конспект урока по геометрии 8 класс по теме

Урок геометрии в 8 классе.

Учитель : Куликова Е.Г.

Тема : «Теорема Пифагора»

Цель урока:

- изучить теорему Пифагора

- показать применение теоремы Пифагора в решении задач;

- показать практическую значимость теоремы Пифагора;

-познакомить учащихся с историческими фактами из жизни Пифагора Самосского;

- установить факт существования других доказательств теоремы Пифагора.

Задачи урока:

Образовательные:

• познакомить учащихся с интересными фактами биографии жизни и деятельности Пифагора;

• рассмотреть определение теоремы Пифагора и изучить её доказательство;

• расширить круг геометрических задач с применением теоремы Пифагора, решаемых учащимися.;

• показать межпредметные связи геометрии, алгебры, истории, литературы.

Воспитательные:

• совершенствование умений самостоятельной работы ( самообразования); усвоение методов творческой деятельности;

• усвоение правил нравственного применения знаний и умений;

• усовершенствование приёмов самоанализа и самооценки результатов деятельности;

• обучение правилам общения в группах.

Развивающие:

• развить нравственное воспитание учащихся;

• развитие письменной и устной математической речью, мышления;

• умение владеть основами публичных выступлений, совершенствование умственной деятельности: анализ, синтез, делать выводы, проводить межпредметную аналогию объектов, выдвигать гипотезы, проверять результаты.

Тип урока : урок совместного анализа нового учебного материала

Прогнозируемый результат:

1. знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника;

2. уметь доказывать теорему Пифагора;

3. уметь применять теорему Пифагора для решения задач.

План урока.

1.Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Целеполагание.

4. Мотивация ( Исторические странички из жизни Пифагора Самосского.

Исторические факты теоремы Пифагора) .

5. Практическая работа ( исследовательская).

5. Изучение доказательства теоремы Пифагора.

6. Решение задач с применение теоремы Пифагора (старинные задачи).

7. Подведение итогов.

Оборудование:

1. чертёжные инструменты;

2. портрет Пифагора;

3. «буклеты »: легенды о Пифагоре, нравственные заповеди пифагорейцев, исторические задачи пифагорова головоломка.

4. «раскладушка» с различными доказательствами теоремы Пифагора.

Технология: ИКТ

Используемые методы:

1. Беседа.

2. Исследовательская работа.

3. Фронтальный опрос.

4. Самопроверка.

5. Алгоритмические методы.

6. Синектика.

7. Групповая форма, работа в парах.

8. «Мозговой штурм».

9. Самоанализ.

10. Самостоятельная работа.

Ход урока.

I. Организационный момент урока ( 1 мин)

-Здравствуйте, ребята!

Слайд 1.

Садитесь. Зовут меня Куликова Елена Георгиевна!

Но прежде, чем приступить к занятиям, давайте определимся с темой сегодняшнего урока.

II. Актуализация ( 2 мин).

- Давайте разгадаем кроссворд простейших геометрических понятий, результаты ваших знаний помогут узнать тему урока. У вас на столах имеются листочки с геометрическим кроссвордом. Вы работаете в парах в течении 1 минуты.

Слайд 2-3.

п

я

м

о

й

р

и

а

г

1

н

а

д

е

а

м

2

ф

г

у

ра

а

и

4

м

т

е

о

р

е

3

4

а

т

о

п

и

з

н

е

у

5

0

р

а

с

ы

ь

л

в

т

к

а

са

и

с

с

е

о

б

и

г

у

е

т

р

т

и

н

к

7 6

8

8

Вопросы кроссворда.

1. Угол, градусная мера которого 90 градусов?

2. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны треугольника?

3. Очертания на плоскости предмета называется геометрическая ……………………. на плоскости.

4. В математике каждое утверждение , справедливость которого устанавливается путём рассуждений- ……………………..

5. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла-……………

6. Какая фигура получиться, если последовательно соединить три точки не лежащие на одной прямой?

7. Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, -………угла.

8. Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону - ……………..

Итак , кто из вас может сформулировать тему сегодняшнего урока?

Молодцы!

III. Целеполагание ( 1мин).

Слайд 4( тема урока)

Тема урока: «Теорема Пифагора»

Слайд 5.

Обратите внимание на содержание урока. Какие цели урока вы могли бы для себя определить?

(Выслушиваются ответы учащихся)

- Откройте, пожалуйста, тетради и запишите число, классная работа, тему урока!

