КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

• 1 слайд

  КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  Муниципальное образовательное учреждение
  средняя общеобразовательная школа №2
  Автор разработки
  Чумичева И.Б., учитель математики
  
  

• 2 слайд

  Цель:
  образовательные: углубить знания по теме «Квадратные уравнения»,вывести и доказать формулы корней квадратного уравнения, сформулировать умения применять формулы в решении задач;
  развивающие: развивать умения в нахождении корней квадратного уравнения, абстрагировать и обобщать, развивать навыки самоконтроля;
  воспитательные: воспитывать волю и настойчивость для решения поставленной задачи
  

• 3 слайд

  1.Квадратные уравнения. Определение , примеры.
  2.Неполные квадратные уравнения.
  3.Метод выделения полного квадрата . Вывод формулы корней квадратных уравнений . Решение квадратных уравнений.
  4.Приведённое квадратное уравнение.
  5.Теорема Виета.
  6.Теорема , обратная теореме Виета.
  7.Разложение квадратного трёхчлена на множители.
  8.Уравнения сводящиеся к квадратным.
  9.Занимательные задачи.
  10.Список используемого материала.
  

• 4 слайд

  
  Квадратным уравнением называется уравнение
  ax2+bx+c=0,
  где a,b,c- заданные числа, a≠0.
  x- неизвестное,
  a- первый или старший коэффициент,
  b- второй коэффициент,
  с- свободный член.
  Например:
  х2+7x-24=0
  4x2-x+5=0
  2x2+6x=x2+3x+9
  
  
  На главную
  о!
  Квадратное уравнение .
  Далее
  

• 5 слайд

  уравнение x2=d, где d>0, имеет два корня:
  x1=√d x2= -√d
  На главную
  т!
  Назад
  Проверь себя №1
  Доказательство
  Пример: решите уравнение x2=25.
  Решение:
  x2=25
  х1,2=±√25
  x1= 5 x2 = - 5
  Ответ: х1=5, х2= - 5
  
  

• 6 слайд

  Неполные квадратные уравнения.
  
  квадратное уравнение ax2+bx+c=0
  называют неполным, если хотя бы один из
  коэффициентов b или c равен 0.
  ax2=0 , (b=c=0)
  ax2+c=0 , (b=0) а≠0
  ax2+b=0 , (c=0).
  Например:
  3х2=0 х2-6х=0
  9х2-81=0 (х2-9)/(х-3)=0
  
  На главную
  о!
  

• 7 слайд

  Метод выделения полного квадрата.
  ax2+bx+c=0 , a ≠ 0 , /а
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  На главную
  Далее
  аx2+bx
  a
  +c
  =0
  bx
  a
  =
  -c
  a
  x2+
  2bx
  2a
  +
  b2
  (2a )2
  =
  -с
  a
  х2+
  (
  b
  2a
  b2 -4аc
  =
  4a2
  x+
  )
  2
  b2
  (2a )2
  +
  

• 8 слайд

  !
  Если b2-4ac≥0, то:
  b2-4ac=D - дискриминант
  - мы вывели формулу корней квадратного уравнения.
  b
  2a
  =
  (√b2-4ac)
  (2a)2
  (x+
  2
  )
  2
  b
  2a
  = ±
  x+
  b2-4ac
  √
  2a
  x1,2=-
  b
  2a
  b2-4ac
  √
  2a
  ±
  Далее
  

• 9 слайд

  Пример: решите квадратное уравнение x2+2x-3=0
  методом выделения полного квадрата.
  Решение:
  x2+2x-3=0
  x2+2x=3
  x2+2x+1=3+1
  (x+1)2=4 , из этого следует :
  x+1=2 , или x+1=-2 ,
  x1=1 x2= - 3
  Ответ: х1=1, х2= - 3
  На главную
  

• 10 слайд

  Формула квадратного уравнения .
  
