.

Черное излучение можно рассматривать как газ, состоящий из электромагнитных квантов – фотонов. Энергия фотона ε связана с его частотой ω соотношением

ε = ħ ω ,

(46)

а его волновой вектор

где c - скорость света, а n - единичный вектор в направлении распространения фотона.

Фотоны не взаимодействуют друг с другом, так что фотонный газ является идеальным. Момент импульса фотона является целочисленным. Поэтому газ фотонов подчиняется статистике Бозе. Если излучение находится не в вакууме, а в материальной среде, то условие идеальности газа требует также малости взаимодействия излучения с веществом. Это условие обычно выполняется в газах во всем спектре частот, за исключением частот, близких к линиям поглощения вещества.

Наличие некоторого количества вещества является необходимым для установления равновесия в излучении, поскольку взаимодействие между самими фотонами полностью отсутствует. Равновесие устанавливается в результате поглощения и испускания фотонов атомами вещества. Это приводит к очень важному свойству фотонного газа: число частиц N является переменной величиной, а не постоянной, как в обычном газе. Поэтому N должно само определяться из условий теплового равновесия. В состоянии равновесия должен быть минимален соответствующий термодинамический потенциал. Если температура T и объем V постоянны, то минимум имеет свободная энергия F, т.е. дифференциал свободной энергии

dF = –SdT–PdV+μ dN = 0.

Дифференциалы T и V равны нулю, но dN≠ 0. Отсюда следует, что dF может быть равен нулю, только если

μ = 0.

(48)

Таким образом, химический потенциал газа фотонов равен нулю.

Распределение фотонов по различным квантовым состояниям с энергиями ε _k = ħ cq определяется распределением Бозе (28) с μ = 0:

Это – распределение Планка.

Число состояний фотона с компонентами волнового вектора q в интервалах dq_x, dq_y, dq_z равно

а число состояний фотона с абсолютной величиной волнового вектора между k и k+dk – Умножая это число на 2 (число независимых направлений поляризации фотона) и переходя от волнового вектора к частоте ω, получим число квантовых состояний фотона в интервале частот между ω и ω +dω :

Умножая теперь это число на распределение Планка, получим число равновесных фотонов в интервале частот dω :

Умножение этого числа на энергию фотона ħ ω дает энергию излучения в интервале частот между ω и ω +dω :

Это – так называемая формула Планка для спектрального распределения энергии черного излучения.

В области низких частот, где ħ ω << kT, экспоненту в знаменателе можно разложить по степенямотношения ħ ω /kT и ограничиться линейным членом разложения. При этом формула Планка переходит в формулу Рэлея – Джинса:

Эта формула не содержит квантовой постоянной ħ и может быть получена в результате умножения kT на число состояний (50). В этом смысле она соответствует классической статистике, в которой согласно закону равнораспределения на каждую колебательную степень свободы приходится энергия kT.

В обратном предельном случае высоких частот, где ħ ω >> kT, формула Планка переходит в формулу Вина:

Если поделить энергию dE_ω на интервал частот dω, то получается энергия излучения, приходящаяся на единичный интервал частот. Это величина называется плотностью спектрального распределения. Из формулы Планка (52) следует, что

Плотность спектрального распределения возрастает пропорционально ω ² при низкиз частотах ħ ω << kT и экспоненциально уменьшается пропорционально при высоких частотах ħ ω >> kT. График функции

изображен на рис. 4:

Рис. 3.

Эта функция имеет максимум при x = x_m≡ 2.8. Это означает, что плотность спектрального распределения имеет максимум при частоте ω _m, определяемой соотношением

ω _m = 2.8kT.

(56)

Таким образом, при повышении температуры положение максимума распределения смещается в сторону высоких частот пропорционально T. Это правило называется законом смещения Вина.

Вычислим термодинамические функции черного излучения. Поскольку свободная энергия F связана с термодинамическим потенциалом Ω соотношением

Ω = F–μ N,

(57)

а химический потенциал черного излучения равен нулю, то Ω и F совпадают: F = Ω. Термодинамический потенциал Ω для Бозе-газа определяется общей формулой (20). Полагая в ней μ = 0 и переходя от суммирования по дискретным квантовым состояниям к интегрированию по частоте, что достигается умножением на число состояний в интервале dω (50), получаем

Введем переменную интегрирования x = ħ ω /kT. Тогда формула (58) принимает вид

Последний интеграл представляет собой число, равное –π ⁴/45. С учетом этого получаем

Энтропия черного излучения

т.е. пропорциональна кубу абсолютной температуры. Внутренняя энергия излучения

пропорциональна T⁴. Это – закон Больцмана.

Уравнение состояния излучения получается из соотношений Ω = –PV и E = –3Ω. Оно имеет вид

Последнее отличается от общего уравнения состояния Ферми- и Бозе-газов

(уравнение (31)). Это кажущееся противоречие объясняется тем, что уравнение (31) было получено для газов, состоящих из частиц с массой покоя m, энергия которых пропорциональна квадрату импульса: ε = p²/2m. Фотоны же не имеют массы покоя, и их энергия зависит от импульса линейно, а не квадратично: ε = pc. Это и является причиной указанного выше отличия.

