Лекция 9

Тема 9.  Комплексные числа.

Время: 2 часа

Цель лекции: Познакомить с понятием комплексного числа, алгебраической, тригонометрической и показательной формами комплексных чисел. Теоретически обосновать действия над комплексными числами. Показать возможность решения алгебраических уравнений в комплексной области.

План лекции:

1.      Понятие комплексного числа.

2.      Формы записи комплексных чисел.

3.      Действия над комплексными числами.

4.      Операции над комплексными числами, заданными в показательной форме.

5.      Основная теорема алгебры.

1.                 Понятие комплексного числа.

Комплексным числом z называется выражение вида z = x +iy, где х и у – действительные числа, а i – так называемая мнимая единица, i²= –1.

Если х = 0, то число 0+iy = iy называется чисто мнимым; если у = 0, то число x +i0 = х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т.е. RÌС.

Число х – действительная часть комплексного числа z и обозначается х=Rе z, а у – мнимой частью z, у=Im z.

Два комплексных числа    z₁ = x₁ +iy₁   z₂ = x₂ +iy₂ называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Понятия больше и меньше для комплексных чисел не вводятся. Два комплексных числа, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряжёнными.

Ось абсцисс – действительная ось, ось ординат – мнимая. Комплексное число можно задать в виде радиус вектора =. Длина вектора  называется модулем этого числа и обозначается  или r.

Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число – аргумент этого числа, обозначается Arg z или . Аргумент комплексного числа z=0 не определён. Аргумент комплексного числа z0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого  (k =0,–1,1,–2,2,…): Arg z= аrg z + , где аrg z – главное значение аргумента, заключённое в промежутке , т.е. < аrg z £ (иногда в качестве главного аргумента берут величину из промежутка ).

2.     Формы записи комплексных чисел.

Запись числа в виде  называют алгебраической формой комплексного числа. Модуль r и аргумент  можно рассматривать как полярные координаты вектора = , изображающего комплексное число . Тогда получаем , . Следовательно, комплексное число можно записать в виде  или . Такая запись называется тригонометрической формой.

Модуль  однозначно определяется по формуле . Например, . Аргумент   определяется из формул

,  , 

Так как , то , .

Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента z, т.е. считать .

Так как < аrg z £, то из формулы  получаем, что

Используя формулу Эйлера , комплексное число  можно записать в показательной (или экспотенциальной) форме , где  – модуль комплексного числа, а угол .

В силу формулы Эйлера функция – периодическая с основным периодом 2p. Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать .

Пример 1: Записать комплексные числа z₁ = –1+i и z₂ = –1 в тригонометрической и показательной формах.

Решение: Для числа z₁ имеем:

       , т.е. .

Поэтому

Для z₂ имеем          т.е.  .

Поэтому   .

3.     Действия над комплексными числами.

Суммой двух комплексных чисел z₁ и z₂           у                               z₁+z₂            

называется комплексное число, определяемое                   z₂                          

равенством .                                                     z₁

                                                                                              O                            x

Сложение комплексных чисел обладает переместительным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами. Из определения следует, что комплексные числа складываются как векторы. Из рисунка видно, что  . Это соответствие называют неравенством треугольника.

,   если .

.

Из равенства   следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. Из рисунка видно, что .

Отметим, что, т.е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости.

Поэтому, например, равенство  определяет на комплексной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки , т.е. окружность с центром в  и радиусом 1.

Произведением комплексных чисел z₁ = x₁+iy₁ и  z₂ = x₂+iy₂ называется комплексное число, определяемое равенством:

Произведение комплексных чисел можно находить путём формального перемножения двучленов  x₁ +iy₁ и   x₂ +iy₂, учитывая, что i²= –1.

Например, (2–3i)(–5+4i)= –10+8i+15i–12i² = –10+23i+12=2+23i.

Заметим, что  – действительное число.

Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным свойствами.

Найдём произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме: 

Мы показали, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности

  – формула Муавра.

Пример 2: Найти

Решение: Запишем сначала число   в тригонометрической форме:

;      

По формуле Муавра имеем

Частным двух комплексных чисел  z₁ и z₂≠0 называется комплексное число z, которое, будучи умноженным на z₂, даёт число z₁, т.е. , если .

