Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Лекция по математике на тему "Комплексные числа"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Лекция по математике на тему "Комплексные числа"

библиотека
материалов

Лекция 9

Тема 9. Комплексные числа.

Время: 2 часа

Цель лекции: Познакомить с понятием комплексного числа, алгебраической, тригонометрической и показательной формами комплексных чисел. Теоретически обосновать действия над комплексными числами. Показать возможность решения алгебраических уравнений в комплексной области.

План лекции:

  1. Понятие комплексного числа.

  2. Формы записи комплексных чисел.

  3. Действия над комплексными числами.

  4. Операции над комплексными числами, заданными в показательной форме.

  5. Основная теорема алгебры.


  1. Понятие комплексного числа.

Комплексным числом z называется выражение вида z = x +iy, где х и у – действительные числа, а i – так называемая мнимая единица, i2= –1.

Если х = 0, то число 0+iy = iy называется чисто мнимым; если у = 0, то число x +i0 = х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т.е. RС.

Число х – действительная часть комплексного числа z и обозначается х=Rе z, а умнимой частью z, у=Im z.

Два комплексных числа z1 = x1 +iy1 z2 = x2 +iy2 называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Понятия больше и меньше для комплексных чисел не вводятся. Два комплексных числа, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряжёнными.

Вhello_html_m471a8d85.gifhello_html_mc79f2ce.gifhello_html_7fa54d44.gifhello_html_m2dbe005.gifhello_html_m156b26e8.gif

О х х

М

у


у

hello_html_1a12492.gif

hello_html_m63c82f19.gif

сякое комплексное число можно изобразить точкой М(х,у) плоскости Оху такой, что х=Rе z, у=Im z. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Ось абсцисс – действительная ось, ось ординат – мнимая. Комплексное число можно задать в виде радиус вектора hello_html_23ca0fbd.gif=hello_html_439905a7.gif. Длина вектора hello_html_23ca0fbd.gif называется модулем этого числа и обозначается hello_html_m70a6a002.gif или r.

Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором hello_html_23ca0fbd.gif, изображающим комплексное число – аргумент этого числа, обозначается Arg z или hello_html_6f95504e.gif. Аргумент комплексного числа z=0 не определён. Аргумент комплексного числа zhello_html_3750bfcb.gif0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого hello_html_33b4a0bf.gif (k =0,–1,1,–2,2,…): Arg z= аrg z + hello_html_33b4a0bf.gif, где аrg zглавное значение аргумента, заключённое в промежутке hello_html_m3ec9de2c.gif, т.е. hello_html_49fa605d.gif аrg z hello_html_m74733c04.gif (иногда в качестве главного аргумента берут величину из промежутка hello_html_557a8b47.gif).

  1. Формы записи комплексных чисел.

Запись числа в виде hello_html_m42e32317.gif называют алгебраической формой комплексного числа. Модуль r и аргумент hello_html_6f95504e.gif можно рассматривать как полярные координаты вектора hello_html_23ca0fbd.gif= hello_html_439905a7.gif, изображающего комплексное число hello_html_m42e32317.gif. Тогда получаем hello_html_209ee5be.gif, hello_html_m4d82f74b.gif. Следовательно, комплексное число можно записать в виде hello_html_m7cc5713.gif или hello_html_1e6c64f3.gif. Такая запись называется тригонометрической формой.

Модуль hello_html_m29c0d0d5.gif однозначно определяется по формуле hello_html_m778e3b35.gif. Например, hello_html_m41fab6f1.gif. Аргумент hello_html_6f95504e.gif определяется из формул

hello_html_32dee0af.gif, hello_html_4f7ab2a1.gif, hello_html_m16f91b4e.gif

Так как hello_html_111247e6.gif, то hello_html_34749403.gif, hello_html_m5e185b46.gif.

Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента z, т.е. считать hello_html_m2c9af32b.gif.

Так как hello_html_49fa605d.gif аrg z hello_html_m74733c04.gif, то из формулы hello_html_m16f91b4e.gif получаем, что



hello_html_m2cced6af.gif

Используя формулу Эйлера hello_html_m14b6d07f.gif, комплексное число hello_html_24a85906.gif можно записать в показательной (или экспотенциальной) форме hello_html_12e80b23.gif, где hello_html_49fe3b91.gif – модуль комплексного числа, а угол hello_html_111247e6.gif.