Теплоемкость твердых тел

Другим объектом, к которому можно применять статистические методы вычисления термодинамических величин, является твердое тело. В твердом теле атомы совершают малые колебания вокруг узлов кристаллической решетки – своих положений равновесия. При высоких температурах колебания различных атомов практически не зависят друг от друга. Поэтому согласно классическому закону равнораспределения каждый атом дает во внутреннюю энергию вклад 3kT, и молярная теплоемкость кристалла

C = 3R.

(63)

Это – закон Дюлонга и Пти.

При низких температурах между колебаниями соседних атомов имеются сильные корреляции. Смещение одного атома вызывает смещения соседних, и по кристаллу распространяется звуковая волна. Как и колебания электромагнитного поля, колебания кристаллической решетки можно проквантовать. Кванты колебаний решетки называются фононами. Фононы подразделяются на акустические и оптические. При низких температурах возбуждаются только акустические фононы. Энергия акустического фонана с волновым вектором q есть ε _q = ħ sq, где s - скорость звука. Таким образом, акустические фононы похожи на фотоны. Отличие состоит в том, что спектр фотонов не ограничен – фотоны могут иметь любые значения волнового вектора и частоты. Спектр же фононов ограничен сверху. В курсе теории твердого тела будет показано, что периодичность кристаллической решетки приводит к тому, что значения волнового вектора фононов лежат в интервале от 0 до π /a, где a - постоянная решетки. В соответствии с этим максимальная частота фононов ω _max  = π s/a, а их энергия

Соответствующая температура

называется температурой Дебая. Обычно значения Θ лежат в интервале от 100 до 1000 K.

При низких температурах T<< Θ все термодинамические величины кристаллической решетки имеют тот же вид, что и в случае черного излучения. Отличие заключается только в замене c→ s и в дополнительном множителе 3/2. Последний связан с тем, что фотоны имеют две различных независимых поляризации (электромагнитные волны поперечны), а фононы – 3 различных поляризации. Так, внутренняя энергия колебаний решетки

Это выражение можно представить в форме

где

представляет собой число элементарных ячеек в кристалле.

Соответствующая теплоемкость

Вырожденный Бозе-газ. Конденсация Бозе – Эйнштейна

Рассмотрим свойства Бозе-газа при низких температурах, когда эффекты вырождения играют важную роль. Это видно уже из того, что у Бозе-газа состоянием наименьшей энергии, в котором газ находится при T = 0, должно быть состояние с E = 0, когда все частицы находятся в квантовом состоянии с ε _k = 0. Такое состояние возможно благодаря тому, что в статистике Бозе в данном квантовом состоянии может находиться любое число частиц.

Полное число частиц в Бозе-газе определяется формулой

Если перейти от суммирования по дискретным квантовым состояниям k к интегрированию по непрерывно изменяющейся энергии частицы ε, то получается уравнение

где G дается формулой (25). Если при заданной концентрации n = N/V понижать температуру T, то химический потенциал μ, определяемый соотношением (70), будет увеличиваться, т.е. будучи отрицательным, уменьшаться по абсолютной величине. Это следует из того, что интеграл должен оставаться постоянным, а подынтегральная функция в нем уменьшается при уменьшении T, если μ = const. Поэтому химпотенциал достигает своего наибольшего значения μ = 0 при некоторой температуре T = T₀, которая определяется уравнением, получающимся из (70) при μ = 0 и T = T₀, т.е. уравнением

Интеграл равен 2.3, так что

откуда

При T<T₀ уравнение (70) для μ не имеет отрицательных решений, между тем как в статистике Бозе химический потенциал μ не может быть положительным ни при какой температуре. Это кажущееся противоречие связано с тем, что в данном случае не законен переход от суммирования по дискретным квантовым состояниям к интегрированию по энергии частицы ε. Дело в том, что при этом переходе первый член суммы с ε _k = 0 умножается на и не дает вклада в интеграл. Между тем при понижении температуры Бозе-газа частицы должны скапливаться именно в этом состоянии с наименьшей энергией, пока при T = 0 они не перейдут туда все. Математически это проявляется в том, что в сумме (69) при переходе к пределу μ → 0 сумма всех членов ряда, за исключением первого, стремится к интегралу (70), а первый член с ε _k = 0 стремится к бесконечности. Устремляя μ не к нулю, а к некоторой малой конечной величине, можно придать первому члену суммы требуемое конечное значение.

Итак, при T<T₀ дело обстоит следующим образом. Частицы с ε >0 распределены по формуле, соответствующей распределению Бозе при μ = 0:

Полное число этих частиц

Это выражение переходит в выражение для полного числа частиц N, если T→ T₀. Отсюда следует, что

Остальные частицы находятся в квантовом состоянии с ε _k = 0. Их число

Эти частицы не дают вклада ни в энергию Бозе-газа, ни в давление, ни в энтропию. Величины E, P и S определяются частицами с ε >0. Из выражения для N₀ видно, что число покоящихся частиц стремится к нулю при T→ T₀ и стремится к N при T→ 0. Таким образом, при T→ 0 все частицы скапливаются на основном уровне с ε _k = 0. Это явление называется конденсацией Бозе – Эйнштейна.

Подчеркнем, что в данном случае речь идет не об обычной конденсации, т.е. переходе газа в жидкость, а о коденсации в импульсном пространстве, при которой накапливаются покоящиеся частицы .