Конспект урока по информатике на тему "Вероятностный подход к определению количества информации"

Тема Урока: "Вероятностный подход к определению количества информации"

Цели урока:

·         Обучающая – формирование у учащихся понимания вероятности, равновероятных событий, не равновероятных событий; вероятностного подхода к измерению информации;

·         Развивающая – развивать умение качественно оценивать поставленную задачу для правильного выбора способа решения задачи; развивать самостоятельность; логическое мышления учащихся.

·         Воспитательная – формировать интерес к предмету, навыки контроля и самоконтроля; чувство ответственности, деловые качества учащихся.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Оборудование: Компьютер,  операционная система Windows 7, проектор.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Объяснение нового материала (сопровождается презентацией):

Введение понятия “количество информации”

- Можно ли измерить количество вещества и как именно?

- Можно ли определить количество энергии?

- Можно ли измерить количество информации и как это сделать?

Оказывается, то информацию также можно измерять и находить ее количество. Об этом мы и поговорим с вами на уроке.

Существуют два подхода к измерению информации. Один из них называется содержательный или вероятностный.

Количество информации, заключенное в сообщении, определяется объемом знаний, который несет это сообщение человеку. Этот подход субъективный (зависит от конкретного человека). Разные люди, получившие одно и то же сообщение, по-разному оценивают количество информации, содержащееся в нем. Это происходит от того, что знания людей о событиях, о которых идет речь в сообщении, различны

Пример. Первоклассник изучает таблицу умножения. Учитель сообщает ему, что 2 х 2 = 4. Первоклассник этого раньше не знал, поэтому такое сообщение содержит для него информацию. А для ученика 5 класса таблица умножения хорошо известна, поэтому из такого сообщения информацию он не получит.

Рассмотрим примеры.

Допустим, вы бросаете монету, загадывая, что выпадет: орел или решка? Есть всего два варианта возможного результата бросания монеты. Причем, ни один из этих вариантов не имеет преимущества перед другим. В таком случае говорят, что они равновероятны.

Так вот, в этом случае перед подбрасыванием монеты неопределенность знаний о результате равна двум. Игральный кубик с шестью гранями может с равной вероятностью упасть на любую из них. Значит, неопределенность знаний о результате бросания кубика равна шести.

Следовательно, можно сказать так: неопределенность знаний - это количество возможных результатов события (бросания монеты, кубика; вытаскивания жребия и пр.)

Пример:

На экзамен приготовлено 20 билетов.

·         Чему равно количество событий, которые могут произойти при вытягивании билета? (20)

·         Равновероятны эти события или нет? (да)

·         Чему равна неопределенность знаний ученика перед тем как он вытянет билет? (20)

·         Во сколько раз уменьшится неопределенность знания после того как ученик билет вытянул? (20)

·         Зависит ли этот показатель от номера вытянутого билета? (нет)

Вернемся к примеру с монетой. Предположим, что у монеты обе стороны “орел”.

·         Существует ли неопределенность знаний перед броском в этом случае? Почему? (нет, заранее знаем, что выпадет “орел”)

·         Получите вы новую информацию после броска? (нет, ответ знаем заранее)

·         Будет ли информативным сообщение о результате броска? (не будет, поскольку оно не принесло новых и полезных знаний)

·         Чему равно количество информации в этом случае? (нулю, так как данное сообщение является неинформативным)

Информация при данном подходе рассматривается как знание для человека.

За единицу измерения информации принимается уменьшение неопределенности знаний человека в 2 раза.

Эта единица называется битом и является минимальной единицей информации.

Игра “Угадай число”.

Один из учеников загадывает число из интервала от 1 до 16. Учитель задает вопросы, ученик на них отвечает, и весь класс вместе с учителем заполняют следующую таблицу:

Вопрос	Ответ	Неопределенность знаний	Полученное количество информации
Число больше 8?	Да	8	1 бит
Число больше 12?	Да	4	1 бит
Число больше 14?	Нет	2	1 бит
Число 13?	Да	1	1 бит
			4 бита

Работа в парах:

Один из учеников загадывает число в интервале от 1 до 8, второй – отгадывает это число, пользуясь приведенной выше стратегией игры.