В силу формулы Эйлера функция hello_html_6f2e2cff.gif– периодическая с основным периодом 2. Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать hello_html_6e1a8bad.gif.

Пример 1: Записать комплексные числа z1 = –1+i и z2 = –1 в тригонометрической и показательной формах.

Решение: Для числа z1 имеем:

hello_html_4f2feb2a.gifhello_html_4a184ee2.gif , т.е. hello_html_m41ba4744.gif.

Поэтому hello_html_m3242969d.gif

Для z2 имеем hello_html_m74ab7291.gifhello_html_4ae3be55.gif т.е. hello_html_11f967ba.gif.

Поэтому hello_html_70720cb9.gif.


  1. Действия над комплексными числами.

Сhello_html_2b29152a.gifhello_html_52e2632e.gifhello_html_46d1b836.gifhello_html_m5a52c3a.gifуммой двух комплексных чисел z1 и z2 у z1+z2

нhello_html_m67b5bb42.gifазывается комплексное число, определяемое z2

рhello_html_m2c26a562.gifhello_html_3f0c1903.gifавенством hello_html_m6762ca2.gif. z1

O x

С

у

ложение комплексных чисел обладает переместительным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами. Из определения следует, что комплексные числа складываются как векторы. Из рисунка видно, что hello_html_m54f3338f.gif . Это соответствие называют неравенством треугольника.

hello_html_m528a8a45.gifhello_html_m7e7a0309.gifhello_html_m74dfdb51.gifhello_html_c2ce29b.gifhello_html_4bc662bc.gif

О х

z2

z1

Разностью двух комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z, которое будучи сложенным с z2, даёт число z1, т.е. z = z1 z2, если hello_html_m7ee93cde.gif.

hello_html_m6bf4a427.gif.

Из равенства следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. Из рисунка видно, что hello_html_m28ee2146.gif.

Отметим, чтоhello_html_70fbfac9.gif, т.е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости.

Поэтому, например, равенство hello_html_5dbadc36.gif определяет на комплексной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки hello_html_m37ef0256.gif, т.е. окружность с центром в hello_html_m37ef0256.gif и радиусом 1.

Произведением комплексных чисел z1 = x1+iy1 и z2 x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством:

hello_html_m73ad0e5c.gif

Произведение комплексных чисел можно находить путём формального перемножения двучленов x1 +iy1 и x2 +iy2, учитывая, что i2= –1.

Например, (2–3i)(–5+4i)= –10+8i+15i–12i2 = –10+23i+12=2+23i.

Заметим, что hello_html_35ebae19.gif– действительное число.

Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным свойствами.

Найдём произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме: hello_html_7e6741c1.gif


hello_html_6e183314.gif

hello_html_64072d29.gifhello_html_m2a2a7674.gif

Мы показали, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности

hello_html_2570b93e.gif – формула Муавра.

Пример 2: Найти hello_html_528c388d.gif

Решение: Запишем сначала число hello_html_5073df1a.gif в тригонометрической форме:

hello_html_m755f4d92.gif; hello_html_m65fce9c4.gifhello_html_m3e24b048.gif

По формуле Муавра имеем

hello_html_m4929e759.gif

Частным двух комплексных чисел z1 и z2≠0 называется комплексное число z, которое, будучи умноженным на z2, даёт число z1, т.е. hello_html_2b30d64e.gif, если hello_html_1a86c562.gif.

Если положить hello_html_m2848e452.gif, hello_html_m14913681.gif, hello_html_571dd40b.gif, то из равенства hello_html_m7972c2e8.gif следует

hello_html_m24702da2.gif

Решая систему, найдём значения х и у:

hello_html_m6a4be145.gif

hello_html_34e1ce9b.gif.

На практике частное двух комплексных чисел находят путём умножения числителя и знаменателя на число, сопряжённое знаменателю.



