Математическа регата. Школьный тур

• 1 слайд

  МОУ «Лицей № 8»
  Ах, эта математика –  
  Наука очень строгая. 
  Учебник математики 
  Всегда берёшь с тревогою. 
  Там функции и графики 
  И уравнений тьма, 
  А модуль может запросто 
  Свести тебя с ума. 
  
  И правила, и формулы –  
  Всё так легко забыть. 
  Но всё ж без математики 
  Нам невозможно жить 
  Любите математику 
  И вы поймёте вдруг, 
  Что правда «Математика-царица всех наук!
  

• 2 слайд

  Наши лицеисты очень любят путешествовать по России. Чаще всего они добираются на автобусе. Скажите, куда едет этот автобус?
  Задача 1
  

• 3 слайд

  Решение задачи 1
  Ответ: Обычно взрослые, видя схематичное изображение, мигом забывают о деталях. К примеру, в США дети часто ездят в школу на автобусе, поэтому знают, с какой стороны у него двери и как он подъезжает. Они понимают, что на картинке не хватает дверей. Значит, автобус едет влево.
  

• 4 слайд

  Задача 2
  

• 5 слайд

  Решение задачи 2
  
  Ответ: Значение зависит от количества кружочков в каждой цифре. В "9" один кружочек, в "8" — два, в "1" — ни одного, а, значит, 2581 = 2.
  

• 6 слайд

  Из этих 18 кружков только два совершенно одинаковы. Найдите их.
  Задача 3
  

• 7 слайд

  Решение задачи 3
  Кружки под номерами 4 и 14
  

• 8 слайд

  Задача 4
  Три брата, Иван, Дмитрий и Сергей, преподают различные дисциплины в университетах Москвы, Санкт-Петербурга и Киева. Иван работает не в Москве, а Дмитрий - не в Санкт-Петербурге. Москвич преподает не историю. Тот, кто работает в Санкт-Петербурге, преподает химию. Дмитрий преподает не биологию. Какую дисциплину преподает Сергей, и в университете какого города?
  

• 9 слайд

  Решение задачи 4
  Дмитрий работает не в Санкт-Петербурге, а в Москве или в Киеве. Биологию он не преподает, а так как работает не в Санкт-Петербурге, то, следовательно, не преподает и химию. Дмитрий преподает историю, поэтому работает не в Москве, а в Киеве. Значит, Иван работает в Санкт-Петербурге и преподает химию. Таким образом, Сергей преподает биологию в университете Москвы.
  

• 10 слайд

  Задача 5
  Какая из этих фигурок «лишняя»?
  

• 11 слайд

  Решение задачи 5
  Ответ: Фигурка под номером 5.
  Первая и третья фигуры составляют пару. Пару образуют и вторая фигура с четвертой. В каждой паре одна из фигур повернута на 90°, а черные и светлые части фигур меняются местами. Фигура 5 не подчиняется этим закономерностям.
  

• 12 слайд

  Задача 6
  Какое число надо поставить?
  

• 13 слайд

  Решение задачи 6
  Ответ: 10.
  Каждое число в последней колонке равно сумме первых двух чисел соответствующего ряда за вычетом третьего.
  

• 14 слайд

  Задача 7
  Буквой A зашифрованы четные числа ( 0, 2, 4, 6, 8), а буквой B – нечетные (1, 3, 5, 7, 9). Попробуйте расшифровать этот ребус.
  

• 15 слайд

  Решение задачи 7
  =
  

• 16 слайд

  Задача 1
  На детской площадке катались дети на двухколесных и трехколесных велосипедах. Сколько трехколесных велосипедов было на площадке, если всего было 60 колес и 25 велосипедов?
  

• 17 слайд

  Решение задачи 4
  Ответ: 10.
  Пусть X – двухколесных, тогда (25 – X) – трехколесных.
  2X+3(25-X) = 60
  2X + 75 – 3X = 60
  X = 15 – двухколесных велосипедов
  25 – 15 = 10 – трехколесных.
  

• 18 слайд

  Задача 2
  Расставьте в записи
  12 * 4 + 18 * 6 + 3
  скобки, а также знаки умножения и/или деления вместо звездочки так, чтобы получилось число 50.
  

• 19 слайд

  Решение задачи 2
  Ответ: 12 · 4 + 18 : (6 + 3)
  

• 20 слайд

  Задача 3
  После того, как туристы прошли 1 км, а затем половину оставшегося пути, им осталось пройти треть всего пути и 1 км. Чему равен весь путь?
  

• 21 слайд

  Решение задачи 3
  Ответ: 9 км.
  Обозначим длину пути за S км. Тогда, после того, как туристы прошли 1 км, им осталось S − 1 км, половина от этого равна (S − 1)/2, значит, уравнение будет выглядеть так:
  

• 22 слайд

  Задача 4
  Известно, что 𝑎+𝑏+𝑐=8, а
  1 𝑎+𝑏 + 1 𝑏+𝑐 + 1 𝑐+𝑎 =0,8
  Найдите сумму:
  𝑎 𝑏+𝑐 + 𝑏 𝑎+𝑐 + 𝑐 𝑎+𝑏
  

• 23 слайд

  Решение задачи 4
  Ответ: 3,4
  Домножим на 𝑎+𝑏+𝑐 левую и правую часть выражения 1 𝑎+𝑏 + 1 𝑏+𝑐 + 1 𝑐+𝑎 =0,8
  Получим: 𝑎+𝑏+𝑐 𝑎+𝑏 + 𝑎+𝑏+𝑐 𝑏+𝑐 + 𝑎+𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 =0,8 (𝑎+𝑏+𝑐) или
  𝑎+𝑏 𝑎+𝑏 + 𝑐 𝑎+𝑏 + 𝑎 𝑏+𝑐 + 𝑏+𝑐 𝑏+𝑐 + 𝑎+𝑐 𝑐+𝑎 + 𝑏 𝑐+𝑎 =0,8 8 или
  1+ 𝑐 𝑎+𝑏 + 𝑎 𝑏+𝑐 + 1+ 1+ 𝑏 𝑐+𝑎 =6,4 или
  𝑐 𝑎+𝑏 + 𝑎 𝑏+𝑐 + 𝑏 𝑐+𝑎 =3,4
  
  

• 24 слайд

  Задача 5
  Из Москвы в Неаполь самолет вылетает в 9.20 по московскому времени, а прилетает в 11.30 по неаполитанскому. Из Неаполя в Москву самолет вылетает в 8.30 по неаполитанскому времени, а прилетает в 14.40 по московскому. Какова разница во времени между Москвой и Неаполем?
  

• 25 слайд

  Решение задачи 5
  Ответ: 2 часа.
  Перелет в обе стороны длится одно и тоже время, но из-за смены часового пояса возникает разница во времени. В первом случае показания часов отличаются на 2 часа 10 минут, а во втором – на 6 часов 10 минут. Так как в первом случае мы из времени перелёта вычитаем разницу во времени, а во втором – её же прибавляем, то разница во времени между Москвой и Неаполем равна: (6 ч 10мин – 2 ч 10 мин) : 2 = 2 (ч).
  Такой же результат можно получить из уравнения , где x – искомая разница во времени (в часах).
  

• 26 слайд

  Задача 6
  Банк «Империал» при снятии денег со счета берет комиссию, состоящую из двух частей: фиксированной оплаты за проведение операции и еще оплаты, пропорциональной снятой сумме. Например, при снятии со счета 5000 рублей вкладчик заплатит 110 рублей, а при снятии 11000 рублей заплатит 230 рублей. Какую комиссию заплатит вкладчик, если он захочет снять со счета 8000 рублей?
  

• 27 слайд

  Решение задачи 6
  170 рублей. Пусть x рублей – фиксированная оплата, а k – коэффициент пропорциональности. Тогда в первом случае вкладчик заплатит x + 5000k рублей, а во втором случае – (x + 11000k) рублей. Следовательно,
  Решение этой системы: k= 0,02; x= 10. Значит, при снятии 8000 рублей вкладчик заплатит 10 + 8000·0,02 = 170 (р).
  

• 28 слайд

  Задача 7
  Буратино, спасаясь от преследования Дуремара, пробежал уже 1/5 км. Если ему удастся пробежать 40% этого, то до укрытия под мостом останется всего 3/7 того, что он пробежал. Сколько осталось пробежать Буратино?
  

• 29 слайд

  Ответ: 200 м
  40% от 200 м – это 80 м. То есть если Буратино удастся пробежать еще 280 м, то до укрытия останется всего 3/7 от этих 280 метров, то есть 120 м. Значит, Буратино еще предстоит пробежать 80+120=200 м.
  Решение задачи 7
  

• 30 слайд

  Задача 1
  Муравей сидит в вершине деревянного куба. Он хочет, двигаясь по поверхности куба, переползти в противоположную вершину по кратчайшему пути. Как ему это сделать?
  

