Контрольно-оценочные средства по математике

                                         Комплект

контрольно-оценочных  средств

учебной дисциплины

 

ЕН.01 Математика

основной профессиональной образовательной программы

по специальности СПО

190631-Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта

 

Рассмотрено  на ПЦК Протокол № ______ От «____»_________2014 г.

Согласовано: Зам. директора по УПР                         «_____»_______2014 г.

 

 

 

Математика: комплект контрольно-оценочных средств по специальности среднего специального образования 190631-Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта

 

 Организация разработчик:  Государственное автономное образовательное учреждение Республики Хакасия среднего профессионального образования " Аграрный  техникум"

Разработчик: Несивкина Галина Анатольевна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шира-2014 г.

1. Общие положения

 

Контрольно-оценочные средства (КОС) предназначены для контроля и оценки образовательных достижений обучающихся, освоивших программу учебной дисциплины Математика.

КОС включают контрольные материалы для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации в форме дифференцированного зачета.

КОС разработаны на основании положений:

- основной профессиональной образовательной программы по направлению подготовки специальности СПО  190631-Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта;

- программы учебной дисциплины Математика.

Результаты обучения (освоенные умения, усвоенные знания)

Уметь:

- решать задачи на отыскание производной сложной функции, производных второго и высших порядков;

- применять основные методы интегрирования при решении задач;

- применять методы математического анализа при решении задач прикладного характера, в том числе профессиональной направленности.

Знать:

- основные понятия и методы математического анализа;

- основные численные методы решения прикладных задач.

 

 

 

 

 

2. Результаты освоения дисциплины, подлежащие проверке

Результаты обучения (освоенные умения, усвоенные знания)

Уметь:

- решать задачи на отыскание производной сложной функции, производных второго и высших порядков;

- применять основные методы интегрирования при решении задач;

- применять методы математического анализа при решении задач прикладного характера, в том числе профессиональной направленности.

Знать:

- основные понятия и методы математического анализа;

- основные численные методы решения прикладных задач.

 

 

 

 

 

 

3. Распределение оценивания результатов обучения по видам контроля

 

 

 

Наименование элемента умений или знаний	Виды аттестации
	Текущий контроль
У1.  Умение решать задачи на отыскание производной сложной функции, производных второго и высших порядков	Анализ и оценка результатов выполнения практических работ № 1, 2.3,4,5,6,7,8.
У2. Умение применять основные методы интегрирования при решении задач	Анализ и оценка результатов выполнения практических работ № 3, 4, 5, 6.
У3.Умение применять методы математического анализа при решении задач прикладного характера, в том числе профессиональной направленности	Анализ и оценка результатов выполнения практической работ № 4,6.11,12.
З1.  Знать основные понятия и методы математического анализа	Анализ и оценка результатов выполнения практических работ № 1, 2, 3, 4, 5, 6,7,8,9,10,11,12.
З2.  Знать основные численные методы решения прикладных задач	Анализ и оценка результатов выполнения практической работ №11,12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

            Перечень практических работ по математике 2 курс по СПО

Специальность:190631-Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта

 

Наименование разделов и                                 тем	Практические занятия	Часы
Раздел 1. Математический анализ		10
Тема1.1. Дифференциальное и интегральное исчисление	.Практическая работа  №1 Функции одной переменной	2
	Практическая работа№2 Предел  последовательности и предел функции. Замечательные пределы	1
	3. Практическая работа №3 Непрерывность функции, точки   разрыва.	1
	Практическая работа№4 Производная и ее геометрический смысл. Правило Лопиталя.	2
	Практическая работа№5 Интеграл. Методы интегрирования. Определенный интеграл.	2
	Практическая работа№6 Применение определенного интеграла для вычисления площадей, длин и объемов фигур.	2
Тема 1.5Комплексные числа	Практическая работа №7 .Комплексные числа.	4
	.
Раздел 2. Линейная алгебра		10
Тема 2.1 Основы линейной алгебры	Практическая работа №8 .Матрицы и действия над ними. Определитель матрицы.	5
	Практическая работа№9 Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения.	5
Раздел 3. Дискретная математика		4
Тема3.1 Основы дискретной математики	Практическая работа №10 Множества и операции над ними.	4
Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика	.	6
Тема 4.1 элементы теории вероятностей и математической статистики	Практическая работа №11 .Элементы теории вероятностей и математической статистики. Классическое определение вероятности события, формула полной вероятности. Формула Байеса, формула Бернулли. Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики.	6
Всего:		34

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                 

 

 

 

 

4. Распределение типов контрольных заданий по элементам знаний и умений (текущий контроль)

 

Содержание учебного материала по программе УД	Тип контрольного задания
	У1	У2	У3	З1	З2
Раздел 1. Тема 1.1 Дифференциальное и интегральное исчисление	Пр. 1.2,3,4,5,6	Пр. 5,6		Пр1,2,3,4,5,6
Раздел 2. Тема 2.1.  Основные численные методы	Пр. 7,8			Пр7 ,8,.
Раздел 3. Тема 3.1. Основы линейной алгебры				Пр. 9,10
Раздел 4. Тема 4.1Основы дискретной математики				Пр11
Раздел 5.. Тема 5.1 элементы теории вероятностей и математической статистики			Пр.12		Пр. 12

 

Условные обозначения:

ПР- практическая работа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                 5.Структура контрольного задания

 

                                            Практическая работа №1

                           Функции одной переменной и их свойства

Время на выполнение: 90 минут

Перечень объектов контроля и оценки

 

Наименование объектов контроля и оценки	Основные показатели оценки результата	Оценка
У1. Сформировать умения использовать  свойства функции для ее исследования, решать задачи и упражнения по данной теме.	- Нахождение области определения функции - Установить четность или нечетность функции	1 балл за каждое задание
З1. Основные понятия и методы математического анализа	- Формулировка определения области определения и значения функции, свойства функции.

За верное решение работы выставляется положительная оценка – 10 баллов

За неверное решение работы выставляется положительная оценка – 0 баллов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теоретические сведения к практической работе

 

Если каждому элементу х из множества Х по некоторому правилу f поставлен в соответствие элемент у множестваY, то говорят, что на множестве Х определена функция со значениями в множестве Y, и записывают y=f(х).

            Множество Х называется областью определения функции D(f), а множество Y – областью значений функции E(f)

 

Пример 1. Найти область определения функции

Основные свойства функции:

1.      Четность и нечетность. Функция y=f(x) называется четной, если для любых значений х из области определения f(-x)=f(x), и называется нечетной, если f(-x)=-f(x). В противном случае функция y=f(x) называется функцией общего вида.

Пример 2. Установить четность или нечетность функции.

2.      Монотонность. Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке Х из области определения, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

3.      Ограниченность. Функция y=f(x) называется ограниченной на некотором промежутке Х из области определения, если существует число М>0, такое, что  для любого .

4.      Периодичность. Функция y=f(x) называется периодической с периодом Т>0, если для любых значений х из области определения f(x+T)=f(x-T)=f(x).

 

Если каждому значению цены p за единицу товара поставлено в соответствие число q – количество товара, которое потребители готовы купить по данной цене за определенный промежуток времени, то говорят, что задана функция спроса, и пишут q=f(p).

Эта функция определена для тех значений , для которых  и множество ее значений .

График функции спроса называют кривой спроса.

Пример 3. Функция спроса на некоторый товар имеет вид , где q – количество товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

·        Область определения и множество значений этой функции

·        Функцию цены в виде

·        Объем спроса при ценах на товар:

·        Цену за единицу товара, если ,

·         Выручку продавцов в каждом из этих случаев.

Решение: 1) Получим систему неравенств:

Выразим значение p через q:

Из закона спроса следует, что с увеличением цены р от нуля до 3500 руб. спрос должен падать. В нашем случае функция q убывает в промежутке , следовательно, множество значений функции .

1)      Функция цены имеет вид

2)     

3)     

4)      Выручка от продажи составляет , следовательно,

 

Если каждому значению цены p за единицу товара поставлено в соответствие число q – количество товара, которое производители готовы продать по данной цене за определенный промежуток времени, то говорят, что задана функция предложения, и пишут q=φ(p).

Эта функция определена для тех значений , для которых  и множество ее значений .

Пример 4. Функция предложения некоторого товара на рынке имеет вид , где q – количество предлагаемого товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

·        Область определения и множество значений функции q

·        Объем предложения при ценах за единицу товара:

·        Зависимость цены за единицу товара от объема спроса, т.е. функцию

Решение: 1) Найдем область определения:

Множество значений функции q при  будет .

1)      При

2)      Найдем функцию

 

 

 

 

 

 

Содержание практической работы:

Задание 1. Найти область определения функции

Задание 2. Установить четность или нечетность функции.

Задание 3. а) Функция спроса на некоторый товар имеет вид , где q – количество товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

·        Область определения и множество значений этой функции

·        Функцию цены в виде

·        Объем спроса при ценах на товар:

·        Цену за единицу товара, если ,

·         Выручку продавцов в каждом из этих случаев.

 

б) Функция спроса на некоторый товар имеет вид , где q – количество товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

·        Область определения и множество значений этой функции

·        Функцию цены в виде

·        Объем спроса при ценах на товар:

·        Цену за единицу товара, если ,

·         Выручку продавцов в каждом из этих случаев.

 

Задание 4. а) Функция предложения некоторого товара на рынке имеет вид , где q – количество предлагаемого товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

·        Область определения и множество значений функции q

·        Объем предложения при ценах за единицу товара:

·        Зависимость цены за единицу товара от объема спроса, т.е. функцию

б) Функция предложения некоторого товара на рынке имеет вид , где q – количество предлагаемого товара (тыс. шт.); p – цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

·        Область определения и множество значений функции q

·        Объем предложения при ценах за единицу товара:

·        Зависимость цены за единицу товара от объема спроса, т.е. функцию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                 Практическая работа №2

Предел последовательности и предел функции. Замечательные пределы.

 

Время на выполнение: 45 минут

Перечень объектов контроля и оценки

 

Наименование объектов контроля и оценки	Основные показатели оценки результата	Оценка
У1Сформировать умение находить пределы последовательностей и пределы функций, использовать замечательные пределы для нахождения пределов.	Определения предела, предела последовательности, предела функции, теоремы о пределах, определения 1-го, 2-го замечательных пределов.	1 балл за каждое задание
З1. Основные понятия и методы математического анализа	- Формулировка определения области определения и значения функции, свойства функции.

За верное решение работы выставляется положительная оценка – 10 баллов

За неверное решение работы выставляется положительная оценка – 0 баллов

Теоретические сведения к практической работе

Пусть существует последовательность действительных чисел .

Число а называется пределом последовательности

Пример 1. Вычислить предел

Решение

Пример 2. Вычислить предел

Решение 

Пример 3. Вычислить предел

Решение 

Пример 4. Вычислить предел

Решение

Число А называют пределом функции f(x) при  (и пишут ), если для любого  найдется число  зависящее от , такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство 

Теоремы о пределах.

1.  (c=const).

2. Если  то:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел (число е = 2,718…):

 или

Замечательные пределы:

                

                

Пример 5. Вычислить предел

Решение 

Пример 6. Вычислить предел

Решение 

Пример 7. Вычислить предел

Решение

Пример 8. Вычислить предел

Решение

 

 

Чтобы найти предел элементарной функции  нужно предельное значение аргумента подставить в функцию и посчитать. При этом, если х=х₀ принадлежит области определения функции, то значение предела будет найдено, оно равно значению функции в точке х=х₀.

 При вычислении пределов полезно использовать следующие соотношения. Если  то, учитывая свойства б.б. и б.м. функций, получим:

еслиесли a>1.

Случаи, в которых подстановка предельного значения аргумента
в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями;
к ним относятся неопределенности видов:

Пример 9. Вычислить предел

Решение

Пример 10. Вычислить предел

Решение 

Пример 11. Вычислить предел

Решение

 

 

 

 

Содержание практической работы

Задание 1. Вычислить пределы последовательностей:

Задание 2. Вычислить пределы функций:

Задание 3. Вычислить пределы функций, используя замечательные пределы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                    Практическая работа №3

                                       Непрерывность функции, точки разрыва.

Время на выполнение: 90 минут

Перечень объектов контроля и оценки

 

Наименование объектов контроля и оценки	Основные показатели оценки результата	Оценка
У1Сформулировать умение исследовать функцию на непрерывность и наличие точек разрыва, определять род точек разрыва.	Доказывать непрерывность функции ,находить точки разрыва функции и устанавливать их тип,	1 балл за каждое задание
З1. Основные понятия и методы математического анализа	Формулировка  функции непрерывной в точке, на некотором промежутке, определение точки разрыва

За верное решение работы выставляется положительная оценка – 10 баллов

За неверное решение работы выставляется положительная оценка – 0 баллов

 

о

 

Теоретические сведения к практической работе

Функция  называется непрерывной
в точке х₀, если она: 1) определена в точке х₀; 2) имеет конечный предел при ; 3) этот предел равен значению функции в этой точке

Функция называется непрерывной, если:

1)    

2)    

3)    

Функция называется непрерывной на некотором промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Пример 1: Доказать, что функция непрерывна на (-∞;+∞)

Решение:

Точка х₀ называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполнено хотя бы одно из условий 1—3 непрерывности функции. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.