  
  если b2-4ac<0, то уравнение ax2+bx+c=0 не имеет действительных корней,
  если b2-4ac>0, то уравнение ax2+bx+c=0 имеет два действительных корня,
  если b2-4ac=0, то уравнение ax2+bx+c=0 имеет два равных корня (x1=x2)
  !
  На главную
  Кое-что интересное
  -b±√D
  Х1,2=
  2а
  Проверь себя №2
  

• 11 слайд

  
  аx2+bx+c=0,если b-чётное число,
  
  
  
  b=2m , a≠0 , m2-ac≥0
  
  
  На главную
  -m√m2-ac
  х1,2=
  а
  то
  Доказательство
  

• 12 слайд

  x2+px+q=0 – приведённое квадратное уравнение ,
  (ax2+bx+c=0, где a=1)
  
  Любое квадратное уравнение аx2+bx+c=0 может быть приведённым , если разделить
  обе части на а , а≠0
  
  
  
  или
  
  На главную
  -p±√(p2-4q)
  х1,2=
  2
  ±√(p/2)2-q)
  х1,2=
  2
  - p
  о!
  

• 13 слайд

  Теорема Виета.
  Если x1и x2 - корни уравнения x2+px+q=0,то справедливы формулы :
  x1+x2=-p x1x2=q
  т.е. сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту , взятому с противоположным знаком , а произведение корней равно свободному члену.
  
  На главную
  т!
  Доказательство
  Далее
  

• 14 слайд

  Пример : один из корней уравнения x2-14x-15=0
  положителен . Не решая уравнения , определить
  знак второго корня.
  Решение: По теореме Виета: x1x2= -15<0 , пусть x1>0 ( по
  условию ),тогда x2<0.
  Ответ : x2<0
  На главную
  

• 15 слайд

  Теорема , обратная теореме Виета.
  т!
  Если числа p , q ,х1, x2 – таковы, что x1+x2=-p , x1x2=q , то x1 и x2 - корни уравнения x2+px+q=0.
  На главную
  Проверь себя №3
  Доказательство:
  х2+px+q=0
  х1+x2=-p , x2x1=q
  х2-x(x1+x2)+x1x2=x2-xx1-xx2+x1x2=x(x-x1)-x2(x-x1)=(x-x1)(x-x2),
  т.е. х2+px+q=(x-x1)(x-x2)
  
  

• 16 слайд

  Многочлен ax2+bx+c=0 , где а ≠ 0 , называют квадратным трёхчленом.
  Его можно разложить на множители способом группировки.
  Теорема: если x1 и x2 - корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0 , то при всех x справедливо равенство: ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
  На главную
  о!
  Доказательство
  Далее
  

• 17 слайд

  аx2+bx+c=a(x-x1)2 , если D=0
  
  аx2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) , если D>0
  Теорема: если квадратное уравнение ах2+bx+c=0
  имеет корни х1 и х2 , то справедливо тождество
  ax2+bx+c=а(х-х1)(х-х2). В случае , когда уравнение
  имеет лишь один корень х1 , справедливо
  тождество ax2+bx+c=a(x-x1)2 . Если уравнение не
  имеет корней , то квадратный трёхчлен ax2+bx+с
  не разлагается на множители .
  
  На главную
  т!
  Проверь себя №4
  

• 18 слайд

  Уравнения , сводящиеся к квадратным.
  о!
  Уравнение ax4+bx2+c=0 , где а≠0 , называют биквадратным. Решите биквадратное уравнение: 9х4+5х2-4=0. Решение: пусть х2=t , тогда x4=t2 , отсюда: 9t2+5t-4=0
  D=25+4×4×9=169
  
  t1=-1 , t2=8/18=4/9 x2= -1- не может быть x2=4/9 из этого следует x1,2=±2/3 Ответ: х1,2= ± 2/3
  
  На главную
  t1,2=
  -b±
  √ D
  2a
  t1,2=-
  -5±13
  2×9
  t1,2=-
  5±13
  18
  

• 19 слайд

  Решите уравнение: , О.Д.З.:х ≠-2 , х ≠3
  Решение : , |× (х+2)(х-3), получим:
  3(х-3)-4(х+2)=3(х+2)(х-3)
  3х-9-4х-8=3х2+6х-9х-18
  -х-17=3х2-3х-18
  3х2+х+17-18-3х=0
  3х2-2х-1=0
  
  х1=1 х2=-1/3
  Ответ: х1=-1/3 и х2=1
  
  На главную
  3
  х+2
  –
  4
  х-3
  = 3
  3
  х+2
  –
  4
  х-3
  = 3
  х1,2=
  1±2
  3
  х1,2=
  1±√1+3
  3
  

• 20 слайд

  Решите уравнение: О.Д.З.:х≠1 и х≠2
  Решение: умножим данное уравнение на (х-1)(х-2) 1+3(х-2)=(3-х)(х-1) 1+3х-6=3х-3-х2+х 1-6-х+х2+3=0 х2-х-2=0 х1,2=1/2±3/2 х1=2 х2=-1 х1=2-не подходит по О.Д.З.
  Ответ : х=-1.
  Корень х=2 - посторонний . При решении уравнения , содержащего неизвестное в знаменателе дроби , необходима проверка.
  На главную
  1
  (х-1)(х-2)
  +
  3
  х-1
  =
  3-х
  х-2
  х1,2=
  1
  2
  ±
  √
  1
  4
  +
  8
  4
  

• 21 слайд

  Решите уравнение:
  Решение: х2+7х+12=0 х1,2=-7/2±1/2 х1=-4 и х2=-3 , х2+7х+12=(х+4)(х+3) , |×(х+4)(х+3) О.Д.З.:х≠-4 , х≠-3;получим:
  (х+7)(х+3)-(х+4)+1=0 х2+7х+21+3х-х-4+1=0 х2+9х+18=0
  х1,2=-9/2±3/2 х1 = -6 х2=-3 – не подходит по О.Д.З. Ответ: х = -6
  На главную
  х+7
  х+4
  -
  1
  х+3
  +
  х2+7х+12
  1
  =0
  х1,2= -
  7
  2
  ±
  √
  49
  4
  -
  48
  4
  х+7
  х+4
  -
  1
  х+3
  +
  х2+7х+12
  1
  =0
  х1,2= -
  9
  2
  ±
  √
  81
  4
  -
  72
  4
  

• 22 слайд

  На главную
  1.Стая обезьян.
  2.Ряд чисел.
  3.Пчелиный рой.
  4.Какие числа?
  5.Интересное о дискриминанте.
  6.Квадратное уравнение.
  7.Теорема Виета.
  Занимательные задачи.
  

• 23 слайд

  
  На две партии разбившись,
  Забавлялись обезьяны.
  Часть восьмая их в квадрате
  В роще весело резвилась;
  Криком радостным двенадцать
  Воздух свежий оглашали.
  Вместе сколько, ты мне скажешь ,
  Обезьян там было в роще?
  Решение
  Стая обезьян.
  

• 24 слайд

  Решение: решим эту задачу с помощью уравнения. Пусть х обезьян было в роще , тогда по условию (х/8)2+12=х.
  Решим это уравнение (х/8)2+12=0
  1/64х2-х+12=0 , умножим это уравнение на 64 и получим:
  х2-64х+768=0
  х1,2=32± √1024-768
  х1,2=32± √256
  х1=32+16=48
  х2=32-16=16
  Ответ: в роще было 16 или 48 обезьян.
  
  Назад
  

• 25 слайд

  Задание: Записать ряд из пяти последовательных чисел , сумма квадратов первых трёх из которых равна сумме квадратов двух последних .
  Решение: Пусть х – первое число , тогда :
  х2+(х+1)2+(х+2)2=(х+3)2+(х+4)2 х2+х2+2х+1+х2+4х+4=х2+6х+9+х2+8х+16 х2+1+4– 9 –8х – 16=0 х2 – 8х – 20=0 х1,2=4± √16+20 х1=4+6=10 х2=4–6
  Ответ: существует два ряда чисел , обладающих требуемым свойством : 1 ряд : 10;11;12;13;14. 2 ряд : - 2; - 1;0;1;2.
  
  Назад
  

• 26 слайд

  
  Пчёлы в числе , равном квадратному корню из
  половины всего их роя , сели на куст жасмина ,
  оставив позади себя 8/9 роя . И только одна пчёлка из
  того же роя кружится возле лотоса , привлечённая
  жужжанием подруги , неосторожно попавшей в западню
  сладко пахнущего цветка . Сколько всего было пчёл в
  рое?
  Решение
  Пчелиный рой.
  

• 27 слайд

  Решение: Пусть всего пчёл было х , тогда : Решим это уравнение: √х/2=у , х=2у2 у+ +2=2у2 – |× 9; 9у+16у2+18-18у2=0 9у-2у2+18=0 – |× (-1) 2у2-9у-18=0 D=81+4×2×18=81+144=225 у1,2= у1=-6/4
  у2=6
  х1=2(-6/4)2=2(-3/2)2=2×9/4=4,5 , но число пчёл – натуральное, следовательно 4,5 – не подходит. х2=2×62=2×36=72
  
  Ответ: всего было 72 пчёл в рое .
  
  
  Назад
  х
  2
  √
  +
  8х
  9
  +
  2
  =х
  2х8ху2
  9
  9±15
  4
  

• 28 слайд

  
  Задание: найти три последовательных числа , отличающихся
  тем свойством , что квадрат среднего на 1 больше
  произведения двух остальных .
  Решение:
  (х-1) и х и (х+1)
  х2 - (х-1)(х+1)=1
  х2-х2+1=1
  Ответ : можно взять любы последовательные числа.
  Назад
  Какие числа?
  

• 29 слайд

  Если вам скажут :“ Квадратное уравнение ,
  дискриминант которого меньше нуля , не имеет
  решения ” , можете уточнить : “ Не имеет решения в
  действительных числах , в комплексных же имеет
  целых два ”.
  Пример:
  х2–2х+5=0 х1,2=1± √ (1-5 ) х1,2=1± √ (- 4 ) х1=1+2i x2=1– 2i
  Ответ: х1=1+2i
  x2=1–2i
  Занимательные задачи
  Формула уравнения
  

• 30 слайд

  Задание: в уравнении 4х2–15х+4m2=0 , найти m так , чтобы один корень был квадратом другого .
  Решение: х1=х22 (4m2)/4=х×х2 , значит m2=x3 , m=± √(x3)=±x √(x) .
  х+х2=15/4 х =(15–4х2)/4 4х=15–4х2 4х2+4х–15=0 х1,2=(–2± √4+4×15 )/4 х1,2=(-2±8)/4 х1=-10/4 – не натуральное число под корнем . х2=6/4=3/2 m=±3/2 √(3/2)
  Ответ: m=±3/2 √(3/2)
  Назад
  

• 31 слайд

  Задание: найти сумму квадратов корней уравнения
  ax2+bx+c=0 , не находя его корней.
  Решение:
  x1+х2=- b/x
  x1×x2 =c/a
  x2+bx/a+c/a=0
  x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-b/a)2-2c/a=b2/a2-2c/a=(b2-2ac)/a2
  Ответ:х12+х22=(b2-2ас)/а2
  Назад
  

• 32 слайд

  Проверь себя №1.
  1.Как будет выглядеть квадратное уравнение , если известны его коэффициенты а=2 , b=7 , с=-1 ? 1)2х2+7х+1=0 2)2х2+7х – 1=0 3)7х2+2х – 1 =0
  2.Найдите корни уравнения х2=289 . Какой из них является арифметическим? 1)х=17 , это арифметический корень 2)х= -17 , это арифметический корень 3)х1=17, это арифметический корень ; х2=-17
  3.Решите уравнение х2= – 16 1)х1,2=±4 2)х= –4 3) нет действительных корней
  Назад
  

• 33 слайд

  Проверь себя №2.
  1.Чему равен дискриминант уравнения 2х2+3х+1=0 1)D=9 2)D=17 3)D=1
  2.Не решая уравнения 4х2– 7х –2=0 , скажите , сколько корней оно имеет ? 1)данное уравнение имеет один корень 2)данное уравнение имеет два действительных корня 3)данное уравнение не имеет действительных корней
  3.Продолжите фразу :» Если дискриминант меньше нуля , то …» 1)уравнение не имеет решения 2)уравнение не имеет действительных корней 3)уравнение имеет два равных корня
  Назад
  

• 34 слайд

  Проверь себя №3.
  1.Один из корней уравнения х2 –15х +14=0 равен 1 .Чему равен второй корень ? 1) 14 2) 15 3) –15
  2.Не решая уравнения х2+2х – 80=0 , найдите сумму и произведение его корней . 1)х1+х2= – 80 ; х1х2 =2 2)х1+х2= – 2 ; х1х2= – 80 3)х1+х2= 80 ; х1х2 =2
  3.Как будет выглядеть приведённое квадратное уравнение , если известны его корни : х1=5 , х2=2 ? 1)х2–7х +10=0 2)х2+10х +7=0 3)х2–7х –10=0
  Назад
  

• 35 слайд

  Проверь себя №4.
  1.Если 2х2+х-3=2(х-1)(х+3/2) ,то какие корни будет иметь уравнение 2х2+х-3=0 ? 1)х1=-1 ,х2=-3/2 2)х1=-1 ,х2=3/2 3)х1=1 ,х2=-3/2 4)х1=1 ,х2=3/2
  2.Разложите на множители квадратный трёхчлен х2- 15х+26 , если решением уравнения х2 - 15х+26 =0 являются корни х1=13 , х2=2 1)(х+13)(х+2) 2)(х-13)(х+2) 3)(х-13)(х-2) 4)(х+13)(х-2)
  Назад
  

• 36 слайд

  ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ
  Проверь себя №1
  

• 37 слайд

  ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ
  Проверь себя №2
  

• 38 слайд

  ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ
  Проверь себя №3
  

• 39 слайд

  ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ
  Проверь себя №4
  

• 40 слайд

  НЕПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ
  Проверь себя №1
  

• 41 слайд

  НЕПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ
  Проверь себя №2
  

• 42 слайд

  НЕПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ
  Проверь себя №3
  

• 43 слайд

  НЕПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ
  Проверь себя №4
  

• 44 слайд

  Доказательство:
  ax2+bx+c=0
  ax2+2mx+c=0
  D=4m2-4ac=4(m2-ac)
  
  -m√m2-ac
  х1,2=
  -2m±√4(m2-ac)
  х1,2=
  2а
  -2m±2√(m2-ac)
  х1,2=
  2а
  а
  Назад
  

• 45 слайд

  Доказательство:
  х1= -p/2 + √ (p/2)2-q +
  х2= -p/2 - √(p/2)2-q
  х1+x2=-2p/2=-p , x1+x2=-p
  х1x2=(-p/2)2=(√(p/2)2-q)2=(p/2)-(p/2)2+q2=q , x1x2=q
  Назад
  

• 46 слайд

  Доказательство:
  Пр. часть a(x-x1)(x-x2)=ax2-axx2-axx1+ax1x2=ax2-а(х1+х2)х+ах1х2
  х1 и x2 – корни уравнения ax2+bx+c=0, т.е.
  уравнения x2+bx/a+c/а=0,то
  по теореме Виета x1+x2=-b/а , x1x2=c/а
  из этого следует: ax2-a(-b/a)x+ac/а=ах2+bx+c , что и
  требовалось доказать.
  Назад
  

• 47 слайд

  Доказательство:
  х2=d, d>0
  х 2- d=0
  d=(√d)2
  x 2– (√d )2 =0
  (x - √d)(x +√d)=0
  x1=√d x2=-√d ,что и требовалось доказать.
  Назад
  

• 48 слайд

  Список используемого материала:
  1. “Алгебра 8 класс” Виленкин Н.Я. Москва “Просвещение” 2001год
  2. “Алгебра 8 класс” Алимов Ш.А. Москва “Просвещение” 1994 год
  3.Энциклопедия для детей “ Математика” том 11 Москва “Аванта+” 1998 год
  4.“Сборник задач московских математических олимпиад ” Г.И.Зубелевич
  5.http://office.microsoft.com – картинки
  6. “Информатика в видеосюжетах” Л.Ф.Соловьёва Санкт-Петербург “БХВ-Петербург” 2002 год
  
  На главную