Лекция 9
Тема 9. Комплексные числа.
Время: 2 часа
Цель лекции: Познакомить с понятием
комплексного числа, алгебраической, тригонометрической и показательной формами
комплексных чисел. Теоретически обосновать действия над комплексными числами.
Показать возможность решения алгебраических уравнений в комплексной области.
План
лекции:
1.
Понятие комплексного
числа.
2.
Формы записи комплексных
чисел.
3.
Действия над комплексными
числами.
4.
Операции над комплексными
числами, заданными в показательной форме.
5.
Основная теорема алгебры.
1.
Понятие
комплексного числа.
Комплексным
числом z называется выражение вида z = x +iy,
где х и у – действительные числа, а i – так называемая мнимая
единица, i2= –1.
Если х =
0, то число 0+iy = iy называется чисто мнимым; если у = 0, то
число x +i0 = х отождествляется с
действительным числом х, а это означает, что множество R всех действительных чисел является
подмножеством множества С всех комплексных чисел, т.е. RÌС.
Число х –
действительная часть комплексного числа z и обозначается х=Rе z, а у – мнимой частью
z, у=Im z.
Два комплексных
числа z1 = x1 +iy1 z2 = x2 +iy2 называются равными тогда
и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Понятия больше и
меньше для комплексных чисел не вводятся. Два комплексных числа, отличающиеся
лишь знаком мнимой части, называются сопряжёнными.
Всякое комплексное число можно
изобразить точкой М(х,у) плоскости Оху такой, что х=Rе z, у=Im z. Плоскость, на которой изображаются
комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
Ось абсцисс –
действительная ось, ось ординат – мнимая. Комплексное число можно задать в виде
радиус вектора =. Длина
вектора называется модулем этого
числа и обозначается или r.
Величина угла между положительным направлением действительной оси и
вектором , изображающим комплексное число – аргумент
этого числа, обозначается Arg z или . Аргумент комплексного числа z=0 не определён. Аргумент комплексного числа z0 – величина многозначная и
определяется с точностью до слагаемого (k =0,–1,1,–2,2,…): Arg z= аrg z + , где аrg z – главное
значение аргумента, заключённое в промежутке ,
т.е. < аrg z £ (иногда в качестве главного аргумента
берут величину из промежутка ).
2.
Формы записи комплексных чисел.
Запись числа в виде называют алгебраической
формой комплексного числа. Модуль r и
аргумент можно рассматривать как полярные
координаты вектора = ,
изображающего комплексное число . Тогда получаем
, .
Следовательно, комплексное число можно записать в виде или
. Такая запись называется тригонометрической
формой.
Модуль однозначно определяется по
формуле . Например, .
Аргумент определяется из формул
, ,
Так как , то , .
Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к
тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента z, т.е. считать .
Так как < аrg z £, то из
формулы получаем, что
Используя формулу Эйлера , комплексное число можно записать в показательной (или
экспотенциальной) форме , где – модуль комплексного числа, а угол .
В силу формулы Эйлера функция –
периодическая с основным периодом 2p. Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента
комплексного числа, т.е. считать .
Пример 1: Записать комплексные числа z1 = –1+i и z2 = –1
в тригонометрической и показательной формах.
Решение:
Для числа z1 имеем:
,
т.е. .
Поэтому
Для z2
имеем т.е.
.
Поэтому .
3. Действия над комплексными числами.
Суммой двух комплексных чисел z1 и z2
у z1+z2
называется
комплексное число, определяемое z2
равенством . z1
O x
Сложение комплексных чисел обладает переместительным
(коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами. Из определения
следует, что комплексные числа складываются как векторы. Из рисунка видно, что . Это соответствие называют неравенством
треугольника.
Разностью
двух комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное
число z, которое будучи сложенным с z2, даёт число z1, т.е. z = z1 – z2, если .
.
Из равенства следует, что геометрически комплексные числа вычитаются
как векторы. Из рисунка видно, что .
Отметим, что, т.е. модуль разности двух
комплексных чисел равен расстоянию d между точками,
изображающими эти числа на плоскости.
Поэтому, например, равенство определяет на
комплексной плоскости множество точек z,
находящихся на расстоянии 1 от точки , т.е. окружность с
центром в и радиусом 1.
Произведением комплексных чисел z1 = x1+iy1 и z2 = x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством:
Произведение комплексных чисел можно находить путём формального
перемножения двучленов x1 +iy1 и
x2 +iy2, учитывая, что i2= –1.
Например, (2–3i)(–5+4i)= –10+8i+15i–12i2
= –10+23i+12=2+23i.
Заметим, что – действительное число.
Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и
распределительным свойствами.
Найдём произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической
форме:
Мы показали, что при умножении комплексных чисел их модули
перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое
конечное число множителей. В частности
– формула Муавра.
Пример 2: Найти
Решение: Запишем
сначала число в тригонометрической форме:
;
По формуле Муавра имеем
Частным двух комплексных
чисел z1 и z2≠0
называется комплексное число z, которое, будучи
умноженным на z2,
даёт число z1, т.е.
, если .
Если положить , , , то из
равенства следует
Решая систему, найдём значения х и у:
.
На практике частное двух комплексных чисел находят путём
умножения числителя и знаменателя на число, сопряжённое знаменателю.
Пример 3: Выполнить деление
Решение:
Для тригонометрической формы комплексного числа деление
имеет вид: ,
т.е. .
Корнем п-ой степени из комплексного числа z
называется комплексное число ,
удовлетворяющее равенству .
Если положить , а , то
по определению корня и формуле Муавра, получаем
.
Отсюда имеем
Т.е. (арифметический корень).
Поэтому корень п-ой степени из комплексного числа имеет п различных
значений, которые находятся по формуле:
,
Точки, соответствующие значениям ,
являются вершинами правильного п-угольника, вписанного в окружность
радиуса с центром в начале координат.
Пример 4: Найти все значения .
Решение:
Запишем комплексное число в тригонометрической
форме.
.
.
Пример 5: Какое множество точек на комплексной плоскости определяется условием ?
Решение:
Комплексное число изображается вектором, началом
которого является точка , а концом ‒ точка z. Угол между этим вектором и осью ОХ есть , и он меняется в пределах от до .
Следовательно, данное неравенство определяет угол между прямыми,
выходящими из точки и образующими с осью ОХ углы
в и рад.
4. Операции над комплексными
числами, заданными в показательной форме
Пусть и ,
тогда:
1. Произведение ;
2. Частное ;
3. Возведение в n – ю степень ;
4. Извлечение корня n – й степени ,
.
Формулы
Эйлера.
Рассмотрим
разложение функции по формуле Маклорена.
Если
действительную переменную х заменить комплексной переменной z, то получим ряд по степеням z:
(1)
Аналогично
определяются тригонометрические функции и комплексной переменной z:
(2)
(3)
Подставим в (1) вместо z и сгруппируем в правой части все слагаемые, содержащие
множитель i и не содержащие этот
множитель.
Сравнивая
полученный результат с формулами (2) и (3), получаем
и
Таким образом, с
помощью понятия комплексного числа устанавливается связь между
тригонометрическими и показательной функциями:
Складывая и
вычитая эти два выражения, получим
; .
Используя понятие
комплексных чисел, вводится понятие гиперболических синуса и косинуса:
; .
Из формулы Эйлера
следует, что
; .
Приведенные
известные из элементарной математики формулы:
, ;
; ,
справедливы и для
комплексных значений аргументов и .
5. Основная теорема алгебры:
Функция вида , где п – натуральное число, – постоянные коэффициенты, называется многочленом
п-ой степени с действительными коэффициентами (или целой рациональной
функцией).
Корнем
многочлена называется такое значение х0 (вообще говоря
комплексное) переменной х, при котором многочлен обращается в нуль.
Теорема: Если х1
есть корень многочлена , то многочлен делится без
остатка на х–х1, т.е. , где – многочлен степени (п–1).
Теорема:
(основная теорема алгебры) Всякий многочлен п-ой степени (n>0) имеет по крайней мере один
корень, действительный или комплексный.
Теорема: Всякий многочлен можно представить в виде
,
где –
корни многочлена, – коэффициент многочлена при хп.
Множители называются линейными множителями.
Пример 1: Разложить многочлен на множители.
Решение: Многочлен обращается в нуль при
Следовательно .
Пример 2: Представить выражение в виде произведения линейных множителей.
Решение: Легко проверить, что является
корнем данного многочлена.
=
Уравнение имеет два комплексных корня и .
Следовательно, .
Если в разложении
многочлена какой-либо корень встретился k раз, то он называется корнем кратности k. Тогда разложение многочлена можно
записать в виде: , где ‒
кратности соответственно корней .
Теорема: Если многочлен с действительными коэффициентами имеет
комплексный корень , то он имеет сопряжённый корень
.
Перемножив
линейные множители,
,
получили трёхчлен второй степени с
действительными коэффициентами
=, где
Таким образом,
произведение линейных множителей, соответствующих сопряжённым корням, можно
заменить квадратным трёхчленом с действительными коэффициентами. Поэтому
справедлива следующая теорема:
Теорема: Всякий многочлен п-ой
степени с действительными коэффициентами может быть разложен на множители
первой и второй степени с действительными коэффициентами:
где ,
х1, х2, … , хr – корни многочлена, а все
квадратные трехчлены не имеют действительных корней.
Пример: этот
многочлен имеет корни: х1= ‒2 и х2=3,
других действительных корней нет. Тогда .
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.