Классификация точек разрыва:

1)     х₀ – точка устранимого разрыва, если а)

б) в точке х₀ функция не определена

2)     х₀ – точка разрыва I рода, если

 - скачок функции

3)     х₀ – точка разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует

Пример 2:

Найти точки разрыва функции и установить их тип

 

 

 

 

 

 

Содержание практической работы

Задание 1. Доказать, что функция является непрерывной

Задание 2. Найти точки разрыва и установить их тип

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                    Практическая работа №4

              Производная и ее геометрический смысл. Правило Лопиталя.

 

                                                       Практическая работа№5

                   Интеграл. Методы интегрирования. Определенный интеграл

 

 

Время на выполнение: 90минут ПР №4. ПР №5-90 минут

Перечень объектов контроля и оценки

 

Наименование объектов контроля и оценки	Основные показатели оценки результата	Оценка
Сформировать умение находить производные функций , заданных в явном, логарифмическом и параметрическом виде, находить производные сложных функций, знать геометрический смысл производной, применять правило Лопиталя.  2.Сформировать умение вычислять неопределенные интегралы и определенные, используя различные методы интегрирования.	Вычислять интегралы( заменой переменной, по частям).	1 балл за каждое задание
З1. Основные понятия и методы математического анализа	Определения первообразной для функции.  Неопределенного интеграла , операция интегрирования, свойства неопределенного интеграла. Таблицу неопределенных интегралов ,алгоритм  замены переменной. Определение определенного интеграла и его свойства

За верное решение работы выставляется положительная оценка – 10 баллов

За неверное решение работы выставляется положительная оценка – 0 баллов

Теоретические сведения к практической работе

Производной функции  называется конечный предел отношения приращения функции  к приращению независимой переменной  при стремлении последнего к нулю:

                                               (1)

   Обозначения производной в точке х₀:

 и другие.

Если функция в точке х₀ (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.

Геометрический смысл производной.

Если кривая задана уравнением ,
то — угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке ().

Уравнение касательной к кривой  
в точке х₀ (прямая М₀Т) имеет вид:

                                                                      (2)

а уравнение нормали (М₀N):

                                                                    (3)

Правила дифференцирования

№ пп	U = u(x),    V=V(x) — дифференцируемые функции	№ пп	U = u(x),    V=V(x) — дифференцируемые функции
I		VI	Производная сложной функции
II		VII	Функция задана параметричес-кими уравнениями
III
IV		VIII	Если  и  — взаимно обратные функции, то
V

 

Формулы дифференцирования основных элементарных функций

№ пп	с=const, х — независимая переменная, u = u(x) — диф­ференцируемая функция
1	С’= 0	9
2	x’= 1	10
3		11
4		12
5		13
6		14
7		15
8

Производной n-го порядка называется производная от производной (n–1)-го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

Производная второго порядка  или

Производная третьего порядка  или  и т. д.

Пример 1. Найти производные функций:

а)  б)  в)  г)

Решение.

а) Используя правила I, III и формулу (3), получим:

б) Используя правила дифференцирования произведения функций II, разности I, формулы (5), (7), (8) и учитывая, что независимая переменная есть t, т. е. t=1, получим:

в) Сложная степенная функция, независимая переменная есть v,
т. е. v=1; используя формулу (3), получим:

г) Используя правила дифференцирования частного IV, суммы I, III
и формулы (3), (14), учитывая, что t=1, получим:

Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой х₀=2.

Используем уравнения касательной (2) и нормали (3):

1)

2)

   

Подставим  в уравнения и получим:

или  — уравнение касательной.

 или — уравнение нормали.

Пример 3. Найти производную , если функция задана парамет-рически:

Используем правило VII

Пример 4. Найти дифференциалы функций:

а)  б)  в)

Для дифференциала функции  справедлива формула  т. е. дифференциал функции равен произведению производной от функции на дифференциал независимой переменной.

Решение.

а)

б)

в)

Пример 5. Найти производную второго порядка функции

Решение.  поэтому найдём производную первого порядка,
а затем второго.

 

Пример 6. Найти производную функции  логарифмическим дифференцированием

Правило Лопиталя. Предел отношения двух  б.м.  или б.б.  функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует:

                                                                              (5)

Чтобы использовать правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей других типов, выражение под знаком предела следует преобразовать элементарными способами так, чтобы получить неопределенность  или  и затем использовать формулу (5).

Пример 7. Найти пределы, используя правило Лопиталя или элементарные способы раскрытия неопределённостей:

 а)   б)  

Решение.

а) Подставляя в функцию вместо х предельное значение , определим предел числителя и знаменателя.

 т. к.

Аналогично:

Имеем неопределенность вида . Используем правило Лопиталя:

б)

  

 

 

 

 

 

 

 

Содержание практической работы

Задание 1. Найти производные 1-го порядка данных функций

1)

2) 3)           

4)

5)

6)          

 

Задание 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой y=f(x) в точке с абсциссой х₀.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 3. Найти производную  функции y=у(x), заданной параметрически:

1)

2)

3)

4)

5)

6)  

Задание 4. Найти дифференциалы функций:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 5. Найти производную второго порядка функции y=f(x).

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 6. Найти производную функции логарифмическим дифференцированием

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 7. Найти пределы, используя правило Лопиталя.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

 

                                Практическая работа №6

Применение определенного интеграла для вычисления площадей, длин и объемов фигур.

 Время на выполнение: 90минут

Перечень объектов контроля и оценки

 

Наименование объектов контроля и оценки	Основные показатели оценки результата	Оценка
У1. Сформировать умение применять определенный интеграл для вычисления площадей, длин и объемов фигур.	Определения определенного интеграла, его свойства,  формулы площадей плоских фигур,  формулы объема  фигур.	1 балл за каждое задание
З1. Основные понятия и методы математического анализа	Вычислять площади плоских фигур в декартовой системе координат ,площади фигур , ограниченными линиями, вычислить длину дуги кривой, найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ

За верное решение работы выставляется положительная оценка – 10 баллов

За неверное решение работы выставляется положительная оценка – 0 баллов

 

 

Теоретические сведения к практической работе

Площади плоских фигур

1. Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат

Если плоская фигура (рис. 1) ограничена линиями  , где  для всех , и прямыми , , то ее площадь вычисляется по формуле:

                                           (8)

Рис. 1	Рис. 2

 

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим схематический рисунок (рис. 2). Для построения параболы возьмем несколько точек:

x	0	1	–1	2	–2	3	–3	4	–4
y	–2	–1	–1	2	2	7	7	14	14

Для построения прямой достаточно двух точек, например  и .

Найдем координаты точек  и  пересечения параболы  и прямой .

Для этого решим систему уравнений

Тогда  Итак,

Площадь полученной фигуры найдем по формуле (8), в которой

 поскольку  для всех . Получим:

2. Вычисление площадей фигур, ограниченных линиями, заданными параметрически

Если функции  и  имеют непрерывные производные первого порядка для всех , то площадь плоской фигуры, ограниченной линией  прямыми  x = a, x = b, где  a = x(t₀),

b = x(t₁),  и осью OX,  вычисляется по формуле:

                                             (9)

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически:

Решение. Для построения фигуры составим таблицу значений координат (x, y) точек кривой, соответствующих различным значениям параметра

t	0
x	2	0	–2	0	2
y	0	3	0	–3	0

 

Рис. 3

Нанесем точки (x, y) на координатную плоскость XOY и соединим плавной линией. Когда параметр  изменяется от  до , соответствующая точка  описывает эллипс (известно, что  — параметрические формулы, задающие эллипс с полуосями a и b). Учитывая симметрию фигуры относительно координатных осей OX и OY, найдем её площадь S, умножив на 4 площадь криволинейной трапеции AOB. Согласно формуле (9) получим:

Длина дуги плоской кривой

1. Вычисление дуги плоской кривой в декартовых координатах

Рис. 4

Если кривая задана уравнением , функция  имеет непрерывную первую производную при всех , то длина дуги  (рис. 4) этой кривой, заключенной между точками  и , вычисляется по формуле:

  (10)

 

 

2. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически

Если кривая задана параметрически , и функции  имеют непрерывные производные 1-го порядка при всех , то длина дуги ,  соответствующей изменению параметра от  до , вычисляется по формуле:

                                    (11)

Пример. Найти длину дуги кривой

а)  б)

Решение.

а) Так как кривая задана в декартовой системе координат уравнением , то для вычисления длины дуги воспользуемся формулой (10). Найдем :                 и подставим в (10):

б)

Кривая задана параметрически, поэтому воспользуемся формулой (11). Найдем :

и подставим в (11):

Вычисление объемов тел вращения

Если тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью OX и прямыми ,  (рис. 5), то его объем вычисляется по формуле:

                                            (12)

Пример. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим криволинейную трапецию, вращением которой получается тело вращения (рис. 6).

Чтобы получить объем тела вращения из объема  тела, полученного вращением фигуры ОАВС, вычтем объем  тела, полученного вращением фигуры ОАВ. Тогда искомый объем . По формуле (12) найдем  и :       (ед. объема);

 (ед. объема);

(ед. объема).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание практической работы

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 3. Найти длину дуги кривой.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 4. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

 

 

 

 

Практическая работа № 7

Комплексные числа и действия с ними.

Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с комплексными числами.

Теоретические сведения к практической работе

Комплексное число – это выражение вида

                                            ,                                         (1.1)

где x, y – вещественные числа,  а  – мнимая единица. Первое из вещественных чисел, x, называется вещественной (действительной) частью комплексного числа (используется обозначение ); второе, y, - мнимой частью (). Выражение (1.1) называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Числом, сопряженным к , называют число вида . Используя формулу разности квадратов, получаем, что . Можно доказать, что корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом являются два сопряженных комплексных числа.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Дискриминант данного уравнения:  меньше нуля, но теперь мы можем воспользоваться мнимой единицей:

, т.е. ;   .

Справедливы следующие правила арифметических действий над комплексными числами  и :

1)  (осуществляется сложение или вычитание алгебраических двучленов и приведение подобных);

2)  (осуществляется перемножение алгебраических двучленов и приведение подобных с учетом того, что );

3)  (эта операция возможна только в случае, когда ).

Пример 2. Вычислить  и указать вещественную и мнимую части полученного комплексного числа.

Решение. Действуя в соответствии с правилами получаем:

;

поэтому ,  .

Тригонометрическая форма комплексного числа. Каждому комплексному числу вида (1.1) можно поставить в соответствие точку  M(x;y) на декартовой плоскости (при этом на оси OX располагаются вещественные числа , а на оси OY – чисто мнимые числа ).

Модулем комплексного числа назовем длину отрезка  (или расстояние от начала координат до точки M), т.е. . Аргументом комплексного числа () назовем угол, который вектор  образует с положительным направлением оси OX. Главное значение аргумента, которое, как правило, используется при осуществлении действий с комплексными числами, удовлетворяет условию . При этом выражение вида

                                                           (1.2)

называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Преобразуем (1.1)

и, сравнивая с (1.2), получаем, что аргумент z можно найти, решив систему

                    или                         (1.3.)

Пример 3.  Записать комплексное число в тригонометрической форме , указать модуль и аргумент комплексного числа.

Решение. По определению . Для определения аргумента воспользуемся формулой: . Получаем, что . Тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид: .

Возведение в степень и извлечение корней. Если комплексное число задано тригонометрической формой , то справедлива формула Муавра

                     .                                   (1.4)

Для извлечения корня n-й степени (n – целое число, большее 1) из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, применяется формула, дающая n значений этого корня:

,   k=0,1,…,n-1.         (1.5)

Пример 4. Вычислить: a) ;  b) .

Решение. В задании a), чтобы воспользоваться формулой Муавра, необходимо представить комплексное число в тригонометрической форме. Имеем: ;    и  , т.е.  (так как соответствующая точка лежит во второй четверти). Следовательно,  и   (в силу (1.4)). Учитывая что  и используя свойства тригонометрических функций, получаем:

.

В задании b) тригонометрическая форма заданного числа имеет вид   (|z|=1), поэтому в силу (1.5)

, k=0,1,2.

Выписываем три искомых корня:

;

;

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание практической работы

Задание 1. Вычислить, выписать вещественную и мнимую  части полученных комплексных чисел.

1)                2)                           3)

4)            5)            6)

7)                   

Задание 2. Запишите предложенные комплексные числа в тригонометрической форме: 1) ;   2) ;   3) ;   4)          5)        6)       7) .

Задание 3. Найти все корни уравнений:

1) ;                  2) ;          4) ;      5) ;         6)     7)

 

 

 

 

 

 

                           Практическая работа № 8

            Матрицы и действия с ними. Определитель матрицы.

Время на выполнение:    4 часа 15 минут

Перечень объектов контроля и оценки

 

Наименование объектов контроля и оценки	Основные показатели оценки результата	Оценка
У1. Сформировать умение выполнять арифметические действия с матрицами, находить определители матриц.	. Выполнение арифметических действий с матрицами. Вычислять определители матриц	1 балл за каждое задание
З1. Основные понятия и методы математического анализа	Определение матрицы, ее запись, обозначения, арифметические действия с матрицами. Эквивалентные матрицы, ранг .Вычисление определителей  матрицы.

За верное решение работы выставляется положительная оценка – 10 баллов

За неверное решение работы выставляется положительная оценка – 0 баллов

 

 

Теоретические сведения к практической работе

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, которую записывают в следующем виде:

.

Для обозначения матрицы используют прописные латинские буквы, для обозначения элементов матрицы – строчные латинские буквы с указанием номера строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Запись « матрица B имеет размер mxn» означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов. Например, матрица  имеет размер 2x3. Далее, b_ij  - обозначение элемента, стоящего на пересечении i-й строки и j-го столбца данной матрицы (в примере b₂₃=5).

При ссылке на i-ю строку матрицы A используют обозначение A_i, при ссылке на j-й столбец – обозначение A^j.

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной. Элементы a₁₁ , a₂₂ ,…,  a_nn  квадратной матрицы A (размера nxn) образуют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой отличные от нуля элементы могут стоять только на главной диагонали, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы (главной диагонали!) равны 1, называется единичной. Наконец, квадратная матрица, у которой ниже (выше) главной диагонали находятся только нули, называется верхней (нижней) треугольной матрицей. Например, среди квадратных матриц размера 3x3

, , ,

матрица A является верхней треугольной, B – диагональной, C – нижней треугольной, E – единичной.

Матрицы A, B называются равными (A=B), если они имеют одинаковый размер, и их элементы, стоящие на одинаковых позициях, совпадают.

Арифметические действия с матрицами.

Чтобы умножить матрицу A на отличное от нуля вещественное число k, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число:

.

Чтобы найти сумму матриц A, B одной размерности, необходимо сложить элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах):

.

Пример 1. Найти 2A-B, если , .

Решение. Сначала умножаем матрицу A на число «2», затем матрицу B на число «-1», и, наконец, находим сумму полученных матриц:

Имеем:

Произведение AB можно определить только для матриц A размера mxn и B размера nxp, при этом AB=C, матрица C имеет размер mxp, и ее элемент c_ij находится как скалярное произведение i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B:  (i=1,2,…,m;  j=1,2,…,p). Фактически необходимо каждую строку матрицы  A (стоящей слева) умножить скалярно на каждый столбец матрицы B (стоящей справа).

Пример 2. Найти произведение матриц   и .

Решение.  Размер матрицы  A 3x2, матрицы  В  2х2. Поэтому произведение АВ найти можно, произведение ВА – нет. Действуя по сформулированному выше правилу, получаем:

Матрицей, транспонированной к матрице A размера mxn, называется матрица A^T размера nxm, строки которой являются столбцами исходной матрицы.

Например, если  , то .

Пример 3. Найти  .

Решение. Воспользовавшись вычислениями, проведенными при решении примера, а также правилами умножения матрицы на число и сложения матриц, получим:

.

Матрицы A, B называются эквивалентными, если одна получена из другой путем элементарных преобразований.

Рангом матрицы A в дальнейшем будем считать число строк эквивалентной ей ступенчатой матрицы, используя обозначение  r(A). Так, в рассмотренном выше примере 3.4 r(A)=3, r(B)=2. Можно доказать, что ранг матрицы A (размера mxn) не может быть больше  (например, для матрицы А размера 2x3 ). Кроме того, ранг матрицы не зависит ни от выбора ведущих элементов, ни от проводимых преобразований. Это свойство можно использовать при проверке. Так, в примере 3.4 после перестановки первой и второй строки в матрице B можно в качестве ведущего сначала рассмотреть элемент b₁₂, а затем вычеркнуть третью строку, пропорциональную второй ():

Вычисление определителей. Определитель  матрицы A размера 2x2 (определитель 2-го порядка) – это число, которое можно найти по правилу:

                                     

(произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали).

Определитель матрицы A размера 3x3  (определитель 3-го порядка) – число, вычисляемое по правилу «раскрытие определителя по первой строке»:

 

Пример 4. Найти:

Решение. При нахождении определителя воспользуемся сначала формулой , а затем (для вычисления определителей 2-го порядка) формулой .

 

 

 

 

 

Содержание практической работы

Задание 1. Выполнить арифметические действия с матрицами:

1) ;                             2) ;

3) ;                   4) ;

5)  ;   

6);

7)     

Задание 2. Доказать равенство (AB)C=A(BC) для матриц:

1) ,  ,  ;

2) ,  ,  ;

3) ,  ,  ;

Задание 3. Найти: 1) ;       2) ;       3) .

Задание 4. Вычислить определители:

1) ;	2) ;	3)
4) ;	5) ;	6)
7) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                  Практическая работа № 9

Система линейных алгебраических уравнений и методы их решения.

Время на выполнение:    4 часа 15 минут

Перечень объектов контроля и оценки

 

Наименование объектов контроля и оценки	Основные показатели оценки результата	Оценка
У1. Сформировать умение исследовать и использовать различные методы для решения систем линейных алгебраических уравнений.	Знать классификацию (СЛАУ), определения и основные теоремы. Теорему Кронекера-Капелли, Теорему о качестве решений, Алгоритм метода Гаусса, теорема Крамера,	1 балл за каждое задание
З1. Основные понятия и методы математического анализа	Рассмотреть системы  линейных алгебраических уравнений(СЛАУ) Выписывать матрицу коэффициентов и столбец свободных членов для ( СЛАУ)

За верное решение работы выставляется положительная оценка – 10 баллов

За неверное решение работы выставляется положительная оценка – 0 баллов

 

Теоретические сведения к практической работе

Рассмотрим системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) произвольной размерности, состоящие из m уравнений с n неизвестными:

             .                                  (*)

Матрица , составленная из коэффициентов системы (*), называется матрицей системы (ее размер – mxn), а вектор  (m-мерный)- столбцом (вектором) свободных членов. Матрицу вида  называют расширенной матрицей системы (*). Любой набор значений неизвестных , образующих n-мерный вектор , является решением системы (*), если эти числа удовлетворяют всем уравнениям системы (т.е. превращают их в тождества). Очевидно, что  при каждом i=1,2,…,m  (i-е уравнение представляет собой скалярное произведение i-й строки матрицы системы на вектор X), и (*) можно переписать в виде

                                        .                                                 (**)

Запись (**) называется "матричной (векторной) формой записи" системы (*).