Пример 3: Выполнить деление hello_html_51aab3b3.gif

Решение: hello_html_7ade8ba0.gif

Для тригонометрической формы комплексного числа деление имеет вид: hello_html_49a5536b.gif,

т.е. hello_html_5fb58490.gifhello_html_m327bd6c4.gif.


Корнем п-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число hello_html_m602466b.gif, удовлетворяющее равенству hello_html_m7c04ff0d.gif.

Если положить hello_html_42b8c279.gif, а hello_html_m4839a7ce.gif, то по определению корня и формуле Муавра, получаем

hello_html_1a6a7e0e.gif.

Отсюда имеем hello_html_7d106ebd.gif

Т.е. hello_html_m1e7cb066.gif (арифметический корень).

Поэтому корень п-ой степени из комплексного числа имеет п различных значений, которые находятся по формуле:

hello_html_m3cfde310.gif, hello_html_m16b38cad.gif

Точки, соответствующие значениям hello_html_2da31c0.gif, являются вершинами правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса hello_html_3165087a.gif с центром в начале координат.

Пример 4: Найти все значения hello_html_2f507e03.gif.

Решение: Запишем комплексное число hello_html_2252379c.gif в тригонометрической форме.

hello_html_16173a99.gif.

hello_html_m3b04d9eb.gif.

hello_html_m4b5a4ec7.gif

hello_html_3811643d.gif

hello_html_m3a7aa5e7.gif

hello_html_474205fd.gif

Пример 5: Какое множество точек на комплексной плоскости определяется условием hello_html_m6ec92764.gif?

Рhello_html_3f9a7d31.gifhello_html_m77785bcf.gifhello_html_m485ced54.gif

y

ешение: Комплексное число hello_html_m20a9779a.gif изображается вектором, началом которого является точка hello_html_md009d46.gif, а концом ‒ точка z. Угол между этим вектором и осью ОХ есть hello_html_m1fbe2e03.gif, и он меняется в пределах от hello_html_m4b1293cd.gif до hello_html_m540e1b2b.gif.

Сhello_html_m438862c.gifhello_html_150f1819.gifhello_html_3fb0c7a8.gifhello_html_6e97ed6c.gif

-1 О х

1+i i

ледовательно, данное неравенство определяет угол между прямыми, выходящими из точки hello_html_md009d46.gif и образующими с осью ОХ углы в hello_html_m4b1293cd.gif и hello_html_590738c1.gif рад.



  1. Операции над комплексными числами, заданными в показательной форме

Пусть hello_html_m2902419f.gif и hello_html_m3883f98.gif, тогда:

  1. Произведение hello_html_m7f86b01f.gif;

  2. Частное hello_html_m6de17690.gif;

  3. Возведение в n – ю степень hello_html_m190e2c22.gif;

  4. Извлечение корня n – й степени hello_html_m7a416147.gif, hello_html_m652c34a.gif.

Формулы Эйлера.

Рассмотрим разложение функции hello_html_603c46a9.gif по формуле Маклорена.

hello_html_m4918aac6.gif

hello_html_6f189e68.gif

Если действительную переменную х заменить комплексной переменной z, то получим ряд по степеням z:

hello_html_3dc357a6.gif(1)

Аналогично определяются тригонометрические функции hello_html_m7a7911dc.gif и hello_html_m6bb5d2bb.gif комплексной переменной z:

hello_html_m5d0ca2b1.gif(2)

hello_html_b5ee4b2.gif(3)

Подставим в (1) hello_html_137121ac.gif вместо z и сгруппируем в правой части все слагаемые, содержащие множитель i и не содержащие этот множитель.

hello_html_6cc98d1d.gif

Сравнивая полученный результат с формулами (2) и (3), получаем

hello_html_m385292ec.gifи hello_html_me219965.gif

Таким образом, с помощью понятия комплексного числа устанавливается связь между тригонометрическими и показательной функциями:

Складывая и вычитая эти два выражения, получим

hello_html_m5e8dc366.gif; hello_html_5d1cb40e.gif.

Используя понятие комплексных чисел, вводится понятие гиперболических синуса и косинуса:

hello_html_1a188535.gif; hello_html_2c1b95d7.gif.

Из формулы Эйлера следует, что

hello_html_m45657528.gif; hello_html_42634038.gif.

