Материалы турнира "Осенние математические игры"

ПРОГРАММА ТУРНИРА

«ОСЕННИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ – 2009»

Место проведения: Специализированная школа лицей №165 для одаренных детей г. Алматы

Время проведения: 5 – 6 ноября 2009 года

Язык турнира: русский

Цель турнира: стимулирование интереса школьников к занятиям математикой, укрепление контактов между школьниками, математиками города

5 ноября

8.30 – 9.00

9.00 – 10.00

10.00 –10.30

10.30 – 11.00

11.00 – 12.30

12.30 – 13.00

Прибытие и регистрация участников

Математическая абака (отборочный тур)

Подведение итогов отборочного тура

Открытие турнира

«Математическая цепь» (первая математическая игра)

Подведение итогов дня

6 ноября

9.00 – 10.30

10.30 – 11.00

11.00 – 12.30

12.30 – 13.00

13.00 – 14.00

«Бороться и искать, найти и не сдаваться» (вторая математическая игра)

Перерыв

«Математический биатлон. Гонка преследования» (финальная математическая игра)

Подведение итогов

Закрытие турнира, награждение победителей

Время указано приблизительное!

Общие положения

1. Турнир проводится в двух возрастных лигах – старшей и младшей. В старшей лиге могут быть представлены учащиеся 7-8 классов, в младшей лиге – учащиеся 5-6 классов. Каждая команда должна состоять ровно из четырех человек. Команды допускаются до игры только в полном составе.

2. Каждая команда должна иметь своё название. Предпочтителен вариант, когда все команды одной школы имеют одно и то же фирменное школьное название, но могут быть и с разными названиями.

3. В каждой лиге проводятся пять игр (см. расписание турнира). Первая игра является отборочной, после которой в лиге должно остаться не более 10 команд.

4. В зависимости от занятого места в каждой игре, кроме финальной, команда получает баллы в общий зачёт (1 место – 50 баллов, 2 место – 46, 3 место – 42, далее 38, 34, 30, ...). При дележе мест в игре команды получают среднее арифметическое баллов, полагавшихся за занятые места.

5. В начале финальной игры рейтинговые баллы, полученные в предыдущих играх, автоматически начисляются командам в качестве бонусных очков.

6. Подходить к столу жюри для сдачи ответа может только один игрок команды.

7. Запрещается пользоваться сотовыми телефонами и калькуляторами.

8. В случае шумного поведения или нарушения п. 6-7 команда наказывается 5 штрафными очками, которые учитываются в окончательном итоге. Все штрафные очки вносятся в протокол.

9. Если кто-то из игроков и после двух командных наказаний нарушает п. 6-7 или ведёт себя шумно, мешая в проведении игры, жюри имеет право удалить его с игры, после чего он полностью лишается возможности в ней участвовать.

10. Выйти из аудитории по необходимости игрок может только с разрешения жюри.

11. Претензии по игре принимаются от капитанов команд сразу по окончании игры до объявления окончательных итогов.

12. Общий итог распределения мест подводится по финальной игре «Математический биатлон. Гонка преследования». Побеждает в турнире команда, набравшая наибольшее число очков в финальной игре с учетом бонусов. При равенстве очков более высокое место занимает команда, окончившая финальную гонку раньше.

Правила игры «Математическая абака»

1. «Математическая абака» – это командная игра-соревнование по решению задач. Все задачи выдаются для решения всем командам одновременно. Побеждает в нем команда, набравшая наибольшее число очков.

2. Основным зачётным показателем в математической абаке является общее количество набранных очков (включая бонусы). В случае равенства очков у нескольких команд более высокое место занимает команда, имеющая большую сумму бонусов. При равенстве и этого показателя команды считаются разделившими места.

3. Решение задач. Каждой команде предлагается для решения 3 темы по 6 задач в каждой теме. Задачи каждой темы сдаются по порядку, от 1-й до 6-й (например, у команды не примут ответ на 4-ю задачу, пока она не сдала ответы на задачи 1, 2 и 3). На каждую задачу отводится один подход (одна попытка сдать ответ). Если команда предъявила правильный ответ на задачу, она получает за это цену задачи, а если неправильный или неполный – 0 очков. В некоторых задачах по усмотрению жюри цена задачи может быть поделена поровну между всеми возможными ответами, в этом случае каждый найденный ответ приносит команде соответствующую часть цены. Для каждой такой задачи это указывается в ее условии.

4. Цена первой задачи каждой темы – 10 очков, второй – 20, …, шестой – 60 очков. (Таким образом, не считая бонусов, команда может заработать за решение задач до 3х210=630очков.)

5. Основные бонусы. Каждая команда дополнительно может заработать бонусные очки:

­­­­­­правильное решение всех задач одной темы («бонус-горизонталь») – 50 очков;

за правильное решение задач с одним и тем же номером во всех темах («бонус-вертикаль») – цену задачи с этим номером.

6. Бонусы за первое решение. Первые команды, получившие каждый из трех возможных «бонус-горизонталей» и каждый из шести «бонус-вертикалей», получают их в двойном размере.

7. Окончание игры. На решение задач отводится 60 минут. Игра для команды оканчивается, если у нее кончились задачи или истекло общее время, отведенное для игры.

8. Команды по итогам игры занимают места по убыванию количества набранных ими баллов.

Правила игры «Математическая цепь»

1. «Математическая цепь» – это командная игра-соревнование по решению задач. Побеждает в нем команда, набравшая наибольшее число очков.

2. Задачи выдаются ведущим и представляют собой 4 блока по 6 задач в каждом. Каждые 20 минут команда получает еще по одному блоку задач, т.е. первый блок задач команда получает в начале игры, второй – через 20 минут после начала, третий – через 40 минут, четвертый – через час.

3. Задачи решаются всей командой. Если команда считает, что задача решена, ее представитель, предъявляет ответ жюри. Если он верный, команда получает три очка, иначе же команда теряет одно очко. Больше эту задачу сдавать нельзя.

4. Команда может вообще не сдавать задачу, тогда она ничего не получает и ничего не теряет.

5. Задачи каждого блока можно сдавать только в течение 40 минут после его выдачи. Т.е. по окончании 40 минут задачи первого блока больше не принимаются. По прошествии часа прекращается сдача задач второго блока. Через 1 час 20 минут прекращается сдача задач третьего блока, а через 1 час 40 минут – задач четвертого блока, и игра прекращается.

5. Также игра для команды может закончиться раньше, если ей уже выданы все задачи, и все они сданы.

6. Команды по итогам игры занимают места по убыванию количества набранных ими баллов. При равенстве этого показателя команды считаются разделившими места.

Правила игры «Бороться и искать, найти и не сдаваться» («Два капитана»)

1. «Бороться и искать, найти и не сдаваться» («Два капитана») – это командная игра-соревнование по решению задач. Все задачи выдаются для решения всем командам одновременно. Побеждает в нем команда, набравшая наибольшее число очков.

2. Игра идёт в течение полутора часов.

3. В начале игры командам выдаётся весь комплект задач (всего их – до 20-25 штук, количество объявляется командам перед игрой).

4. Существуют две формы начисления баллов за решение задач.

5. Первая форма начисления баллов – за правильный ответ с учётом времени сдачи. Через каждые 20 минут цена задачи становится на 1 балл меньше. Начальная цена каждой задачи – 7 баллов.

6. Вторая форма начисления баллов – бонус, равный количеству команд, не решивших данную задачу. При малом количестве команд вводится дополнительный коэффициент, увеличивающий бонус в 2-4 раза.

7. На каждую задачу команда может предъявить ответ только один раз.

8. Игра для команды прекращается либо по окончании отведённого на неё времени, либо после того, как командой разобраны все задачи игры.

9. Команды по итогам игры занимают места по убыванию количества набранных ими баллов. При равенстве этого показателя команды считаются разделившими места.

Правила финальной игры «Математический биатлон. Гонка преследования»

1. «Математический биатлон. Гонка преследования» – это командная игра-соревнование по решению задач. Основным зачётным показателем в игре является общее количество набранных баллов. При равенстве очков более высокое место занимает та команда, которая окончила игру раньше.

2. Общее время, отведенное на игру, составляет полтора часа.

3. В начале игры каждая команда получает столько бонусных очков, сколько она набрала в общем зачете за предыдущие игры. Цель лидирующей команды – сохранить и укрепить свои позиции, цель других команд – набирать как можно больше очков, тем самым, увеличивать свой рейтинг, догоняя команды, стоящие в рейтинге выше и, возможно, улучшая свое положение в итоговом зачете. По результатам этой финальной игры определятся места, которые займут команды на турнире.

4. Игра делится на 4 этапа. В начале игры объявляется темы каждого из этапов (всего 4 темы), и команда распределяет темы между игроками. Каждый игрок берет себе по одной теме. Каждая тема представлена пятью задачами («мишенями»).

5. В начале каждого этапа игры, игрок, выбравший соответствующую тему, занимает место на «огневом рубеже» (специально отведенная парта), ему выдается комплект задач, и он начинает решать их самостоятельно (без помощи команды). В то же время остальные члены команды получают такой же комплект задач и решают их отдельно от своего основного игрока.

6. Цель основного игрока этапа – поразить как можно больше «мишеней», т.е. решить как можно больше задач. У него всего есть 8 «патронов» (т.е. попыток сдать ответы на эти задачи): по 1 «патрону» на каждую задачу, плюс еще три дополнительных «патрона». Если «мишень» поражена (т.е. ответ на задачу оказался верным), то команда получает семь очков к своему рейтингу, в противном случае у команды вычитается четыре очка. При использовании дополнительных «патронов» команда теряет три очка за каждый дополнительный «патрон». Игрок, находящийся на «огневом рубеже» не имеет права отказаться от использования дополнительных патронов.

7. Если основной игрок использовал все «патроны», он больше сдавать задачи не может.

8. Остальные члены команды, решая задачи отдельно от основного игрока на данном этапе, могут заработать дополнительные очки. Для этого команде необходимо предоставить жюри ответы на специальном бланке с обязательным указанием названия команды, номера этапа. Ответы должны быть написаны разборчивым почерком. За каждый правильный ответ команда получает три очка, в случае неправильного ответа, команда теряет один балл, если ответа на задачу нет, то команда ничего не теряет и не приобретает. Правильное решение задачи не основным игроком не может быть засчитано как «поражение мишени». Команда может сдать бланк с ответами в любой момент, пока ее основной игрок находится на «огневом рубеже».

9. Игрок, находящийся в данный момент на «огневом рубеже», может покинуть его только в том случае, если поражены все «мишени» или у него не осталось больше «патронов». Если игрок покидает «огневой рубеж» прежде, чем его команда сдала бланк ответов, то команда лишается права заработать дополнительные очки на данном этапе. Однако основной игрок может подождать остальных своих игроков на «огневом рубеже», поднятием руки дав понять своей команде, что он закончил сдавать задачи.

10. Команда может перейти на следующий этап только в том случае, если ее основной игрок покинул свой «огневой рубеж». Команде запрещается выставлять одного и того же игрока на несколько этапов. За нарушение правил игры команда штрафуется 20 баллами. При повторном нарушении команда дисквалифицируется.

11. Игра для команды заканчивается, если ее последний игрок покинул свой «огневой рубеж», или закончилось время, отведенное на игру. При этом если у команды остались нерешенные задачи, то команда получает штрафные очки за каждую непораженную «мишень» и каждый неиспользованный дополнительный «патрон» согласно п. 6 настоящих правил.

«Математическая абака»

(отборочный тур)

Тема №1. Числа

(10 баллов) Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 5, в записи которого использованы все цифры?

(20 баллов) Перемножив четыре последовательных простых числа, Нина получила результат, который оканчивается на 0. Какой результат она получила?

(30 баллов) Какие две цифры нужно поставить на место звездочек, чтобы пятизначное число 517** делилось на 6,7 и 8?

(40 баллов) Одно натуральное число поделили с остатком на другое. Делимое оканчивается на 1, а неполное частное и остаток – на 9. Перечислите все цифры, на которые может оканчиваться делитель.

(50 баллов) Мальчик вырезал из бумаги десять карточек и на каждой написал по одной цифре 0, 1, 2, 3,…9. Затем он разложил их на столе по две и обнаружил, что получившиеся двузначные числа относятся как 1:2:3:4:5. Покажите, как он раскладывал карточки.

(60 баллов) На какую наибольшую степень тройки делится произведение 1х11х111х...х1111..1 (в последнем числе 24 цифры)?

Тема №2. Текстовые задачи

(10 баллов) Вася прочитал в газете, что за последние месяцы цены на продукты питания росли в среднем на 10%. На сколько процентов возросли цены за три месяца?

(20 баллов) Шапокляк в 5 раз тяжелее Чебурашки и на 30 килограммов легче Гены. Сколько весит Чебурашка, если они все трое вместе весят 140 килограммов?

(30 баллов) Федя и Петя спускаются на эскалаторе. Посредине пути Федя срывает с Пети шапку и перебрасывает ее на эскалатор, двигающийся параллельно в другую сторону с той же скоростью. Петя сразу бросается бежать вниз, а затем по параллельному эскалатору вверх – за шапкой. Федя же сразу бросается бежать вверх, а затем по параллельному эскалатору вниз. Кто раньше добежит до шапки, если собственные скорости ребят одинаковы?

(40 баллов) При замерзании вода увеличила свой объем на 1/11 часть. На какую часть своего объема уменьшится лед при обратном превращении в воду?

(50 баллов) Винни-Пух, Пятачок, Кролик и ослик Иа вместе съели 71 банан, причем каждому сколько-то досталось. Вини-Пух съел больше каждого из остальных, а Кролик и Пятачок вместе съели 45 бананов. Сколько бананов досталось ослику? Указать все варианты ответа.

(60 баллов) Три команды играли в КВН. Перед игрой игрок Иванов перешел из первой команды во вторую, игрок Петров – из второй команды в третью, а игрок Сидоров – из третьей команды в первую. После этого средний возраст первой команды увеличился на неделю, второй – увеличился на две недели, а третьей – уменьшился на 4 недели. Известно, что в первой и второй командах по 12 игроков. Сколько игроков в третьей команде?

Тема №3 Разнобой

(10 баллов) Объем деревянного бруска 80 см², ширина 4 см, высота 2 см. Длину этого бруска уменьшили на 3 см. Определите объем оставшейся части.

(20 баллов) Спичками выложено неверное равенство с римскими цифрами XXV=XXI. Переложите двумя различными способами две из них так, чтобы равенство стало верным

(30 баллов) Тима заменил каждую букву в алфавите её номером и записал таким шифром слово русского языка из пяти букв. Расшифруйте это слово, если у Тимы получилось 121121.

(40 баллов) Сколькими способами можно переставить буквы в слове "ТУРНИР"?

(50 баллов) В кружках нужно расставить цифры от 1 до 7 так, чтобы их сумма на каждой окружности и на каждой прямой равнялась 12.

(60 баллов) Какое наибольшее число сторон может иметь фигура, являющаяся общей частью треугольника и выпуклого четырехугольника? Нарисуйте пример.

«Математическая абака»

(отборочный тур с ответами)

Тема №1. Числа

(10 баллов) Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 5, в записи которого использованы все цифры? Ответ:1023467895.

(20 баллов) Перемножив четыре последовательных простых числа, Нина получила результат, который оканчивается на 0. Какой результат она получила? Ответ: 210.

(30 баллов) Какие две цифры нужно поставить на место звездочек, чтобы пятизначное число 517** делилось на 6,7 и 8? Ответ: число 51744.

(40 баллов) Одно натуральное число поделили с остатком на другое. Делимое оканчивается на 1, а неполное частное и остаток – на 9. Перечислите все цифры, на которые может оканчиваться делитель (Ю20) Ответ: 8.

(50 баллов) Мальчик вырезал из бумаги десять карточек и на каждой написал по одной цифре 0, 1, 2, 3,…9. Затем он разложил их на столе по две и обнаружил, что получившиеся двузначные числа относятся как 1:2:3:4:5. Покажите, как он раскладывал карточки. (XXXЮ30) Ответ: 18, 36, 54, 72, 90.

(60 баллов) На какую наибольшую степень тройки делится произведение 1х11х111х...х1111..1 (в последнем числе 24 цифры)? Ответ: 10.

Тема №2. Текстовые задачи

(10 баллов) Вася прочитал в газете, что за последние месяцы цены на продукты питания росли в среднем на 10%. На сколько процентов возросли цены за три месяца? Ответ: на 33,1%.

(20 баллов) Шапокляк в 5 раз тяжелее Чебурашки и на 30 килограммов легче Гены. Сколько весит Чебурашка, если они все трое вместе весят 140 килограммов? Ответ: 10 килограммов.

(30 баллов) Федя и Петя спускаются на эскалаторе. Посредине пути Федя срывает с Пети шапку и перебрасывает ее на эскалатор, двигающийся параллельно в другую сторону с той же скоростью. Петя сразу бросается бежать вниз, а затем по параллельному эскалатору вверх – за шапкой. Федя же сразу бросается бежать вверх, а затем по параллельному эскалатору вниз. Кто раньше добежит до шапки, если собственные скорости ребят одинаковы? Ответ: одновременно.

(40 баллов) При замерзании вода увеличила свой объем на 1/11 часть. На какую часть своего объема уменьшится лед при обратном превращении в воду? Ответ: 1/12.

(50 баллов) Винни-Пух, Пятачок, Кролик и ослик Иа вместе съели 71 банан, причем каждому сколько-то досталось. Вини-Пух съел больше каждого из остальных, а Кролик и Пятачок вместе съели 45 бананов. Сколько бананов досталось ослику? Указать все варианты ответа. Ответ: 1 или 2.

(60 баллов) Три команды играли в КВН. Перед игрой игрок Иванов перешел из первой команды во вторую, игрок Петров – из второй команды в третью, а игрок Сидоров – из третьей команды в первую. После этого средний возраст первой команды увеличился на неделю, второй – увеличился на две недели, а третьей – уменьшился на 4 недели. Известно, что в первой и второй командах по 12 игроков. Сколько игроков в третьей команде? Ответ: 9.

Тема №3 Разнобой

(10 баллов) Объем деревянного бруска 80 см², ширина 4 см, высота 2 см. Длину этого бруска уменьшили на 3 см. Определите объем оставшейся части. Ответ: 56 см².

(20 баллов) Спичками выложено неверное равенство с римскими цифрами XXV=XXI. Переложите двумя различными способами две из них так, чтобы равенство стало верным. Ответ: 2 из 3 известных: XXV= XXV, XXI =XXI, XXI=XX+I.

(30 баллов) Тима заменил каждую букву в алфавите её номером и записал таким шифром слово русского языка из пяти букв. Расшифруйте это слово, если у Тимы получилось 121121. Ответ: АБАКА или КААБА (достаточно одной расшифровки!)

(40 баллов) Сколькими способами можно переставить буквы в слове "ТУРНИР"? Ответ: 360 способов.

(50 баллов) В кружках нужно расставить цифры от 1 до 7 так, чтобы их сумма на каждой окружности и на каждой прямой равнялась 12.

Ответ:

Возможен другой вариант – проверять внимательно!!

(60 баллов) Какое наибольшее число сторон может иметь фигура, являющаяся общей частью треугольника и выпуклого четырехугольника? Нарисуйте пример. Ответ: 7, см. рисунок.

«Математическая цепь»

(1 блок с ответами)

1. Из трех данных цифр составили все возможные трехзначные числа. Сумма двух самых больших из них оказалась равна 844. Найдите эти цифры. Ответ: 4, 4, 0 и 4, 3, 1 (цифры в любом порядке).

2. Представьте число 1 в виде суммы четырех долей (то есть дробей вида , где n – натуральное число) с попарно разными знаменателями. Ответ: например, .

3. Решите ребус: ВАГОН + ВАГОН = СОСТАВ (одинаковые буквы – одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры).

Ответ: 85679 +85679 =171358.

4. Для всех чисел m и n введены две новые операции: и . Вычислите . Ответ: 2146/275.

5. Белка налегке бежит со скоростью 300 м/мин, а с орехом – 150 м/мин. Как далеко расположен орешник от гнезда, если белка за 30 минут успевает добежать до него и вернуться обратно с орехом? Ответ: 3 км = 3000 м.

6. Сколько кубиков использовано для построения башни? Ответ: 28 кубиков.

«Математическая цепь»

(2 блок с ответами)

1. Однажды человек, зайдя в гости к Эдисону, с трудом открыл входную калитку и пожаловался на это хозяину – мол, у такого знаменитого изобретателя дверная калитка открывается так туго... Эдисон рассмеялся: «Ничего удивительного, калитка связана приводом с водяным насосом, и каждый посетитель закачивает в цистерну 20 литров воды». Позже Эдисон настроил калитку так, что каждая порция воды стала 25 литров. Оказалось, что при этом для заполнения цистерны нужно на 12 человек меньше. Сколько воды вмещает цистерна? Ответ: 1200 литров.

2. Какую процентную концентрацию будет иметь раствор соли, если слить вместе 2 литра 30-% раствора и 3 литра 20-% раствора? Ответ: 24%.

3. Саша и Костя, гуляя по лесу, набрели на забор, окружавший военную базу. Саша пошел по часовой стрелке, считая столбы в заборе, а Костя – против часовой стрелки. Начали они с одного места. Столб, который был у Саши был 1502 по счету, у Кости был 500 по счету. Сколько столбов было в заборе? Ответ: 2000.

4. В некоторых клетках прямоугольной таблицы записаны числа. Всего в таблице 8 столбцов, сумма чисел в каждом столбце равна 10, а в каждой строке – 20. Сколько в таблице строк? Ответ: 4 строки.

5. По кругу сидят 2007 рыцарей и лжецов. Каждый заявил, что его соседи – лжец и рыцарь, но два рыцаря при этом ошиблись. Сколько среди них может быть лжецов? Ответ: 669 лжецов.

6. 4

   8

   
   

   6

   1

   5

   2

   3

   7

   4

   8

   
   

   2

   3

   7

   6

   1

   5

   7

   5

   
   

   3

   1

   8

   2

   6

   4

   Расставьте цифры от 1 до 8 в пустые клетки неполного квадрата так, чтобы сумма чисел вдоль каждой горизонтали, вертикали и большой диагонали была равна 12.

Ответ: см. рисунок. Внимательно принимать ответ!

«Математическая цепь»

(3 блок с ответами)

1. Надо купить 10 пирожных. В магазине имеются только эклеры, безе и корзиночки. Сколькими способами можно выбрать пирожные? Ответ: 66.

2. Составьте квадрат из следующих фигур

Ответ: Проверять внимательно!

3. Художник начал писать картину в последнюю пятницу февраля, а закончил в первую среду марта. Сколько дней работал художник? Указать все возможные варианты. Ответ: 6 или 13 дней.

4. На Украине сливочное масло стоит 12 гривен за кг, а в США — 1,89 доллара за полфунта. Сколько в фунте граммов, если в 1 долларе 3,6 гривен, а масло на Украине стоит в 2,5 раза дешевле, чем в США? Ответ: 453,6 г.

5. Среди философов Лапуты каждый седьмой – математик, а каждый девятый из математиков – философ. Кого больше на Лапуте – философов или математиков? Во сколько раз? Ответ: математиков больше в 9/7 раза.

6. В обычном домино 28 косточек, а на каждом очке от 0 до 6 единиц. Сколько будет косточек в увеличенном домино, у которого на каждом от 0 до 7 единиц. Ответ: 36.

«Математическая цепь»

(4 блок с ответами)

1. Напишите все восьмизначные числа по следующим условиям:

1) в каждом из них используются цифры 1, 2, 3 и 4;

2) между единицами стоит цифра одна цифра;

3) между двойками стоят две цифры;

4) между тройками стоят три цифры;

5) между четверками стоят четыре цифры. Ответ: 41312432 и 23421314.

2. Решите ребус: (одинаковые буквы – одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры).

Ответ: .

3. На контрольной работе по перекрашиванию юный хамелеон должен был перекрашиваться из красного цвета в желтый, из желтого – в зеленый, из зеленого – в синий, из синего – в фиолетовый, а из фиолетового – в красный. Хамелеон перекрасился 2009 раз и стал из синего фиолетовым. Известно, что он допустил одну ошибку, из-за которой покраснел, когда не должен был этого делать. Какого цвета он был перед этим покраснением? Ответ: до покраснения хамелеон был зеленым.

4. Ученик Вовочка любит решать математические задачи. Известно, что вчера он решил на 11 задач меньше, чем позавчера и на 32 задачи меньше, чем позавчера и сегодня вместе. Сколько задач решил Вовочка сегодня? Ответ: 21.

5. Сколько кубиков использовано для построения башни? Ответ: 44 кубика.

6. Прямоугольник разбит на 9 меньших прямоугольников. Периметры четырех из них указаны на рисунке. Чему равен периметр прямоугольника х? Ответ: 11.

10

х

11

12

13

«Математическая цепь»

(1 блок)

1. Из трех данных цифр составили все возможные трехзначные числа. Сумма двух самых больших из них оказалась равна 844. Найдите эти цифры.

2. Представьте число 1 в виде суммы четырех долей (то есть дробей вида , где n – натуральное число) с попарно разными знаменателями.

3. Решите ребус: ВАГОН + ВАГОН = СОСТАВ (одинаковые буквы – одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры).

4. Для всех чисел m и n введены две новые операции: и . Вычислите .

5. Белка налегке бежит со скоростью 300 м/мин, а с орехом – 150 м/мин. Как далеко расположен орешник от гнезда, если белка за 30 минут успевает добежать до него и вернуться обратно с орехом?

6. Сколько кубиков использовано для построения башни?

«Математическая цепь»

(2 блок)

1. Однажды человек, зайдя в гости к Эдисону, с трудом открыл входную калитку и пожаловался на это хозяину – мол, у такого знаменитого изобретателя дверная калитка открывается так туго... Эдисон рассмеялся: «Ничего удивительного, калитка связана приводом с водяным насосом, и каждый посетитель закачивает в цистерну 20 литров воды». Позже Эдисон настроил калитку так, что каждая порция воды стала 25 литров. Оказалось, что при этом для заполнения цистерны нужно на 12 человек меньше. Сколько воды вмещает цистерна?

2. Какую процентную концентрацию будет иметь раствор соли, если слить вместе 2 литра 30-% раствора и 3 литра 20-% раствора?

3. Саша и Костя, гуляя по лесу, набрели на забор, окружавший военную базу. Саша пошел по часовой стрелке, считая столбы в заборе, а Костя – против часовой стрелки. Начали они с одного места. Столб, который был у Саши 1502 по счету, у Кости был 500 по счету. Сколько столбов было в заборе?

4. В некоторых клетках прямоугольной таблицы записаны числа. Всего в таблице 8 столбцов, сумма чисел в каждом столбце равна 10, а в каждой строке – 20. Сколько в таблице строк?

5. По кругу сидят 2007 рыцарей и лжецов. Каждый заявил, что его соседи – лжец и рыцарь, но два рыцаря при этом ошиблись. Сколько среди них может быть лжецов?

6. Расставьте цифры от 1 до 8 в пустые клетки неполного квадрата так, чтобы сумма чисел вдоль каждой горизонтали, вертикали и большой диагонали была равна 12.

«Математическая цепь»

(3 блок)

1. Надо купить 10 пирожных. В магазине имеются только эклеры, безе и корзиночки. Сколькими способами можно выбрать пирожные?

2. Составьте квадрат из следующих фигур

3. Художник начал писать картину в последнюю пятницу февраля, а закончил в первую среду марта. Сколько дней работал художник? Указать все возможные варианты.

4. На Украине сливочное масло стоит 12 гривен за кг, а в США — 1,89 доллара за полфунта. Сколько в фунте граммов, если в 1 долларе 3,6 гривен, а масло на Украине стоит в 2,5 раза дешевле, чем в США?

5. Среди философов Лапуты каждый седьмой – математик, а каждый девятый из математиков – философ. Кого больше на Лапуте – философов или математиков? Во сколько раз?

6. В обычном домино 28 косточек, а на каждом очке от 0 до 6 единиц. Сколько будет косточек в увеличенном домино, у которого на каждом от 0 до 7 единиц.

«Математическая цепь»

(4 блок)

1. Напишите все восьмизначные числа по следующим условиям:

1) в каждом из них используются цифры 1, 2, 3 и 4;

2) между единицами стоит цифра одна цифра;

3) между двойками стоят две цифры;

4) между тройками стоят три цифры;

5) между четверками стоят четыре цифры.

2. Решите ребус: (одинаковые буквы – одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры).

3. На контрольной работе по перекрашиванию юный хамелеон должен был перекрашиваться из красного цвета в желтый, из желтого – в зеленый, из зеленого – в синий, из синего – в фиолетовый, а из фиолетового – в красный. Хамелеон перекрасился 2009 раз и стал из синего фиолетовым. Известно, что он допустил одну ошибку, из-за которой покраснел, когда не должен был этого делать. Какого цвета он был перед этим покраснением?

4. Ученик Вовочка любит решать математические задачи. Известно, что вчера он решил на 11 задач меньше, чем позавчера и на 32 задачи меньше, чем позавчера и сегодня вместе. Сколько задач решил Вовочка сегодня?

5. Сколько кубиков использовано для построения башни?

6. Прямоугольник разбит на 9 меньших прямоугольников. Периметры четырех из них указаны на рисунке. Чему равен периметр прямоугольника х?

10

х

11

12

13

«Бороться и искать,

найти и не сдаваться»

(с ответами)

1. Какое наибольшее натуральное число в записи римскими цифрами начинается на ММХ? Ответ: ММХСIX = 2099. Принимается любой вариант.

2. Чингиз нашел сумму всех четных натуральных чисел, меньших 100, а Николай – сумму всех нечетных натуральных чисел, меньших 100. У кого получилось больше и на сколько? Ответ: у Николая больше на 50.

3. Найдите какое-нибудь решение арифметического ребуса (одинаковые буквы – одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры). Ответ: Например, , проверять ответ.

4. Сегодняшнюю дату можно записать как 06.09.2009. Напишите БЛИЖАЙШУЮ к нам (в прошлом или будущем) дату, которая записывается восемью различными цифрами.

Ответ: 25.06.1987.

5. Дана дробь 1/999. Требуется уменьшить её знаменатель и увеличить числитель на одно и то же число М так, чтобы получившаяся дробь равнялась 2/3. Найдите М. Ответ: 399.

6. В классе каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка – с двумя мальчиками. При этом в классе всего 19 парт и 31 «хорошист». Сколько учеников в классе? Ответ: 35 учеников.

7. В 1983 году было 53 субботы. Каким днём недели было 31 декабря этого года?

Ответ: суббота.

8. Летом у Васи на даче целые сутки было открыто окно. В первый час влетел 1 комар, во второй – 2, в третий – 3 и так далее. Начиная со второго часа, Вася без сна и отдыха охотился за комарами. За второй час он убил одного комара, за третий – двух и так далее. Сколько живых комаров было в комнате к концу суток? Ответ: 24 комара.

9. Разрежьте квадрат справа на 4 равные части так, чтобы в каждой части было по 3 заштрихованные клетки.

Ответ: возможно другое решение.

10. Прямоугольник разрезан на несколько (более одной) различных фигурок из 6 клеток. Какая наименьшая площадь может быть у такого прямоугольника? Покажите, как это сделать. Ответ: 12, см. рисунок (возможны другие примеры).

11. Знаете ли вы теорему Эйлера о многогранниках? Она утверждает, что если В – число вершин выпуклого многогранника, Р – число его ребер, Г – число его граней, то В – Р + Г = 2. С помощью этой теоремы решите следующую задачу. Покрышка футбольного мяча сплошь состоит из выпуклых пятиугольников и шестиугольников, причем в каждой вершине сходится по три многоугольника. Сколько среди них пятиугольников? Ответ: 12.

12. Сколько существует четырёхзначных чисел, начинающихся на 2 и оканчивающихся на 8? Ответ: 100.

13. На олимпиаде было 100 участников и 4 задачи. Первую задачу решило 90 участников, вторую — 80, третью — 70, а четвертую — 60. Никто не решил все четыре задачи. Победителями были объявлены все участники, решившие третью и четвертую задачи, и только они. Сколько их было? Ответ: 30.

14. Числа от 1 до 1000 выписаны по порядку по окружности. Начиная с первого, каждое пятнадцатое число (т.е. числа 1, 16, 31 и т.д.) красится в красный цвет, причем при повторных оборотах красные числа считаются. Процесс заканчивается, когда придется красить уже покрашенное число. Сколько чисел останется неокрашенными? Ответ: 800.

15. У марсианских часов три стрелки. Первая стрелка обходит циферблат за полтора земных часа, вторая – за три, третья – за шесть. Первую стрелку поставили вертикально, вторую сместили на 120 градусов, а третью – на 240 градусов по часовой стрелке относительно первой. После этого часы запустили и стали считать, сколько раз встречаются две стрелки. Через сколько земных часов после запуска произойдет 2009-я такая встреча? Ответ: Через 2008 часов.

16. В краже подозреваются четверо: А, Б, В и Г. На допросе они сказали:

А: «Это сделал Б».

Б: «Этот сделал Г».

В: «Это сделал не я».

Г: «Б лжет, что это сделал я».

Правду сказал только один. Кто совершил кражу? Ответ: Кражу совершил В.

17. Отец дал сыну 500 руб., а другой отец дал свому сыну 400 руб. На сколько мог увеличиться суммарный капитал сыновей? Указать все возможные варианты ответов. Ответ: 400, 500, 900 руб.

18. Футбольные команды пяти школ города участвуют в розыгрыше кубка. В финал кубка выходят две команды. До соревнований были сделаны пять прогнозов, что в финал выйдут: 1) Б и Г; 2) В и Д; 3) Б и В; 4) А и Г; 5) Г и Д. Один из прогнозов оказался полностью неверным, а в остальных была верно названа только одна из команд-финалисток. Какие команды вышли в финал? Ответ: Б и Д.

19. Продолжите последовательность: 15, 29, 56, 109, 214, ?, ? Ответ: 423, 840.

20. Кубик 1 соответствует кубику 2 так же, как и кубик 3 одному из кубиков A, B, C, D. Какому именно? Ответ: D.

«Бороться и искать,

найти и не сдаваться»

1. Какое наибольшее натуральное число в записи римскими цифрами начинается на ММХ?

2. Чингиз нашел сумму всех четных натуральных чисел, меньших 100, а Николай – сумму всех нечетных натуральных чисел, меньших 100. У кого получилось больше и на сколько?

3. Найдите какое-нибудь решение арифметического ребуса (одинаковые буквы – одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры).

4. Сегодняшнюю дату можно записать как 06.09.2009. Напишите БЛИЖАЙШУЮ к нам (в прошлом или будущем) дату, которая записывается восемью различными цифрами.

5. Дана дробь 1/999. Требуется уменьшить её знаменатель и увеличить числитель на одно и то же число М так, чтобы получившаяся дробь равнялась 2/3. Найдите М.

6. В классе каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка – с двумя мальчиками. При этом в классе всего 19 парт и 31 «хорошист». Сколько учеников в классе?

7. В 1983 году было 53 субботы. Каким днём недели было 31 декабря этого года?

8. Летом у Васи на даче целые сутки было открыто окно. В первый час влетел 1 комар, во второй – 2, в третий – 3 и так далее. Начиная со второго часа, Вася без сна и отдыха охотился за комарами. За второй час он убил одного комара, за третий – двух и так далее. Сколько живых комаров было в комнате к концу суток?

9. Разрежьте квадрат справа на 4 равные части так, чтобы в каждой части было по 3 заштрихованные клетки.

10. Прямоугольник разрезан на несколько (более одной) различных фигурок из 6 клеток. Какая наименьшая площадь может быть у такого прямоугольника? Покажите, как это сделать.

11. Знаете ли вы теорему Эйлера о многогранниках? Она утверждает, что если В – число вершин выпуклого многогранника, Р – число его ребер, Г – число его граней, то В – Р + Г = 2. С помощью этой теоремы решите следующую задачу. Покрышка футбольного мяча сплошь состоит из выпуклых пятиугольников и шестиугольников, причем в каждой вершине сходится по три многоугольника. Сколько среди них пятиугольников?

12. Сколько существует четырёхзначных чисел, начинающихся на 2 и оканчивающихся на 8?

13. На олимпиаде было 100 участников и 4 задачи. Первую задачу решило 90 участников, вторую — 80, третью — 70, а четвертую — 60. Никто не решил все четыре задачи. Победителями были объявлены все участники, решившие третью и четвертую задачи, и только они. Сколько их было?

14. Числа от 1 до 1000 выписаны по порядку по окружности. Начиная с первого, каждое пятнадцатое число (т.е. числа 1, 16, 31 и т.д.) красится в красный цвет, причем при повторных оборотах красные числа считаются. Процесс заканчивается, когда придется красить уже покрашенное число. Сколько чисел останется неокрашенными?

15. У марсианских часов три стрелки. Первая стрелка обходит циферблат за полтора земных часа, вторая – за три, третья – за шесть. Первую стрелку поставили вертикально, вторую сместили на 120 градусов, а третью – на 240 градусов по часовой стрелке относительно первой. После этого часы запустили и стали считать, сколько раз встречаются две стрелки. Через сколько земных часов после запуска произойдет 2009-я такая встреча?

16. В краже подозреваются четверо: А, Б, В и Г. На допросе они сказали:

А: «Это сделал Б».

Б: «Этот сделал Г».

В: «Это сделал не я».

Г: «Б лжет, что это сделал я».

Правду сказал только один. Кто совершил кражу?

17. Отец дал сыну 500 руб., а другой отец дал свому сыну 400 руб. На сколько мог увеличиться суммарный капитал сыновей? Указать все возможные варианты ответов.

18. Футбольные команды пяти школ города участвуют в розыгрыше кубка. В финал кубка выходят две команды. До соревнований были сделаны пять прогнозов, что в финал выйдут: 1) Б и Г; 2) В и Д; 3) Б и В; 4) А и Г; 5) Г и Д. Один из прогнозов оказался полностью неверным, а в остальных была верно названа только одна из команд-финалисток. Какие команды вышли в финал?

19. Продолжите последовательность: 15, 29, 56, 109, 214, ?, ? .

20. Кубик 1 соответствует кубику 2 так же, как и кубик 3 одному из кубиков A, B, C, D. Какому именно?

«Математический биатлон.

Гонка преследования»

(1 огневой рубеж, «Логика»)

... с ответами...

1 мишень. Рыцари, как обычно, говорят только правду, а лжецы всегда лгут. Все они живут на одном острове. Однажды один из его жителей, А, сказал: "Я лжец, а вот Б – рыцарь". Кем в действительности являются А и Б? Ответ: Оба лжецы.

2 мишень. После битвы со Змеем Горынычем три богатыря заявили следующее.

Илья Муромец: "Змея убил Добрыня Никитич."

Добрыня Никитич: "Змея убил Алеша Попович."

Алеша Попович: "Змея убил я."

Кто убил Змея, если известно, что только один из них сказал правду?

Ответ: Добрыня Никитич.

3 мишень. В семье 4 детей, им 5, 8, 13 и 15 лет, а зовут их Таня, Юра, Света и Лена. Сколько лет каждому из них, если одна девочка ходит в детский сад, Таня старше, чем Юра, а сумма лет Тани и Лены делится на 3? Ответ: Лена – 5 лет, Юра – 8 лет, Таня – 13 лет, Света – 15 лет.

4 мишень. Говоря о своем дедушке, Катя каждый раз старалась назвать его по-новому: «отец моего отца», «отец брата моего отца», «отец отца сына моего отца», «отец брата отца моего брата», «брат отца отца моего брата». Сколько раз Катя ошиблась? (Все братья – родные!) Ответ: 1 раз.

5 мишень. На острове рыцарей и лжецов в очереди стоят 25 человек. Каждый, кроме первого, заявил, что прямо перед ним в очереди стоит лжец. Сколько лжецов могло быть в этой очереди? Указать все возможные варианты ответов. Ответ: 12 или 13.

«Математический биатлон.

Гонка преследования»

(2 огневой рубеж, «Текстовые задачи»)

... с ответами...

1 мишень. Играя в настольную игру, Петя набрал за 40 ходов 90 очков, а Степа 119 очков за 37 ходов. За каждый правильный ход давалось 7 очков, а за каждый ошибочный снималось 12 очков. У кого больше правильных ходов? Ответ: у Пети.

2 мишень. За круглым столом сидели 4 олимпиадника. Филолог сидел против Козина, рядом с историком. Математик сидел рядом с Волковым. Соседи Шатрова – Егоркин и физик. Какая профессия у Козина? Ответ: математик.

3 мишень. В Наблюдательном совете компании «Промгаз» 6 членов. Сколькими различными способами они могут создать комиссию из 3 человек, если Карасёв не хочет быть в одной комиссии со Щукиным, Воробьёв — с Орловым, а Мышкин — с Кошкиным. Ответ: 8.

4 мишень. Греческие кошки Альфа, Бета, Гамма и Дельта охотились на мышей. Бета и Дельта вместе поймали столько же мышей, сколько Гамма и Альфа вместе, но Альфа поймала больше, чем Гамма, а Альфа и Дельта вместе поймали меньше, чем Бета и Гамма. Сколько мышей поймала Гамма, если Бета поймала трех? Ответ: 1.

5 мишень. Три автомобиля одновременно, из одной точки и в одном направлении, выехали по кольцевой трассе. Каждый движется с постоянной скоростью. Проехав ровно два круга, первый автомобиль впервые догнал второй, а проехав ровно три круга – третий. Сколько кругов проедет второй автомобиль к моменту, когда он впервые после старта окажется в одной точке с третьим? Ответ: 3.

«Математический биатлон.

Гонка преследования»

(3 огневой рубеж, «Геометрия»)

... с ответами...

1 мишень. Сосчитайте, сколько треугольников на рисунке:

Ответ: 32.

2 мишень. Как разделить арбуз на 4 части так, чтобы после съедения арбуза осталось 5 корок? Ответ: нужно вырезать из арбуза «трубку», вместе с верхней и нижней корками, а остальное разделить на три доли, похожие на дольки мандарина. От первого куска («трубки») после съедения мякоти останутся две корки.

3 мишень. Каждую из 8 точек, лежащих на одной прямой, соединили с каждой из 7 точек, лежащих на параллельной ей прямой. В скольких точках пересекаются полученные отрезки, если никакие две точки пересечения не совпадают? Ответ: 588.

4 мишень. Какие области покрыты ровно тремя прямоугольными коврами (всего ковров 5)?

Ответ: 4; 9; 11; 13.

5 мишень. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на три равных части. (Части называются равными, если они совпадают при наложении). Ответ: см. рисунок, возможны другие варианты ответа.

«Математический биатлон.

Гонка преследования»

(4 огневой рубеж, «Числа»)

... с ответами...

1 мишень. Мальчик вырезал из бумаги девять карточек и на каждой написал по одной цифре 1, 2, 3, …, 9. Затем он разложил их на столе так, что получилось одно однозначное и четыре двузначных числа и обнаружил, что получившиеся числа относятся как 1:2:3:4:5. Покажите, как он это сделал. Ответ: 9, 18, 27, 36, 45.

2 мишень. Найдите наименьшее натуральное число, которое уменьшается в 57 раз при зачеркивании первой цифры. Ответ: 7125.

3 мишень. Придумайте такое семизначное число, у которого первая цифра равна числу нулей в этом числе, вторая – числу единиц, третья числу двоек, …, седьмая – числу шестерок. Ответ: 3211000.

4 мишень. Одаренный малыш научился считать в уме раньше, чем выучил значения цифр. Однажды он написал: . Что он имел ввиду?

Ответ: .

5 мишень. Решите ребус: БАРС = (Б+А+С)⁴(одинаковые буквы – одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры).

Ответ: 2401=(2+4+1)⁴.

«Математический биатлон.

Гонка преследования»

(1 огневой рубеж, «Логика»)

1 мишень. Рыцари, как обычно, говорят только правду, а лжецы всегда лгут. Все они живут на одном острове. Однажды один из его жителей, А, сказал: "Я лжец, а вот Б – рыцарь". Кем в действительности являются А и Б?

2 мишень. После битвы со Змеем Горынычем три богатыря заявили следующее.

Илья Муромец: "Змея убил Добрыня Никитич."

Добрыня Никитич: "Змея убил Алеша Попович."

Алеша Попович: "Змея убил я."

Кто убил Змея, если известно, что только один из них сказал правду?

3 мишень. В семье 4 детей, им 5, 8, 13 и 15 лет, а зовут их Таня, Юра, Света и Лена. Сколько лет каждому из них, если одна девочка ходит в детский сад, Таня старше, чем Юра, а сумма лет Тани и Лены делится на 3?

4 мишень. Говоря о своем дедушке, Катя каждый раз старалась назвать его по-новому: «отец моего отца», «отец брата моего отца», «отец отца сына моего отца», «отец брата отца моего брата», «брат отца отца моего брата». Сколько раз Катя ошиблась? (Все братья – родные!)

5 мишень. На острове рыцарей и лжецов в очереди стоят 25 человек. Каждый, кроме первого, заявил, что прямо перед ним в очереди стоит лжец. Сколько лжецов могло быть в этой очереди? Указать все возможные варианты ответов.

«Математический биатлон.

Гонка преследования»

(2 огневой рубеж, «Текстовые задачи»)

1 мишень. Играя в настольную игру, Петя набрал за 40 ходов 90 очков, а Степа 119 очков за 37 ходов. За каждый правильный ход давалось 7 очков, а за каждый ошибочный снималось 12 очков. У кого больше правильных ходов?

2 мишень. За круглым столом сидели 4 олимпиадника. Филолог сидел против Козина, рядом с историком. Математик сидел рядом с Волковым. Соседи Шатрова – Егоркин и физик. Какая профессия у Козина?

3 мишень. В Наблюдательном совете компании «Промгаз» 6 членов. Сколькими различными способами они могут создать комиссию из 3 человек, если Карасёв не хочет быть в одной комиссии со Щукиным, Воробьёв — с Орловым, а Мышкин — с Кошкиным.

4 мишень. Греческие кошки Альфа, Бета, Гамма и Дельта охотились на мышей. Бета и Дельта вместе поймали столько же мышей, сколько Гамма и Альфа вместе, но Альфа поймала больше, чем Гамма, а Альфа и Дельта вместе поймали меньше, чем Бета и Гамма. Сколько мышей поймала Гамма, если Бета поймала трех?

5 мишень. Три автомобиля одновременно, из одной точки и в одном направлении, выехали по кольцевой трассе. Каждый движется с постоянной скоростью. Проехав ровно два круга, первый автомобиль впервые догнал второй, а проехав ровно три круга – третий. Сколько кругов проедет второй автомобиль к моменту, когда он впервые после старта окажется в одной точке с третьим?

«Математический биатлон.

Гонка преследования»

(3 огневой рубеж, «Геометрия»)

1 мишень. Сосчитайте, сколько треугольников на рисунке:

2 мишень. Как разделить арбуз на 4 части так, чтобы после съедения арбуза осталось 5 корок?

3 мишень. Каждую из 8 точек, лежащих на одной прямой, соединили с каждой из 7 точек, лежащих на параллельной ей прямой. В скольких точках пересекаются полученные отрезки, если никакие две точки пересечения не совпадают?

4 мишень. Какие области покрыты ровно тремя прямоугольными коврами (всего ковров 5)?

5 мишень. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на три равных части. (Части называются равными, если они совпадают при наложении).

«Математический биатлон.

Гонка преследования»

(4 огневой рубеж, «Числа»)

1 мишень. Мальчик вырезал из бумаги девять карточек и на каждой написал по одной цифре 1, 2, 3, …, 9. Затем он разложил их на столе так, что получилось одно однозначное и четыре двузначных числа и обнаружил, что получившиеся числа относятся как 1:2:3:4:5. Покажите, как он это сделал.

2 мишень. Найдите наименьшее натуральное число, которое уменьшается в 57 раз при зачеркивании первой цифры.

3 мишень. Придумайте такое семизначное число, у которого первая цифра равна числу нулей в этом числе, вторая – числу единиц, третья числу двоек, …, седьмая – числу шестерок.

4 мишень. Одаренный малыш научился считать в уме раньше, чем выучил значения цифр. Однажды он написал: . Что он имел ввиду?

5 мишень. Решите ребус: БАРС = (Б+А+С)⁴(одинаковые буквы – одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры).