Конспект урока по математике. Урок математики 11 класс.

Тема: «Решение уравнений со знаком модуля»

Автор: Шагдарова Дулма Гончиковна, учитель математики первой квалификационной категории МОУ «Могойтуйская средняя общеобразовательная школа №3»

            

 Обучение- это ремесло,  

использующее бесчисленное

количество маленьких трюков.

 

Цель урока: на основе определения модуля числа выяснить особенности решения уравнений со знаком модуля.

Задачи урока:

1) организовать работу учащихся по усвоению методов решения уравнений со знаком модуля, продолжить формирование умений анализировать, мыслить, наблюдать и делать выводы, умения обобщать.

Рассмотреть различные способы решения уравнений с модулем;

2) развитие творческого мышления учащихся; 

    развитие познавательной и творческой деятельности

    развитие культуры коллективного умственного труда.

3) воспитывать в учащихся умения работать в группе, стимулировать желание проявлять инициативу и высказывать своё мнение.                                                                                                   

                               Ход урока.

1). Организационный момент.

Просьба ученикам обратить внимание на эпиграф. (слайд №2)    

Учитель: Математику не зря называют «Царицей наук» Ей, больше, чем какой- либо другой науке, свойственны изящность и точность. Одно из замечательных качеств математики - любознательность и многообразие форм и методов решения заданий различными способами. Постараемся доказать это на уроке.

2) Блочное повторение

а) математический диктант (слайд №3,4)

 

б)Задание №1

Решить уравнение:  lх - 3l = 5, значит  найти все точки числовой оси, которые отстоят от точки координатой (3) на расстояние 5.

                          

 Ответ: -2; 8.

-2 и 8 – корни уравнения lх-3l=5

комментарий учителя (слайд №5)

Выход на тему урока: Решение уравнений с модулем. (слайд№6)

Учитель: Задание №2.

Решите уравнения: а) |х-1|=3

                                 б) |х+2|=3 (слайд №7)

Уравнения решаются учащимися в группах.

Обсуждение решений в группах. Уравнения l х - а l = в, где в>0   допускают простую геометрическую интерпретацию.

     Решить уравнение l х – 1 l = 3 – значит найти все точки числовой оси, которые отстоят от точки с координатой (1) на расстоянии 3.

Объясните, что значит, решить уравнение l х + 2 l = 3?

 Ученик: (слайд №8)   Решить уравнение l х + 2 l = 3 – значит найти все точки числовой оси, которые отстоят от точки с координатой (-2) на расстоянии 3.

б) Суть метода. (Слайд №9,10)

Задание№3.

Решите уравнение:  а) lх-4l=3         Ответ:       а) 1; 7

                                     б) lх+2l=7                          б) 5; -9

Учащиеся комментируют:

1 ученик: а) lх-4l=3              

Решить данное уравнение, значит найти все точки числовой оси, которые отстоят от точки с координатой (4) на расстоянии 3. Такие точки имеют координаты (1); (7).

                             

2 ученик: lх+2l=7

Решить данное уравнение, значит найти все точки числовой оси, которые отстоят от точки с координатой (-2) на расстоянии 7. Такие точки имеют координаты (5); (-9).

 

 

Учитель: Уравнения вида  в₁ lх-а₁l + в₂ lх-а₂l + … + в_п lх-а_пl = в,

где а₁ < а₂ < … < а_п  и в, в₁, в₂, … , в_п Є R решается методом интервалов .

суть метода состоит в том , что точками а₁ ,а_2,  … , а_{п .} числовую ось  делят на непересекающиеся промежутки знакопостоянства  (-∞; а₁ ),⊏а₁; а₂), … ,

⊏а_п;+∞). Решают уравнение на каждом промежутке; совокупность решений на всех промежутках и составит решение исходного уравнения.

 

Задание №4:

 

Решение уравнений проверяют (самопроверка), слайды№15,16)  

По решенному уравнению на слайде один из учеников комментирует решение, учащиеся по желанию могут записать в тетрадь предложенное решение.

Решение: точками (2) и (-3) разделим числовую ось на промежутки 

(-∞; -3 ),⊏-3; 2), … ,⊏2;+∞) и решим уравнение на каждом из этих промежутков.

           1) х<-3   -х+2-х-3=7  

               х =- 4

          2)  -3≤х<2   –х+2+х+3=7  решений нет

          3)   х≥2  х-2+х+3=7  х=3

Ответ: -4; 3

Учитель: Предлагаю составить алгоритм решения данных уравнений самостоятельно, а затем проверим ваши выводы. (Слайд №17,18,19).

 (Слайд №17).

Учитель: Уравнения Ix – aI + Ix – bI =c    и     Ix – aI - Ix – bI =c

имеют простую геометрическую интерпретацию. Вернемся к предыдущим уравнениям.

(Слайд №18).

Решить уравнение  Iх - 2I + Iх + 3I = 7 – это значит найти все точки на числовой оси Ох, для каждой из которых сумма расстояний до точек с координатами (2) и (-3) равна 7.  Внутри отрезка таких точек нет, так как длина меньше семи, значит точки вне отрезка.

Заметим, что это точки (-4) и (3)    х=-4 и х=3 корни уравнения

Ответ: -4; 3.

Учитель: Объясните решение уравнения с помощью геометрической интерпретации.

Один из учеников проговаривает решение, затем решение просматривается на слайде №19

Ученик:

Решить уравнение        Iх - 5I - Iх - 2I = 3 – это значит найти все точки на числовой оси Ох,  для каждой из которых разность расстояний от нее до точки с координатой (5) и расстояний от нее до точки с координатой (2) равнялось 3.  Длина отрезка равна 3 следовательно любая точка левее (2) будет решением уравнения.

Ответ: x < 2.

Учитель:

  Сегодня на уроке мы рассмотрели два метода решения уравнений с модулем.

Какой ещё способ решения уравнений вы знаете?

Ученики отвечают, что существует графический способ решения уравнений.

Учитель: Вы правы, весьма эффективен графический метод решения уравнений, содержащих модули.

Рассмотрим пример (Слайд №20).

Задание №5: Решите уравнение:

                     I X – 1 I + I X – 2 I + I X – 3 I =2

Решение(слайд№21)

Построим графики функций:

Y=I X – 1 I + I X – 3 I   и   Y= 2 - I X – 2 I

пересечение графиков точка (2;2)           

    Ответ: 2.

  Учитель: Используя геометрическую интерпретацию, данное уравнение можно решить очень просто (рис на слайде №21)                                      

                                          

                                       

– это значит найти все точки на числовой оси Ох, для каждой из которых сумма расстояний до точек с координатами (1) (2) и (3) равна 2.  Такая точка одна, и находится внутри отрезка это (2).

    Ответ: 2.

Учитель: Исходя, из решенных на уроке уравнений сделайте вывод.

 Где необходимо искать решение?

Ученики делают вывод опираясь на рассмотренные случаи.

Учитель ещё раз просит каждого проговорить про себя, и просматривают вывод на слайде №22; 22

 

 

 

 

 

(Слайд №22).

 

Обобщение.

Ü Если в уравнении Ix – aI + Ix – bI =c,

Ü Iа – bI <c, то решение надо искать вне отрезка [a;b];

Üа если Ia – bI=c, то отрезок [a;b] будет решением уравнения;

Ü если Ia – bI>c, то уравнение решений иметь не будет.

 

(Слайд №23).

 

Ü Iа – bI = c, то при a < b, x > b

Ü Если в уравнении Ix – aI - Ix – bI =c,

                                   a > b, x < b;

Ü  если Ia – bI < c, то решений нет;

Ü  если Ia – bI>c, то  решение лежит внутри отрезка [a;b].

 

Учитель: Предлагаю для закрепления пройденного на уроке разноуровневую самостоятельную работу, РЕШАЮТ ПО 3 ПРИМЕРА (учащиеся сами определяют для себя уровень сложности). 10 минут.

(Слайд №24).

 

Ü IX + 3I + IX - 3I =6           

Ü IX - 1I + IXI = 9                

Ü IX - 3I + IX - 1I =3

Ü IX + 6I + IX + 4I =5

 

Ü IX - 1I – IX + 1I = 3          

Ü I5 + XI – Iх – 8I = 13

 

Ü IX - 3I + 2IX + 1I =4

Ü IX - 4I + IX - 2I = IX+ 1I

Ü IX+1I +IX-2I+IX-5I=6

 

Итог урока: проверяют решение уравнений.

Домашняя работа придумать по 3 уравнения со знаком модуля.