Пример 1. Выписать матрицу коэффициентов и столбец свободных членов для СЛАУ .

Решение. Очевидно, что ; .

Пример 2. Записать СЛАУ, если , .

Решение. Введем в рассмотрение вектор X и с каждым столбцом мысленно сопоставим неизвестное: с первым столбцом - , со вторым - , с третьим - , с четвертым - . Окончательно нужная система линейных алгебраических уравнений имеет вид

.

Классификация систем линейных алгебраических уравнений. Определения и основные теоремы. Если СЛАУ (*) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной (соответственно, система несовместная, если она вообще не имеет решений). Совместная система (*) называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения (в последнем случае у нее бесконечно много решений).

Матрицу системы (*) будем называть приведенной (а саму систему канонической), если в каждой i-й строке (i=1,2,…,m) есть элемент , а все остальные элементы j-го cтолбца равны нулю. Такие элементы (и соответствующие им неизвестные) будем называть ведущими, а оставшиеся неизвестные назовем свободными.

Теорема 1 (Кронекера-Капелли). СЛАУ (*) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы совпадает с рангом ее расширенной матрицы, т.е выполняется равенство .

Для совместной системы число  назовем рангом системы.

Теорема 2 (о количестве решений). Пусть СЛАУ (*) совместна. Если ее ранг равен числу неизвестных (), то система является определенной; если ранг системы меньше числа неизвестных (), то исходная система – неопределенная.

Неопределенная система, как было отмечено, имеет бесконечное множество решений. Совокупность всех решений называется общим решением системы.

Алгоритм метода Гаусса. Цель рассуждений – путем элементарных преобразований свести исходную систему к равносильной, решение которой можно выписать непосредственно. Основными шагами метода Гаусса являются следующие.

I. Прямой ход. Выписать расширенную матрицу системы, путем элементарных преобразований свести ее к эквивалентной ступенчатой и определить ранги матрицы и расширенной матрицы системы. Если они различны, то исходная система несовместна, т.е. не имеет решений. Если , то переходим к следующему этапу.

II. Сравнить ранг системы и число неизвестных, сделать вывод о количестве решений, учитывая теорему 2.

III. Обратный ход. Ступенчатую матрицу преобразовать к эквивалентной ей приведенной. Определить, какие неизвестные являются ведущими, какие – свободными.

IV. Выписать по полученной матрице систему, записать ответ (выразив, в случае неопределенной системы, ведущие элементы через свободные для построения общего решения).

Пример 3. Решить СЛАУ  .

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:

Последняя матрица – ступенчатая. Ведущими неизвестными для нее являются  в первой строке,  во второй и  в третьей. Очевидно, что система совместна и ее ранг равен 3: . Поскольку число неизвестных также равно 3, исходная система является определенной.

Переходим к проведению преобразований по обратному методу Гаусса (теперь необходимо получать нули НАД ведущими элементами).

Теперь составляем по последней матрице систему  и выписываем значения неизвестных в порядке их номеров: X=(3;1;1)^T. Это и есть ответ.

Пример 4. Для СЛАУ найти общее и два частных решения.

Решение. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатой.

Очевидно, что , число неизвестных n=4 и в соответствии с теоремой 6.2 исходная система является неопределенной. Ведущие неизвестные:  в первой строке,  во второй,  в третьей. Свободное неизвестное - . Обратным ходом преобразуем матрицу к приведенному виду:

Выписываем полученную систему и ведущие неизвестные выражаем через свободные: . Общее решение записываем в порядке нумерации неизвестных: ,  - любое вещественное число.

Частное решение можно получить, если придать свободному неизвестному  конкретное числовое значение. Например, при  , а при   .

Теорема Крамера. Рассмотрим «квадратную» систему линейных уравнений (число неизвестных совпадает с числом уравнений) вида

      .                            (*)

Теорема 3 (теорема Крамера). Если определитель матрицы системы (*) отличен от нуля (), то данная система имеет единственное решение, причем значения неизвестных находятся по формулам

     ,   i=1,2,…,n                                         

где - определитель матрицы, полученной из исходной матрицы системы путем замены i-го столбца на столбец свободных членов.

Пример 5. Решить систему  методом Крамера.

Решение. Выписываем A - матрицу системы и B - столбец свободных членов: , . Далее вычисляем определители:

;

;

;

.

По теореме Крамера ; ; . Для проверки результата подставим полученные значения неизвестных в каждое уравнение системы: ,  , . Все уравнения обратились в тождества, значит, решение найдено верно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание практической работы

Задание 1. По расширенной матрице выписать СЛАУ.

1)	2)
3)	4)

Задание 2. Решить системы уравнений методом Крамера и методом Гаусса.

1)	2)
3)	4)

 

Задание 3. Решить СЛАУ (в случае неопределенной системы выписывать общее и два любых частных решения).

1)	2)
3)	4)

 

 

 

 

 

 

 

Практическая работа №10

                               Множества и операции над ними.

Время на выполнение:  3 часа. 

Перечень объектов контроля и оценки

 

Наименование объектов контроля и оценки	Основные показатели оценки результата	Оценка
У1.Сформировать умение выполнять операции с множествами.	Решение задач на нахождение пересечения. Объединения , равенств множеств.	1 балл за каждое задание
З1. Основные понятия и методы математического анализа	Определение множества, Элементы множества, пересечение множеств, равенство, объединение.

За верное решение работы выставляется положительная оценка – 10 баллов

За неверное решение работы выставляется положительная оценка – 0 баллов

 

Теоретические сведения к практической работе

Множество – одно из основным понятий математики.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).

Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства:

Свойства перестановочности:

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство:

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Круги Эйлера (Эйлера-Вена) — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Пример: Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?

Решение: В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:

 

Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:

 

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».

Получаем:

 

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».

Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.

Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание практической работы

Задание 1. 1) Найти множества А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:

а) А={е, о, р, х} В={х, у}

б) А={х: -3<х<4} В={х: 0≤х≤6}

в) А={2ⁿ+1}, B={n+1} nєN

2) Найти множества А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:

а) А={12, 13, 14, 15} В={12, 14, 16}

б) А={х: 0<х<2} В={х: 1≤х≤4}

в) А={3-(n+1)}, B={n+5} nєN

Задание 2. 1) На 1 курсе учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 – немецкий, 92 – французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 – английский и французский, 30 – немецкий и французский, 14 – все три языка. Остальные знают только один испанский язык. Сколько студентов знают:

а) только один язык?

б) испанский язык?

в) только немецкий язык?

г) знают английский и немецкий, но не знают французский?

2) На 1 курсе учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 – немецкий, 92 – французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 – английский и французский, 30 – немецкий и французский, 14 – все три языка. Остальные знают только один испанский язык. Сколько студентов знают:

а) ровно два языка?

б) только французский язык?

в) знают немецкий и французский, но не знают английский?

г) не знают испанский язык?

 

 

 

 

 

Практическая работа №11

Элементы теории вероятностей и математической статистики: классическое определение вероятности события, формула полной вероятности, формула Байеса, формула Бернулли, дискретная случайная величина и ее числовые характеристики.

Время на выполнение:  4 часа 50 минут

 Перечень объектов контроля и оценки

 

Наименование объектов контроля и оценки	Основные показатели оценки результата	Оценка
У1. Сформировать умение решать задачи на нахождение вероятностей.	Решать задачи, используя классическое определение вероятности события. Используя формулы полной вероятности и Байеса, решать задачи. Решать задачи, используя формулы Бернулли. Находить числовые характеристики дискретных случайных величин.	1 балл за каждое задание
З1. Основные понятия и методы математического анализа	Классическое определение вероятности. Аксиомы вероятностей. Свойства вероятностей. Полная вероятность. Формула Байеса. Формула Бернулли. Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики.

За верное решение работы выставляется положительная оценка – 10 баллов

За неверное решение работы выставляется положительная оценка – 0 баллов

 

 

Теоретические сведения к практической работе

Классическое определение вероятности

Раздел математики, изучающий закономерности случайных событий, называется теорией вероятностей.

Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называют отношение числа исходов m,  благоприятствующих событию А, к числуn всех исходов испытания.

Пример 1: В партии из 30 миксеров 2 бракованных. Найти вероятность купить исправный миксер.

Аксиомы вероятностей:

Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое вероятностью события А.

Если события А₁, А₂ … попарно несовместны, то Р(А₁+А₂+…)=Р(А₁)+Р(А₂)+…

Свойства вероятностей:

Вероятность невозможного события равна нулю Р=0.

Вероятность достоверного события равна единице Р=1.

Вероятность произвольного случайного события А заключается между 0 и 1: 0<Р(А)<1.

Пример 2: Из 34 экзаменационных билетов, пронумерованных с помощью чисел от 1 до 34, наудачу извлекается один. Какова вероятность, что номер вытянутого билета есть число, кратное трем.

Решение: Найдем количество чисел от 1 до 34, кратных трем. Это числа 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33. Всего таких чисел 11. Таким образом, искомая вероятность

События А и В называются совместными, если они могут одновременно произойти, и несовместными, если при осуществлении одного события не может произойти другое.

События А и В называются независимыми, если вероятность наступления одного события не зависит от того, произошло другое событие или нет.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей слагаемых без вероятности произведения: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Пример 3: Вероятность поражения одной мишени – 0,7, а другой – 0,8. Какова вероятность, что будет поражена хотя бы одна мишень, если по ним стреляют независимо друг от друга.

Решение: Т.к. события совместны, то

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей слагаемых: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Р(А)+Р()=1

Условная вероятность – вероятность одного события, при условии, что другое событие уже произошло.

Вероятность произведения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого: Р(АВ)=Р(А)∙Р(А/В) или Р(ВА)=Р(А)∙Р(В/А)

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей сомножителей: Р(АВ)=Р(А)∙Р(В).

            Пример 4: В двух коробках лежат ручки разного цвета. В первой коробке – 4 красных и 6 черных, во второй – 3 красных, 5 синих и 2 черных. Из обеих коробок вынимают по одной ручки. Найти вероятность, что обе ручки красные.

Решение: Найдем вероятности вытащить красную ручку из каждой коробки

Тогда вероятность того, что обе ручки красные: 

Полная вероятность. Формула Байеса

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий Н₁, Н₂, …, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Если выполняются все условия, имеющие место для формулы полной вероятности, и , то выполняется равенство, называемое формулой Байеса:

Пример 1: В первой партии 20 ламп, во второй – 30 ламп и в третьей – 50 ламп. Вероятности того, что проработает заданное время, равна для первой партии 0,7, для второй – 0,8 и для третьей партии – 0,9. Какова вероятность того, что наудачу взятая лампа проработает заданное время? Найти вероятность, что эта лампа принадлежит первой партии?

Решение: Пусть событие А – наудачу взятая лампа проработает заданное время.

Тогда, пусть Н₁ – лампа из первой партии, Н₂ – лампа из второй партии и Н₃ – лампа из третьей партии. Тогда событие А/Н₁ – лампа из первой партии проработает заданное время, А/Н₂ – лампа из второй партии проработает заданное время и А/Н₃ – лампа из третьей партии проработает заданное время. Найдем вероятности

Теперь, используя формулу Байеса найдем вероятность того, что эта лампа принадлежит первой партии

 

Пример 2: Имеются 3 одинаковые урны. В первой урне находятся 5 белых и 7 черных шаров, во второй – только белые и в третьей – только черные. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Какова вероятность, что этот шар белый?

Решение: Пусть событие А – извлекается белый шар.

Тогда, пусть Н₁ – шар из первой урны, Н₂ – шар из второй урны и Н₃ – шар из третьей урны. Тогда событие А/Н₁ – белый шар из первой урны, А/Н₂ – белый шар из второй урны и А/Н₃ – белый шар из третьей урны. Найдем вероятности

Формула Бернулли

1)      Вероятность того, что событие А наступит ровно m раз при проведении n независимых испытаний, каждый из которых имеет ровно два исхода вычисляется по формуле Бернулли

Пример 1: Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,2. Найти вероятность, что из 6 приобретенных билетов 2 окажутся выигрышными.

Решение:

 

2)      Вероятность наступления события А хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, равна

Пример 2: Прибор состоит из шести элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы каждого элемента за определенное время равна 0,6. Для безотказной работы прибора необходимо, чтобы хотя бы один элемент был исправен. Какова вероятность, что за данное время прибор будет работать безотказно?

Решение:

 

3)      Вероятность наступления события А хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, наступит не менее m₁ и не более m₂ раз вычисляется по формуле

Пример 3: Найти вероятность осуществления от двух до четырех разговоров по телефону при наблюдении пяти независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна 0,7.

Решение:

 

4)      Наивероятнейшее значение m₀ числа наступления события А при проведении n повторных независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, вычисляется по формуле

Пример 4: Магазин получил 50 деталей. Вероятность наличия нестандартной детали в партии равна 0,05. Найти наиболее вероятное число нестандартных деталей в партии.

Решение:

Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики

Случайная величина Х – это числовая функция , определенная на пространстве элементарных событий. Случайные величины, имеющие счетные множества возможных значений, называются дискретными. Дискретная случайная величина определена, если известны все ее значения и соответствующие им вероятности. Соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями называют распределением вероятностей случайной величины. Для дискретной случайной величины это соответствие может быть записано в виде таблицы:

xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

 

Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины Х называют сумму произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности

Дисперсией дискретной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания . Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формулам:

Средним квадратичным отклонением дискретной случайной величины называют корень квадратный из дисперсии .

Если случайная величина Х имеет биномиальное распределение вероятностей, то

Пример 1: Случайная величина Х задана таблицей распределения вероятностей. Найти М(Х), D(Х), σ(Х).

хi	2	5	8	9
рi	0,1	0,4	0,3	0,2

Решение:

 

Пример 2: Найти математическое ожидание и дисперсию числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 100 билетов, а вероятность выигрыша на каждый билет равна 0,05.

Решение:

 

 

Содержание практической работы

Задание 1. Используя классическое определение вероятности события, решить следующие задачи:

1.  В коробке 4 красных, 5 зеленых, 8 желтых, 7 белых и 1 черный шар. Найти вероятность вытащить: красный шар; синий шар; белый шар; цветной шар; или зеленый или белый шар; не красный шар; шар одного из цветов светофора.

2.  В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – девочка, если известно, что в семье есть дети обоего пола?

3. Мастер, имея 10 деталей, из которых 4 – нестандартных, проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали?

4. В одном ящике 3 белых и 7 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 8 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

5. Издательство отправило газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,9, во второе - 0,7, в третье - 0,85. Найти вероятность следующих событий:

а) только одно отделение получит газеты вовремя;

б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

6. В первой урне находятся 12 белых и 4 черных шаров, а во второй 5 белых и 10 черных шаров. Из каждой урны вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными? Какова вероятность, что оба шара окажутся белыми?

7. В партии из 25 деталей находятся 8 бракованных. Вынимают из партии наудачу две детали. Определить, какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными.

8. Подброшены две игральные кости. Найти вероятность события A того, что выпадет хотя бы одна шестерка.

9. Найти вероятность, что при бросании игральной кости выпадет число, большее 4.

10. Найти вероятность, что при бросании игральной кости выпадет число, не меньшее 2 и не большее 5.

Задание 2. Используя формулы полной вероятности и Байеса, решить следующие задачи:

1. Имеются 2 одинаковые урны. В первой урне находятся 7 белых и 3 черных шаров, во второй – 6 белых и 4 черных. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Выбранный шар оказался черным. Какова вероятность, что этот шар из 2 урны?

2. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру =0,5, ко второму =0,6. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером =0,94, а вторым =0,92. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

3. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная равна 0,9, а второго – 0,8. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь – стандартная.

4. Имеются 3 одинаковые урны. В первой урне находятся 6 синих и 4 черных шаров, во второй – только синие и в третьей – только черные. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Какова вероятность, что этот шар синий?

5. Имеются 2 одинаковые урны. В первой урне находятся 7 белых и 3 черных шаров, во второй – 6 белых и 4 черных. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Выбранный шар оказался черным. Какова вероятность, что этот шар из 1 урны?

Задание 3. Используя формулу Бернулли, решить следующие задачи:

1. Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превысит установленной нормы равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

2. Найти вероятность осуществления от одного до трех разговоров по телефону при наблюдении шести независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна 0,6.

3. Прибор состоит из пяти элементов, включенных в цепь параллельно и работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы каждого элемента за время Т равна 0,5. Для безаварийной работы прибора достаточно, чтобы хотя бы один элемент был исправен. Какова вероятность того, что за время Т прибор будет работать безотказно?

4. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету =0,3. Какова вероятность того, что из семи приобретенных билетов три билета окажутся выигрышными?

5. Магазин получил 40 деталей. Вероятность наличия нестандартной детали в партии равна 0,04. Найти наиболее вероятное число нестандартных деталей в этой партии.

6. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найдя вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди 5 отобранных, найти наивероятнейшее число появления бракованных деталей из 5 отобранных, указав его вероятность.

7. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее выпадение тройки было равно 10?

8. Для данного участника игры вероятность набросить кольцо на колышек =0,3. Какова вероятность того, что при шести бросках 3 кольца окажутся на колышке?

9. На самолете имеются 4 одинаковых двигателя. Вероятность нормальной работы каждого двигателя в полете равна р. Найти вероятность того, что в полете могут возникнуть неполадки в одном двигателе.

10. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,4. Что вероятнее ожидать: отказ двух приборов при испытании четырех или отказ трех приборов при испытании шести, если приборы испытываются независимо друг от друга?

11. Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии не превысит суточной нормы равна 0,8. Какова вероятность того, что в течение пяти рабочих дней из семи перерасхода электроэнергии не будет?

Задание 4. Найти числовые характеристики дискретных случайных величин:

1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон ее распределения:

хi	3	5	2
рi	0,1	0,6	0,3

2. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

3. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

хi	1	2	5
рi	0,3	0,5	0,2

 

4.Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

хi	2	3	5
рi	0,1	0,6	0,3

 

5. Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины Х – числа появления события в этих испытаниях.

 

 

 

Рекомендуемая литература

Основные источники

1.      Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика. – М.: Образовательно-издательский центр «Академия», 2011

2.      Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач  по высшей математике. – М: Издательский центр «Академия», 2011

3.      Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2009

4.      Дадаян А.А. Математика: учеб.- М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005

Дополнительные источники

1.      Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2007

2.      Математика и информатика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / Виноградов Ю.Н., Гомола А.И., Потапов В.И., Соколова Е.В./ - М.: Издательский центр «Академия», 2009

3.      Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля: учебник для образовательных учреждений нач. и сред. образования / В.А. Гусев, С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина. – М.: Издательский центр «Академия», 2011

4.      Спирина М.С. дискретная математика: учеб. – М.: Издательский центр «Академия», 2006

5.      Омельченко В.П. Математика. – Ростов-на-Дону.: Феникс, 2006