Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания "Приложения определенного интеграла"

Методические указания "Приложения определенного интеграла"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

















Математика


Приложения определённого интеграла


Учебно-методическое пособие
























Содержание




Введение……………………………………………………………………………...3



1. Приложение определённого интеграла к геометрическим задачам…………...4

1.1. Вычисление площадей плоских фигур………………………………………...4

1.2. Вычисление объёмов тел вращения…………………………………………..11


2. Применения определенного интеграла к решению физических и технических задач…………………………………………………………………………………16

2.1. Путь, пройденный телом……………………………………………………...16

2.2. Работа переменной силы……………………………………………………....16

2.3. Вычисление силы давления жидкости……………………………………….17


Ответы………………………………………………………………………………22

Литература…………………………………………………………………………..23


























Введение


Дифференциальное и интегральное исчисления были созданы в XVII столетии Исааком Ньютоном и И.В. Лейбницем. Толчком к их созданию послужили проблемы механики, физики, астрономии и других разделов естествознания того времени.

Создание интегрального и дифференциального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики, дало возможность изучать процессы и явления, которые невозможно было рассматривать раньше. Значение этого открытия трудно преувеличить: без него не было бы ни современной физики, ни механики, ни современной техники. Во всех отраслях современной науки и техники, где нужны точные методы исследования, используются производные и интегралы.

Настоящее учебно-методическое пособие посвящено изучению приложений определённого интеграла – одного из важнейших и эффективнейших орудий математики в решении практических проблем.

Цель этого пособия – сформировать у учащихся умение решать задачи прикладного характера.

Методические пособие состоит из двух разделов:

  1. Приложение определенного интеграла к геометрическим задачам.

  2. Применения определенного интеграла к решению физических и технических задач.

Каждый из разделов содержит теоретические сведения по рассматриваемому вопросу, образцы решения задач и упражнения для самостоятельной работы с ответами. Задачи повышенной сложности помечены звездочками.

Нумерация формул, примеров, рисунков и упражнений двойная. Первое число показывает номер раздела, а второе номер формулы, примера, рисунка и упражнения в данном разделе.

Например: формула (2.3) – это третья формула второго раздела.

Методическое пособие содержит задачи для индивидуальной работы по вариантам двух уровней сложности: А, Б (для дифференцированного контроля знаний). Уровень А включает задачи среднего уровня сложности, уровень Б - более сложные задачи.

Данное учебно-методическое пособие предназначено для учащихся 11 классов, интересующихся математикой и собирающихся продолжить свое обучение в вузах.








1.Приложение определённого интеграла к геометрическим задачам


1.1. Вычисление площадей плоских фигур

hello_html_3ee338e5.png


1. Пусть функция hello_html_5d3651ff.gif неотрицательна и непрерывна на отрезке hello_html_m37155063.gif. Тогда по геометрическому смыслу определённого интеграла площадь S под кривой hello_html_5d3651ff.gif на hello_html_m37155063.gif (см. рис 1.1) численно равна определённому интегралу hello_html_m7727bb2e.gif, т. е. hello_html_m7331688a.gif. (1.1)

hello_html_6b2db335.jpg



Рис. 1.1. Рис. 1.2.

Пример 1.1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_m72d3b292.gif, hello_html_m5904b298.gif, hello_html_7b407677.gif.

Решение:

Из чертежа видно, что искомая площадь S криволинейного треугольника OAB равна разности двух площадей:

S=SOABCSOBC,

каждая, из которых находится по геометрическому смыслу определённого интеграла. Решая систему hello_html_mf71802f.gif,

получаем, что точка B пересечения прямой y=4 и кривой x=hello_html_m6dac0617.gif имеет координаты (2;4). Тогда SOABC=hello_html_m1914ce9f.gif,

SOBC=hello_html_7bbcda7d.gif. hello_html_m53d4ecad.gif

Окончательно hello_html_m1c1caf4d.gif (ед.2)

2. Пусть функция hello_html_5d3651ff.gif неположительна и непрерывна на hello_html_79934160.gif(см. рис. 1.3).



hello_html_m4849daf1.jpg

hello_html_me8a35a7.jpg







Рис. 1.3. Рис. 1.4.

Выясним, какая связь в этом случае существует между площадью S криволинейной трапеции «над кривой» hello_html_5d3651ff.gif на hello_html_79934160.gif и интегралом hello_html_m2c4745a4.gif Отражая кривую hello_html_5d3651ff.gif относительно оси абсцисс, получаем кривую с уравнением hello_html_6fc55744.gif. Функция hello_html_b46b133.gif уже неотрицательна на hello_html_79934160.gif, а площадь под этой кривой на hello_html_67235cc.gif из соображений симметрии равна площадиhello_html_3faa6296.gif(см. рис.1.4) .Тогда hello_html_2795bfe4.gif, т.е. hello_html_47c61c2c.gif (1.2)

Таким образом, если функция hello_html_5d3651ff.gif неположительна наhello_html_79934160.gif,то площадь hello_html_3faa6296.gif над кривой hello_html_5d3651ff.gif на hello_html_79934160.gif отличается знаком от определённого интеграла hello_html_3e12d2cb.gif.

Пример 1.2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_m761d468b.gifhello_html_m165c2de1.gifhello_html_28c5348c.gif.

Решение:

Из рис. 1.5 видно, что искомая площадь hello_html_m4167b76a.gif криволинейного треугольника OAB может рассматриваться как площадь над кривой OAB на отрезке hello_html_m5a2a29e0.gif. Однако указанная кривая (ломаная) не задаётся одним уравнением. Поэтому для нахождения hello_html_me60336d.gif разобьём криволинейный треугольник hello_html_mb221025.gif на части, проецируя точку hello_html_mf42da8a.gif излома на ось абсцисс. Тогда hello_html_m675deb1a.gif (см. рис. 1.5). Абсциссы точек hello_html_m20497013.gif задают пределы интегрирования hello_html_300bf5.gifhello_html_m63ef443b.gifhello_html_m69f8704c.gif

hello_html_m2e6a7c21.gif

hello_html_m4fd1dbdc.gif

Окончательно hello_html_188c0d89.gif (ед.2).

hello_html_350adec.pnghello_html_m40c788c3.png


Рис. 1.5. Рис. 1.6.