Учитель сам объявляет количество полученных бит информации – 3, а затем спрашивает у учащихся их результат.

Существует формула, которая связывает между собой количество возможных событий и количество информации.

N = 2^I, где

N — количество возможных вариантов,

I —  количество информации.

Если из этой формулы выразить количество информации, то получится I= log₂N.

Неравновероятные события.

В жизни же мы сталкиваемся не только с равновероятными событиями, но и событиями, которые имеют разную вероятность реализации.

Например:

1. Когда сообщают прогноз погоды, то сведения о том, что будет дождь, более вероятно летом, а сообщение о снеге — зимой.

2. Если вы — лучший ученик в классе, то вероятность сообщения о том, что за контрольную работу вы получили 5, больше, чем вероятность получения двойки.

3. Если в мешке лежат 20 белых шаров и 5 черных, то вероятность достать черный шар меньше, чем вероятность вытаскивания белого.

Как вычислить количество информации в таком сообщении?

Для этого необходимо использовать следующую формулу:

I = , где р - вероятность отдельного события.

Это формула Хартли.

3. Решение задач (приложение 2)

1. В корзине лежат 8 мячей разного цвета (красный, синий, желтый, зеленый, оранжевый, фиолетовый, белый, коричневый). Какое количество информации несет в себе сообщение о том, что из корзины будет вынут мяч красного цвета?

Решение.

Так как возможности вынуть мяч каждого из возможных цветов равновероятны, то для определения количества информации, содержащегося в сообщении о выпадении мяча красного цвета, воспользуемся формулой I= log₂N.

Имеем I= log₂8= 3 бита.

Ответ: 3 бита.

2. В корзине лежат 8 черных шаров и 24 белых. Сколько информации несет сообщение о том, что достали черный шар?

Решение:

8+24=32 – общее количество шаров в корзине;

8/32 = 0,25 – вероятность того, что из корзины достали черный шар;

I= - log₂ 0,25 = - (-2) = 2 бита.

Ответ: 2 бита

3. В корзине лежат 32 клубка шерсти. Среди них – 4 красных. Сколько информации несет сообщение о том, что достали клубок красной шерсти?

Решение:

4/32 = 1/8 – вероятность того, что из корзины достали клубок красной шерсти;

I= - log₂ (1/8) = - (-3) = 3 бита.

Ответ: 3 бита

4. В коробке лежат 64 цветных карандаша. Сообщение о том, что достали белый карандаш, несет 4 бита информации. Сколько белых карандашей было в коробке?

Решение:

Пусть в коробке было х белых карандашей.

Вероятность того, что достали белый карандаш, равна – х/64.

Количество информации сообщения о том, что достали белый шар, равно I= - log₂ (х/64) бит, что по условию задачи составляет 4 бита, т.е. имеет место уравнение:

Значит, в коробке было 4 белых карандаша.

Ответ: 4 карандаша

5. В корзине лежат белые и черные шары. Среди них 18 черных шаров. Сообщение о том, что из корзины достали белый шар, несет 2 бита информации. Сколько всего в корзине шаров.

Решение:

Пусть в корзине - х белых шаров

Тогда всего шаров – (х + 18).

Вероятность того, что достали белый шар равна – .

Количество информации сообщения о том, что достали белый шар, равно

I= - log₂ бит, что по условию задачи составляет 2 бита, т.е. имеет место уравнение:

В корзине было 6 белых шаров.

Следовательно, всего в корзине – (6+18)=24 шара

Ответ: 24 шара.

4. Подведение итогов урока: оценка работы класса и учащихся, отличившихся на уроке.

5.Домашнее задание (приложение 3)

1. В ящике лежат 36 красных и несколько зеленых яблок. Сообщение “Из ящика достали зеленое яблоко” несет 2 бита информации. Сколько яблок в ящике?

2. В концертном зале 270 девушек и несколько юношей. Сообщение “Первым из зала выйдет юноша” содержит 4 бита информации. Сколько юношей в зале.

3. В корзине 15 яблок, 15 груш и 30 слив. Сколько бит информации несет сообщение о том, что из корзины извлечена груша?

4. В коробке лежат 16 разноцветных фломастеров. Какое количество информации содержит сообщение, что из коробки достали фиолетовый фломастер?

Дополнение : Приложение 4

Приложение 2.

Решение задач

1. В корзине лежат 8 мячей разного цвета (красный, синий, желтый, зеленый, оранжевый, фиолетовый, белый, коричневый). Какое количество информации несет в себе сообщение о том, что из корзины будет вынут мяч красного цвета?

2.В корзине лежат 8 черных шаров и 24 белых. Сколько информации несет сообщение о том, что достали черный шар?

3. В корзине  лежат 32 клубка шерсти. Среди них – 4 красных. Сколько информации несет сообщение о том, что достали клубок красной шерсти?

4.В коробке лежат 64 цветных карандаша. Сообщение о том, что достали белый карандаш, несет 4 бита информации. Сколько белых карандашей было в коробке?

5.В корзине лежат белые и черные шары. Среди них 18 черных шаров. Сообщение о том, что из корзины достали белый шар, несет 2 бита информации. Сколько всего в корзине шаров.

Приложение 3.

Домашнее задание

1.В ящике лежат 36 красных и несколько зеленых яблок. Сообщение «Из ящика достали зеленое яблоко» несет 2 бита информации. Сколько яблок в ящике?

2.В концертном зале 270 девушек и несколько юношей. Сообщение «Первым из зала выйдет юноша» содержит 4 бита информации. Сколько юношей в зале.

3.В корзине 15 яблок, 15 груш и 30 слив. Сколько бит информации несет сообщение о том, что из корзины извлечена груша?

4. В коробке лежат 16 разноцветных фломастеров. Какое количество информации содержит сообщение, что из коробки достали фиолетовый фломастер?

Приложение 4.

Теория:

В реальной жизни существует множество ситуаций с различными вероятностями. Например, если у монеты одна сторона тяжелей другой, то при ее бросании вероятность выпадения «орла» и «решки» будет различной.

Сначала разберемся с понятием «вероятность». Введем следующие понятия:

испытание - любой эксперимент;

единичное испытание - испытание, в котором совершается одно действие с одним предметом (например, подбрасывается монетка, или из корзины извлекается шар);

 исходы испытаний - результаты испытания (например, при подбрасывании монеты выпал «орел», или из корзины извлекли белый шар);

множество исходов испытания - множество всех возможных исходов испытания;

 случайное событие - событие, которое может произойти или не произойти (например, выигрыш билета в лотерее, извлечение карты определенной масти из колоды карт).

Вероятностью случайного события (p) называется отношение числа благоприятствующих событию исходов (m) к общему числу исходов (n):

p=mn.

Заметим, что вероятность случайного события может изменяться от 0 до 1.

Пример:

В беспроигрышной лотерее разыгрывается 3 книги, 2 альбома, 10 наборов маркеров, 10 блокнотов.

Какова вероятность выиграть книгу?

Решение. 

Общее число исходов 2+3+10+10=25; число благоприятствующих исходу событий равно 3. Вероятность выигрыша книги вычисляется по формуле: p=325=0,12.

Заметим, что во многих случаях события происходят с разной вероятностью, а значит формула N=2i не всегда применима.

Вероятностный подход предполагает, что возможные события имеют различные вероятности реализации.

В этом случае, зная вероятность (p) событий, можно определить количество информации (i) в сообщении о каждом из них из формулы:

2i=1p.

Количество информации будет определяться по формуле Шеннона, предложенной им в 1948 г. для различных вероятностных событий:

I=−∑i=1Npilog2pi

или

I=−(p1log2p1+p2log2p2+...+pNlog2pN),

где I - количество информации;
N - количество возможных событий;
pi -  вероятность i-го события.

Качественная связь между вероятностью события и количеством информации в сообщении состоит в следующем: чем меньше вероятность некоторого события, тем больше информации содержит сообщение об этом событии.

Пример:

В корзине лежат 8 черных шаров и 24 белых. Сколько бит информации несет сообщение о том, что достали черный шар?

Решение. Общее число исходов: 8+24=32, число благоприятствующих исходу событий равно 8. 
Вероятность выбора черного шара определяется как p=832=14=0,25

Количество информации вычисляем из соотношения 2i=10,25=114/=4,

значит, i=2 бита.