Если положить ,  , , то из равенства  следует

Решая систему, найдём значения х и у:

.

На практике частное двух комплексных чисел находят путём умножения числителя и знаменателя на число, сопряжённое знаменателю.

Пример 3: Выполнить деление

Решение:

Для тригонометрической формы комплексного числа деление имеет вид:                       ,

т.е.                     .

Корнем п-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число , удовлетворяющее равенству .

Если положить , а , то по определению корня и формуле Муавра, получаем

.

Отсюда имеем

Т.е.   (арифметический корень).

Поэтому корень п-ой степени из комплексного числа имеет п различных значений, которые находятся по формуле:

,

Точки, соответствующие значениям , являются вершинами правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса  с центром в начале координат.

Пример 4: Найти все значения .

Решение: Запишем комплексное число  в тригонометрической форме.

.

.

Пример 5: Какое множество точек на комплексной плоскости определяется условием ?

Решение: Комплексное число  изображается вектором, началом которого является точка , а концом ‒ точка

. Угол между этим вектором и осью ОХ есть , и он меняется в пределах от  до .

Следовательно, данное неравенство определяет угол между прямыми, выходящими из точки  и образующими с осью ОХ углы в   и  рад.

4.   Операции над комплексными числами, заданными в показательной форме

Пусть  и , тогда:

1.     Произведение ;

2.     Частное ;

3.     Возведение в n – ю степень ;

4.     Извлечение корня n – й степени , .

Формулы Эйлера.

Рассмотрим разложение функции  по формуле Маклорена.

Если действительную переменную х заменить комплексной переменной z, то получим ряд по степеням z:

                   (1)

Аналогично определяются тригонометрические функции  и  комплексной переменной z:

      (2)

             (3)

Подставим в (1)  вместо z и сгруппируем в правой части все слагаемые, содержащие множитель i и не содержащие этот множитель.

Сравнивая полученный результат с формулами (2) и (3), получаем

      и        

Таким образом, с помощью понятия комплексного числа устанавливается связь между тригонометрическими и показательной функциями:

Складывая и вычитая эти два выражения, получим

; .

Используя понятие комплексных чисел, вводится понятие гиперболических синуса и косинуса:

;      .

Из формулы Эйлера следует, что

;     .

Приведенные известные из элементарной математики формулы:

,       ;

;         ,

справедливы и для комплексных значений аргументов  и .

5.     Основная теорема алгебры: 

Функция вида , где п – натуральное число,  – постоянные коэффициенты, называется многочленом п-ой степени с действительными коэффициентами (или целой рациональной функцией).

Корнем многочлена называется такое значение х₀ (вообще говоря комплексное) переменной х, при котором многочлен обращается в нуль.

Теорема: Если х₁ есть корень многочлена , то многочлен делится без остатка на х–х₁, т.е. , где  – многочлен степени (п–1).

Теорема: (основная теорема алгебры) Всякий многочлен п-ой степени (n>0) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.

Теорема: Всякий многочлен  можно представить в виде

,

где  – корни многочлена, – коэффициент многочлена при х^п.

Множители  называются линейными множителями.

Пример 1: Разложить многочлен  на множители.

Решение: Многочлен  обращается в нуль при  Следовательно .

Пример 2: Представить выражение  в виде произведения линейных множителей.

Решение: Легко проверить, что  является корнем данного многочлена.

 =

Уравнение  имеет два комплексных корня  и .

Следовательно, .

Если в разложении многочлена какой-либо корень встретился k раз, то он называется корнем кратности k. Тогда разложение многочлена можно записать в виде: , где ‒ кратности соответственно корней .

Теорема: Если многочлен  с действительными коэффициентами имеет комплексный корень , то он имеет сопряжённый корень .

Перемножив линейные множители,

,

получили трёхчлен второй степени с действительными коэффициентами

=, где

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряжённым корням, можно заменить квадратным трёхчленом с действительными коэффициентами. Поэтому справедлива следующая теорема:

Теорема: Всякий многочлен п-ой степени с действительными коэффициентами  может быть  разложен на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами:

где ,

 х₁, х₂, … , х_r – корни  многочлена, а все квадратные трехчлены не имеют действительных корней.

Пример:   этот многочлен имеет корни: х₁= ‒2 и х₂=3, других действительных корней нет. Тогда  .