3. Пусть на отрезке hello_html_79934160.gif задана непрерывная функция hello_html_370aa5e2.gif общего вида. Предположим также, что исходный отрезок можно разбить точками на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция hello_html_5d3651ff.gif будет знакопостоянна или равна нулю. Рассмотрим, например, случай функции, изображенной на рис. 1.6. Площадь заштрихованной фигуры hello_html_m613f2392.gif

т.е. равна алгебраической сумме соответствующих определённых интегралов: hello_html_36a1e694.gif


4. Приведём формулу, применение которой часто упрощает решение задач на вычисление площадей плоских фигур.

Теорема. Пусть на отрезке hello_html_2caaec5e.gif заданы непрерывные функции hello_html_4c0cb106.gif и hello_html_m383f3bf4.gifтакие, что hello_html_48edd7e8.gif Тогда площадь hello_html_m4167b76a.gif фигуры, заключённой между кривыми hello_html_m383f3bf4.gif и hello_html_4c0cb106.gif, на отрезке hello_html_2caaec5e.gif вычисляется по формуле

hello_html_7990ea74.gif (1.3)

Проиллюстрируем теорему графически (см. рис. 1.7).


hello_html_781e79c1.png

Рис. 1.7

Возможны несколько случаев расположения кривых на отрезке hello_html_2caaec5e.gif.

1) hello_html_603c6d21.gif. (см. рис 1.7 а) hello_html_m24fd2a87.gif откуда следует формула (1.3).

2) hello_html_mda30485.gif (см. рис. 1.7.б)

hello_html_m725add2f.gifоткуда следует (1.3).

3) hello_html_m6f07c1d2.gifhello_html_6db4b506.gifhello_html_m7fa3aa51.gif (см. рис. 1.7 в)

hello_html_m5957e8a5.gifоткуда следует (1.3).

4) Общий случай (см. рис. 1.7 г) сводится к частным случаям, рассмотренным выше, если разбить отрезок hello_html_2caaec5e.gif на отдельные отрезки hello_html_64f0dc5d.gif, hello_html_m30ce2fd0.gifhello_html_1456c808.gif

Пример 1.3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_mda04653.gifhello_html_m485e8efe.gif (см. рис. 1.8).


hello_html_m1f60573c.jpg


Рис. 1.8

Решение:

Найдём координаты точек пересечения параболы hello_html_75444b0.gif и прямой hello_html_m54a39a8d.gif, решив систему этих уравнений: (-1;-1) и (2;2). На отрезке hello_html_1a5b8c02.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m56c70239.gif. Воспользуемся формулой (1.3), полагая hello_html_m65281b94.gifhello_html_m5bd1a71.gif

Абсциссы точек hello_html_mf42da8a.gif и hello_html_1d679a57.gif пересечения наших линий зададут пределы интегрирования:

hello_html_76b30b61.gif

Упражнения для самостоятельной работы

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1.1. hello_html_m55a743a.gifhello_html_m78205bad.gif 1.2. hello_html_m1e4a82f4.gifhello_html_m636020c8.gifhello_html_m4b802caa.gif и

расположенной в I четверти.

1.3.hello_html_m9ef31b4.gifhello_html_m5904b298.gif,hello_html_m27ed8ebb.gifhello_html_68dc49b2.gif 1.4. hello_html_5a732003.gif hello_html_mf96821f.gif hello_html_69a3d0e8.gif

1.5. hello_html_m199abea.gif 1.6. hello_html_230abf63.gif

1.7. hello_html_m10f7090.gif 1.8. hello_html_6c66a51b.gif

1.9. hello_html_76b5314a.gifhello_html_393a9a45.gif и hello_html_2f8bbf49.gif 1.10. hello_html_m76db08ce.gif

1.11. hello_html_eaaf046.gif 1.12. hello_html_m977eaea.gif (I четверть)

1.13. hello_html_m3cd52548.gif 1.14*. hello_html_587e5e28.gif (I четверть)

1.15. hello_html_m152de636.gif 1.16.hello_html_m7680156f.gif

1.17*.hello_html_m77ee0365.gif


Индивидуальные задания

Раздел А

Задача 1. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной

графикомhello_html_370aa5e2.gif, осью Ox и прямыми hello_html_m6e81b096.gif и hello_html_59df38f0.gif. Функция hello_html_370aa5e2.gif, отрезок hello_html_534b98f2.gifданы в таблице 1.

Таблица 1

вари-

анта

Функция

hello_html_370aa5e2.gif.

Пределы интегрирования.

a

b

1

hello_html_m5a54c038.gif

1

5

2

hello_html_m2ee52e30.gif

-2

1

3

hello_html_3b3e9443.gif

-3

3

4

hello_html_m1fdefa3.gif

-1

1

5

hello_html_42101b1.gif

0

1

6

hello_html_m2d78cc50.gif

-3

0

7

hello_html_m22d3ff7a.gif

0

1

8

hello_html_61669505.gif

-2

2

9

hello_html_4edd6c5a.gif

-1

0

10

hello_html_442bb3e3.gif

0

2

11

hello_html_m2147ec45.gif

0

1

12

hello_html_m270fd69d.gif

0

2

13

hello_html_m4c0aae95.gif

1

2

14

hello_html_m2e028e35.gif

-2

0

15

hello_html_m3b213a2b.gif

-1

1

16

hello_html_m5a54c038.gif

1

5

17

hello_html_m4954daa1.gif

-2

1

18

hello_html_104260f2.gif

-3

3

19

hello_html_m19e0b3e5.gif

-1

1

20

hello_html_m49ea81fe.gif

0

1

21

hello_html_m28ef2f07.gif

-3

0

22

hello_html_m22d3ff7a.gif

0

1

23

hello_html_61669505.gif

-2

2

24

hello_html_4edd6c5a.gif

-1

0

25

hello_html_m5ad52442.gif

0

2

26

hello_html_m682f0684.gif

0

1

27

hello_html_2c98c2f7.gif

0

2

28

hello_html_426b4d55.gif

1

2

29

hello_html_m2e028e35.gif

-2

0

30

hello_html_m3b213a2b.gif

-1

1


Задача 2.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (таблица 2).

Таблица 2

вари-

анта.

Уравнения линий.

вари-

анта.

Уравнения линий.

1

hello_html_7ace4338.gif, hello_html_m6bf9876e.gif

16

hello_html_1abfbdf4.gif, hello_html_m7f2c5877.gif

2

hello_html_c67aba2.gif, hello_html_57c9ff8.gif

17

hello_html_58490526.gif, hello_html_71b9440a.gif

3

hello_html_f687da6.gif, hello_html_m5adc9e87.gif

18

hello_html_12151355.gif, hello_html_11c522e.gif

4

hello_html_4a532975.gif, hello_html_5159b330.gif

19

hello_html_1e7d87f1.gif, hello_html_m2fa0c3f0.gif

5

hello_html_56fdb80d.gif, hello_html_1b50e13a.gif

20

hello_html_m7195ac76.gif, hello_html_m717569c1.gif

6

hello_html_m14b0cb30.gif, hello_html_m25283f86.gif

21

hello_html_665bd08c.gif, hello_html_66e3c455.gif

7

hello_html_m50c6962d.gif, hello_html_m4027891a.gif

22

hello_html_m50c6962d.gif, hello_html_m4027891a.gif

8

hello_html_m304ea4f5.gif, hello_html_1837ad42.gif

23

hello_html_m1c767109.gif, hello_html_m4027891a.gif

9

hello_html_m2eff76d2.gif, hello_html_29ed25f4.gif

24

hello_html_m13701429.gif, hello_html_m7f515f83.gif

10

hello_html_m4629c47.gif, hello_html_m25283f86.gif

25

hello_html_m81c5924.gif, hello_html_m57f406a8.gif

11

hello_html_71fe324d.gif, hello_html_361c0601.gif

26

hello_html_m3e598c84.gif, hello_html_5b7a0193.gif

12

hello_html_m631653c.gif, hello_html_1837ad42.gif

27

hello_html_m3766bf4c.gif, hello_html_29ed25f4.gif

13

hello_html_m44a2432c.gif, hello_html_m6e0c225b.gif

28

hello_html_m7c707d85.gif, hello_html_184811f9.gif

14

hello_html_34e62166.gif, hello_html_m4027891a.gif

29

hello_html_m2c4b39c9.gif, hello_html_m70b3068.gif

15

hello_html_2436bfd7.gif, hello_html_a87f004.gif

30

hello_html_m406b0a35.gif, hello_html_m4027891a.gif

Раздел Б

Задача.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (таблица 3).

Таблица 3

вари-

анта.

Уравнения линий.

вари-

анта.

Уравнения линий.

1

hello_html_m2eff76d2.gif, hello_html_466e36f7.gif, hello_html_m2a679080.gif

16

hello_html_m6fb408a5.gif, hello_html_m4cd8016d.gif

2

hello_html_babb450.gif

17

hello_html_1ad1969a.gif

3

hello_html_m6ae3d2a4.gif

18

hello_html_55df8cef.gif, hello_html_1d5fe922.gif, hello_html_69c4e849.gif

4

hello_html_34e62166.gif, hello_html_mb5d30d1.gif

19

hello_html_m181f6bd3.gif, hello_html_39fa8bd4.gif, hello_html_m3e1e06a3.gif

5

hello_html_77025580.gif, hello_html_34e62166.gif

20

hello_html_3c3fddd6.gif, hello_html_m2b778fd9.gif

6

hello_html_m3a1261de.gif, hello_html_54f7b705.gif

21

hello_html_1784dda8.gif, hello_html_266ffce4.gif

7

hello_html_566bc4d0.gif, hello_html_m4fc1d86d.gif

22

hello_html_64c6306.gif, hello_html_69c4e849.gif, hello_html_28c5348c.gif

8

hello_html_5261d1bf.gif, hello_html_m310ed2f0.gif

23

hello_html_m57f32705.gif, hello_html_70f2fcd4.gif, hello_html_m26905246.gif

9

hello_html_34e62166.gif, hello_html_mb5d30d1.gif

24

hello_html_2477ecf3.gif, hello_html_29ed25f4.gif

10

hello_html_m7b771b1c.gif, hello_html_29ed25f4.gif, hello_html_m4cd8016d.gif

25

hello_html_5d04a7de.gif

11

hello_html_2b89ef9.gif, hello_html_28c5348c.gif, hello_html_m626c6b93.gif

26

hello_html_55df8cef.gif, hello_html_m69276f0a.gif

12

hello_html_34e62166.gif, hello_html_m3a19498f.gif

27

hello_html_m5751eaa2.gif, hello_html_1cb788c5.gif, hello_html_m4d2ff6c8.gif

13

hello_html_34e62166.gif, hello_html_m75c7f99e.gif

28

hello_html_6fc3ca67.gif, hello_html_f171564.gif

14

hello_html_1779223b.gif, hello_html_5731658e.gif, hello_html_m26905246.gif

29

hello_html_5731658e.gif, hello_html_29ed25f4.gif, hello_html_m4cd8016d.gif

15

hello_html_a966199.gif, hello_html_63a8e1a6.gif

30

hello_html_34e62166.gif, hello_html_m16f48e31.gif


1.2. Вычисление объемов тел вращения

Пусть на отрезке hello_html_79934160.gif задана непрерывная функция hello_html_564aa758.gif Необходимо найти объём hello_html_m13d12713.gif тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями hello_html_1e4a3c3d.gifhello_html_m27ed8ebb.gifhello_html_20c8b49e.gifhello_html_m737aebb3.gif

hello_html_m5c9b7068.jpg


Рис. 1.9.

Для решения задачи разобьём отрезок hello_html_79934160.gif на элементарные отрезки точками: hello_html_m1d4af532.gif и на каждом из отрезков разбиения hello_html_m1132bbe0.gif некоторым образом выберем точку hello_html_36ca7cd7.gif, где hello_html_m7e0e2399.gif Тогда некоторое приближение для искомого объема даст следующая сумма hello_html_m8c7a3cf.gifhello_html_m36fc8dc9.gif слагаемое которой hello_html_m322c87ff.gif- это объём цилиндра с высотой hello_html_6c710155.gif и радиусом основания hello_html_m25d5879f.gif (см. рис. 1.9). Очевидно, что приближение для искомого объёма hello_html_m13d12713.gif будет тем лучше, чем меньше длина отрезков разбиения hello_html_m11fe6e4c.gif поэтому за искомый объём hello_html_m13d12713.gif естественно взять следующий предел hello_html_406ce0ed.gif,

где hello_html_7d855eb7.gif- максимальная из длин отрезков разбиения. Но выражение, стоящее в правой части последнего равенства, не что иное, как предел интегральной суммы для функции hello_html_4dc66690.gif поэтому окончательно получаем

hello_html_md9113a6.gif. (1.4)

Пример 1.4. Вычислить объём тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями hello_html_621d2f87.gifhello_html_m27ed8ebb.gifhello_html_72a1f871.gifhello_html_m27353acd.gif вокруг оси hello_html_178f3bf7.gif

Решение:

По формуле (1.4) искомый объём hello_html_11b97b03.gif

Пример 1.5. Найти объём тела, образованного вращением эллипса hello_html_m6a03cc72.gif вокруг оси hello_html_110986ad.gif.

Решение:

Так эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточно найти

половину искомого объёма. По формуле (1.4) имеем:

hello_html_m59a6cba8.gif

Следовательно, hello_html_m2753e574.gif откуда hello_html_m11a0b2f2.gif

Если hello_html_m5f68f2aa.gif то эллипс является окружностью. Тогда объём тела вращения окружности вокруг оси hello_html_110986ad.gif есть шар, объём которого

hello_html_38a471e9.gif

Формально заменяя в формуле (1.4) переменную hello_html_2b8a2485.gif на hello_html_6f36e2df.gif, получаем формулу для вычисления объёма hello_html_d695f7b.gif тела, полученного от вращения криволинейной трапеции вокруг оси ординат: hello_html_27627454.gif (1.5)

(на рис.1.10 вращаемая криволинейная трапеция заштрихована).

hello_html_m5406cba7.jpg

hello_html_67785f52.jpg






Рис 1.10. Рис. 1.11.


Пример 1.6. Найти объём тела, полученного от вращения вокруг оси ординат плоской фигуры, ограниченной линиями hello_html_m636020c8.gifhello_html_m2de6c1df.gif.

Решение:

Проецируя вращаемую фигуру на ось ординат (рис.1.11), убеждаемся, что искомый объём hello_html_m704a5657.gif равен разности двух объёмов: объёма hello_html_ed56c0b.gif, полученного от вращения вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями hello_html_m737c7b1.gif

hello_html_72a1f871.gifhello_html_m793f9ed8.gifи объёма hello_html_2b4ca52a.gif, для которого вращаемая фигура ограничена линиями hello_html_12d1dfe4.gifhello_html_72a1f871.gifhello_html_m93ad10b.gif. (С учётом предстоящего применения формулы (1.5) уравнения кривых записаны в виде hello_html_m1643f881.gif предполагающем переменную hello_html_6f36e2df.gif независимой). Применяя (1.5), получаем:


hello_html_3816a28a.gif

hello_html_m3df2a1c2.gif

Окончательно hello_html_m37f5f5af.gif

Упражнения для самостоятельной работы

Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:

1.18. hello_html_3970cafd.gifhello_html_604ce91c.gif вокруг оси hello_html_110986ad.gif

1.19. hello_html_m636020c8.gifhello_html_m6a379d44.gif вокруг оси hello_html_178f3bf7.gif

1.20. hello_html_7e648c64.gifhello_html_72a1f871.gifhello_html_1faac510.gifhello_html_m18056e53.gif вокруг оси hello_html_23000d9f.gif

1.21. hello_html_m6c909ad8.gifhello_html_m793f9ed8.gifhello_html_m5904b298.gif вокруг оси hello_html_393a9a45.gif

1.22. hello_html_m1f254ce2.gifhello_html_m18056e53.gif вокруг каждой из следующих прямых: 1) hello_html_m18056e53.gif,

2) hello_html_396a7cec.gif 3) hello_html_78c9df05.gif 4) hello_html_m12dc1267.gif 5) hello_html_m311d7181.gif 6) hello_html_737c3e90.gif

1.23. hello_html_m9ef31b4.gifhello_html_1368513b.gifhello_html_1f22d4ea.gif вокруг каждой из следующих прямых: 1)hello_html_396a7cec.gif 2)hello_html_711c0125.gif 3)hello_html_7f6601b7.gif 4)hello_html_7bcc97d3.gif 5)hello_html_m93ad10b.gif

1.24. hello_html_m6ba49421.gifhello_html_m27ed8ebb.gifhello_html_109fd3f0.gif вокруг каждой из следующих прямых: 1)hello_html_m5904b298.gif 2)hello_html_m718df004.gif 3)hello_html_7bcc97d3.gif 4)hello_html_m12dc1267.gif 5)hello_html_4dba4156.gif 6)hello_html_m6d101522.gif

1.25. hello_html_4f89cc35.gifhello_html_2682cbb9.gifhello_html_m18056e53.gif вокруг оси hello_html_110986ad.gif

1.26. hello_html_345fe37a.gifhello_html_4ef3c7bc.gif вокруг оси hello_html_75eb2755.gif

1.27. hello_html_m69eacc63.gifhello_html_2afec97f.gifhello_html_72a1f871.gif где hello_html_733a6de6.gif вокруг оси hello_html_75eb2755.gif

1.28. hello_html_m6ff2243c.gif hello_html_2afec97f.gif где hello_html_m68265dfe.gif вокруг каждой из следующих прямых: 1)hello_html_1368513b.gif 2)hello_html_m6f32a87c.gif 3)hello_html_3c625ee3.gif 4)hello_html_m6d101522.gifhello_html_m53d4ecad.gif

1.29. hello_html_m719cfe6e.gifhello_html_m18056e53.gif вокруг каждой из следующих прямых: 1)hello_html_1368513b.gif 2)hello_html_7bcc97d3.gif 3)hello_html_68dc49b2.gif

1.30. hello_html_43ccd481.gifhello_html_1faac510.gifhello_html_m27ed8ebb.gifhello_html_1650089b.gif вокруг оси hello_html_23000d9f.gifhello_html_m53d4ecad.gif

1.31. hello_html_159907dc.gifhello_html_1faac510.gifhello_html_m67fc550f.gifhello_html_m18056e53.gif вокруг: 1) оси hello_html_75eb2755.gif 2) hello_html_4856acd2.gif



Индивидуальные задания

Раздел А

Задача.

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг заданной оси области, ограниченной графиками заданных функций (таблица 4).


Таблица4

вар

Заданные функции.

Задан

ось.

вар

Заданные функции.

Задан

ось.

1

hello_html_m61e41342.gif, hello_html_28c5348c.gif

Ox

16

hello_html_m135a43fc.gif

Oy

2

hello_html_47e2791d.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Oy

17

hello_html_6fc3ca67.gif, hello_html_39fa8bd4.gif, hello_html_17f56012.gif

Ox

3

hello_html_34e62166.gif, hello_html_1779223b.gif

Oy

18

hello_html_m58b0f70.gif

Oy

4

hello_html_m769dbca7.gif

Oy

19

hello_html_7457e2f3.gif

Oy

5

hello_html_37246d95.gif

Ox

20

hello_html_7d2134ce.gif

Oy

6

hello_html_138c41e7.gif

Ox

21

hello_html_7a5d035.gif

Ox

7

hello_html_34e62166.gif, hello_html_m3488dbda.gif

Ox

22

hello_html_2899d0f4.gif

Ox

8

hello_html_16455599.gif

Oy

23

hello_html_m4d03c2b5.gif

Ox

9

hello_html_m57f32705.gif, hello_html_m243569e3.gif

Ox

24

hello_html_m1d4651a6.gif

Ox

10

hello_html_37e1c2a1.gif

Oy

25

hello_html_m3b47d122.gif

Ox

11

hello_html_m30acff03.gif

Ox

26

hello_html_22c0c7a7.gif

Ox

12

hello_html_m48460ec.gif

Oy

27

hello_html_768b7943.gif

Ox

13

hello_html_m4d1ba96c.gif, hello_html_39fa8bd4.gif, hello_html_17f56012.gif

Ox

28

hello_html_m7cca9635.gif

Ox

14

hello_html_2899d0f4.gif

Oy

29

hello_html_m1952873c.gif

Ox

15

hello_html_2b89ef9.gif, hello_html_28c5348c.gif, hello_html_m626c6b93.gif

Ox

30

hello_html_m135a43fc.gif

Ox


Раздел Б

Задача.

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг заданной оси области, ограниченной графиками заданных функций (таблица 5).

Таблица 5

; вар

Заданные функции.

Задн

ная

ось.

; вар

Заданные функции.

Задан-

ная

ось.

1

hello_html_64c6306.gif, hello_html_m7c74bfd2.gif, hello_html_69c4e849.gifhello_html_7568ab6f.gif

Ox

16

hello_html_1f003186.gif

Ox

2

hello_html_m2ec6444e.gif

Оy

17

hello_html_m7b0fc457.gif

Ox

3

hello_html_m1c640af0.gif

Oy

18

hello_html_m3830ed27.gif

Oy

4

hello_html_37749bcc.gif

Oy

19

hello_html_385f31d2.gif

Oy

5

hello_html_m743f1549.gif

Ox

20

hello_html_12318378.gif, hello_html_29ed25f4.gif

Ox

6

hello_html_4603aed7.gif

Ox

21

hello_html_22ccc455.gif

Ox

7

hello_html_m3bca62e0.gif

Ox

22

hello_html_m12d8ad7e.gif

Ox

8

hello_html_m76521906.gif

Oy

23

hello_html_720fa0b6.gif

Oy

9

hello_html_6944b1da.gif

x=2

24

hello_html_m53fae2e9.gif,hello_html_28c5348c.gif,hello_html_m3296405f.gif hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m17af497f.gif

Ox

10

hello_html_5685fb0a.gifпри hello_html_m1b07c0c9.gif

y=-1

25

hello_html_6e693912.gif, hello_html_28c5348c.gifhello_html_m130e7640.gif

Ox

11

hello_html_7d49377a.gif

Oy

26

hello_html_m16b2f1c.gif

Oy

12

hello_html_6f278d8c.gif

Ox

27

hello_html_156306.gif

Oy

13

hello_html_m2053b07d.gif

Oy

28

hello_html_m6dc4ee90.gif

Oy

14

hello_html_68345acc.gif

Oy

29

hello_html_m5c7ff007.gif

Ox

15

hello_html_1b2e7f19.gif

Ox

30

hello_html_6695fb1f.gif

Ox





















2. Применения определенного интеграла к решению физических и технических задач


2.1. Путь, пройденный телом

Из школьного курса известно, что путь, пройденный телом, перемещающимся со скоростью hello_html_80aa096.gif,за промежуток времени hello_html_2a96a737.gif, выражается интегралом

hello_html_44488758.gif(2.1)

Пример 2.1. Автобус начинает двигаться с ускорением 1м/с2. Какой путь пройдет автобус за 12 секунд от начала движения?

Решение:

Скорость движения автобуса выражается формулой hello_html_m66003275.gifм/с. Согласно формуле (2.1) находим путь, пройденный автобусом за время от hello_html_m15346dd3.gifдо hello_html_m392608f9.gif сек: hello_html_m5b066f13.gif м.


2.2. Работа переменной силы

Определенный интеграл широко применяется не только при вычислении различных геометрических величин, но и при решении ряда физических и технических задач. Так, например, известно, что работа hello_html_mf42da8a.gif, совершаемая переменной силой hello_html_7cde62b0.gif на пути от точки hello_html_m673e0d1.gifдо точки hello_html_m7d6c368b.gif, вычисляется по

формуле

hello_html_m45931183.gif(2.2)

Пример 2.2. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если известно, что для ее растягивания на 0,01 м нужна сила в 1 hello_html_md019961.gif?

Решение:

Согласно закону Гука сила hello_html_m10ce8f2a.gif, растягивающая или сжимающая пружину на hello_html_2b8a2485.gifм, пропорциональна этому растяжению или сжатию, т. е. hello_html_m6d328a7c.gif, где hello_html_m1bf5d0dd.gifкоэффициент пропорциональности. Из условия задачи известно, что для растяжения пружины на hello_html_40b9d0ad.gif0,01м требуется сила hello_html_97e9a78.gif Поэтому hello_html_714c10e4.gif, откуда hello_html_5691d56d.gifследовательно, hello_html_m4bbb19d1.gif

В задаче требуется найти работу, совершаемую при растяжении пружины на 0,05м из состояния покоя, поэтому переменная hello_html_2b8a2485.gif изменяется от hello_html_69c4e849.gif до hello_html_1e15e0c7.gif. Таким образом, подставив в формуле (2.2) hello_html_179b2dce.gif, найдем искомую работу hello_html_m73b1c33a.gif



2.3. Вычисление силы давления жидкости

Согласно закону Паскаля величина силы hello_html_m9b2354f.gif давления жидкости в ньютонах на горизонтальную площадку вычисляется по формуле

hello_html_5e05751a.gif, (2.3)

где hello_html_260072a5.gif-ускорение свободного падения в м/с2, hello_html_644d471.gif-плотность жидкости в кг/м2, hello_html_m4167b76a.gif-площадь площадки в м2, hello_html_m720cc781.gif-глубина погружения площадки в м.

Если же площадка погружена в жидкость не горизонтально, то формула (2.3) неприменима, так как в этом случае сила hello_html_m9b2354f.gif давления жидкости изменяется с глубиной. Рассмотрим задачу вычисления силы давления жидкости на вертикальную площадку.

Задача. Пусть пластинка произвольной формы погружена вертикально в жидкость плотностью hello_html_644d471.gif так, что расстояние от поверхности жидкости до верхней точки hello_html_mf42da8a.gif пластинки равно hello_html_m15f01a5e.gif, а до ее нижней точки hello_html_1d679a57.gifравна hello_html_5cd0bf5b.gif(рис.2.1).

Требуется вычислить силу hello_html_m9b2354f.gif давления жидкости на пластинку.

Решение:

hello_html_m22a24898.jpg

Р hello_html_m531804c5.jpgазобьем пластинку на hello_html_1ed71afd.gif тонких полосок прямыми, параллельными поверхности жидкости:

hello_html_m53d9d783.gif, hello_html_m5c8f3445.gif.





Рис. 2.1. Рис. 2.2.

На глубине hello_html_m666fbfdb.gif выделим одну из них (на рис. 2.1 она заштрихована) и обозначим через hello_html_22043af0.gifее длину, а через hello_html_m621724b5.gif- ее ширину. Приняв (с некоторой погрешностью) полоску за прямоугольник, находим ее площадь

hello_html_m182b589a.gifhello_html_27bf2b1d.gif

Предположим (также с некоторой погрешностью), что давление во всех точках рассматриваемой полоски одинаково и равно давлению на глубине hello_html_m666fbfdb.gif. Тогда силу hello_html_500865bb.gif давления жидкости на полоску площади hello_html_m43880512.gif можно определить по формуле (2.3) hello_html_m4a2715b5.gif или hello_html_1e52c7b5.gif.

Суммируя элементарные давления hello_html_500865bb.gif на каждую из hello_html_1ed71afd.gif полосок, найдем приближенное значение силы hello_html_m9b2354f.gif давления жидкости на всю пластинку

hello_html_m6dea5ffa.gif. При неограниченном увеличении числа hello_html_1ed71afd.gif делений данной пластинки так, что hello_html_m7cb910db.gif, по определению полагаем

hello_html_1eea9c4a.gif.

Таким образом, сила давления жидкости на вертикальную пластинку вычисляется по формуле

hello_html_m45fd9696.gif. (2.4)

Пример 2.3. Треугольная пластинка с основанием 0,3м и высотой 0,6м погружена вертикально в воду так, что ее вершина лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей. Вычислить силу давления воды на пластинку (рис.2.2).

Решение:

Выделим на глубине hello_html_m720cc781.gif тонкую пластинку (на рис. 2.2 она заштрихована) и найдем ее длину hello_html_20984719.gif. Из подобия треугольников hello_html_m2515dd43.gif и hello_html_m9874e79.gif имеем


hello_html_7ac14085.gif, или hello_html_m68445b3e.gif.

Отсюда hello_html_m6e10248f.gif.

Так как вершина пластинки лежит на поверхности воды, а высота пластинки равна 0,6м, то в формуле (2.4) следует положить hello_html_410518b3.gif и hello_html_m2273860f.gif. Кроме этого, hello_html_m709868c3.gifм/с2 и hello_html_m1dd61695.gifкг/м3, поэтому

hello_html_m59ae852b.gif.



Упражнения для самостоятельной работы

2.1.Определить давление воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 18 м и высотой 6 м.

2.2.При условиях предыдущей задачи найти, на какой глубине hello_html_m4f729965.gif надо разделить шлюз горизонтальной прямой, чтобы давление воды на верхнюю и нижнюю части шлюза было одинаково.

2.3.Найти давление воды на поверхность шара диаметром 4 м, если его центр находится на глубине 3 м от поверхности воды.

2.4.Вычислить работу, необходимую для выкачивания масла из вертикального цилиндрического резервуара высотой hello_html_m91cd199.gif м и радиусом основания hello_html_m2015b690.gif м. Плотность масла hello_html_m43fe3109.gif.

2.5.При условиях предыдущей задачи вычислить работу, необходимую для выкачивания масла из цилиндрического резервуара, если его ось имеет горизонтальное направление.

2.6.Шар лежит на дне бассейна глубиной hello_html_4cf49fb3.gifм. Определить работу, необходимую для извлечения шара из воды, если его радиус hello_html_799189fa.gif дм, а плотность hello_html_m72ced708.gif.

2.7.Определить работу, необходимую для запуска ракеты весом hello_html_12a6026f.gif с поверхности земли на высоту hello_html_m277f02d3.gif км.

2.8.Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 4 см, если известно, что от нагрузки в 1hello_html_33391d9.gif она растягивается на 1 см?

hello_html_3af7d880.jpg


hello_html_59c0dc74.jpg


2.9.Найти работу, совершенную при выкачивании воды из корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина которого hello_html_d872e6f.gif, радиус hello_html_333cd4dd.gif. (рис.2.3) hello_html_m26878f4d.gif

Рис. 2.3. Рис.2.4.


2.10.Водопроводная труба имеет диаметр 6 см; один конец ее соединен с баком, в котором уровень воды выше верхнего края трубы, а другой закрыт заслонкой. Найти силу давления на заслонку.

2.11.Найти силу давления воды на вертикальную стенку в форме полукруга, диаметр которого 6 м и находится на поверхности воды (рис. 2.4) Плотность воды hello_html_75e6ed6e.gif.

2.12.Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндрическом баке высотой hello_html_m47f17af3.gif м и радиусом основания hello_html_21ddd77f.gif м, на его стенки, если hello_html_6878d632.gif.


Индивидуальные задания

Раздел А

Самостоятельно решите следующие задачи (номер варианта совпадает с номером задачи).

1.Скорость тела меняется по закону hello_html_m629b0205.gifм/с. Какой путь пройдет тело за 10 с? Чему равна средняя скорость движения?

2.Скорость автобуса при торможении изменяется по закону hello_html_md8c5e34.gifм/с. Какой путь пройдет автобус от начала торможения до полной остановки?

3.Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на 10 см, если сила в 20hello_html_33391d9.gifрастягивает пружину на 5 см.

4.Вычислить работу, совершаемую при сжатии пружины на 0,04 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила в 10 hello_html_33391d9.gif?

5.Для сжатия пружины на 0,03 м необходимо совершить работу 16 Дж. На какую длину можно сжать пружину, совершив работу в 144 Дж?

6.Вычислить работу, затраченную при сжатии пружины на 25 см, если известно, что при сжатии ее на 1 см необходима сила в 40 hello_html_33391d9.gif.

7.Силой в 80 hello_html_33391d9.gifпружина растягивается на 2 см. Первоначальная длина пружины равна 15 см. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее до 20 см?

8.Вычислить общую силу давления воды на дно и стенки аквариума, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания равны 0,9 м и 0,6 м, а высота равна 0,4 м. Аквариум доверху наполнен водой.

9.Вычислить силу давления воды на вертикальную плотину, имеющую форму равнобедренной трапеции, верхнее основание которой 38 м, нижнее 20 м и высота 12 м. Уровень воды доходит до верха плотины.

10.Цилиндрический резервуар наполнен маслом. Вычислить давление масла на боковую поверхность резервуара, если высота его hello_html_m79e96880.gif м и радиус основания hello_html_43b96440.gif м. Плотность масла hello_html_3e6e4640.gif кг/м.

11.Треугольная пластина с основанием 0,9 м и высотой 0,12 м погружена в воду так, что ее вершина лежит на 0,03 м ниже поверхности воды, а основание параллельно ей. Вычислить силу давления воды на пластину.

12.Для растяжения пружины на 4 см необходимо совершить работу 24 Дж. На какую длину можно растянуть пружину, совершив работу в 150 Дж?

13.Рессора прогибается под нагрузкой 2 т на 105 см. Какую работу нужно затратить для деформации рессоры на 3 см? (Сила деформации пропорциональна величине деформации.)

14.Вода заполняет полностью резервуар кубической формы с ребром, равным 0,5 м. Найти силу давления воды на дно резервуара.

15. Вода заполняет полностью резервуар кубической формы с ребром, равным 0,5 м. Найти силу давления воды на боковую стенку.

16.Скорость движения точки hello_html_6668737f.gif м/с. Найти путь пройденный точкой от начала движения до полной остановки.

17.Найти давление спирта hello_html_m38a3b772.gif, находящегося в цилиндрическом баке высотой 3 м и радиусом 4 м на боковую стенку бака.

18.Найти величину давления воды на прямоугольник, вертикально погруженный в воду, если известно, что основание его равно 8 м, высота 12 м, верхнее основание параллельно свободной поверхности воды и находится на глубине 5 м.

19.Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму равнобочной трапеции, верхнее основание которой hello_html_557b49d6.gifм, нижнее hello_html_a04ad52.gif м, а высота hello_html_m79e96880.gif м.

20.Найти центр тяжести площади фигуры, ограниченной параболой hello_html_300f2aaa.gif и осью hello_html_393a9a45.gif.


Раздел Б

1. Верхний край шлюза, имеющего форму квадрата со стороной, равной 8 м, лежит на поверхности воды. Определить величину давления на каждую из

частей шлюза, образуемую делением квадрата одной из его диагоналей.

2.Вычислить работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду из полусферического сосуда, диаметр которого равен 20 м.

3.Вычислить работу, которую нужно затратить на выкачивание воды из цилиндрического бассейна с радиусом основания 0,5 м,если в начальный момент уровень воды в бассейне равен 2,8 м и на 0,2 м ниже выпускающего воду отверстия в цилиндре.

4.Котел имеет форму параболоида вращения глубиной hello_html_m40c33a6a.gif м и радиусом основания hello_html_m13e6eb63.gif м. Определить работу, которую нужно затратить на выкачивание воды из такого наполненного котла.

5.За какое время вода, наполняющая цилиндрический сосуд с площадью основания hello_html_m28ddbc0d.gif см2 и высотой hello_html_m135fca67.gif см, вытечет через отверстие на дне площадью hello_html_mdf1ca36.gif см2?

6.За какое время вода вытечет из конической воронки высотой hello_html_m135fca67.gif см, радиусом нижнего основания hello_html_5a47e666.gif см и верхнего hello_html_6d4740aa.gif см?

7.Цилиндрическая цистерна с горизонтальной осью наполовину наполнена маслом (удельный вес 0,9). Определить давление масла на каждую из плоских стенок цилиндра, если радиус ее равен 2 м.



























Ответы

1.1. hello_html_69ae0e5a.gif 1.2. hello_html_14799e8.gif 1.3. hello_html_551b3982.gif 1.4. hello_html_1dbf322d.gif1.5. hello_html_41e1d0cf.gifhello_html_m53d4ecad.gif

1.6.hello_html_m4ccabc32.gif1.7.hello_html_438fe0de.gif1.8.hello_html_m26676f37.gif1.9.hello_html_4df2e5b1.gif1.10.hello_html_m499b6118.gif1.11.hello_html_5bb0167f.gif 1.12.hello_html_mef80f3d.gif1.13.hello_html_m12bfb705.gif1.14.hello_html_m45a63e7.gif1.15.hello_html_3e135a27.gif 1.16. hello_html_m7bad8a40.gif 1.17. hello_html_m41dc55da.gif

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

1.18.hello_html_2092ce1a.gif1.19.hello_html_77bc6119.gif.1.20.hello_html_491d6f10.gif1.21.hello_html_1b7f7356.gif

1.22.hello_html_7ce83361.gif

1.23.hello_html_5edbd4b5.gif.

1.24.hello_html_6bffc102.gif1.25.hello_html_m3149ccb5.gif1.26.hello_html_m251debc8.gif1.27.hello_html_m215e8c40.gif1.28.hello_html_218cd6ac.gif1.29.hello_html_47736193.gif

1.30. hello_html_m66b3c31f.gif 1.31.hello_html_7e749b8b.gif

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

2.1. hello_html_46a7eb54.gif 2.2. hello_html_63d1f33b.gif 2.3.hello_html_494d65d8.gif 2.4. hello_html_31277747.gif 2.5. hello_html_11e7c06a.gif

2.6.hello_html_3911dfaa.gif 2.7. hello_html_28f987a6.gif 2.8.hello_html_69a6e266.gif 2.9. hello_html_7ea6df99.gif. 2.10.hello_html_m165a7d5f.gif

2.11. hello_html_m44d7e976.gif 2.12. hello_html_m6f60a88d.gif 2.13. hello_html_554cf1ec.gif 2.14. hello_html_4ffa3aef.gif


















Литература


  1. Баврин И.И. Высшая математика, М., Академия, 2002.

  2. «Высшая математика для экономистов», под редакцией профессора Кремера Н. Ш., М., «ЮНИТИ», 2000г.

  3. Пискунов Н. С. «Дифференциальное и интегральное исчисления», т. 1., М., «Наука», 1985г.

  4. Марон И. А. «Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах», М., «Наука», 1970г.

  5. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я., «Высшая математика в упражнениях и задачах», ч.I, М., «ОНИКС 21 век Мир и Образование», 2003г.

  6. Шипачев В. С. «Задачник по высшей математике», М, «Высшая школа», 1998г.

  7. Лунгу К.К., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. «Сборник задач по высшей математике, М., «Рольф»,2001.

  8. «Сборник задач по высшей математике для экономистов», под редакцией профессора Ермакова В.И., М., «Инфра- М», 2004.


Краткое описание документа:

   Настоящее учебно-методическое пособие посвящено изучению приложений определённого интеграла – одного из важнейших и эффективнейших орудий математики в решении практических проблем.

  Цель этого пособия – сформировать у учащихся умение решать задачи прикладного характера.

   Методические пособие состоит из двух разделов:

1.                Приложение определенного интеграла к геометрическим задачам.

2.                Применения определенного интеграла к решению физических и технических задач.

  Каждый из разделов содержит теоретические сведения по рассматриваемому вопросу, образцы решения задач и упражнения для самостоятельной работы с ответами. Задачи повышенной сложности помечены звездочками.

   Нумерация формул, примеров, рисунков и упражнений двойная. Первое число показывает номер раздела, а второе номер формулы, примера, рисунка и упражнения в данном разделе.

  Например: формула (2.3) – это третья формула второго раздела.

  Методическое пособие содержит задачи для индивидуальной работы по вариантам двух уровней сложности: А, Б (для дифференцированного контроля знаний). Уровень А включает задачи среднего уровня сложности, уровень Б - более сложные задачи.

 

  Данное учебно-методическое пособие предназначено для учащихся 11 классов, интересующихся математикой и собирающихся продолжить свое обучение в вузах.

 

Общая информация

Номер материала: 184783

Похожие материалы