Приведенные известные из элементарной математики формулы:

hello_html_4bd46058.gif, hello_html_699881ed.gif;

hello_html_m19c33c7a.gif; hello_html_m6bc1b1a7.gif,

справедливы и для комплексных значений аргументов hello_html_64ffcdfb.gif и hello_html_6e439f07.gif.


  1. Основная теорема алгебры:

Функция вида hello_html_m5c792e88.gif, где п – натуральное число, hello_html_1f568f1c.gif – постоянные коэффициенты, называется многочленом п-ой степени с действительными коэффициентами (или целой рациональной функцией).

Корнем многочлена называется такое значение х0 (вообще говоря комплексное) переменной х, при котором многочлен обращается в нуль.

Теорема: Если х1 есть корень многочлена hello_html_77965a21.gif, то многочлен делится без остатка на хх1, т.е. hello_html_5bfe85d8.gif, где hello_html_m36aaf1e9.gif – многочлен степени (п–1).

Теорема: (основная теорема алгебры) Всякий многочлен п-ой степени (n>0) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.

Теорема: Всякий многочлен hello_html_77965a21.gif можно представить в виде

hello_html_m176289f4.gif,

где hello_html_m38e312f6.gif – корни многочлена, hello_html_bb926e4.gif– коэффициент многочлена при хп.

Множители hello_html_6f7a6f39.gif называются линейными множителями.

Пример 1: Разложить многочлен hello_html_m7b221a72.gif на множители.

Решение: Многочлен hello_html_m7b221a72.gif обращается в нуль при hello_html_m6c003b84.gif Следовательно hello_html_m79fccb7.gif.

Пример 2: Представить выражение hello_html_1c5a7686.gif в виде произведения линейных множителей.

Решение: Легко проверить, что hello_html_m6f7a8c77.gif является корнем данного многочлена.

hello_html_1c5a7686.gif= hello_html_35671d38.gif

Уравнение hello_html_m6c5fa9b2.gif имеет два комплексных корня hello_html_m5f0be648.gif и hello_html_m2f615871.gif.

Следовательно, hello_html_1c5a7686.gifhello_html_m2e652afd.gif.

Если в разложении многочлена какой-либо корень встретился k раз, то он называется корнем кратности k. Тогда разложение многочлена можно записать в виде: hello_html_76fe4fa5.gif, где hello_html_m45fd2a8.gif‒ кратности соответственно корней hello_html_24999387.gif.

Теорема: Если многочлен hello_html_77965a21.gif с действительными коэффициентами имеет комплексный корень hello_html_m27abaf3b.gif, то он имеет сопряжённый корень hello_html_m34ad085c.gif.

Перемножив линейные множители,

hello_html_6732f347.gifhello_html_126a56ee.gif,

получили трёхчлен второй степени с действительными коэффициентами

hello_html_6732f347.gif=hello_html_1598f8b8.gif, где hello_html_1c7a4599.gif

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряжённым корням, можно заменить квадратным трёхчленом с действительными коэффициентами. Поэтому справедлива следующая теорема:

Теорема: Всякий многочлен п-ой степени с действительными коэффициентами может быть разложен на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами:

hello_html_57555b02.gif

где hello_html_7664739c.gif,

х1, х2… , хr корни многочлена, а все квадратные трехчлены не имеют действительных корней.

Пример: hello_html_m507d2fe7.gif этот многочлен имеет корни: х1= ‒2 и х2=3, других действительных корней нет. Тогда hello_html_206650ae.gif.


10



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Данный материал полезен при подготовке к уроку математики в 11 классе. Также может быть использован в средних специальных учебных заведениях, на первом курсе Вуза.

Цель лекции: Познакомить с понятием комплексного числа, алгебраической, тригонометрической и показательной формами комплексных чисел. Теоретически обосновать действия над комплексными числами. Показать возможность решения алгебраических уравнений в комплексной области.

План лекции:

1.      Понятие комплексного числа.

2.      Формы записи комплексных чисел.

3.      Действия над комплексными числами.

4.      Операции над комплексными числами, заданными в показательной форме.

5.      Основная теорема алгебры.

Автор
Дата добавления 20.11.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров2287
Номер материала 139525
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх