Методические рекомендации по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине Математика для специальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

 

Министерство образования Оренбургской области

ГАПОУ  «Торгово-технологический техникум»

г. Орска Оренбургской области

 

 

 

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

ВНЕАУДИТОРНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Орск, 2014

СОДЕРЖАНИЕ

 

                                                                                          Стр.

1.    Пояснительная записка                                                                                  3-4

 

2.    План выполнения самостоятельной работы                                                5-10

 

3.    Задания по самостоятельной работе                                                            11-27

 

Развитие понятие о числе                                                                                  12

 

Корни, степени, логарифмы                                                                              12-13

           

Прямые и плоскости в пространстве                                                                13

 

Элементы комбинаторики                                                                                 14

 

Координаты и векторы                                                                                       14-15

  

Основы тригонометрии                                                                                      15-16

 

Многогранники                                                                                                   16-17

 

Тела и поверхности вращения                                                                           17-19

 

Начала математического анализа                                                                     19-22

 

Измерения в геометрии                                                                                     22-24

 

Элементы теории вероятностей                                                                        24-26
и математической статистики              

  

Уравнения и неравенства                                                                                   26-27

 

4.   Заключение                                                                                                     28

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 

Уважаемые студенты!

Дисциплина «Математика» для специальности Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям) изучается в течение одного учебного года. Итоговой формой контроля является экзамен.

Для получения допуска к экзамену вам необходимо в установленные сроки выполнить все задания по внеаудиторной самостоятельной работе.

 

На внеаудиторную самостоятельную работу учебным планом отводится 145 часов. Самостоятельная работа может осуществляться индивидуально или группами студентов в зависимости от цели, объема, уровня сложности,  конкретной тематики.

Внимание! Каждому заданию соответствует определенное количество баллов. Полученные баллы суммируются. Студенты, набравшие менее 60 баллов, к экзамену не допускаются. Результаты самостоятельной работы студентов учитываются преподавателем при осуществлении итогового контроля по дисциплине.

 

Шкала оценки                                                                                                                  Таблица 1

Оценка	Количество баллов
Зачет (отлично)	86 – 100
Зачет (хорошо)	71 – 85
Зачет (удовлетворительно)	60 – 70
Незачет (неудовлетворительно)	Менее 60

 

Контроль результатов внеаудиторной самостоятельной работы студентов может проходить в письменной, устной или смешанной форме.

 

Список основной литературы:

2.    Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2008.

 

Список дополнительной литературы:

1.    Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл.   – М., 2012.

2.    Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 (11) кл. – М., 2010.

3.    Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 11кл. – М., 2012.

4.    Башмаков М.И. Математика: 10 кл. Сборник задач: учеб.пособие. – М., 2012.

5.    Башмаков М.И. Математика: учебник для 10 кл. – М., 2012.

6.    Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2010.

 

Интернет- ресурсы:

1.    http://www.exponenta.ru/educat/links/l_educ.asp#0 – Полезные ссылки на сайты математической и образовательной направленности: Учебные материалы, тесты

2.    http://www.fxyz.ru/ - Интерактивный справочник формул и сведения по алгебре, тригонометрии, геометрии, физике.

3.    http://maths.yfa1.ru - Справочник содержит материал по математике (арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия).

1.    allmatematika.ru - Основные формулы по алгебре и геометрии: тождественные преобразования, прогрессии, производная, стереометрия и проч.

2.    http://mathsun.ru/ – История математики. Биографии великих математиков.

ПЛАН САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

 

Наименование  тем уроков по КТП	№ урока	Тема для самостоятельного изучения	Часы	Форма отчетности	Баллы
1.1  Натуральные и целые числа. Рациональные и действительные числа.	2	Понятие множества. Операции над множествами.	2	Составление конспекта	1
1.2 Обыкновенные дроби. Десятичные дроби.	3	Иррациональные числа	1	Решение задач и упражнений письменно в тетради	1
1.4 Пропорции.	5	Непрерывные дроби	1	Решение задач и упражнений письменно в тетради	1
1.5 Приближенное значение величины. Погрешности приближений.	6	Прогрессии	1	Решение задач и упражнений письменно в тетради	1
1.7  Контрольная работа по теме	8	Применение сложных процентов в экономических расчетах	2	Составление доклада	2
2.1   Корни натуральной степени из числа.  Их свойства.	9	История развития понятия  «Корня»	2	Презентация Microsoft Office PowerPoint	1
2.2 Функции , их свойства и график. Построение графиков.	10	Свойства корня n-ой степени	1	Решение задач и упражнений письменно в тетради	1
2.3 Иррациональные уравнения.	11	Понятие корня n-ой степени из действительного числа	2	Реферат	2
2.6 Обобщение понятия о показателе степени. Степенные функции. Их свойства и графики.	14	История развития понятия «Степени»	2	Презентация Microsoft Office PowerPoint	1
2.7. Степени с рациональными показателями. Показательная функция.	15	Алгоритм построение графиков	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	2
2.10 Понятие логарифма. Логарифм числа.	18	История развития понятия «Логарифмы»	2	Презентация Microsoft Office PowerPoint	1
2.12 Логарифмическая функция. Её свойства и график. Построение графиков.	20	Алгоритм построение графиков	2	Конспект	1
2.17 Системы логарифмических неравенств.	25	Решение систем	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	1
3.1 Аксиомы стереометрии. Пересечение прямой с плоскостью.	27	История развития понятия «Аксиома», «Теорема»	2	Презентация Microsoft Office PowerPoint	2
3.2 Замечание к аксиоме 1. Разбиение пространства плоскостью на два полупространства.	28	Существование плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку.	2	Презентация Microsoft Office PowerPoint	1
3.3 Параллельные прямые в пространстве. Признак параллельности прямых.	29	Существование плоскости, параллельной.	2	Презентация Microsoft Office PowerPoint	1
3.5 Свойства параллельных плоскостей.	31	Параллельное проектирование	2	Презентация Microsoft Office       PowerPoint	1
3.9 Признак перпендикулярности плоскостей. Расстояние между скрещивающимися прямыми.	35	Применение ортогонального проектирования.	4	Презентация Microsoft Office PowerPoint	2
4.1 Основные понятия комбинаторики.	37	История развития раздела «Комбинаторики»	2	Презентация Microsoft Office PowerPoint	1
4.2 Задачи на подсчет размещений, перестановок, сочетаний.	38	Решение задач	4	Решение задач и упражнений письменно в тетради	2
4.3 Решение задач на перебор вариантов.	39	Формула бинома Ньютона.	2	Письменно в тетради	1
4.4 Свойства биноминальных коэффициентов.	40	Треугольник Паскаля.	2	Презентация Microsoft Office PowerPoint	2
5.1 Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками.	41	История развития системы координат и основных понятий «Вектора»	2	Презентация Microsoft Office PowerPoint	1
5.4 Сложение векторов. Умножение вектора на число.	44	Угловой коэффициент в уравнении прямой	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	2
5.6 Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось.	46	Абсолютные величины	2	Конспект	1
5.10 Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.	50	Решение задач	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	2
6.1 Введение. Числовая окружность.	52	История развития раздела «Тригонометрии»	2	Презентация Microsoft Office PowerPoint	1
6.11 Преобразования простейших тригонометрических выражений.	62	Решение задач	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	2
6.12 Функция y=sin x . Её свойства и график.	63	Построение графиков	2	Презентация Microsoft Office PowerPoint	2
6.13 Функция y=cos x. Её свойства и график.	64	Построение графиков	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	1
6.15 Простейшие тригонометрические уравнения.	66	Сложение гармонических колебаний	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	1
6.18 Решение тригонометрических уравнений.	69	Графическое решение уравнений	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	1
6.19 Решение тригонометрических неравенств.	70	Графическое решение  неравенств	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	1
7.2 Построение графиков функций, заданных различными способами.	73	Алгоритм исследования функций	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	1
7.4 Промежутки возрастания и убывания.	75	Примеры четных функций	2	Презентация Microsoft Office PowerPoint	2
7.7 Графическая интерпретация.	78	Построение графиков	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	1
7.9 Обратные функции.	80	Свойства обратной функции	2	Реферат	1
7.10. Области определения и  значений обратной функции.	81	Примеры периодических функций	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	2
7.11  График обратной функции.	82	Построение графиков	2	Конспект	1
7.12  Арифметические операции над функциями.	83	Решение задач	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	1
8.3 Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.	88	Правильные многогранники	3	Презентация Microsoft Office PowerPoint	1
8.4 Призма прямая, наклонная, правильная.	89	Решение задач	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	1
8.6 Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида.	91	Решение задач	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	1
8.8 Симметрия в кубе, параллелепипеде, призме, пирамиде.	93	Полуправильные многогранники	3	Презентация Microsoft Office PowerPoint	2
8.9 Сечения куба, призмы, пирамиды.	94	Построение сечений	2	Презентация Microsoft Office PowerPoint	1
9.2  Конус. Усеченный конус. Развертка.	99	Решение задач	2	Письменно в тетради	2
9.3 Осевые сечения. Сечения  параллельные основанию.	100	Конические сечения	4	Презентация Microsoft Office PowerPoint	1
9.4 Шар и сфера. Их сечения.	101	Применение конических сечений в технике	3	Презентация Microsoft Office PowerPoint	2
10.2 Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.	104	Примеры различных способов заданий последовательностей	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	1
10.3 Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.	105	Геометрические прогрессии	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	2
10.5 Производная. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл.	107	Теоремы о бесконечно малых величинах	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	1
10.6 Уравнение касательной к графику функции.	108	Запись уравнения касательных	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	2
10.9 Применение производной к исследованию функций и построению графиков.	111	Построение графиков	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	1
10.14 Первообразная и интеграл.	116	Понятие дифференциала	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	1
10.15 Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции.	117	Основные приложения дифференциала	2	Конспект	2
10.17 Примеры применения интеграла в физике и геометрии.	119	Примеры применения интеграла в решении прикладных задач	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	1
11.1 Объем и его измерение	121	Интегральная формула объема	2	Доклад	1
11.2 Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра, пирамиды, конуса, шара	122	Задачи на вычисление площади поверхностей	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	2
11.3 Отношение площадей поверхностей	123	Подобие тел	2	Презентация Microsoft Office PowerPoint	1
11.4 Отношение объемов подобных тел	124	Задачи на вычисление объёмов	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	1
11.5 Контрольная работа по теме	125	Задачи на составление отношений	2	Решение задач и упражнений письменно в тетради	1
12.1 Событие. Вероятность события.	126	Вычисление частости событий	1	Решение задач и упражнений письменно в тетради	2
12.2 Сложение и умножение вероятностей.	127	Понятие о независимости событий.	1	Доклад	1
12.3 Дискретная случайная величина. Закон ее распределения.	128	Числовые характеристики дискретной случайной величины	1	Презентация Microsoft Office PowerPoint	2
12.4 Представление данных (таблицы, диаграммы, графики).	129	Понятие о законе больших чисел.	1	Презентация Microsoft Office PowerPoint	1
12.5 Генеральная совокупность, выборка. Среднее арифметическое, медиана.	130	Схемы Бернулли повторных испытаний. Понятие о задачах математической статистики. Решение практических задач с применением вероятностных методов.	2	Презентация Microsoft Office PowerPoint	2
13.4Тригонометрические уравнения и системы.	134	Основные приемы решения уравнений (подстановка, графический метод).	2	Конспект	1
13.5 Основные приемы их решения (разложение на множители, введение новых неизвестных)	135	Основные приемы решения систем уравнений.	2	Презентация Microsoft Office PowerPoint	2
13.6 Основные приемы решения рациональных и иррациональных,  показательных неравенств	136	Исследование неравенств с параметрами	2	Презентация Microsoft Office PowerPoint	1
13.7 Основные приемы решения тригонометрических неравенств	137	Исследование уравнений с параметрами	2	Конспект	2
13.8 Использование свойств и графиков функций при решении уравнений.	138	Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными.	2	Презентация Microsoft Office PowerPoint	1
13.11 Изображение на координатной плоскости множества решений неравенств с двумя переменными и их систем.	141	Изображение на координатной плоскости множества решений систем с двумя переменными.	2	Презентация Microsoft Office PowerPoint	2
Итого			145		100

 

ЗАДАНИЯ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ

 

РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

Иметь представление:

- о роли и месте математики в современном мире, общности её представлений.

Знать:

- определение действительных и комплексных чисел;

- определение абсолютной и относительной погрешности;

- формулы разложения квадратного трехчлена на множители;

  тригонометрической формах;

- формулы сокращенного умножения;

- способы решения систем линейных уравнений.

Уметь:

- выполнять арифметические действия над числами, сочетания устные и письменные приемы;

- находить приближенные значения величин и погрешности

  вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения;

- применять понятия, связанные с делимостью целых чисел при решении математических задач;

- находить корни многочленов с одной переменной. раскладывать многочлены на множители;

- использовать при необходимости вычислительные устройства;

- пользоваться оценкой и прикладной при практических расчетах

 

Виды самостоятельной работы студентов.

1.             Работа над учебным материалом: составление конспекта, решение задач и упражнений.

2.      Решение задач и упражнений.

1.    Выполнить действия:

2.   

3.    Выполнить действия. Полученный результат записать в виде десятичной дроби с точностью до сотых долей.

4.   

5.    Округлите число 27,0915 до сотых долей и найдите абсолютную и относительную погрешность приближения.

6.    По известной  относительной погрешности приближенного числа найти его абсолютную погрешность и границы, в которых заключено само число: х = 100; ω = 0,5%

7.    При измерении длины одного отрезка с точностью до 0,004 м, было найдено значение 4,36 м , а при измерении длины другого отрезка  с точностью до 0,05 см получено 10,5 см. Какое измерение по своему качеству лучше?

8.    Все ли числа из данной последовательности являются сравнимыми по модулю 6:

                     -27; -9; 0; 9; 69; 669; 430. Почему?

9. Как записать условие   в виде равенства с параметром?

4.     Подготовить конспект на тему «Понятие множества. Операции над множествами», «Применение сложных процентов в экономических расчетах».

 

КОРНИ, СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

Иметь представление:

- о показателе степени;

- о равносильности уравнений и неравенств;

- о десятичных и натуральных логарифмах;

- об основных методах решения показательных уравнений и неравенств;

- о способах решения логарифмических уравнений и неравенств.

Знать:

- определение степени с действительным показатели и её свойства;

- определение логарифма числа, свойства логарифмов, основного логарифмического тождества;

- формулу перехода к другому основанию логарифма;

- способы решения простейших показательных и логарифмических уравнений, показательных и логарифмических неравенств.

Уметь:

- выполнять действия со степенями;

- находить значение корня натуральной степени;

- находить степень с рациональным показателем;

- логарифмы;

- преобразовывать показательные и логарифмические выражения с помощью основных тождеств;

- вычислять значения показательных и логарифмических выражений;

- решать несложные уравнения, приводимые к видам:

     

- решать несложные неравенства, приводимые к видам:

  > < <

 

Виды самостоятельной работы студентов.

Работа над учебным материалом: составление реферата и Презентация Microsoft Office PowerPoint, написание конспекта.

 

1.             Решение задач.

1. Вычислить

а)                        б)   

2. Упростить выражение.

а)                       б)

в)                        г)

3. Выполнить указанные действия.

а)          б) 

в)                         г)

4. Найти , если известно, что

а)         

б)

5. Вычислить: а);   б).

6. Упростить выражение.

а)                         б)

 

 

ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о логической структуре геометрии, аксиомах, теоремах планиметрии;

- о скрещивающихся, параллельных и пересекающихся прямых;

- о параллельной проекции точки, прямой, фигуры;

Знать:

- основные понятия стереометрии;

- аксиомы стереометрии и следствия из них;

- взаимное расположение прямых, прямой и плоскости, плоскостей в пространстве;

- основные теоремы о параллельности прямой и плоскости, параллельности плоскостей;

- основные теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярности двух плоскостей;

Уметь:

-  устанавливать в пространстве параллельность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, используя признаки и основные теоремы параллельности;

- применять признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорему о трёх перпендикулярах, признак перпендикулярности плоскостей для вычисления углов и расстояний в пространстве;

 

Виды самостоятельной работы студентов.

Работа над учебным материалом: составление презентации Microsoft Office PowerPoint

1.        Подготовка презентаций на тему:

-            «История развития понятия «Аксиома», «Теорема»»

-            «Существование плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку.»

-             «Параллельное проектирование»

-            «Применение ортогонального проектирования»

 

 

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о правилах комбинаторики;

- о методе перебора и конструировании вариантов при решении комбинаторных задач.

Знать:

- формулы числа перестановок, сочетаний, размещений;

- формулу бинома Ньютона и свойства биноминальных коэффициентов.

Уметь:

- решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул треугольника Паскаля;

- вычислять коэффициента бинома Ньютона по формуле и с  использованием треугольника Паскаля.

 

Виды самостоятельной работы студентов.

1.             Решение комбинаторных задач.

1.    У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

2.    Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

3.    В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

4.    В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?

5.    Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать.

6.    Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?

7.    В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

8.    Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?

9.    Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора и Институт?

10.         Каких чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается?

11.         Вычислить сумму .

 

КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о компланарных векторах, базисе, разложении вектора по заданному

- о системах координат – полярной, декартовой, о радиус-векторе точки, о  координатах радиуса вектора, о векторе на плоскости и в пространстве;

Знать:

- определение вектора, действия над векторами;

- свойства действий над векторами;

- понятие прямоугольной декартовой системы координат на плоскости,впространстве;

- правила действий над векторами с заданными координатами;

- формулы уравнения прямой, сферы и плоскости.

Уметь:

- выполнять действия над векторами;

- разлагать векторы на составляющие на плоскости и в пространстве;

- вычислять угол между векторами, длину векторами;

-

Виды самостоятельной работы студентов.

1.        Самостоятельное решение упражнений.

1. На стороне ВС ромба АВСD лежит точка К так, что ВК=КС, О – точка пересечения диагоналей. Выразите  через векторы  и .

2. В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки 5 см и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции.

3. Начертите два неколлинеарных вектора  и . Постройте векторы:  ;

4. Какие из данных точек Y( 7; 3; 0), D (2; 0; 0), A(0; 0; -7), L(-1; 0; -32), O( 0; -0,1; 0), S(10; 1; 0); M(0; 2,5; -1), 

N(4; 2; 1), K(-9;0;0) принадлежат а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат; г) плоскости Oxy; д) плоскости Oyz; е) плоскости Oxz?

5.  Даны векторы ; ; . Найдите координаты вектора  = (2-)+ (2)

6.  Даны точки А(1; 3; 0), В(2; 3; -1), С(1; 2; -1). Вычислите угол между векторами и . Найдите длины этих векторов.

7. В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О. Выразите через векторы  и  вектор.

8. На стороне DС квадрата АВСD лежит точка Р так, что СР=РD, О – точка пересечения диагоналей. Выразите  через векторы  и .

9. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60^о, боковая сторона равна 8 см, а меньшее  высота основание 7см. Найдите среднюю линию трапеции.

10. Начертите два неколлинеарных вектора  и . Постройте векторы:  ;

11. Какие из данных точек A( 0; 3; 0), B (2; 0; 8), C(0; 5; -7), D(-1; 5; -3), E( 5; -3,5; 0), F(10; 0; 0); G(0; 8; -1), 

N(4; 2; 1), K(0;0;6) принадлежат а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат; г) плоскости Oxy; д) плоскости Oyz; е) плоскости Oxz?

 

ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

Иметь представление:

- о радианном измерении углов;

- об обратных тригонометрических функциях;

- о решении тригонометрических неравенств;

знать:

- определение радиана и градуса;

- определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа;

-  основные формулы тригонометрии, перечисленные в содержании материала;

- значения тригонометрических функций (табличных) аргументов;

- формулы соотношений между тригонометрическими функциями одного аргумента;

- формулы суммы и разности двух аргументов;

- формулы теорем сложения;

- формулы приведения, двойного и половинного аргумента;

- формулы преобразования суммы и разности одноимённых тригонометрических функций в произведение и обратно;

- формулы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств;

- способы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

Уметь:

- вычислять значения тригонометрических функций по заданному аргументу;

- находить по заданной тригонометрической функции остальные тригонометрические функции;

- преобразовывать тригонометрические выражения, используя тригонометрические формулы;

- применять формулы приведения, формулы двойного и половинного аргумента, формулы преобразования суммы и разности  тригонометрических функций в произведение при выполнении преобразований тригонометрических выражений и доказательстве тождеств;

- решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, а также несложные уравнения, водящиеся к простейшим с помощью тригонометрических формул.

 

Виды самостоятельной работы студентов.

Решить задачи.

1.        Высота Останкинской телевизионной башни – 540 м. Найдите угол в градусах, под которым видна башня с расстояния 2000 м. В ответе укажите целое число градусов.

2.        Строение высотой 30 м бросает тень длиной 45 м. Найдите угол наклона солнечных лучей. В ответе укажите целое число градусов.

3.        Человек, пройдя вверх по склону холма 1000м, поднялся на 90 м над плоскостью основания холма. Найдите (в среднем) угол наклона холма в градусах. В ответе укажите приближенное значение, выражаемое целым числом градусов.

4.        Маятник длиной 50 см отклонили от положения равновесия на расстояние, равное 12 см. Найдите угол, который образует новое положение маятника с положением равновесия. В ответе укажите целое число градусов.

 

МНОГОГРАННИКИ

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о геометрическом теле и его поверхности;

- о многогранной поверхности;

- о выпуклых и вогнутых многогранниках;

- о правильных многогранниках;

- о площади поверхности тела

Знать:

- понятие многогранника, правильного многогранника, правильной пирамиды и их поверхностей;

- определение призмы, параллелепипеда, пирамиды, а также свойства перечисленных геометрических тел;

- формулы площади поверхности: призмы, пирамиды и из разновидностей;

- свойства планиметрических и стереометрических фигур и отношений между ними.

Уметь:

- изображать на чертежах призму, параллелепипед, пирамиду (всех видов);

- строить простейшие сечения многогранников плоскостью;

- вычислять и изображать основные элементы призмы, параллелепипеда, пирамиды;

- вычислять боковую и полную поверхность призмы, параллелепипеда, пирамиды и их простейших комбинаций;

- решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства планиметрических и стереометрических фигур и отношений между ними, применяя алгебраический и тригонометрический аппарат;

 

Виды самостоятельной работы студентов.

1.             Работа над учебным материалом: чтение текста, составление плана и конспектирование текста.

2.             Решение задач и упражнений.

Решите следующие задачи.

1. Основания прямой призмы – ромб с острым углом 60°. Боковое ребро призмы равно 10 см, а площадь боковой поверхности  - 240 см².  Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

2. Основание прямого параллелепипеда – ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений P и Q.

3. Основания прямой призмы – ромб со стороной 5 см и тупым углом 120°. Боковая поверхность призмы имеет площадь 240 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

4. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы имеет площадь Q.  Найдите площадь боковой поверхности призмы.

5. Сторона правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота  см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

6. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетом  см и противолежащим углом 60°. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

7. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 5 см, а высота  см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

 

ТЕЛА И ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о телах вращения и их поверхности.

Знать:

- понятие: тело вращения, поверхности вращения;

- определения цилиндра, конуса, усечённого конуса, шара, сферы;

- элементы тел вращения;

- понятия осевых сечений и сечений параллельных основанию;

- понятие касательной к плоскости сфере.

Уметь:

- изображать на чертеже круглые тела;

- строить простейшие сечения круглых тел плоскостью;

- вычислять и изображать основные элементы цилиндра, конуса, шара;

- решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства тел вращения.

 

Виды самостоятельной работы студентов.

1.             Решение задач и упражнений по образцу.

 

Задача 1. Высота конуса равна 57, а диаметр основания — 152. Найдите образующую конуса.

Решение.

Рассмотрим осевое сечение конуса. По теореме Пифагора:

 

Ответ: 95

Задача  2. На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара 13 см. Найти расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через эти три точки.

Решение

Соединив эти точки между собой и центром шара О, легко заметить, что задача свелась к нахождению высоты (OD) треугольной пирамиды OABC. Основание высоты (D) должно совпадать с центром окружности, описанной около треугольника АВС. Стороны АВ, АС и ВС, равные прямолинейным расстояниям между точками А, В, С, удовлетворяют теореме Пифагора , т.е. треугольник АВС – прямоугольный, и точка D является серединой гипотенузы АВ. Тогда из прямоугольного треугольника BOD находим OD   ,OD = 12 (см).

      Ответ: 12 см.

Задача 3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 72π, а диаметр основания — 9. Найдите высоту цилиндра.

Решение.

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле: 

Значит,

 

Ответ: 8

Задача 4. Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

Решение.

Из условия найдем, что радиус шара.

Ответ: 10

Выполнить задания.

1.    Высота конуса равна 4, а диаметр основания -6. Найдите образующую конуса.

2.    Высота конуса равна 4, а длина образующей -5.Найдите диаметр основания конуса.

3.    Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2π, а диаметр основания — 1. Найдите высоту цилиндра.

4.    Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2п, а высота — 1. Найдите диаметр основания.

5.    Вычислите площадь сферы, если площадь большого круга 144П см².

6.    Найдите площадь полной поверхности конуса, если его высота равна 4 см, а угол при вершине осевого сечения равен 120°.

7.    Найдите площадь поверхности цилиндра, описанного около шара, если площадь поверхности шара равна
330 см².

8.    Найдите площадь полной поверхности тела вращения, полученного в результате вращения прямоугольного треугольника с катетами 6/√π и 8/√π вокруг меньшего катета.

 

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о мгновенной скорости неравномерного прямолинейного движения, о

   скорости изменения функции;

- о производных высших порядков;

- о дифференциале функции, о применении дифференциала к  приближённым вычислениям;

- о наибольшем и наименьшем значении функции на отрезке, о применении экстремумов к решению прикладных задач;

- о пределе последовательности.

Знать:

- определение производной, её геометрический и физический смысл;

- алгоритм нахождения производной в общем виде;

- правила и формулы дифференцирования функций, перечисленных в содержании учебного материала;

- формулу для нахождения производной сложной функции;

- уравнение касательной, углового коэффициента касательной;

- определение дифференциала функции;

- правила нахождения интервалов монотонности, экстремумов функции, промежутков выпуклости и вогнутости графиков функций;

- общую схему построения графиков функций с помощью производной;

- правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функций на промежутке;

- определение первообразной функции, неопределённого интеграла, свойства неопределённого интеграла;

- таблицу основных формул интегрирования;

- определение определённого интеграла, его свойства, геометрический смысл определённого интеграла;

- формулу Ньютона-Лейбница.

Уметь:

- находить сумму бесконечно-убывающей геометрической прогрессии;

- вычислять производные и первообразные элементарных функций, применяя правила вычисления производных и первообразных, используя справочные материалы;

- использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;

- решать задачи с применением уравнения касательной к графику функции;

- применять производную для проведения приближенных вычислений;

- решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения, на нахождения скорости и ускорения;

- вычислять определённый интеграл с помощью основных свойств и по формуле Ньютона-Лейбница;

- решать простейшие прикладные задачи, сводящиеся к нахождению интеграла;

- вычислять в простейших случаях площади и объёмы с использованием определенного интеграла.

 

Виды самостоятельной работы студентов.

1.             Решение задач и упражнений по образцу.

Образец выполнения задания.

Исследовать функцию по предложенной схеме и построить ее график

.

 

 

 

Образец выполнения здания.

1.Вычислить площади фигур, ограниченных линиями x - 2y + 4 = 0, y = 0 и x + y – 5 = 0.

Решение. Выполним построение фигуры. Построим прямую x - 2y + 4 = 0:  y = 0, x = -4,  A( -4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2). Построим прямую x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0); x = 0, y = 5, D(0; 5).

Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений:

Для вычисления искомой площади разобьем треугольник AMC на два треугольника AMN и NMC, так как при изменении x от A до N площадь ограничена прямой  x - 2y + 4 = 0, а при изменении x от N до С – прямой x + y – 5 = 0.

Для треугольника AMN имеем: x - 2y + 4 = 0; y = 0,5x + 2, т.е.        f(x) = 0,5x + 2, a = -4, b = 2. Для треугольника NMC имеем: x + y – 5 = 0, y = 5 – x, т.е.  f(x) = 5 – x, a = 2, b = 5.

Ответ. S = 13, 5 кв. ед.

2.      Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оx фигуры ограниченной осью Ox и полуволной синусоиды y = sin x (0 ≤ x ≤ π).

Решение. Выполним построение. По формуле , получим

Ответ: V =  (куб. ед.)

Выполнить задания:

В задачах 1 – 4 найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) x – y + 2 = 0, y = 0, x = -1, x = 2.

2) x – y + 3 = 0, x + y – 1 = 0, y = 0.

3) y = x², y = 0, x = 0, x = 3.

4) y = cos x, y = 0, x = 0, x = π/2.

В задачах 5 – 8 найти объемы тел вращения, образованных вращением вокруг оси Оx площадей, ограниченных линиями:

5) y² – 4x = 0, x – 2 = 0, x – 4 = 0, y = 0.                          

6) y² – x + 1 = 0, x – 2 = 0, y = 0.

7) y = - x² + 2x, y = 0.

8) y² = 2x, x – 2 = 0.

 

ИЗМЕРЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- об объёме фигур вращения;

- о подобных телах.

Знать:

- формулы для вычисления объёма параллелепипеда, куба, прямой и наклонной призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, усечённого конуса,  шара;

- формулы для вычисления объёма тел вращения;

- формулы площади поверхности цилиндра, конуса, усечённого конуса и их вывод;

- формулу площади сферы.

Уметь:

- находить объём прямой и наклонной призмы, пирамиды, круглых тел при решении несложных задач;

- вычислять боковую и полную поверхность цилиндра, конуса, шара;

- решать несложные задачи с практическим содержанием;

- находить отношения площадей поверхностей и объёмов подобных тел.

 

Виды самостоятельной работы студентов.

 

1.Решение задач и упражнений по образцу.

Задача 1. Образующая прямого конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 30⁰. Найдите объём конуса.                             

 

                                                                                                

                                                                                                

    

 

 

 

 

Решение.

cosÐАВО=           ВО=R=АВ*cos30⁰=

     треугольник АВО –прямоугольный, напротив угла в 30⁰ лежит катет, равный половине гипотенузы, отсюда следует, что Н= 2 см

4.  см³

Ответ: V=8 см³

Задача 2. Найдите объём конуса, полученного вращением равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой   см вокруг своего катета.

            В

 

 

 

 

А                О             С

Решение.

                                                             

1)

 

2) Δ АОВ - прямоугольный , равнобедренный       АО=ВО, по т. Пифагора найдем

       R=ОА

Пусть АО = а, тогда

   а² + а² = 

   2а²=18

   а² =9

   а₁=3 - радиус и высота

   а₂ = - 3 п. к.

3)

    Ответ:

Задача 3. Объём шара  см³. Вычислите площадь поверхности шара.

                                                                          

 

Решение.

1)

2)

3)

      

4)

Ответ:

Задача 4. Найдите объём правильной пирамиды, если боковое ребро равно 3см, а сторона основания – 4см.                                                 

 

Решение.

1)  

2)  

3)   треугольник АВС – прямоугольный, АС= смÞАО=ОС=

4)   Н, высоту найдём из  прямоугольного треугольника АОS,   см

5)   V=  см³

Ответ: объём усечённого конуса равен  см³

Выполнить задания.

1.  В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12см и 5см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45⁰. Найти боковое ребро параллелепипеда.

2.  Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC, у которого  AB=AC=13см, BC=10см; ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

3. Основание пирамиды - равнобедренный треугольник ABC, в котором . Ребро DB перпендикулярно плоскости основания и равно 20. Найти тангенс двугранного угла при ребре AC.

4. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5см. Найти площадь боковой поверхности призмы.

 

5. Высота цилиндра равна 12см, а радиус основания – 10см. Цилиндр пересечен плоскостью, параллельной его оси так, что в сечении получился квадрат. Найти расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости.

 

 

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о событиях и их видах;

- о вероятности события;

- о реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм и графиков;

- о задачах математической статистики.

Знать:

- определение вероятности события;

- теоремы сложения и умножения вероятностей;

- законы распределения случайной величины;

- формулу Бернулли;

- элементы математической статистики;

- понятие о законе больших чисел.

Уметь:

- находить вероятность события, сложение и умножение вероятностей;

- находить числовые характеристики дискретной  случайной величины;

- представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков;

- решать практические задачи с применением вероятностных методов.

Виды самостоятельной работы студентов.

1.            Решение задач и упражнений по образцу

Задача 1. На входной двери имеется замок c 10 цифрами на кнопках. Для того, чтобы открыть замок, необходимо нажать три кнопки так, чтобы цифры на них составили определенное число. Найти вероятность того, что замок откроют с первой попытки.

Решение. Найдем вероятность этого события по классическому определению вероятности: , где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n – число всех возможных исходов.
- число различных кодовых комбинаций (первая цифра любая от 0 до 9, вторая цифра любая от 0 до 9 и третья цифра любая от 0 до 9).
- только одна комбинация (число) верная.
Тогда вероятность открыть замок равна: .

Задача 2. В урне 10 пронумерованных бочонков с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого бочонка не превосходит 2?

Решение. Пусть событие А = (Номер вынутого бочонка не превосходит 2). Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу бочонков с номерами не более 2 (то есть 1 и 2), поэтому m=2. Общее число исходов n=10. Следовательно, .

Задача 3. В классе 7 мальчиков и 14 девочек. 1 сентября случайным образом определяют двух дежурных на 2 сентября. Найдите вероятность того, что будут дежурить 2 мальчика.

Решение

Событие A - будут дежурить 2 мальчика.
В классе всего 21 чел. , выбрать двоих можно

способами.
Мальчиков 7, двоих из них можно выбрать

способами.
Тогда вероятность того, что будут дежурить 2 мальчика равна

Выполнить задания.

1.В ящике находятся 3 белых, 5 черных и 6 красных шаров. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар:  а) белый и черный;  б) желтый;  в) не белый?

2. Брошены 2 игральные кости. Какова вероятность того, что на одной кости выпало 3 очка, а на другой – четное число очков?

3. В урне 6 белых шаров, 11 – черных. Одновременно наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут:

1) белыми, 2) одного цвета, 3) разных цветов.

2.             Подготовка докладов на тему:

-                «Из истории развития теории вероятностей»

-                «Задачи математической статистики».

 

 

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о рациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнениях;

- об изображении на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными.

Знать:

- алгоритм решения иррациональных уравнений и неравенств;

- способы решения рациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств;

- формулы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

Уметь:

- решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;

- доказывать несложные неравенства;

- решать текстовые задачи с помощью составления уравнений и неравенств, интерпретируя результат с учётом ограничений условия задачи;

 

Виды самостоятельной работы студентов.

1.             Решение задач.

Выполнить задания.

1.    Решите уравнение      .

2.    Решите уравнение     .

3.    Решите уравнение   .

4.    Решите уравнение     .

5.    Решите уравнение     .

6.    Решите уравнение     .

7.    Решите уравнение   .

8.    Решите уравнение     .

9.    Решите уравнение      .

10.         Решите уравнение      .

11.         Решите уравнение      .

12.         Решите уравнение      .

13.         Найдите наибольший корень уравнения   .

14.         Решите уравнение      .

15.         Решите уравнение      .

 

Заключение

 

Самостоятельная работа всегда завершается какими-либо результатами. Это выполненные задания, упражнения, решенные задачи, написанные сочинения, заполненные таблицы, построенные графики, подготовленные ответы на вопросы.

Таким образом, широкое использование методов самостоятельной работы, побуждающих к  мыслительной и практической деятельности, развивает столь важные интеллектуальные качества человека, обеспечивающие в дальнейшем его стремление к постоянному овладению знаниями и применению их на практике.