Научная работа на тему "Закон больших чисел"

 

Оглавление

1.     Введение. 3

2.     Теорема Чебышева.................................................................................... 4-5

3.     Понятие корреляционных связей. 6-7

4.     Теорема Бернулли. 8-9

5.     Теорема Пуассона. 10

6.     Центральная предельная теорема. 11

7.     Теорема Ляпунова. 12

8.     Закон больших чисел. 13

9.     Заключение. 14

10. Список использованной литературы.. 15

1.      Введение

Итоги отдельных наблюдений, в том числе и проделанных в схожих критериях, имеют все шансы сильно  различаться, но в то же время средние итоги для довольно огромного количества наблюдений устойчивы и слабо находятся в зависимости от итогов отдельных наблюдений. 

Закон больших чисел – это теоретическое объяснение данной характеристики случайных явлений.  В это  название заключена некоторая группа теорем,  которые изъясняют факторы стойкости, а также устанавливают устойчивость средних итогов огромной численности явлений, произошедших случайно. В группу таких теорем входят:

1.      Теорема Чебышева;

2.      Теорема Бернулли;

3.      Теорема Пуассона;

4.      Центральная предельная теорема;

5.      Теорема Ляпунова.

Данная тема моего реферата является актуальной, т. к. закон больших чисел выполняет главную роль в фактических применениях теории вероятностей. Предвещать итоги глобальных массовых случайностей – одно из главенственных свойств.

Целью и задачей данной работы является изучение закона больших чисел и рассмотрение теорем.

1.    Теорема Чебышева

Данная теорема дает такое определение: описывает верхний рубеж вероятности того, что аномалия смысла случайной величины от ее математической надежды больше некого данного количества. Неравенство Чебышева является истоком в основе подтверждения теорем:

                                                                   (1)

Рассмотрим пример № 81: допустим, что некоторое устройство состоит из 100 элементов, которые работают самостоятельно. Возможность отказа каждого из этих элементов за время т=0,03. Поставить вероятность того, что безусловная величина разницы  между математическим ожиданием за время т будет: а) меньше двух; никак не меньше двух.

Решение будет состоять в следующем: а) если х станет числом элементов, которые отказали за время т. Тогда м [х] = np = 100 ? 0,03 = 3 и d[x] = npq = 100 ? 0,03 ? 0,97 = 2,91. После того, как мы воспользуемся неравенством Чебышева (подставили в него м[х] = 3, d[х] = 2,91, ɛ= 2), получаем:

                                                          (2)

Решение: б) События, которые противоположны  |х - 3| < 2 и | х-3| ≥ 2 противоположны, исходя из этого,  сумма их вероятностей будет = 1. Получаем:

                                                        (3)

В теореме Чебышева утверждается, что если рассматривается довольно огромное число самостоятельных, независимых величин, которые имеют ограниченные дисперсии, то практически достоверным можно считать явление, суть которого состоит в том, что  отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно небольшим.

При формулировки мной данной теоремы, было предположено, что случайные величины имеют разные математические ожидания. Разумеется, что если опять таки предположить, что дисперсии данных величин урезаны, то к ним станет применима теорема Чебышева.

Рассмотрим пример № 83: при каких условиях такой способ, как измерения некой физической величины производят некоторое количество измерений и их среднее арифметическое принимают в качестве искомого размера, можно считать верным?

Решение будет состоять в следующем: Ответ на этот вопрос дает теорема Чебышева. Если , , ... - результаты каждого измерения как случайные величины. К таким величинам можно применять данную теорему только в трех случаях:

1.     Ограничены дисперсии (прибор обеспечивает определенную точность измерений);

2.     Имеют одинаковое математическое ожидание (измерения проведены без систематических (одного знака) ошибок);

3.     Попарно самостоятельны (результат каждого измерения не зависит от результатов остальных).

Вывод по теореме Чебышева можно сделать такой: сама теорема указывает условия, при которых такой способ применяется. Но ошибкой станет подумать, что если увеличивая число измерений, можно достичь сколь угодно большой точности. На теореме Чебышева базируется обширно используемый в статистике выборочный способ (генеральная совокупность исследуемых объектов).

2.    Понятие корреляционных связей

Существуют виды зависимости между математическими явлениями:

1.     Функциональная (жестко детерминированная) зависимость (ежели любому значению величины x подходит единственное значение величины Y и напротив);

2.     Статическая (стохастически детерминированная) зависимость (любому фиксирован­ному значению независящей сменой X подходит никак не одно, а очень много значений зависимой переменной Y, при этом заблаговременно невозможно заявить, какое конкретно значение примет Y.).

Примеров в функциональной связи экономике сможет послужить зависимость производительности труда от размера,  сделанной продукции и издержек рабочей медли. При данном надлежит подметить, что ежели Х – детерминированная, никак не случайная величина, то и функционально зависящая от нее величина  Y также считается детерминированной. Несмотря на это, в экономике нередко имеет место статистическая зависимость, а не функциональная зависимость.

Корреляционная зависимость – это наиболее частый случай статистической зависимости (функциональной зависимостью связаны фактор X и математическое ожидание результативного показателя Y). Статистическая зависимость имеет возможность существовать только исходя из итогов довольно огромного количества надзоров. С помощью поля корреляции можно представить графически статистическую зависимость, при построении которого на оси абсцисс откладывается значение факторного признака X, сообразно  оси ординат – результирующего Y.

Корреляционная связь – частный вариант статистической взаимосвязи, при котором различным значениям переменной подходят различные средние смысла иной переменной.

Ежели исследуется связь меж 2-мя показателями, налицо парная корреляция; ежели исследуется связь меж почти всеми показателями – множественная корреляция. 

Корреляционная связь меж показателями имеет возможность появиться различными способами. Важный первый путь - причинная подневольность результативного показателя от варианты факторного показателя. Примером может послужить то, что знак х — балл оценки плодородия основ, знак у — урожайность сельскохозяйственной культуры. Тут совсем все логично и понятно, какой из этих  знаков  выступает как независящая переменная (причина) х, какой-никакой — как зависимая переменная (итог) у.

Второй путь – это сопряженность, которая образуется при наличии единой предпосылки.

Третий путь – это взаимозависимость показателей, каждый из каких и фактор, и последствие. Примером послужит здесь корреляция меж уровнями производительности труда трудящихся и уровнем оплаты 1 час труда. Если посмотреть на это с одной стороны, то степень получки — последствие производительности труда: нежели она больше, тем больше и плата. Однако, с иной стороны, поставленные тарифные ставки и цены играют подстегивающую роль: при верной системе оплаты они выступают в качестве фактора, от которого находится в зависимости производительность  труда.

4. Теорема Бернулли

Если ɛ сколько угодно небольшое положительное число, то, если соблюдать все условия теоремы, будет равенство:

                                        (4)

Вследствие доказательства данной теоремы,  выходит:

                                                                          (5)

Как видно из выше написанного, теорема Бернулли разъясняет, от чего относительная частота при довольно великом количестве испытаний владеет свойством стойкости, оправдывает  статистическое определение вероятности.

Рассмотрим на примере № 84:  чтобы оценить вероятность того, что если подбрасывать игральную кость 300 раз условная частота появления шести очков отклонится от вероятности данного действия никак не наиболее чем на 0,01.

Решение будет таковым: чтобы оценить событие   применим неравенство из доказательства теоремы Бернулли, где  :

                                     (6)

Рассмотрим на примере № 85: определение вероятности проверки детали на ОТК. Вероятность будет такова – 0,1. Найдем вероятность того, что среди 200 слчаем отобранных деталей, окажутся среди непроверенных от 10 до 30 штук.

Решение будет таковым: для этого нужно будет воспользоваться неравенством Чебышева, определив М[X] и .

M[X] = np = 200*0,1 = 20 и  откуда  = 10.  Исходя из этого, следует:

                                          (7)

5.  Теорема Пуассона

Формула Бернулли комфортна для вычислений только при сравнимо маленьком количестве испытаний. При огромных значениях воспользоваться данной формулой не очень удобно.  Чаще в данных вариантах употребляют формулу Пуассона. Данная формула ориентируется на теорему Пуассона.

Теорема. Если вероятность  наступления события  в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний  достаточно велико, то вероятность наступления события  ровно  раз приближенно равна:

                                                                       (8)

Где    .

Если число испытаний n в схеме независимых испытаний Бернулли стремится к бесконечности и р→0  так, что пр→λ , λ>0, то при любых k=0, 1, 2 … :

                                    (9)

Это означает, что при больших n и малых p вместо громоздких вычислений по точной формуле :

                                                              (10)

можно воспользоваться приближенной формулой

                                                  (11)

т.е. использовать формулу Пуассона для l = np.

На практике пуассоновским приближением пользуются при npq < 9.

6.    Центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема – это теорема в теории вероятностей, которая утверждает, что сумма огромного количества самостоятельных случайных величин имеет распределение недалекое к нормальному. 

Ежели случайные величины x 1, x 2, …, x n, … попарно самостоятельны, идиентичны распределены и имеют окончательную дисперсию, то при п→ умеренно сообразно по x  (- , ),  

                            (12)

Итого традиционной центральной предельной теоремы объективен для обстановок гораздо более общих, нежели абсолютная самостоятельность и однообразная распределённость.

 

 

7.  Теорема Ляпунова

Пусть x ₁, x ₂, …, x _n, …- неограниченная последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями m₁, m₂, …, m_n, … и дисперсиями s ₁², s ₂², …, s_n²… . Обозначим

                      (13)

Тогда

                                           (14)

для любых действительных чисел a и b , где Ф(x) - функция распределения нормального закона.

8. Закон больших чисел

Как было сказано ранее, Закон больших чисел – это теоретическое объяснение данной характеристики случайных явлений.

Если случайные величины x ₁, x ₂, …, x _n, … попарно независимы и                                                                  

                                                                           (15)

то для любого e > 0

                               (16)

 

 

 

8. Заключение

В ходе работы мною был изучен закон больших чисел, а также были рассмотрена группа теорем, входящих в закон. 

Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается совокупность теорем, в которых устанавливается связь между средним арифметическим достаточно большого числа случайных величин и средним арифметическим их математических ожиданий.

Фактическое использование методов теории вероятностей и математической статистики базируется на 2-ух принципах, практически основывающихся на максимальных теоремах: принцип невозможности наступления практически невозможного действия и принцип необходимой убежденности в пришествии действия, возможность которого недалека к 1.

В общественно – финансовом значении перед законодательством огромных количеств понимается совместный принцип, в мощь которого количественные закономерности, свойственные глобальным публичным явлениям, четко появляются только в довольно великом количестве надзоров. Закон больших чисел порожден особенными качествами глобальных социальных явлений.  Последние, в силу своей собственной особенности, имеют отличия друг от друга, но и имеют что то общее, обусловленное их приспособлением к конкретному виду, классу, к конкретным группам.

Тенденции и закономерности, вскрытые с помощью закона больших чисел, - это массовые статистические закономерности.

7.    Список использованной литературы

1.     Колмогоров A.H. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Наука, 1986.;

2.     http://www.dissercat.com/content/zakon-bolshikh-chisel-dlya-otritsatelno-assotsiirovannykh-sluchainykh-velichin;

3.     Прохоров Ю.В. Одна экстремальная задача теории вероятностей // Теория вероятностей и ее применения. — 1959.;

4.     Бернулли Я. О законе больших чисел. — М.: Наука, 1986.;

5.     http://cito-web.yspu.org/link1/metod/theory/node21.html;

6.     http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/tv/theme0/6.asp;

7.     http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/formula-puassona.html.