Инфоурок / Математика / Конспекты / Обобщающий урок по теме: «Теорема синусов и косинусов в задачах с практическим содержанием»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Обобщающий урок по теме: «Теорема синусов и косинусов в задачах с практическим содержанием»

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ ХОД УРОКА.doc

библиотека
материалов



Обобщающий урок по теме:

«Теорема синусов и косинусов в задачах
с практическим содержанием»

Цель:

  1. Обобщить знания, умения и навыки учащихся в решении задач с практическим содержанием.


  1. Показать связь теории с практикой.

ХОД УРОКА

Орг. Момент. Актуализация знаний

  1. Учитель: Ребята! Сегодня у нас обобщающий урок по теме: «Соотношения между сторонами и углами треугольника». (Записать в тетрадях число и тему урока)

  2. Исходя из формулировки темы, какие цели вы должны поставить перед собой на сегодняшний урок?

Ученик: Необходимо повторить весь теоретический материал и применить его при решении задач.

  1. Для этого, какие поставим перед собой цели?

Ученики:

  • Знать теорему синуса, теорему косинуса.

  • Знать табличные значения синуса, косинуса.

  • Уметь решить треугольник, по каким- то трем данным элементам, определяющим треугольник.

  • Уметь применять основные формулы раздела при решении задач.

Разминка

-Сформулировать теорему синусов и записать на доске и в тетрадях соответствующую формулу

- Сформулировать теорему косинусов и записать на доске и в тетрадях соответствующую формулу

- Чему равна сумма углов треугольника?

- Записать на доске формулу для нахождения косинуса угла треугольника.

- Какими формулами приведения мы пользуемся при решении треугольников? Запишите на доске

sin (180-a)= sin a

cos (180-a)= -cos a





2. Два ученика работают у доски по карточкам у доски.

Карточка № 1


Карточка № 2


1. В АВС сторона АВ = 8 см,
С = 60 В = 45.

Найдите сторону АС.

2. Сформулируйте теорему косинусов.


1. В АВС сторона АВ = 7 см,
В = 45 ВС = 5 см.

Найдите сторону АС.

2. Сформулируйте теорему синусов.

Три ученика работают по карточкам № 3-5 индивидуально.

Карточка № 3

Карточка № 4

Карточка № 5

В АВС сторона АВ = 4 см, С= 30 В = 45. Найдите сторону АС.

В PQR сторона PQ = 7,5 м, QR = 9,4 cм, PR = 11,3 м. Какой угол треугольника наибольший, какой наименьший?

В СDМ сторона СD = 10 см, D= 45 М = 60. Найдите сторону СМ.

Стороны треугольника равны 7 см, 9 см. Может ли угол, противолежащий стороне 7 см, быть тупым? Почему?

В KPD сторона PD = 6 см, K= 60 P = 45. Найдите сторону KD.

Стороны треугольника равны 8 см, 6 см. Может ли угол, противолежащий стороне 6 см, быть прямым? Почему?


3. Остальные учащиеся в это время слушают сообщение на тему: «Геометрия в древних практических задачах» (журнал «Математика в школе», № 5. — 1995).

Ученик: На первых этапах своего развития геометрия представляла собой набор полезных, но не связанных между собой правил, формул для решения задач, с которыми люди сталкивались в повседневной жизни.

Лишь много веков спустя учёными Древней Греции была создана теоретическая основа геометрии. Но и тогда прикладная геометрия не утратила своего значения, поскольку была незаменима для землемерия, мореплавания и строительства.

Таким образом, написанные в древности, руководства по геометрии, содержащие «рецепты» решения практических задач, сопровождали человечество на протяжении всей истории существования.

Рhello_html_279c334b.gifешение отдельных старинных задач практического характера могут найти применение и в настоящее время, а поэтому заслуживают внимания. История хранит немало приёмов решения задач на нахождение расстояний, определение расстояний до кораблей, находящихся в море, – одна из таких задач, решаемая двумя способами. Предполагают, что оба способа принадлежат древнегреческому учёному, путешественнику и купцу Фалесу Милетскому (VI век до н.э.).

Задача

1-ый способ основан на одном из признаков равенства треугольников. Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется определить расстояние КА.

Построив в точке А прямой угол, необходимо отложить на берегу два рав­ных отрезка АВ=ВС. В точке С вновь построить, прямой угол, причём наблюдатель должен идти по перпендикуляру до тех пор, пока не дойдет до точки D, из которой корабль К и точка В были бы видны лежащими на одной прямой.

Прямоугольные ВСD и ВAK равны, следовательно, СD = АК, а отрезок СD можно непосредственно измерить.





Уhello_html_50e6d1eb.gifченик: 2-ой способ, получивший название метода триангуляции, нашёл применение в астрономии. С его помощью измерялись расстояния до небесных тел. Этот метод состоит из трёх этапов.

