Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект по теме "Подобие треугольников. Гомотетия"

Конспект по теме "Подобие треугольников. Гомотетия"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов


Преобразование подобия. Подобные фигуры

Параллельный перенос симметрии относительно точки, относительно прямой и поворот вокруг точки отображают фигуры в равные им фигуры.

Преобразование, при котором фигура сохраняет вид, но изменяет размеры, называется преобразованием подобия.

Размеры фигуры 1, подобной фигуре 2, могут быть в к раз меньше соответствующих размеров фигуры 1. Число к называется коэффициентом подобия.


Гомотетия

Если любой точке Х на плоскости будет соответствовать точка Х1, удовлетворяющая равенству hello_html_mfd2cbe6.gif=hello_html_6b22e2d.gif, то такое преобразование называется гомотетией.

В гомотетии возможно к<0. Точка О называется центром, к- коэффициент гомотетии.

Теорема: В гомотетии с коэффициентом к каждый вектор удлиняется (уменьшается) в к раз.

Теорема: Преобразование подобия сохраняет углы между лучам.


Подобие треугольников

Если треугольники АВС и А1В1С1 подобны, то соответствующие углы этих треугольников равны между собой и соответствующие стороны – пропорциональны

1 признак: Если два угла одного треугольника, соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

2 признак: Если две стороны одного треугольника пропорциональны соответственно двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

3 признак: Если три стороны одного треугольника пропорциональны соответственно трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны








Преобразование подобия. Подобные фигуры

Параллельный перенос симметрии относительно точки, относительно прямой и поворот вокруг точки отображают фигуры в равные им фигуры.

Преобразование, при котором фигура сохраняет вид, но изменяет размеры, называется преобразованием подобия.

Размеры фигуры 1, подобной фигуре 2, могут быть в к раз меньше соответствующих размеров фигуры 1. Число к называется коэффициентом подобия.


Гомотетия

Если любой точке Х на плоскости будет соответствовать точка Х1, удовлетворяющая равенству hello_html_mfd2cbe6.gif=hello_html_6b22e2d.gif, то такое преобразование называется гомотетией.

В гомотетии возможно к<0. Точка О называется центром, к- коэффициент гомотетии.

Теорема: В гомотетии с коэффициентом к каждый вектор удлиняется (уменьшается) в к раз.

Теорема: Преобразование подобия сохраняет углы между лучам.


Подобие треугольников

Если треугольники АВС и А1В1С1 подобны, то соответствующие углы этих треугольников равны между собой и соответствующие стороны – пропорциональны

1 признак: Если два угла одного треугольника, соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

2 признак: Если две стороны одного треугольника пропорциональны соответственно двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

3 признак: Если три стороны одного треугольника пропорциональны соответственно трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны


Краткое описание документа:

  • Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя.
  • Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка  лежит между точками ,  и , ,  — соответствующие их образы при некотором подобии, то  также лежит между точками  и .
  • Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.
  • Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
  • При подобии угол сохраняет величину.
  • Подобие с коэффициентом , преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом  или .
    • Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения  и некоторой гомотетии  с положительным коэффициентом.
    • Подобие называется собственным (несобственным), если движение  является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.
  • Два треугольника являются подобными, если
    • их соответственные углы равны, или
    • стороны пропорциональны. См. также Признаки подобия треугольников.
  • Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров (или радиусов).

Общая информация

Номер материала: 187778

Похожие материалы