IV. Мотивация ( 5 мин).

Слайд 6- 7( биография Пифагора Самосского)

- Послушайте высказывание.

- «Мысль превыше всего между людьми»

- «Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что нужно знать».

- Как вы думаете, какую основную мысль несут эти слова?

( Выслушиваются ответы учащихся)

- Эти слова принадлежат древнегреческому учёному Пифагору Самосскому. Он родился на острове Самос в VI веке до н. э.

Сегодня мы приступаем к изучению одной из важнейших теорем геометрии. Она является основой для решения множества геометрических задач и базой для дальнейшего изучения теоретического материала. Докажем эту теорему и решим несколько задач с её применение. Но сначала давайте познакомимся с историческими страничками из жизни Пифагора Самосского.

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.

Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

    Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.

Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.

    Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя.

В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю. Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:

• теорема о сумме внутренних углов треугольника;

• построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;

• геометрические способы решения квадратных уравнений;

• деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные;

• введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;

• доказательство того, что не является рациональным числом;

• создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.

    Сегодня абсолютно невозможно сказать, какие из сотен подобных заповедей восходят к самому Пифагору. Но совершенно очевидно, что все они выражают вечные общечеловеческие ценности, которые остаются актуальными всегда, покуда жив человек.

Пифагор был вегетарианцем и не употреблял в пищу мясо. Среди его братства была запрещена охота. Их рацион состоял из овощей, зерновых и воды. Но один овощ, а именно: бобы – Пифагор не любил, поэтому членам братства запрещалось даже притрагиваться к бобам.

Итак, вы познакомились с биографией Пифагора Самосского древнегреческого учёного. Пифагор сделал много важных открытий, на наибольшую славу принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.

- Я вам прочитаю стихотворение, по смыслу которого, вы определите, относительно какой фигуры была открыта теорема Пифагора.

Зима раскрыла снежные объятья,

И до весны всё дремлет тут,

Только ёлки в треугольных платьях,

Только ёлки в треугольных платьях

Мне на встречу всё бегут, бегут, бегут.

(треугольник)

V. Практическая исследовательская работа (4 мин)

- Ребята, вы, что- либо слышали о теореме Пифагора?

- Я сейчас предлагаю вам побыть в роли учеников Пифагора и выполнить исследовательскую работу по результатам, которой вы сможете выдвинуть гипотезу по формулировке этой теоремы.

Итак, исследовательскую работу вы будете вести по вариантам. Посмотрите, пожалуйста, на слайд.

Слайд 8( практическая работа)

1. Изобразите у себя в тетрадях прямоугольный треугольник со сторонами (за единичный отрезок примите 1 клетку).

I ряд: 5см-гипотенуза, 4 см и 3см – катеты.

II ряд: 15 см – гипотенуза, 9 см и 12 см - катеты.

III ряд: 10 см – гипотенуза, 6 см и 8 см – катеты.

2.Возведите катеты в квадрат и найдите сумму степеней.

3. Возведите гипотенузу в квадрат.

4. Сравните результаты суммы степеней и квадрат гипотенузы.

Слайд 9. ( результаты практической работы)

- Как бы сформулировали вывод вашей исследовательской деятельности?

( Выслушиваются предположительные формулировки теорем)

VI . Изучение новой темы (10 мин)

Слайд 10. (геометрическая и геометрическая запись теоремы Пифагора).

-Вы уже познакомились в практической работе с геометрической интерпретацией теоремы Пифагора.

- Как бы вы изложили эту теорему алгебраической записью (формулой)? Молодцы! Дело в том, что вы сейчас сформулировали и на практике доказали знаменитую теорему Пифагора.

Существует шуточная формулировка теоремы. «Пифагоровы штаны во все стороны равны».

- Давайте обратим наше внимание на трактовку этой теоремы в современных учебниках;

-Сформулирована она так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

- Записать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника АВС с катетами a , b и гипотенузой с можно следующим образом.

Слайд 11.

- Во времена Пифагора теорема звучала иначе:

- Попробуйте, проанализировать рисунок и сформулировать определение теоремы.

(Выслушиваются ответы учащихся)

Действительно, с² – площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а² и b² – площади квадратов, построенных на катетах. Итак, теорема звучала таким образом:

«Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах»

Слайд.12.

- Мы рассмотрели с вами определение теоремы Пифагора относительно произвольного прямоугольного треугольника. А какие гипотезы по определению формулировки теоремы Пифагора , вы можете предложить для равнобедренного треугольника?

В теореме Пифагора, для равнобедренных прямоугольных треугольников. Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника. А на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. Из рисунка видно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Слайд13

Посмотрите-ка, вот они «Пифагоровы штаны во все стороны равны».

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора.

Слайд14.

Вы многое уже узнали о Пифагоре и о теореме, рассмотрели геометрическую и алгебраическую интерпретацию теоремы Пифагора, но

Когда ж излишне доверяем зренью,

То можем впасть в обман.

А он сродни слепому заблужденью.

И даже самомненью.

М.Буонарроти.

- Как вы думаете, какую мысль хотел выразить поэт этими словами?

( Чертёж – рисунок не является доказательством)

- Так давайте, докажем теорему Пифагора в той формулировке, в которой она трактуется в современных школьных изданиях, но при этом используя другие пути доказательства.

Т

Дано :

Доказать: .

Доказательство:

S .

Достроим до квадрата со стороной

( a + b), имеем S =S= .

S=.

=;

что и требовалось доказать.

еорема: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.»

Контрольные вопросы:

- С чего начать рассуждения доказательства теоремы?

- Какие дополнительные построения необходимо выполнить?

- Чему равна площадь квадрат, построенного на катетах прямоугольного треугольника?

- Каким ещё способом можно найти эту площадь квадрата?

- Можно ли приравнять получившиеся выражения и почему?

- Какие алгебраические преобразования необходимо выполнить?

- Какие можно сделать выводы по доказанному вами в теореме?

- Молодцы вы успешно справились с доказательством теоремы Пифагора, но дело в том, что существует еще много доказательств этой теоремы, с ними вы сможете познакомиться по окончании нашего урока , используя информационную «раскладушку».

VI. Закрепление изученной темы. (9 мин)

Слайд.15- 16,17 ( устные задачи)

- Давайте попробуем применить теорему Пифагора при решении простейших устных задач.

Задача 1. Задача 2

- Составьте устно условие задачи: что дано, что надо найти?

- Какой элемент прямоугольного треугольника неизвестен?

- Составьте алгоритм решения задач?

Следующую задачу решим с записями в тетрадь. Желающие могут записать решить задачу у доски.

Задача 3.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведённую к основанию.

М

Решение.

- Ну , а теперь предлагаю вам посоревноваться в знаниях применения теоремы Пифагора. Допустим I ряд – это одна из школ Пифагора, II – вторая, и соответственно III – ряд – это третья школа Пифагора. Все вы так называемы е пифагорейцы , то есть ученики Пифагора. Каждая школа должна выдвинуть на роль учителя Пифагора - одного учащегося. Он и будет контролировать правильность выполнения заданий, которые вам предлагают учёные пифагорейцы.

Итак, на это задание отводится 4 минуты, после вы должны озвучить получившиеся ответы. У вас на столах лежит раздаточный материал старинные задачи, которые имели свое место ещё во времена Пифагора.

I ряд – «Историческая задача индийского математика VII века Бхаскары».

II ряд – задача из китайской «Математики в девяти книгах».

III- ряд задача из учебника «Арифметика » Леонтия Магницкого.

Случиться некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же твоя высота есть 117 стоп. Изобрете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, коли стоп сея лестница.

- Итак, школы готовы дать свои ответы?

- Учителя запишите получившиеся ответы на доску?

- А теперь проверим правильность решения старинных задач?

Слайд 19-24 ( с решениями старинных задач.)

- О применении теоремы Пифагора в других областях сферы деятельности человека, допустим в строительстве архитектурных зданий, вы можете узнать из информационного блока после урока.

Слайд 25 (головоломка)

- Я уже поняла, насколько вы активны в работе с геометрическими задачами аналитического характера, теперь посмотрим, как вы справитесь с заданием на воображение.

- У вас на столах, имеется конверт с бумажными фигурами, вам необходимо с помощью этих фигур сконструировать квадрат. Работаете вы в парах. Кто первый соберёт, покажет свой вариант сборки на доске.

VII. Подведение итогов ( 1 мин).

- Что нового вы узнали сегодня на уроке?

- С какой теоремой познакомились?

- Сформулируйте теорему Пифагора?

VIII. Домашнее задание. Изучить справочные материалы, подробнее познакомиться с другими доказательствами теоремы.

Слайд 26. ( спасибо за сотрудничество)

- Спасибо за активный, плодотворный урок.

ЛИТЕРАТУРА

1. Акимова С. Занимательная математика, серия "Нескучный учебник". – Санкт-Петербург. : "Тригон", 1997.

2. Волошников А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. – М.: Просвещение, 1993.

3. Газета "Математика" № 17, 1996.

4. Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 12-е изд. – М. : Просвещение, 2002.

5. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1981.

6. Еленьский Ш. По следам Пифагора. М., 1961.

7. Журнал "Квант" № 2, 1992.

8. Журнал "Математика в школе" № 4, 1991.

9. Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.

10. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. М., 1963.

11. Геометрия. 7-9 классы.: учеб. Для общеобразоват. учреждений / [ Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др]- 19 –е изд. – М.: Просвещение, 2009. - 384 c

12. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М., 1990.

13. Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике. Минск, 1978.

14. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: Педагогика-Пресс, 1997.

15. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / Глав. ред. М.Д. Аксёнова. – М.: Аванта+, 1998.

16. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. – М., 1997.

Приложение 1

Актуализация. Кроссворд к уроку по теме: «Теорема Пифагора».

1

2

4

3

4

5

7 6

8

8

Вопросы кроссворда.

1. Угол, градусная мера которого 90 градусов?

2. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны треугольника?

3. Очертания на плоскости предмета называется геометрическая ……………………. на плоскости.

4. В математике каждое утверждение , справедливость которого устанавливается путём рассуждений- ……………………..

5. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла-……………

6. Какая фигура получиться, если последовательно соединить три точки не лежащие на одной прямой?

7. Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, -………угла.

8. Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону - ……………..

Приложение 2.

К уроку по теме : «Теорема Пифагора»

ЗАПОВЕДИ ПИФАГОРЕЙЦЕВ

Пифагор заботился не только о научном развитии своих учеников, но и о духовном и нравственном развитии.

Вот некоторые из 325 Пифагоровых заповедей:

• Мысль – превыше всего между людьми.

• Сыщи себе верного друга; имея его, ты можешь обойтись без богов.

• Юноша! Если ты желаешь себе жизни долгоденственной, то воздержи себя от пресыщения и всякого излишества.

• Юные девицы! Помятуйте, что лицо лишь тогда бывает прекрасным, когда оно изображает изящную душу.

• Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом.

• Не пекись о скитании великого знания: из всех знаний нравственная наука, может быть, есть самая нужнейшая, но ей не обучаются.

• Делай лишь то, что впоследствии не омрачит тебя и не заставит раскаиваться.

• Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что нужно знать.

• Не пренебрегай здоровьем своего тела.

• Научись жить просто и без роскоши.

• Через весы не шагай – избегай алчности.

• Не садись на хлебную меру – не живи праздно.

• Либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания.

• Ласточек в доме не держи – не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык.

• Не закрывай глаза, когда хочешь спать, не разобравши всех своих поступков за день.

• По торной дороге не ходи – следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих.

I ряд – «Историческая задача индийского математика VII века Бхаскары».

II ряд – задача из китайской «Математики в девяти книгах».

III- ряд задача из учебника «Арифметика » Леонтия Магницкого.

Случиться некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же твоя высота есть 117 стоп. Изобрете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, коли стоп сея лестница.

Приложение 1

Актуализация. Кроссворд к уроку по теме: «Теорема Пифагора».

1

2

4

3

4

5

7 6

8

8

Вопросы кроссворда.

9. Угол, градусная мера которого 90 градусов?

10. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны треугольника?

11. Очертания на плоскости предмета называется геометрическая ……………………. на плоскости.

12. В математике каждое утверждение , справедливость которого устанавливается путём рассуждений- ……………………..

13. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла-……………

14. Какая фигура получиться, если последовательно соединить три точки не лежащие на одной прямой?

15. Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, -………угла.

16. Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону - ……………..

Кроссворд.

1

2

4

3

4

5

7 6

8

8

Вопросы кроссворда.

1. Угол, градусная мера которого 90 градусов?

2. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны треугольника?

3. Очертания на плоскости предмета называется геометрическая ……………………. на плоскости.

4. В математике каждое утверждение , справедливость которого устанавливается путём рассуждений- ……………………..

5. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла-……………

6. Какая фигура получиться, если последовательно соединить три точки не лежащие на одной прямой?

7. Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, -………угла.

8. Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону - ……………..