Методические указания по выполнению практических работ по УД ЕН.01 "ЭВМ" для студентов специальности 09.02.02 "Компьютерные сети"

Содержание

1. Введение ……………………………………………………………………………...
2. Порядок проведения практического занятия………………………………………
3. Оформление практической работы…………………………………………………
4. Критерии выставления оценок………………………………………………………
Практическая работа №1. «Операции над матрицами».……………………………..
Практическая работа  № 2.«Определители второго, третьего и n-го порядка, их свойства. Вычисление определителей» ……………………………………………...…
Практическая работа  № 3.«Нахождение обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы»…………………………………………………………………………...……
Практическая работа  № 4. «Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера» ………………………………………………………………………………..
Практическая работа  № 5. «Решение системы линейных уравнений методом Гаусса» ……………………………………………………………………….……………
Практическая работа  № 6. «Метод обратной матрицы. Решение произвольных систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли»………………………………………………………….……………………..
Практическая работа  № 7.  «Операции над векторами. Вычисление модуля и скалярного произведения»…………………………………………………………..…
Практическая работа  № 8. «Векторное произведение двух векторов, заданных своими координатами»………………………………………………………….……..
Практическая работа  № 9. «Составление уравнений прямых»…………………….
Практическая работа  № 10. «Составление уравнений  кривых второго порядка»...
Практическая работа  № 11. «Вычисление пределов. Раскрытие неопределённостей»………………………………………………….
Практическая работа  № 12. «Вычисление пределов с помощью замечательных пределов».…………………………………………….
Практическая работа  № 13. «Непрерывность элементарных и сложных функций. Точки разрыва, их классификация»
Практическая работа  № 14. «Вычисление производных сложных функций»
Практическая работа  № 15. «Вторая производная функции. Её физический смысл»……….. …………………………………………………………………………
Практическая работа  № 16. «Раскрытие неопределённостей, правило Лопиталя. Исследование функции на экстремум с помощью первой и второй производной»
Практическая работа  № 17. «Производные высших порядков»…………………….
Практическая работа  № 18. «Дифференциал второго порядка. Дифференциалы высших порядков»……………………………………………………………………...
Практическая работа № 19. «Выпуклые функции. Точки перегиба. Асимптоты»…
Практическая работа № 20. «Полное исследование функции. Построение графиков»………………………………………………………………………………………
Практическая работа № 21. «Нахождение области определения. Вычисление пределов для функции нескольких переменных»………………………………………..
Практическая работа № 22. «Вычисление частных производных и дифференциалов функции нескольких переменных»………………………………….……………
Практическая работа № 23. «Интегрирование заменой переменной в неопределённом интеграле»………………………………………………………………….….
Практическая работа № 24. «Интегрирование по частям в неопределенном интеграле»……………………………………………………………………………………
Практическая работа № 25. «Интегрирование простейших рациональных дробей»…………………………………………………………………...………………….
Практическая работа № 26. «Вычисление определённых интегралов методом замены переменной»………………………………………………………….……….….
Практическая работа № 27. «Вычисление определённых интегралов по частям»………………………………………………………………………………….…..
Практическая работа № 28. «Вычисление площадей фигур с помощью определённого интеграла»……………………………………………………………………..
Практическая работа № 29. «Вычисление объёмов тел вращения с помощью определённого интеграла»…………………………………………………………….….
Практическая работа № 30. «Вычисление двойных интегралов»…………………...
Практическая работа № 31. «Исследование сходимости положительных рядов»…
Практическая работа № 32. «Исследование сходимости знакочередующихся рядов. Исследование числовых рядов на абсолютную и условную сходимость»……
Практическая работа № 33. «Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд»……………………………………………………………..……..
Практическая работа № 34. «Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка с разделёнными и разделяющимися переменными»…………………
Практическая работа № 35. «Интегрирование однородных и линейных дифференциальных уравнений первого порядка»…………………………………………..
Практическая работа № 36. «Неполные дифференциальные уравнения второго порядка»……………………………………………………………………….………..
Практическая работа № 37. «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами»
5. Список рекомендуемой литературы………………………………………………..

1. Введение

   Цель методических указаний - обеспечить четкую организацию проведения практических занятий со студентами 2 курса специальности 230111  «Компьютерные сети» по дисциплине «Элементы высшей математики» и предоставить возможность студентам, отсутствовавшим на практическом занятии, самостоятельно выполнить работу.

   Студенты, отсутствовавшие на практических занятиях, при выполнении практических работ самостоятельно, имеют право на получение консультаций у преподавателя.

   Неудовлетворительная оценка, полученная студентом при выполнении практической работы, должна быть исправлена и повторно проверена преподавателем.

   Студент, имеющий к концу семестра более 75% практических работ, написанных на неудовлетворительную оценку, не может быть допущен к экзамену по дисциплине.

2. Порядок проведения практического занятия

1. Опрос студентов по теме практической работы в различных формах

2. Краткое сообщение преподавателя о целях практического занятия, порядке его проведения и оформления работы

3. Выдачу вариантов заданий

4. Выполнение практической работы студентами

5. Подведение итогов практического занятия преподавателем

3. Оформление практической работы

1. Задания выполняются в специально отведенной тетради.

2. В тетради студенты записывают:

- дату, когда проводится занятие;

- тему практической работы;

- вариант.

3. Условие каждого задания переписывается полностью или делается краткая запись «Дано» (если это возможно), затем выполняется решение задания и записывается ответ. Иногда ответ можно не записывать (ответом служит график, таблица и т.п.).

4. Все рисунки и схемы выполняются карандашом, с помощью линейки.

5. Задания можно выполнять в произвольном порядке.

4. Критерии выставления оценок

Оценка «5» ставится, если:

• работа выполнена полностью;

• в логических рассуждениях и обоснованиях решения нет пробелов и ошибок;

• в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Оценка «4» ставится, если:

• работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

• допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Оценка «3» ставится, если:

• допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Оценка «2» ставится, если допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Практическое занятие №1

Тема: «Операции над матрицами»

Цель: Повторить определение матрицы, правила действий над матрицами. Закрепить на практике выполнение действий над матрицами.

Методические указания

Определение. Матрицей  размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

            Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

            Определение.  Матрица вида:

= E,

называется единичной матрицей.

Определение. Квадратная матрица вида  называется диагональной матрицей.

Основные действия над матрицами

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

c_ij = a_ij ± b_ij

С = А + В = В + А.

             Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к  умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

Решение.

2А = ,                                 2А + В = .

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A×B = C;

.

            Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А = ;                    В = А_Т=;

другими словами,  b_ji = a_ij.

Пример.    Даны матрицы А = , В = , С =  и число a = 2. Найти: АВ+aС.

Решение.

            A _Т= ;                 AB = × =  = ;

aC = ;                           АВ+aС = + = .

            Пример. Даны матрицы

Содержание задания

Дано: .

Найдите:

1)  ;

2)  ;

3)  ;

4)  ;

5)  ;

6)  ;

Практическое занятие № 2

Тема: «Определители второго, третьего и - го порядка, их свойства. Вычисление определителей»

Цель: Повторить определение определителя второго и третьего порядка, правило их вычисления. Закрепить на практике вычисление определителей.

Методические указания

Определители (детерминанты)

            Определение. Определителем квадратной матрицы  называется число, вычисляемое по формуле .

            Определение. Определителем квадратной матрицы  называется число, вычисляемое по формуле

.

Определение. Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы  по формуле:

                                                                det A = ,     где                         (1)

М_1к – определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Пример. Вычислить определитель матрицы

а)

Решение.

б) В =

Решение.

1 способ.

2способ.

в) 

 = -1

 

 

Значение определителя:

Содержание задания

 №1. Вычислите определители.

а)                  б)                      в)

№2. Решите уравнение.

а)             б)

Практическое занятие № 3

Тема: «Нахождение обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы»

Цель: Повторить определение обратной матрицы, ранга матрицы, закрепить на практике правило нахождения обратной матрицы, вычисление ранга матрицы.

Методические указания

Миноры

            Рассмотрим определитель n-го порядка

.

Выделим в нём какой-либо элемент  и вычеркнем i-ую строку и j-ый столбец, на пересечении которых расположен этот элемент.

            Определение. Минором  элемента  определителя  называется определитель -го порядка, полученный вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца из определителя .

            Например: Найти минор  определителя

Решение.

Вычеркнем из данного определителя 3-ью строку и 2-ой столбец, получим определитель 3-го порядка.

.

Алгебраические дополнения

            Определение. Алгебраическим дополнением элемента  определителя называется число .

Так для приведённого выше примера алгебраическое дополнение равно

.

            В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.

Обратная матрица

            Пусть А – произвольная квадратная матрица.

            Определение. Квадратная матрица  называется обратной к матрице А, если

,

где Е- единичная матрица.

            Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю, имеет обратную матрицу и притом только одну.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1.      Вычислить определитель матрицы А (если , то обратной матрицы не существует).

2.      Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы А, составить новую матрицу , элементами которой являются алгебраические дополнения.

3.      Транспонировать полученную матрицу .

4.      Найти обратную матрицу по формуле  .

Например. Найти обратную матрицу

.

Решение.

1.      Находим определитель исходной матрицы:

.

, значит, исходная матрица имеет обратную.

2.      Найдём алгебраические дополнения всех элементов.

             

        

         

           

Составим матрицу .

3.      Транспонируем эту матрицу  .

4.      Найдём обратную матрицу по формуле  .

.

Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу А порядка .

.

      Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок, отличных от нуля миноров этой матрицы.

      Обозначение: rangA, r(A), r.

Свойства ранга матрицы

1.      При транспонировании матрицы её ранг не меняется.

2.      Если вычеркнуть из матрицы нулевую строку (столбец), то ранг матрицы не меняется.

3.      Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.

Каждую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к трапецеидальной.

Теорема. Ранг трапецеидальной матрицы равен числу ненулевых строк.

Например. Найти ранг матрицы

Решение.

Умножим первую стоку на -2 и прибавим к третьей строке

.

Разделим третью строку на -3, получим  .

Вычтем из второй строки третью .

Трапецеидальная матрица имеет две ненулевые строки, значит, ранг матрицы равен 2.

            Ответ: r(A)=2.

Содержание задания

№ 1. Найдите матрицу, обратную данной:

а)                                    б) 

№ 2. Найдите ранг матрицы:

       .

Практическое занятие №4

Тема: «Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера»

Цель: Закрепить на практике решение систем линейных уравнений по правилу Крамера

Методические указания

Метод Крамера

(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)

            Данный метод применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

            Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.

det A ¹ 0;

Теорема (Правило Крамера)

            Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

x_i = D_i/D, где

D = det A,  а D_i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i.

D_i =

            Пример.

A = ;   D₁= ;  D₂= ;   D₃= ;

= D₁/detA;      = D₂/detA;        = D₃/detA;

            Например:   Найдите решение системы уравнений:

Решение.

D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D₁ =  = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

= D₁/D = 1;

D₂ =  = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

= D₂/D = 2;

D₃ =  = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

 = D₃/D = 3.

            Ответ: (1; 2; 3).

Содержание задания

Решите систему уравнений:

а)                          б) 

Практическое занятие № 5

Тема: «Решение системы линейных уравнений методом Гаусса»

Цель: Закрепить на практике решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Методические указания

Метод Гаусса.

(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)

            Метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

            Рассмотрим систему линейных уравнений:

            Разделим обе части 1–го  уравнения на a₁₁ ¹ 0, затем:

1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения

                                     и т.д.

Получим:

,   где d_1j = a_1j/a₁₁,  j = 2, 3, …, n+1.

d_ij = a_ij – a_i1d_1j         i = 2, 3, … , n;       j = 2, 3, … , n+1.

            Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

            Например.

а) Решите систему линейных уравнений методом Гаусса  

Решение:

Составим расширенную матрицу системы.

А* =

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем:  = 2; = 5; = 1.

Ответ: (2; 5; 1).

б) Решите систему методом Гаусса 

            Решение:

Составим расширенную матрицу системы.

А* =

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем:  z = 3; y = 2; x = 1.

            Ответ: (1; 2; 3).

Содержание задания

Решите систему методом Гаусса 

     а)                                     б)  

Практическое занятие № 6

Тема: «Метод обратной матрицы. Решение произвольных систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли»

Цель: Повторить критерий совместности системы линейных уравнений, закрепить на практике решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы

Методические указания

Решение произвольных систем линейных уравнений

            Рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.

            Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

                                                    ,                                    (1)

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое её уравнение в тождество.

            Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

            Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

            Определение. Для системы линейных уравнений вида (1) матрица

А =  называется матрицей системы, а матрица

А^*=  называется расширенной матрицей системы

            Определение. Если b₁, b₂, …,b_m = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна.

Элементарные преобразования систем

            К элементарным преобразованиям относятся:

            1) Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

            2) Перестановка уравнений местами.

            3) Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

Теорема Кронекера – Капелли

(условие совместности системы)

(Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)

            Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

            Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

 + + … +

            Матричный метод решения систем линейных уравнений

            Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

            Метод удобен для решения систем невысокого порядка. Метод основан на применении свойств умножения матриц.

            Пусть дана система уравнений: 

Составим матрицы:   A = ;             B = ;           X = .

Систему уравнений можно записать:

A×X = B.

Сделаем следующее преобразование: A^-1×A×X = A^-1×B,

т.к.   А^-1×А = Е, то  Е×Х = А^-1×В

Х = А^-1×В

            Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

            Например: Решите систему уравнений:

            Решение:

Х = , B = , A =

Найдем обратную матрицу А^-1.

D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.

=  = -5;          =  = -1;      =    = -1;

=           =         = 

=           =      =

                   

                     A^-1 ==;

Находим матрицу Х.

Х = = А^-1В = ×= .

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3

            Ответ: (1; 2; 3).

Содержание задания

Решите систему линейных уравнений методом обратной матрицы:

а)                        б) 

Практическое занятие № 7

Тема: «Операции над векторами. Вычисление модуля и скалярного произведения»

Цель: Повторить определения вектора, длины вектора, коллинеарных и компланарных векторов; операции над векторами в координатной форме; нахождение скалярного произведения векторов и угла между векторами

Методические указания

Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

            Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

            Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых.

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

            Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

            Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарные.

            Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

            Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

            Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

            Суммой векторов является вектор 

            Произведение  , при этом  коллинеарен .

Вектор  сонаправлен с вектором ( ­­), если a > 0.

Вектор  противоположно направлен с вектором (­¯), если a < 0.

Свойства векторов

            1)  + = +  - коммутативность.

            2)  + (+ ) = ( + )+

            3)  +  =  

            4)  +(-1)  =

            5) (a×b) = a(b) – ассоциативность

            6) (a+b) = a + b - дистрибутивность

            7) a( + ) = a + a

            8) 1× =

Определение.

1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.

Декартова система координат

            Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М.

Вектор  назовем радиус- вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – компоненты ее радиус- вектора.

            Определение. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат.

1-я ось – ось абсцисс

2-я ось – ось ординат

3-я ось – ось аппликат

            Определение. Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х₁, y₁, z₁),

B(x₂, y₂, z₂), то  .

Координаты середины отрезка находятся как:

x =  (x₁ + x₂)/2;         y = (y₁ + y₂)/2;            z = (z₁ + z₂)/2.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат

 тогда

Скалярное произведение векторов

            Определение. Скалярным произведением векторов  и  называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

× = ïïïïcosj

            Свойства скалярного произведения:

1)      × = ïï²;

2)      × = 0, если ^ или = 0 или  = 0.

3)      × = ×;

4)      ×(+) = ×+ ×;

5)      (m)× = ×(m) = m(×);

Если рассматривать векторы  в декартовой прямоугольной системе координат, то

× = x_a x_b +  y_a y_b + z_a z_b

            Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

Например.  Найдите (5 + 3)(2 - ), если

Решение.

10×- 5×+ 6×- 3× = 10,

 т.к. .

            Например. Найдите угол между векторами и , если

.

            Решение.

Т.е.  = (1, 2, 3),     = (6, 4, -2)

×= 6 + 8 – 6 = 8:

.

cosj =

            Например.  Найдите скалярное произведение (3 - 2)×(5 - 6), если

Решение.

15×- 18×- 10×+ 12× = 15

+ 12×36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.

            Например. При каком m векторы  и  перпендикулярны.

            Решение.

= (m, 1, 0);      = (3, -3, -4)

.

Пример.  Дано: А(-3;1;2), В(-1;-3;7), С(-1;-1;3), D(3;-5;-3)

Найдите: 1) ; 2) ; 3) середину отрезка ВD; 4) ; 5) .

            Решение.

1)

;

;

.

2) ; ;

3) Пусть  - середина отрезка .

                   

.

4) ;

5) .

Содержание задания

Дано: А(-3;1;2), В(-1;-3;7), С(-1;-1;3), D(3;-5;-3).

Найдите: 1) ; 2) ; 3) середину отрезка АС; 4) ; 5)

Практическое занятие № 8

Тема: «Векторное произведение двух векторов, заданных своими координатами»

Цель: Повторить определение векторного произведения, геометрический смысл векторного произведения; закрепить на практике нахождение векторного произведения векторов, нахождение с помощью векторного произведения площади параллелограмма и треугольника

Методические указания

Определение. Векторным произведением векторов и  называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где j - угол между векторами и ,

2) вектор ортогонален векторам и

3) , и  образуют правую тройку векторов.

Обозначается:  или .

 

                                                    

                                                            

                                                                j

                                                             

Свойства векторного произведения векторов

1) ;

2) , если ïï или = 0 или = 0;

3) (m)´= ´(m) = m(´);

4) ´(+ ) = ´+ ´ ;

5) Если заданы векторы (x_a, y_a, z_a) и (x_b, y_b, z_b) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то

´=

6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

            Например.  Найдите векторное произведение векторов  и

.

            Решение.

 = (2, 5, 1);    = (1, 2, -3)

;

Ответ: .

Например.  Вычислите площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3),

С(0, 1, 0).

            Решение.

           

                             (ед²).

            Ответ: (ед²).

Например. Докажите, что векторы , и  компланарны.

Решение.

            , т.к. векторы линейно зависимы, то они компланарны.

            Например. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

            Решение.

(ед²).

            Ответ: 4 (ед²).

Содержание задания

Задание №1.

Дано: . 

Найдите: 1) ;  2) ;  3)

Задание №2.

Дано:

Найдите: .

Практическое занятие № 9

Тема: «Составление уравнений прямых»

Цель: Повторить основные уравнения прямой на плоскости, закрепить на практике  составление уравнения прямой.

Методические указания

            Определение. Уравнением линии  называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.

            Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В² ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

            В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

-          C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат

-          А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

-          В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

-          В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу

-          А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением  Ах + Ву + С = 0.

Например. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку А(1; 2) перпендикулярно вектору (3; -1).

Решение.

Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А.

Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.

Искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

            Пусть в пространстве заданы две точки M₁(x₁; y₁) и M₂(x_2; y₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

            Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

Например.  Найдите уравнение прямой, проходящей через точки А(1; 2) и В(3; 4).

Применяя записанную выше формулу, получаем:

;             ;            ;                 ;

;               ;                    

Искомое уравнение: .

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

            Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

            Определение. Каждый ненулевой вектор (a₁; a₂), компоненты которого удовлетворяют условию  Аa₁ + Вa₂ = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

            Например. Найдите уравнение прямой с направляющим вектором (1; -1) и проходящей через точку  А(1; 2).

            Решение.

            Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1×A + (-1)×B = 0, т.е.   А = В.

            Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C/A = 0.

            при х = 1, у = 2 получаем С/A = -3, т.е. искомое уравнение: х + у - 3 = 0

Уравнение прямой в отрезках

            Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0, С ¹ 0, то, разделив на –С, получим: или

, где

            Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

            Например. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найдите уравнение этой прямой в отрезках.

            Решение.

            С = 1, ,       а = -1,   b = 1.

Угол между прямыми на плоскости

            Определение. Если заданы две прямые y = k₁x + b₁,  y = k₂x + b₂, то острый угол между этими прямыми будет определяться как

.

Две прямые параллельны, если k₁ = k₂.

Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/k₂.

            Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А₁х + В₁у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = lА,  В₁ = lВ. Если еще и С₁ = lС, то прямые совпадают.

            Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы двух уравнений.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку

перпендикулярно данной прямой

            Определение. Прямая, проходящая через точку М₁(х₁, у₁) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

Расстояние от точки до прямой

Теорема. Если задана точка М(х₀, у₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.

            Например. Определите угол между прямыми: y = -3x + 7;  y = 2x + 1.

            Решение.

k₁ = -3;   k₂ = 2          tgj = ;   j = p/4.

            Например. Покажите, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

            Решение.

            Находим: k₁ = 3/5,    k₂ = -5/3,  k₁k₂ = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

            Например. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найдите уравнение высоты, проведенной из вершины С.

            Решение.

            Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

            Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

            Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

Пример.

Дано: .

Найдите:

1) уравнение высоты АК;

2)      уравнение стороны ВС;

3)      уравнение медианы СМ;

4)      уравнение прямой, проходящей через вершину В, параллельно стороне АС.

Решение.

            1) , .

Воспользуемся уравнением прямой с нормальным вектором: ,

 - уравнение АК.

            2) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки: .

ч - уравнение прямой ВС.

3)      М – середина АВ.

, .

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки: .

 - уравнение СМ.

4)      Воспользуемся уравнением прямой с направляющим вектором:

. Пусть прямая ВР || АС, тогда ,

 - уравнение прямой, проходящей через вершину В, параллельно стороне АС.

Содержание задания

Дано: .

Найдите:

1) уравнение высоты СК;

2)      уравнение стороны АС;

3)      уравнение медианы АМ;

4)      уравнение прямой, проходящей через вершину В, параллельно стороне АС.

Практическое занятие № 10

Тема: «Составление уравнений кривых второго порядка»

Цель: Повторить уравнения кривых второго порядка (окружности, эллипса, гиперболы, параболы), закрепить на практике типовые задачи на составление уравнений кривых второго порядка, нахождение эксцентриситета, фокусов.

Кривые второго порядка

            Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0.

            Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

1)       - уравнение эллипса.

2)       - уравнение гиперболы.

3)      y² = 2px – уравнение параболы.

4)       (x – a)² + (y – b)² = R² – уравнение окружности.

Окружность

            В окружности  (x – a)² + (y – b)² = R²  центр имеет координаты (a; b).

            Например.  Найдите координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:

2x² + 2y² – 8x + 5y – 4 = 0.

            Решение.

            Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше. Для этого выделим полные квадраты:

x² + y² – 4x + 2,5y – 2 = 0

x² – 4x + 4 –4 + y² + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² = 121/16

Отсюда находим О(2; -5/4);   R = 11/4.

Эллипс

            Определение. Эллипсом называется линия, заданная уравнением

.

Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

                                                                       у

                                                                                   М

                                                                      r₁                                                        

                                                                                        r₂

                                                             F₁           O         F₂                       х

F₁, F₂ – фокусы.   F₁ = (c; 0);    F₂(-c; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

            Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

a² = b² + c².

            Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.

= с/a.

Т.к. с < a, то Е  < 1.

            Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k² = 1 – Е ².

            Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

            Если для точки М(х₁; у₁) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если  , то точка находится вне эллипса.

                        С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:

x = a/ Е;   x = -a/ Е.

            Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету Е.

            Например. Составьте уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:

            Решение.

1)      Координаты нижней вершины: x = 0; y² = 16;  y = -4.

2)      Координаты левого фокуса: c² = a² – b² = 25 – 16 = 9;  c = 3;  F₂(-3; 0).

3)      Уравнение прямой, проходящей через две точки:

            Например. Составьте  уравнение эллипса, если его фокусы F₁(0; 0), F₂(1; 1), большая ось равна 2.

            Решение.

            Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами:

2c = , таким образом, a² – b² = c² =

по условию 2а = 2, следовательно,  а = 1, b =  

Итого: ,  ,            .

Гипербола

            Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

                                                                       y

                                                                                                                      M(x, y)

                                                                        b

                                                                              r₁

                                                                                                              r₂

                                                                                                                                  x

                                            F₁                                                a        F₂

                                                           c

            По определению ïr₁ – r₂ï= 2a.  F₁, F₂ – фокусы гиперболы. F₁F₂ = 2c.

Обозначим с² – а² = b² (геометрически эта величина – меньшая полуось)

            Получили каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

            Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

            Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

            Определение. Отношение называется  эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, a – действительная полуось.

            С учетом того, что с² – а² = b²:

            Если а = b, Е =  , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

            Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии  от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

            Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

            Например. Найдите уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса .

            Решение.

Для эллипса: c² = a² – b².

Для гиперболы: c² = a² + b².

 

                                                                                                               

                                                             

                                          

                                                                                                              

Уравнение гиперболы: .

            Например. Составьте уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением

            Решение.

Находим фокусное расстояние c² = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы: c² = a² + b² = 16,         Е = c/a = 2;          c = 2a;          c² = 4a²;      a² = 4;

b² = 16 – 4 = 12.

            Итого:  - искомое уравнение гиперболы.

Парабола.

            Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

            Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.

                                                                у

                                           А                              М(х, у)

 

                                                          О             F                                                     x

 

                                                   p/2            p/2

            Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Каноническое уравнение параболы имеет вид:  

y² = 2px

            Уравнение директрисы: x = . 

Например. На параболе у² = 8х найдите точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

            Решение.

            Из уравнения параболы получаем, что р = 4.

r = x + p/2 = 4; следовательно:

x = 2;  y² = 16;   y = ±4.  Искомые точки: M₁(2; 4),  M₂(2; -4).

Примеры.

1. Найдите координаты центра и радиус окружности

.

Решение.

Частное уравнение окружности имеет вид: ,

Координаты центра:  (-3; 1) – координаты центра окружности.

Радиус окружности:

.

Ответ. (-3; 1);  .

2. Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если его большая ось равна 14, а эксцентриситет равен .

Решение.

Большая ось , тогда .

Эксцентриситет .

Так как

.   Воспользуемся уравнением эллипса:

.

Ответ. .

3. Найдите эксцентриситет гиперболы .

Решение.

Уравнение гиперболы имеет вид: , тогда ,

. Так как .

Найдём эксцентриситет по формуле .

Ответ. .

4. Составьте уравнение параболы с вершиной в начале координат, если её фокус находится в точке F(0; -3).

Решение.

. Уравнение параболы имеет вид: ,

.

Ответ. .

Содержание задания

1. Найдите координаты центра и радиус окружности

.

2. Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если расстояние между его фокусами равно 16, а эксцентриситет равен 0,5.

3. Найдите эксцентриситет эллипса .

4. Составьте уравнение параболы с вершиной в начале координат,  если её директрисой служит прямая .

Практическое занятие № 11

Тема: «Вычисление пределов. Раскрытие неопределённостей»

Цель: Закрепить на практике правила вычисления пределов, используя раскрытие неопределённостей.

Методические указания

Предел функции в точке

 

                                                      y                                        f(x)

                                             A + e

                                                  A

                                              A - e

                                                           0                      a -   a  a +      x

            Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

            Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число >0, что для всех х таких, что

0 < ïx - aï <

верно неравенство                                ïf(x) - Aï< e.

            Обозначение: .

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности

            Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, ïхï>M выполняется неравенство

При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.

Обозначение:

Основные теоремы о пределах

            Теорема 1. , где С = const.

            Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.

            Теорема 2.

            Теорема 3.

            Следствие.

            Теорема 4.     при

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение.  Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .

Определение. Функция называется бесконечно большой при х®а, где а – число или одна из величин ¥, +¥ или -¥, если , где А – число или одна из величин ¥, +¥ или -¥.

Правила вычисления пределов

1.      Непосредственное вычисление

Непосредственное вычисление пределов выполняется путём подстановки предельного значения аргумента в выражение функции.

            Примеры.

1) ;

2) ;

3) .

            2. Раскрытие неопределённостей

а) Раскрытие неопределённости «»

1 случай: Числитель и знаменатель дроби – многочлены.

В этом случае необходимо числитель и знаменатель дроби разложить на множители, сократить дробь и неопределённость исчезнет.

            Примеры.

1) ;

2)

Разложим квадратный трёхчлен на множители.

3)

            2 случай: Имеется иррациональность.

В этом случае необходимо перенести иррациональность из числителя в знаменатель или наоборот.

            Примеры.

1)

;

2)

.

б) Раскрытие неопределённости «»

Для раскрытия неопределённости вида «», заданной отношением двух многочленов, числитель и знаменатель дроби делят на наивысшую из имеющихся степеней аргумента.

            Примеры.

1)

;

2) .

Содержание задания

Вычислите пределы:

1) ;        2) ;       3) ; 4) ;

5) ;      6) ;             7)

Практическое занятие № 12

Тема: «Вычисление пределов с помощью замечательных пределов»

Цель: Повторить первый и второй замечательные пределы, закрепить на практике вычисление пределов с помощью замечательных пределов.

Методические указания

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение.  Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .

Определение. Функция называется бесконечно большой при х®а, где а – число или одна из величин ¥, +¥ или -¥, если , где А – число или одна из величин ¥, +¥ или -¥.

Сравнение бесконечно малых функций

            Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

            Например, функция f(x) = x¹⁰ стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.

            Определение. Если , то функция a называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция b.

            Определение. Если , то a и b называются бесконечно малыми одного порядка.

            Определение. Если то функции a и b называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают a ~ b.

            Например.  Сравним бесконечно малые при х®0 функции f(x) = x¹⁰ и f(x) = x.

т.е. функция f(x) = x¹⁰ – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x.

Свойства эквивалентных бесконечно малых

            1) a ~ a,   

            2) Если a ~ b и b ~ g, то a ~ g,     

            3) Если a ~ b, то b ~ a,          

                   4) Если a ~ a₁ и b ~ b₁ и , то и   или .

Следствие:  а) если a ~ a₁  и , то и

                                б) если b ~ b₁ и , то

Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.

Например.  Найдите предел

Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

            Например.  Найдите предел .

Так как 1 – cosx =  при х®0, то .

            Например.  Найдите предел

Некоторые замечательные пределы

Первый замечательный предел:     

Второй замечательный предел:   

                                                          

Примеры. Найдите пределы.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5)

;

6) ;

7) .

Содержание задания

Вычислите пределы.

1) ;               2) ; 3) ;            4) ;

6) ;          7)

Практическое занятие № 13

Тема: «Непрерывность элементарных и сложных функций. Точки разрыва, их классификация»

Цель: Повторить определение непрерывности функции в точке, на интервале и на отрезке, определение точки разрыва, классификацию точек разрыва; закрепить на практике исследование функции на непрерывность, классификацию точек разрыва

Методические указания

Односторонние пределы

Определение. Если f(x) ® A₁ при х ® а только при x < a, то  - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A₂ при х ® а только при x > a, то  называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.

                                                                       у

                                                                                                                      f(x)

                                                                       А₂

                                                                       А₁

                                                                             0            a                                    x

            Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А₁ и А₂ называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

Непрерывность функции в точке

            Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется разрывной функцией, а точка х₀ – точкой разрыва.

Пример непрерывной функции:

                                                           y

                                               f(x₀)+e

                                                  f(x₀)

                                               f(x₀)-e

0  x₀-   x₀ x₀+                                  x

Пример разрывной функции:

                                                                       y

                                               f(x₀)+e

                                                  f(x₀)

                                               f(x₀)-e

                                                                                   x₀                                x

            Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого положительного числа e>0 существует такое число >0, что для любых х, удовлетворяющих условию

верно неравенство                               .

            Определение.  Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х₀, если приращение функции в точке х₀ является бесконечно малой величиной.

f(x) = f(x₀) + a(x)

где a(х) – бесконечно малая при х®х₀.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в интервале  и в точке  непрерывна справа, а в точке  непрерывна слева.

Точки разрыва и их классификация

            Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х₀, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х₀ является точкой разрыва, если  функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

            Если односторонний предел           , то функция называется непрерывной справа.

 

                                                                                 х₀

            Если односторонний предел , то функция называется непрерывной слева.

 

                                                                     х₀

            Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х₀ или не является непрерывной в этой точке.

            Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные пределы слева и справа (односторонние пределы), то есть

Определение. Если , то точка  называется точкой устранимого разрыва.

Если , то точка  называется точкой конечного разрыва.

Определение. Величину  называют скачком функции в точке разрыва 1-го рода.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Например. Функция f(x) =  имеет в точке х₀ = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.

.

            Например.  f(x) =

Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел , т.е. в точке х = 0 функция имеет точку разрыва 1 – го рода. Это – устранимая точка разрыва, т.к. если доопределить функцию:

График этой функции:

            Примеры.

1) Исследуйте на непрерывность функцию и определите тип точек разрыва, если они есть.

                                     

в точке х = -1 функция непрерывна;           

точка х = 1 - точка конечного разрыва 1 – го рода     

                                                                       у

                                                                            3

                                                                            2

                                       -4                       -1      0        1                                   х

2)  Исследуйте на непрерывность функцию и определите тип точек разрыва, если они есть.

                                     

в точке х = 0 функция непрерывна;           

точка х = 1 - точка конечного разрыва 1 – го рода                         

 

                                                                      у

                                                                       2

                                                                           1

                                               -p       -p/2         0      1                                   x

Содержание задания

№ 1. Найдите точки разрыва и определите их тип:

а) ;                 б) ;                   в)

№ 2. Постройте график функции, найдите точки разрыва и определите их тип:

а)                          б)

Практическое занятие № 14

Тема: «Вычисление производных сложных функций»

Цель: Повторить определение производной, правила дифференцирования, определение сложной функции, теорему о нахождении производной сложной функции, закрепить на практике приёмы вычисления производной сложной функции.

Методические указания

Производная функции, ее геометрический и физический смысл

            Определение. Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

                                                    у

                                                                                               f(x)

                                          f(x₀ +Dx)                                      P

                                                           Df

                                               f(x₀)                  M

                                                   a                b             Dx     

                                                      0                     x₀         x₀ + Dx                   x

            Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда  тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

,

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

            Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Основные правила дифференцирования

            Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u′v+ u×v′

3), если v ¹ 0

Производные основных элементарных функций

                                 1) С¢  = 0;                                             9)

                                 2) (x^m)¢ = mx^m-1;                                   10)

                                 3)                                                11)

                                 4)                                     12)

                                 5)                                          13)

                                 6)                                   14) 

                                 7)                                         15)

                                 8)                              16) 

Производная сложной функции

            Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

            Тогда      

            Примеры.

№ 1. Вычислите производные следующих функций:

1)

;

2)

;

3)

4)

;

№ 2. Вычислите производные функций при данном значении аргумента:

1)

;

;

2)

;

Содержание задания

№ 1. Вычислите производные следующих функций:

а) б)               в)          

г)

№ 2. Вычислите производные функций при данном значении аргумента:

а)                   б)

Практическое занятие № 15

Тема: «Вторая производная функции. Её физический смысл»

Цель: Повторить определение второй производной функции, её физического смысла; закрепить на практике вычисление второй производной функции, решение задач на применение физического смысла производной.

Методические указания

            Пусть функция  дифференцируема на всей области определения.

            Определение: Производную от производной функции называют второй производной функции.

            Обозначение: ; 

            Физический смысл:

Если первая производная функции, есть скорость её изменения, то вторая производная функции – это скорость изменения скорости, то есть ускорение.

                                               

            Примеры:

№1. Вычислите вторую производную функции:

а)

Решение.

;

б)

Решение.

:

в)

Решение.

;

г)

Решение.

№2. Задача.

Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением . Вычислите её ускорение  в момент времени  с.

Решение.

Ответ:

Содержание задания

№1. Вычислите вторую производную функции:

а) б)                     в)                 г)

№ 2. Задача.

Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением . Вычислите её ускорение  в момент времени  с.

Практическое занятие № 16

Тема: «Раскрытие неопределённостей, правило Лопиталя. Исследование функции на экстремум с помощью первой и второй производной»

Цель: Повторить правило Лопиталя, а также второе правило нахождения максимума и минимума функции, закрепить на практике вычисление пределов с помощью правила Лопиталя, задачи на нахождение максимума и и минимума функции.

Методические указания

Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

(Лопиталь (1661-1704) – французский математик)

            К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:

            Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0 (f(a) = g(a) =), то предел отношения функций при х ® а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

Точки экстремума

            Определение. Функция f(x) имеет в точке х₁ максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х₁. Функция f(x) имеет в точке х₂ минимум, если f(x₂ +Dx) > f(x₂) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным). 

            Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

            Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

            Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х₁).

            Если при переходе через точку х₁ слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с «+» на «-», то в точке х = х₁ функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с «-» на «+»- то функция имеет минимум.

            Определение. Значение функции в точках максимума и минимума называется максимумом и минимумом функции соответственно.

Исследование функции на экстремум с помощью

производных высших порядков

            Пусть в точке х = х₁ f¢(x₁) = 0 и f¢¢(x₁) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х₁.

            Теорема. Если f¢(x₁) = 0, то функция f(x) в точке х = х₁ имеет максимум, если f¢¢(x₁)<0 и минимум, если f¢¢(x₁)>0.

Примеры.

№ 1. Вычислите по правилу Лопиталя:

а)

б) =

=

в) =

г) =

=

№ 2. Исследуйте функцию на экстремум по двум правилам:

Решение.

1. ;

 

,   - критические точки первого рода;

 - точка максимума,

;

 - точка минимума

2. ;

,   - критические точки первого рода;

, , значит, при  функция имеет максимум

,  , значит, при  функция имеет минимум

Содержание задания

№ 1. Вычислите по правилу Лопиталя:

а)                            б)                             в)                

г)

№ 2. Исследуйте функцию на экстремум по двум правилам:

а)

б)

в)

Практическое занятие №17

Тема: «Производные высших порядков»

Цель: Повторить определение производной n-го порядка функции , правило вычисления; закрепить на практике вычисление производных высших порядков.

Методические указания

Определение: Производная второй производной функции  называется третьей производной или производной третьего порядка данной функции.

            Обозначение: ; 

            Определение: Производной n-го порядка функции  называется первая производная производной (n-1)-го порядка данной функции.

            Обозначение: ; 

            Определение: Производные порядка выше первого называются производными высшего порядка.

Примеры. Вычислите:

а)  если

Решение.

;

;

;

;

.

б)  если

Решение.

;

;

;

;

.

в)   если

Решение.

;

;

+

.

г) , если 

Решение.

;

;

=.

д) , если

Решение.

;

;

=

=.

Содержание задания

Вычислите:

а)  если

б)  если

в)   если

г) , если 

д) , если

Практическое занятие № 19

Тема: «Выпуклые функции. Точки перегиба. Асимптоты»

Цель: Повторить определение выпуклой и вогнутой функции, точки перегиба кривой, правило нахождения асимптот, закрепить на практике алгоритм нахождения промежутков выпуклости, точек перегиба, построение асимптот.

Методические указания

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

            Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

                                                           у

                                                                                                                                       x

            На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.

            Теорема 1.  Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

Аналогично, если f¢¢(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b).

            Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

            Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

            Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если  вторая производная f¢¢(a) = 0 или f¢¢(a) не существует и при переходе через точку х = а  f¢¢(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

Асимптоты

            При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

            Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

            Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Вертикальные асимптоты

            Из определения асимптоты следует, что если или  или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

            Например. Для функции  прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты

            Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.

 

            Горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при

k =0.

Примеры.

1. Исследуйте кривую на выпуклость и точки перегиба.

Решение.

1) Область определения функции:

2)  

3)

4)  - критическая точка второго рода

5) при  - функция выпуклая

    при   - функция вогнутая

6) ,  

 точка перегиба

2. Найдите асимптоты и постройте график функции .

Решение.

1) Вертикальные асимптоты: y®+¥    x®0-0:      y®-¥     x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.

2) Наклонные асимптоты:

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

Построим график функции:

3. Найдите асимптоты и постройте график функции .

Решение.

Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.

Найдем наклонные асимптоты:

y = 0 – горизонтальная асимптота.

4. Найдите асимптоты и постройте график функции .

Решение.

Прямая  х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.

Найдем наклонные асимптоты.

Итак, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

Содержание задания

№ 1. Исследуйте кривую на выпуклость и точки перегиба:

а)       б)        в)

№ 2. Найдите асимптоты графика функции:

Практическое занятие №20

Тема: Полное исследование функции. Построение графиков

Цель: Повторить схему исследования функции, закрепить  на практике построение графика функции

Методические указания

Схема исследования функций

            Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1)      Найти область определения функции

2)      Исследовать функцию на чётность (нечётность)

3)      Исследовать функцию на периодичность

4)      Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва (если они имеются)

5)      Найти интервалы возрастания и убывания, точки максимума и минимума, максимальное и минимальное значение функции на ее области определения

6)      Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба (если они имеются)

7)      Найти асимптоты графика функции (если они имеются).

8)      Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно)

9)      Найти дополнительные точки (если необходимо)

10)  Построить график функции

Пример. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Решение.

Областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые  х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки  х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = -; x = ;  x = -1;  x = 1.

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-¥ < x < -,      y¢ > 0, функция возрастает

- < x < -1,       y¢ < 0,  функция убывает

-1 < x < 0,            y¢ < 0,  функция убывает

 0 < x < 1,             y¢ < 0,  функция убывает

 1 < x < ,         y¢ < 0,   функция убывает

  < x < ¥,        y¢¢ > 0,   функция возрастает

Точка х = - является точкой максимума, а точка х =  является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3/2 и -3/2.

Найдем вторую производную функции

.

            Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥ < x < -,      y¢¢ < 0,  кривая выпуклая

- < x < -1,       y¢¢ < 0,  кривая выпуклая

-1 < x < 0,            y¢¢ > 0,  кривая вогнутая

 0 < x < 1,             y¢¢ < 0,  кривая выпуклая

 1 < x < ,         y¢¢ > 0,   кривая вогнутая

  < x < ¥,        y¢¢ > 0,   кривая вогнутая

            Найдем наклонные асимптоты.

            Итак, уравнение наклонной асимптоты –     y = x.

Построим график функции:

Содержание задания

Постройте график функции:

а)              б)                     в)

Практическое занятие № 21

Тема: «Нахождение области определения. Вычисление пределов для функции нескольких действительных переменных»

Цель: Повторить понятие функции нескольких действительных переменных, её области определения, правила вычисления пределов; закрепить на практике нахождение области определения функции нескольких действительных переменных, вычисление пределов

Методические указания

Функции нескольких переменных

            При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.

            Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.

z = f(x, y)

            Определение: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.

            Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар

(х, у), при которых функция z существует.

            Определение: Окрестностью точки М₀(х₀, у₀) радиуса r называется совокупность всех точек  (х, у), которые удовлетворяют условию .

            Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М₀(х₀, у₀), если для каждого числа e > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие

также верно и условие .

Обозначение:

            Определение: Пусть точка М₀(х₀, у₀) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М₀(х₀, у₀), если

                                                                                                           (1)

причем точка М(х, у) стремится к точке М₀(х₀, у₀) произвольным образом.

            Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:

1)      Функция z = f(x, y) не определена в точке М₀(х₀, у₀).

2)      Не существует предел .

3)      Этот предел существует, но он не равен f( x₀, y₀).

Примеры.

1. Найдите область определения функции:

а)

Решение.

;    .

Область определения функции – круг с центром в начале координат и радиусом равным 3, включая границу области.

б)

Решение.

 - внешняя часть круга с центром в начале координат и , включая границу области;

 - внутренняя часть круга с центром в начале координат и , включая границу области;

Область определения функции – кольцо, ограниченное двумя окружностями, включая границу области.

2. Вычислите пределы:

а) ;

б)

;

в)

Содержание задания

№1. Найдите область определения функции:

а)              б)

№2. Вычислите пределы:

а)                      б)                в)

Практическое занятие № 22

Тема: «Вычисление частных производных и дифференциалов функции нескольких действительных переменных»

Цель: Повторить определение частной производной и дифференциала функции нескольких переменных, закрепить на практике правило вычисления частных производных и формулу для нахождения дифференциала

Методические указания

Частные производные функций нескольких переменных

            Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина D_xz = f( x + Dx; y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

            Можно записать

.

            Определение.  называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначение:

            Аналогично определяется частная производная функции по у.

            Частная производная функции z = f(x, y) по аргументу x или y представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной x или y при фиксированном значении другой переменной. Поэтому частные производные вычисляют по правилам дифференцирования функции одной переменной. Частная производная первого порядка вычисляется следующим образом:

 берётся, как простая функция, а ;

 берётся, как простая функция, а .

            Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N₀(x₀, y₀, z₀) к сечению поверхности плоскостью у = у₀.

Полное приращение и полный дифференциал

            Определение. Для функции f(x, y) выражение Dz = f( x + Dx; y + Dy) – f(x, y) называется полным приращением.

            Определение. Выражение  называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где a₁ и a₂ – бесконечно малые функции при Dх ® 0 и Dу ® 0 соответственно.

            Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у).

            Для функции произвольного числа переменных:

Примеры.

1. Найдите частные производные следующих функций:

а)

Решение.

.

б)

Решение.

;

.

в)

Решение.

;

.

2. Вычислите дифференциал функции:

а)

Решение.

;

;

.

б)

Решение.

;

;

;

Содержание задания

№1. Найдите частные производные следующих функций:

а)            б)               в)

№2. Вычислите дифференциал функции:

а)              б)

Практическое занятие № 23

Тема: «Интегрирование заменой переменной в неопределённом интеграле»

Цель: Закрепить на практике вычисление неопределённого интеграла способом подстановки (метод замены переменной)

Методические указания

Первообразная функция

            Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией  функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

            Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F₁(x) = F₂(x) + C.

Неопределенный интеграл

            Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Обозначение:

            Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

            Свойства:

1.

2.

3.

4.  где u, v, w – некоторые функции от х.

1.     

Например:

Приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

Интеграл		Значение	Интеграл		Значение
1		-ln½cosx½+C	9		ex + C
2		ln½sinx½+ C	10		sinx + C
3			11		-cosx + C
4			12		tgx + C
5			13		-ctgx + C
6		ln	14		arcsin + C
7			15
8			16

Способ подстановки (замены переменных)

1.      Часть подынтегральной функции заменить новой переменной;

2.      Найти дифференциал от обеих частей замены;

3.      Всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную, после чего должен получиться табличный интеграл;

4.      Вычислить полученный интеграл;

5.      В полученном после интегрирования результате перейти к первоначальной переменной.

Примеры.

а) =

;

б);

в)

;

г) ;

д)

;

е)

.

Содержание задания

Вычислите интегралы методом замены переменной:

а)             б)                   в)

г)          д)

Практическое занятие № 24

Тема: «Интегрирование по частям в неопределённом интеграле»

Цель: Повторить формулу интегрирования по частям в неопределённом интеграле, закрепить на практике вычисление интегралов с применением этой формулы

Методические указания

Интегрирование по частям

            Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv)¢ = u¢v + v¢u

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

       или         

;

            Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

            В интегралах вида:

 1) ;            2) ;            3)                       4)  

за u берём .

            В интегралах вида:

1)             2)      3)                  4)

5)

за u берём функцию, являющуюся множителем при.

            Примеры.

1)

;

2)

;

3)

4)

5)

6)

 

7)

Содержание задания

Вычислите интегралы, применяя формулу интегрирования по частям:

а)         б)              в)

г)               д)

Практическое занятие № 25

Тема: «Интегрирование простейших рациональных дробей»

Цель: Закрепить на практике метод неопределённых коэффициентов, используемый при интегрировании простейших рациональных дробей

Методические указания

            Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

            Теорема: Если  - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x - a)^a…(x - b)^b(x² + px + q)^l…(x² + rx + s)^m ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

где A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i – некоторые постоянные величины.

            При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

Например. Вычислите интеграл.

;

Содержание задания

Вычислите интегралы методом разложения на простейшие:

а)              б)                   в)

Практическое занятие № 26

Тема: «Вычисление определённых интегралов методом замены переменной»

Цель: Закрепить на практике вычисление определённых интегралов методом замены переменной

Методические указания

Замена переменных

6.      Часть подынтегральной функции заменить новой переменной;

7.      Найти дифференциал от обеих частей замены;

8.      Вычислить новые пределы интегрирования;

9.      Всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную, после чего должен получиться табличный интеграл;

10.  Вычислить полученный определённый интеграл.

Примеры. Вычислите интегралы методом замены переменной:

а)

;

б)

;

в)

;

г) ;

д)

.

Содержание задания

Вычислите интегралы методом замены переменной:

а)             б)                    в)

г)                  д)

Практическое занятие № 27

Тема: «Вычисление определённых интегралов по частям»

Цель: Повторить формулу интегрирования по частям для определённого интеграла, закрепить на практике вычисление определённого интеграла по частям

Методические указания

            Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Примеры. Вычислите интегралы, применяя формулу интегрирования по частям:

а)

;

б)

;

в)

;

г) ;

д)

.

Содержание задания

Вычислите интегралы, применяя формулу интегрирования по частям:

а)           б)              в)             г)

д)

Практическое занятие № 28

Тема: «Вычисление площадей фигур с помощью определённого интеграла»

Цель: Повторить геометрический смысл определённого интеграла, закрепить на практике приёмы вычисления площадей с помощью определённого интеграла

Методические указания

Вычисление площадей плоских фигур

 

у

                                                +                    +

                                     0    a                  -              b                      x 

            Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак «-», если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак «+».

            Для нахождения суммарной площади используется формула .

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

Например. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x², x = 2.

            Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед²)

Содержание задания

                               Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)

б)

в)

Практическое занятие № 29

Тема: «Вычисление объёмов тел вращения с помощью определённого интеграла»

Цель: Повторить формулу для вычисления объёмов тел вращения, закрепить на практике приёмы вычисления объёмов тел вращения с помощью определённого интеграла

Методические указания

Объем тел вращения

            Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

                                                                       y = f(x)

                                                                                                                      x

Т.к. каждое сечение тела плоскостью  x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть найден по формуле:

Например. Вычислите объём тела, полученного от вращения фигуры вокруг оси Ох, ограниченной линиями: .

Решение.

 - квадратичная функция, график – парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина сдвинута вдоль оси Оу на 2 единицы вверх;

 - ось Ох;

 - ось Оу;

 - прямая, параллельная оси Оу.

(ед²).

Содержание задания

Вычислите объём тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями:

а)

б)

в)

Практическое занятие № 30

Тема: «Вычисление двойных интегралов»

Цель: Повторить определение двойного интеграла, закрепить на практике вычисление двойного интеграла путём сведения к повторному

Методические указания

Двойные интегралы

            Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой

f(x, y) = 0.

                                                              y

                                                                0                                                x

            Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью D. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D.

            С геометрической точки зрения D - площадь фигуры, ограниченной контуром.

            Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние Dх_i, а по оси у – на Dу_i. Вообще говоря, такой порядок разбиения необязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.

            Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны S_i = Dx_i × Dy_i .

            В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(х_i, y_i) и составим интегральную сумму

где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области D.

            Если бесконечно увеличивать количество частичных областей D_i, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка S_i стремится к нулю.

            Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы  имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.

            С учетом того, что S_i = Dx_i × Dy_i получаем:

            В приведенной выше записи имеются два знака S, т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.

            Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Р_i, то, считая все площади S_i одинаковыми, получаем формулу:

Свойства двойного интеграла

1)

2)

3)  Если D = D₁ + D₂, то

4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.

5)  Если f(x, y) ³ 0 в области D, то  .

6) Если f₁(x, y) £ f₂(x, y), то   .

7)  .

Вычисление двойного интеграла

            Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = j(x), y = y(x), где j и y - непрерывные функции и

j £ y, тогда

                                               y                     y = y(x)

 

      D                         

                                                                       y = j(x)

                                                            a                               b              x                                          

            Например. Вычислите интеграл , если область D ограничена линиями:

y = 0, y = x², x = 2.

                                                                  y

                                                             4

                                                                         D

                                                              0            2                     x  

=

=

            Теорема.  Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = F(y), x = Y(y) (F(y) £ Y(y)), то

            Например. Вычислите интеграл , если область D ограничена линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.

                                                                  y

 

                                                                                       y = x

                                                                2

                                                                         D

                                                                1

                                                                 0                                     x

Пример.

Вычислите интеграл , если область интегрирования D ограничена линиями х = 0, х = у², у = 2.

=

=

Содержание задания

Вычислите двойной интеграл:

а) , где D – область, ограниченная линиями ;

б) , где D – область, ограниченная линиями ;

в) , где D – область, ограниченная линиями

Практическое занятие № 31

Тема: «Исследование сходимости положительных рядов»

Цель: Повторить основные определения теории рядов, закрепить на практике исследование положительных рядов на сходимость

Методические указания

Основные определения

            Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности  называется числовым рядом.

При этом числа  будем называть членами ряда, а u_n – общим членом ряда.

            Определение. Суммы ,     n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.

            Таким образом, возможно, рассматривать последовательности частичных сумм ряда S₁, S₂, …,S_n, …

            Определение. Ряд  называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.

            Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

Свойства рядов

            1) Сходимость или расходимость ряда не нарушается, если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.

            2) Рассмотрим два ряда  и , где С – постоянное число.

            Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C ¹ 0)

            3) Рассмотрим два ряда и . Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

            Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и s, то ряд  тоже сходится и его сумма равна S + s.

Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.

Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.

О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

            Если ряд сходится, то необходимо, чтобы общий член u_n стремился к нулю.

Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится.

Например, так называемый гармонический ряд  является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.

            Пример. Исследуйте сходимость ряда

Найдем  - необходимый признак сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.

Признак сравнения рядов с неотрицательными членами

Пусть даны два ряда  и   при u_n, v_n ³ 0.

            Теорема. Если u_n £ v_n при любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

            Примеры. 

1) Исследуйте на сходимость ряд

Т.к. , а гармонический ряд  расходится, то расходится и ряд .

2) Исследуйте на сходимость ряд

Т.к. , а ряд  сходится (как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд  тоже сходится.

            Также используется следующий признак сходимости:

Теорема. Если  и существует предел , где h – число, отличное от нуля, то ряды  и ведут одинаково в смысле сходимости.

Признак Даламбера

(Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французский математик)

            Если для ряда  с положительными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

то ряд  сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется условие

то ряд  расходится.

Предельный признак Даламбера

            Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера.

            Если существует предел , то при r < 1 ряд сходится, а при r > 1 – расходится. Если r = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.

Примеры.

1) Найдите первые четыре члена ряда по заданному общему члену: .

Решение.

                               

.

Ответ:

2) Найдите формулу общего члена ряда:

а)

;

б)

;

в)

.

3) Используя признак Даламбера, исследуйте на сходимость ряды

а)

Решение.

Вывод: ряд сходится.

б)

Решение.

Вывод: ряд сходится.

в)

Решение.

Вывод: ряд расходится.

Содержание задания

№1. Найдите первые четыре члена ряда по заданному общему члену:

№2. Найдите формулу общего члена ряда:

5+25+125+625+…

№3. Используя признак Даламбера, исследуйте на сходимость ряды:

а)                      б)                     в)

Практическое занятие № 32

Тема: «Исследование сходимости знакочередующихся рядов. Исследование числовых рядов на абсолютную и условную сходимость»

Цель: Повторить определение знакочередующегося ряда, закрепить на практике исследование числовых рядов на абсолютную и условную сходимость

Методические указания

Знакочередующиеся ряды

            Знакочередующийся ряд можно записать в виде:

где

Признак Лейбница

            Если у знакочередующегося ряда  абсолютные величины u_i убывают  и общий член стремится к нулю , то ряд сходится.

Абсолютная и условная сходимость рядов

            Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков)

                                                                                                    (1)

и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):

                                                                                                (2)

            Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

            Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

            Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

            Определение. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а  ряд  расходится.

Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов

Пусть - знакопеременный ряд.

Признак Даламбера.  Если существует предел , то при r<1 ряд  будет абсолютно сходящимся, а при r>1 ряд будет расходящимся. При r=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

            Признак Коши.  Если существует предел , то при r<1 ряд  будет абсолютно сходящимся, а при r>1 ряд будет расходящимся. При r=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

Примеры.

1) Используя признак Лейбница, исследуйте на сходимость ряд:

а)

Решение.

               , значит, по признаку Лейбница ряд сходится.

б)

Решение.

               

, значит, по признаку Лейбница ряд расходится.

2) Исследовать на абсолютную и условную сходимость:

а)

Решение.

Составим ряд из абсолютных величин:

Исследуем данный ряд на сходимость по признаку Даламбера.

;                     ;

, значит, ряд сходится.

Если сходится ряд, составленный из абсолютных величин, то исходный ряд абсолютно сходящийся.

б)

Решение.

Составим ряд из абсолютных величин:  - это гармонический ряд, а гармонический ряд – расходящийся.

Если расходится ряд, составленный из абсолютных величин, то исходный ряд условно сходящийся.

Содержание задания

№ 1. Используя признак Лейбница, исследуйте на сходимость ряд:

а)                           б)

№ 2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость:

а)                           б)

Практическое занятие № 33

Тема: «Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд»

Цель: Повторить формулу Тейлора и Маклорена, разложение элементарных функции в ряд

Методические указания

Тейлор (1685-1731) – английский математик

            Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно (т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности).

2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х ¹ а.

Тогда между точками х и а найдется такая точка e, что справедлива формула:

-          это выражение называется формулой Тейлора.

При а = 0 выражение называется формулой Маклорена 

Функция f(x) = e^x.

           

 

Функция f(x) = sinx.

Функция f(x) = cosx.

                                   

Функция f(x) = (1 + x)^a.

(a - действительное число)

Функция f(x) = ln(1 + x).

Примеры.

№1. № 1. Разложить в ряд Тейлора функцию:

, при

Решение.

Вычислим значение функции и её производных при .

;

;

;

;

;

;

Получим:

;

.

№ 2. Разложить функцию в ряд Маклорена:

а)

Решение.

Вычислим значение функции и её производных при .

;

;

;

; …

;

Получим:

б)

Решение.

Вычислим значение функции и её производных при .

;

;

;

;

; …

;

Получим:

.

в)

Решение.

Вычислим значение функции и её производных при .

;

;

;

;

;

;

;

Получим:

.

№ 3. Найти область сходимости ряда:

.

Решение.

;

;

.

Интервал сходимости: .

Исследуем сходимость ряда в граничных точках.

;

по признаку сравнения (с гармоническим рядом) этот ряд расходится.

- знакочередующийся ряд.

По признаку Лейбница ряд сходится.

Итак, область сходимости ряда: .

Содержание задания

№ 1. Разложить в ряд Тейлора функцию:

, при

№ 2. Разложить функцию в ряд Маклорена:

а)               б)                     в)

№ 3. Найти область сходимости ряда:

Практическое занятие № 34

Тема: «Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка с разделёнными и разделяющимися переменными»

Цель: Повторить определение уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными, закрепить на практике алгоритм их решения

Методические указания

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную, искомую функцию, её производную (или дифференциал аргумента и дифференциал функции).

Дифференциальное уравнение может иметь общее и частное решение.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такое решение, которое содержит столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных, которые находятся из определённых начальных значений аргумента и функции (начальных условий).

Дифференциальные уравнения с разделёнными переменными

Определение. Дифференциальное уравнение вида называется уравнением с разделёнными переменными.

Чтобы решить такое уравнение надо проинтегрировать обе части уравнения

.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение вида называется уравнением с разделяющимися переменными.

Чтобы решить такое уравнение надо:

1)                  Разделить переменные так, чтобы в одной его части было только произведение функций, зависящих от ,а в другой - от.Для этого необходимо перенести одно из слагаемых в другую часть уравнения и разделить обе части уравнения на .

,             .

2)                  Проинтегрировать полученное уравнение.

Примеры.

Найдите общее решение уравнения.

1) ,  .

Решение.

,     ,     ,     ,     ,

- общее решение.

,     ,     -частное решение.

2) , если

Решение.

,          ,     ,

,     ,     ,    

- общее решение.

,     ,     ,

-частное решение.

3)  если

Решение.

,     ,     ,

          ,

,     ,     ,     ,

,     - общее решение.

, С=4,     - частное решение.

4) , если .

Решение.

,     ,     ,   ,

,     ,     ,     ,

- общее решение.

,     ,     С=2,

- частное решение.

Содержание задания

№ 1. Найдите частное решение дифференциального уравнения

а) , если при

б) , если при

в) , если при

№ 2. Найдите общее решение дифференциального уравнения

а)                                 б)

Практическое занятие № 35

Тема: «Интегрирование однородных и линейных дифференциальных уравнение первого порядка»

Цель: Повторить приёмы решения однородных и линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Методические указания

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Однородным многочленом относительно х и у называется многочлен, все члены которого имеют одинаковую степень.

Например.

1) - многочлен третьей степени,

2) - многочлен второй степени,

3) - многочлен первой степени.

Определение. Уравнение вида , где - однородные функции х и у одинаковой степени, называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Чтобы решить такое уравнение надо:

1) Привести его к виду .

2) Произвести замену .

3) Решить полученное уравнение с разделяющимися переменными.

Примеры.

Найдите общее решение дифференциального уравнения.

1) .

Решение.

Пусть , тогда

,     ,     ,     ,     ,

,     .

Так как , то,     ,     - общее решение.

2) .

Решение.

,     ,     ,     .

Пусть , тогда

,     ,     ,     ,

,     , ,

,     ,     ,     ,

,     .

Так как то ,     ,     ,

- общее решение.

3) .

      Решение.

,    

Пусть , тогда ,     ,

,     ,     , ,

,     ,     ,     ,

, так как , то ,     ,

- общее решение.

Найдите частное решение.

4)

Решение.

Пусть  тогда ,     ,     .

,     ,     ,     .

При  получим        .  

Тогда частное решение примет вид  ,     ,

.

5) , при

Решение.

Пусть тогда ,     ,

,     ,     ,     ,

,     ,     ,

- общее решение.

Так как , то      ,     .

Частное решение примет вид .

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Уравнение вида  называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

            Чтобы решить такое уравнение надо:

1. Привести уравнение к виду .
2. Используя подстановку  находят  и подставляют эти выражения в уравнение.
3. Группируют члены уравнения, выносят за скобку функцию u. Находят вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение.
4. Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят вторую функцию.
5. Записывают общее решение, подставив выражения для найденных функций u и v в равенство v.
6. Если требуется найти частное решение, то определяют С из начальных условий и подставляют в общее решение.

Примеры.

Найдите общее решение дифференциального уравнения

1) .

Решение.

Пусть  тогда

,     , (1)

Найдём v из условия     . Это уравнение с разделяющимися переменными. Решив его, найдём функцию v:     ,,     ,     ,   .

Положим  , то есть , тогда, подставляя v в уравнение (1), получим второе

уравнение с разделяющимися переменными, решая которое, найдём функцию u.

,     ,     ,     ,

,     .

Так как , то  - общее решение.

2) .

Решение.

Умножим обе части уравнения на х, получим:

. Пусть , тогда

,     .

,     ,               

     .   

Таким образом,      

          

 - общее решение.

3)

Решение.

     пусть  тогда    ,

,     ,     ,     ,       

    

                    

Итак,        - общее решение.

Найдите частное решение уравнения:

Решение.

Разделим обе части уравнения на х, получим

, пусть  тогда      ;     ;

                ,      

   

                ,    ,     ,    

Таким образом,      общее решение.

Воспользуемся начальными условиями.

;          частное решение.

Содержание задания

№ 1. Решите однородное дифференциальное уравнение первого порядка

а) ;                                              б)

№ 2. Решите линейное дифференциальное уравнение первого порядка

а) ;                    б) , если  при

Практическое занятие № 36

Тема: «Неполные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами»

Цель: Повторить определение неполного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, закрепить на практике алгоритм его решения

Методические указания

Определение: Уравнение, содержащее производные или дифференциалы второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка.

Определение: Уравнение вида  называется полным дифференциальным уравнением второго порядка.

            Общее решение дифференциального уравнения второго порядка имеет две произвольные постоянные.

Неполные дифференциальные уравнения второго порядка

            Имеются пять видов неполных уравнений второго порядка:

                    5)

Простейшее из этих уравнений – первое. Оно решается двукратным интегрирование с помощью замены: пусть , тогда

Примеры:

Найдите частное решение дифференциального уравнения.

1)  и

Решение.

Пусть , тогда

                    

          

общее решение.

Воспользуемся начальными условиями, получим систему уравнений:

          

Подставим значения  и  в общее решение, получим

частное решение.

2) если при  и при

Решение.

Пусть , тогда

               

Но  тогда                общее решение.

Найдём частное решение:

          

частное решение.

3)

Решение.

Пусть , тогда

;               

Но тогда           

общее решение.

    

Тогда частное решение.

4) Задача. Ускорение прямолинейного движения тела определяется из равенства

Найти закон движения тела, если в момент  скорость его  и путь

Решение.

Согласно механическому смыслу второй производной функции имеем

          

          

          

Воспользуемся начальными условиями

               

Итак, 

Ответ:

Содержание задания

Найдите частные решения уравнений:

а)  если при  и при ;

б)  если при  и при ;

в)  если при  и ;

г)  если при  и

Практическое занятие № 37

Тема: «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами»

Цель: Повторить определение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, закрепить на практике алгоритм его решения

Методические указания

Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

     ,     (1)

где p и q – постоянные величины, а f(x)- непрерывная функция х.

Правая часть уравнения (1) может содержать нуль, то есть  В этом случае получим уравнение

     ,     (2)

называемое однородным.

            Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами нужно составить и решить так называемое характеристическое уравнение:

 .     (3)

            Для составления характеристического уравнения достаточно в уравнении (2) вместо  написать соответственно

            При решении характеристического уравнения возможны три случая.

1 случай: Корни характеристического уравнения действительные и разные по величине

, тогда общее решение имеет вид:

.

2 случай: Корни характеристического уравнения действительные и равные ,

тогда общее решение будет

 или .

3 случай: Корни характеристического уравнения комплексные , тогда общее решение имеет вид

Примеры.

Найдите общее решение уравнений.

1)

Решение.

Составим и решим характеристическое уравнение: ,    

Корни характеристического уравнения действительные и разные по величине, тогда общее решение имеет вид:

Ответ:

2)

Решение.

;   характеристическое уравнение  имеет корни  Запишем общее решение

Ответ:

3)

Решение.

;               Общее решение примет вид

    

Ответ:

4)

Решение.

    

 общее решение.

Ответ:

5) .

Решение.

Составим и решим характеристическое уравнение      

Корни характеристического уравнения действительные и равные, тогда общее решение примет вид 

Ответ.

6) .

Решение.

Корни характеристического уравнения   - комплексные.

     ,          .

Запишем общее решение

Ответ:

Найдите частное решение уравнений.

1) , если при     и

Решение.

    

 общее решение.

Найдём  из общего решения  

Подставим начальные условия

          

Частное решение примет вид

Ответ:

2) , если при    и

Решение.

      Составим общее решение ,

.

Найдём .

Подставим начальные условия, получим

    

Подставим найденные значения в общее решение, получим ,

 - частное решение.

Ответ: .

3)  если при    и

Решение.

    

Запишем общее решение

Найдём  из общего решения.

.

Подставим начальные условия, получим

          

 частное решение.

Ответ: .

Содержание задания

№ 1. Найдите общее решение уравнения:

а)                          б)

№ 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения:

а) , если при  и ;

б) , если при  и

Список рекомендуемой литературы

Основные источники:

1. Богомолов Н.В., Самойленко П.И., Математика, Москва, «Дрофа», 2010;

2. Богомолов Н.В., Сборник задач по математике, Москва, «Дрофа», 2010;

3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю., Математика, Дидактические задания, Москва, «Дрофа», 2010;

4. Виленкин И.В., Гробер В.М, Высшая математика для студентов экономических, технических, естественнонаучных специальностей, Ростов-на-Дону, «Феникс», 2002, 416с.

Дополнительные источники:

1. Доброва О.Н., Задания по алгебре и математическому анализу, Учебное пособие, Москва, «Просвещение»,1996, 352.

2. Лурье Л.И., Основы высшей математики, Учебное пособие, Москва,2002, 520с.

3. Соболь Б.В., Мишняков Н.Т., Поркшеян В.М., Практикум по высшей математике, Ростов- на- Дону, «Феникс», 2007, 630с.

4. Зайцев И.Л. «Элементы высшей математики», М.«Наука», 1970г., 422стр.

5. И.Г. Добржицкая, М.Б. Добржицкий, «Краткое руководство к решению задач по высшей математике», Минск, «Вышейшая школа», 1971г., 189стр.

6. А.Т. Рогов, «Задачник по высшей математике для техникумов», М., «Высшая школа», 1973г., 247стр.

7. Кремер Н.Ш., «Высшая математика для экономистов», М., «ЮНИТИ», 2002г., 470стр.

Краткое описание документа:

Цель методических указаний - обеспечить четкую организацию проведения практических занятий со студентами 2 курса специальности 09.02.02 «Компьютерные сети» по дисциплине «Элементы высшей математики» и предоставить возможность студентам, отсутствовавшим на практическом занятии, самостоятельно выполнить работу. Студенты, отсутствовавшие на практических занятиях, при выполнении практических работ самостоятельно, имеют право на получение консультаций у преподавателя. Методические указания могут быть полезны молодым педагогам при подготовке к практическим занятиям по УД ЕН.01 "ЭВМ".