• 31 слайд

  Решение задачи 1
  Муравей должен двигаться из вершины к середине несмежного ребра куба и затем к противоположной вершине. На фрагменте развертки куба путь должен выглядеть так:
  

• 32 слайд

  Задача 2
  С помощью циркуля и немасштабной линейки (без транспортира!) постройте угол величиной 3000. Запишите алгоритм построения.
  

• 33 слайд

  Решение задачи 2
  Строим окружность с центром в точке О и радиусом ОА. Поместив иглу циркуля в точку А тем же радиусом делаем на окружности засечку – получаем точку В. Треугольник АОВ – равносторонний, величина каждого из его углов 600 Полный круг минус 600 – получим 3000
  

• 34 слайд

  Задача 3
  Какая из дорог, ведущих из A в B, длиннее: состоящая из нескольких полуокружностей или из одной?
  

• 35 слайд

  Решение задачи 3
  Длины одинаковы. Длина одной полуокружности πR.
  Сумма длин нескольких πR1+ πR2+ πR3+…+ πRn= π(R1+R2+…+Rn)= πR.
  

• 36 слайд

  Задача 4
  Разрежьте каждую фигуру на равные по форме и размеру части
  

• 37 слайд

  Решение задачи 4
  

• 38 слайд

  Задача 5
  ABCD — четырехугольник, причем AD ∥ BC, AM ⊥ BD, AM — биссектриса угла BAD, ∠BMA = ∠ABD. Доказать, что ABMD — квадрат.
  

• 39 слайд

  Решение задачи 5
  1. ∠DAM = ∠AMB как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD ∥ BC и секущей AM. Значит, ∠DAM = ∠AMB = ∠ABD = ∠BAM.
  2. Обозначим AM∩BD = K (символ ∩ означает пересечение). Из прямоугольного (по условию) ΔABK по теореме о сумме углов треугольника и с учетом п. 1 получаем ∠BAK = ∠ABK = ½·(180°-∠AKB) = 45°. Отсюда (или сразу из п. 1) следует, что ΔABK — равнобедренный.
  3. С помощью признаков равенства треугольников получаем, что ΔABK = ΔBKM = ΔMKD = ΔAKD (убедитесь в этом самостоятельно). Из равенства этих треугольников следует равенство их острых углов (они все равны 45°). Отсюда получаем, что все углы четырехугольника ABMD — прямые. Кроме того, из равенства тех же треугольников следует равенство их гипотенуз (сторон, лежащих против прямых углов), а они служат сторонами четырехугольника ABMD. Таким образом, ABMD — прямоугольник, у которого все стороны равны, то есть квадрат, что и требовалось доказать
  

• 40 слайд

  Задача 6
  Света утверждает, что в треугольнике длина любой его стороны не превосходит полупериметра. Докажите, что Света не ошибается.
  

• 41 слайд

  Решение задачи 6
  Пусть стороны треугольника имеют длины a, b, c, тогда его полупериметр равен ½(a + b + c). Докажем, например, что a ≤ ½(a + b + c). Умножив обе части этого неравенства на 2, получим неравенство 2a ≤ a + b + c. Перенося а из правой части в левую, получим a ≤ b + c. А это и есть неравенство треугольника. Точно так же это утверждение можно доказать и для других сторон.
  

• 42 слайд

  Задача 7
  Даны три прямых угла с вершиной в одной точке. Первый со вторым имеют общий угол, равный 45°, а второй с третьим имеют общий угол, равный 60°. Чему может быть равна их общая часть?
  

• 43 слайд

  Решение задачи 7
  Есть два принципиально разных случая расположения углов, удовлетворяющих условию задачи (см. рисунок). Первый угол в обоих случаях изображен красным цветом, второй — зеленым и третий — синим. Общие части трех углов (это пересечение, а не объединение их внутренностей!) выделены дугами.
  Несложно подсчитать, что в первом случае общая часть трех углов равна 15°, а во втором случае — 45°. Все остальные возможные случаи совпадают с указанными с точностью до симметрий и поворотов.
  

Краткое описание документа:

Представлена презентация для проведения математической регаты среди учащихся 7-х классов. Регата состоит из трех частей: логика, арифметика и геометрия. Презентация сделана по этим разделам. В каждом разделе представлено 7 задач с решениями. Презентацию показывают ребятам при разборе задач, пока подводятся итоги регаты.