1. Измерение углов и и расстояния АВ.

2. Построение АВК с углами и при вершинах А и В соответственно.

3. Учитывая подобие треугольников АВК и АВК, рассматриваем равенство: АК:АВ = АК: АВ, по известным длинам отрезков АВ и АВ нетрудно найти длину АК.


После этого сообщения учитель собирает самостоятельную работу учеников, а работающие у доски объясняют своё решение и отвечают на вопросы.


4. Сообщения учеников.

1. Решение задачи на определение недоступных расстояний. Задача

Вhello_html_m530c74d.gifершина горы видна из точки А под углом 3842, а при приближении к горе на 200м вершина стала видна под углом 42. Найдите высоту горы.

Дано: АВ = 200м,

САВ = = 3842,

СВD = = 42, СD

hello_html_m43a470c1.gifНайти СD.

Решение:

1. Из СВА по теореме синусов имеем равенство: hello_html_m28f88265.gif

2. Угол – внешний угол АВС, поэтому = + , откуда = .

3. hello_html_b53dad1.gif.

4. Из СВD находим hello_html_38f45af3.gif(м)

Ответ: hello_html_m45b80bd1.gifм


2. Решение задачи на движение

В 7 часов утра пассажирский самолёт вылетел из города А. После получасовой остановки в городе В в 8 часов 10 минут самолёт сделал поворот на 35 вправо и в 9 часов совершил посадку в городе С.

Найти расстояние между городами А и С, если средняя скорость самолёта на каждом участке полёта была равна 320км/час.

Дhello_html_133936e3.pngано: СВD = 35,

V = 320 км/час, t1 = 7 ч.,

t2 = 8 ч. 10 мин, t3 = 9 ч.

tост = 30 мин.

Найти АС.

Решение:

1. hello_html_c601475.gif; hello_html_18a7a695.gif (км)

2. hello_html_2f542ecf.gif; hello_html_48f5980a.gif (км)

3. АВС + DВС = 180 (как смежные)

АВС = 180 – 35, АВС = 145

По теореме косинусов из АСВ находим АС:

АС2 = АВ2 + ВС2 – 2АВ * ВС cos 145

Ответ: АС 458 км.


5. Учитель:  Подведем итог этого этапа урока, ответим на вопросы:

1. Что значит решить треугольник?

Ученик : Решить треугольник означает определить стороны, углы и другие элементы треугольника, если даны некоторые из них.

2. Какие теоремы, таблицы используем при этом?

Ученик: теоремы синусов, косинусов, теорему Пифагора, теорему о сумме углов треугольника. Используем таблицы значений синусов и косинусов.

3. Какие типы задач при этом можно выделить?

Ученик: по стороне и двум прилежащим к ней углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам


  1. Самостоятельная работа по группам.

Учитель: Вам предстоит на практике показать ваши умения решать прикладные задачи.


Цель: проверить умение учащихся применять знания по изученной теме при решении задач

Группа 1

Нhello_html_6da6ddfd.gifайти расстояние от точки А, находящейся на берегу, до корабля К.

Дано: А = , В = , АВ = а.

Найти АК.

Решение:

К = 180 – ( + ), из АВК по теореме синусов находим расстояние АК: hello_html_348cddc3.gif, hello_html_m493c3e74.gif.







Гhello_html_c7e907b.gifруппа 2: Найти расстояние от острова, находящегося на озере, до пункта В на берегу (остров О принят за точку).

Дано: А = ,

В = ,

АВ = в.

Найти ОВ.

Решение:

О = 180 – ( + ), из АОВ по теореме синусов находим расстояние ОВ: hello_html_5df9371e.gif, hello_html_m69f6ef59.gif.

Военно-прикладные задачи.


Группа 3

hello_html_m3a447df4.png

hello_html_1ddb988a.png






Группа 4

hello_html_m354226de.png


hello_html_m473d570e.png

Группа 5

hello_html_ec97d69.png


hello_html_m72345dfb.png




Группа 6

hello_html_4f16ba40.png



hello_html_72f9372c.png

Проверка решений по слайдам.

Рефлексия на листочках

Ребята сдают листочки с работами в группах учителю.


Итак, где можно применить полученные знания на практике и в жизни?

Учитель:  Существует множество областей, в которых применяются тригонометрия и тригонометрические функции. Например, метод триангуляции используется в астрономии для измерения расстояния до ближайших звезд, в географии для измерения расстояний между объектами, а также в спутниковых навигационных системахСинус и косинус имеют фундаментальное значение для теории периодических функций, например при описании звуковых и световых волн.
Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов, когда требуется сферическая тригонометрия), в морской и воздушной навигации, в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятностей, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации (например, компьютерная томография и ультразвук), в аптеках, в химии, в теории чисел (следовательно, и в криптологии), в сейсмологии, в метеорологии, в океанографии, во многих физических науках, в межевании и геодезии, в архитектуре, в фонетике, в экономике, в электротехнике, в машиностроении, в гражданском строительстве, в компьютерной графике, в картографии, в кристаллографии, в разработке игр и многих других областях.

В старших классах каждый школьник
Изучает треугольник.
Три каких-то уголка,
А работы – на века.

Учитель:  Сегодня мы с вами обобщили тему «Решение треугольника». Кроме того узнали где можно применить полученные знания на практике и в жизни. Запишите домашнее задание.

Оценки за урок
– Спасибо за урок! 



Дополнительные вопросы:

1. Почему теорема косинусов является обобщённой теоремой Пифагора? (Когда треугольник АВС прямоугольный с прямым углом при вершине С; hello_html_2e569b65.pngC = 90º, cos 90º = 0 => а2 + b2 = c2).

2. Как, используя теорему косинусов определить вид треугольника? (достаточно определить знак косинуса, соответствующего наибольшему углу, если сторона а наибольшая, то достаточно определить знак величины в2 + с2 – а2)

3. В треугольнике АВС,  АВ = 8,4 cм,  ВС = 13,2 см,  АС = 7,5 см. Какой угол треугольника наибольший, какой наименьший?

4. Стороны треугольника 12 см, 15 см, 9 см. Может ли угол, противолежащий стороне 9 см, быть тупым? Почему?

5. Стороны треугольника 9 см и 12 см. Может ли угол, противолежащий стороне равной 9 см, быть прямым? Почему?


10


Выбранный для просмотра документ основная.ppt

библиотека
материалов
Знать теорему синуса, теорему косинуса. Знать табличные значения синуса, коси...
Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется опред...
Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется опред...
Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется опред...
Вершина горы видна из точки А под углом 3842, а при приближении к горе на 2...
Вершина горы видна из точки А под углом 3842, а при приближении к горе на 2...
Задача на движение В 7 часов утра пассажирский самолёт вылетел из города А. П...
Задача на движение В 7 часов утра пассажирский самолёт вылетел из города А. П...
9 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Знать теорему синуса, теорему косинуса. Знать табличные значения синуса, коси
Описание слайда:

Знать теорему синуса, теорему косинуса. Знать табличные значения синуса, косинуса. Уметь решить треугольник, по каким- то трем данным элементам, определяющим треугольник. Уметь применять основные формулы раздела при решении задач.

№ слайда 3 Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется опред
Описание слайда:

Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется определить расстояние КА. 1-ый способ основан на одном из признаков равенства треугольников.

№ слайда 4 Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется опред
Описание слайда:

Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется определить расстояние КА. 2-ой способ, получил название метода триангуляции.

№ слайда 5 Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется опред
Описание слайда:

Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется определить расстояние КА. 1. Измерение углов  и  и расстояния АВ. 2. Построение треугольника АВК с углами  и  при вершинах А и В соответственно. Учитывая подобие треугольников АВК и АВК, рассматриваем равенство: АК:АВ = АК: АВ, АК=АВ* АК: АВ

№ слайда 6 Вершина горы видна из точки А под углом 3842, а при приближении к горе на 2
Описание слайда:

Вершина горы видна из точки А под углом 3842, а при приближении к горе на 200м вершина стала видна под углом 42. Найдите высоту горы

№ слайда 7 Вершина горы видна из точки А под углом 3842, а при приближении к горе на 2
Описание слайда:

Вершина горы видна из точки А под углом 3842, а при приближении к горе на 200м вершина стала видна под углом 42. Найдите высоту горы

№ слайда 8 Задача на движение В 7 часов утра пассажирский самолёт вылетел из города А. П
Описание слайда:

Задача на движение В 7 часов утра пассажирский самолёт вылетел из города А. После получасовой остановки в городе В в 8 часов 10 минут самолёт сделал поворот на 35 вправо и в 9 часов совершил посадку в городе С. Найти расстояние между городами А и С, если средняя скорость самолёта на каждом участке полёта была равна 320км/час.

№ слайда 9 Задача на движение В 7 часов утра пассажирский самолёт вылетел из города А. П
Описание слайда:

Задача на движение В 7 часов утра пассажирский самолёт вылетел из города А. После получасовой остановки в городе В в 8 часов 10 минут самолёт сделал поворот на 35 вправо и в 9 часов совершил посадку в городе С. Найти расстояние между городами А и С, если средняя скорость самолёта на каждом участке полёта была равна 320км/час.

Выбранный для просмотра документ прикл. задачи.ppt

библиотека
материалов
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними. Решение треугольник...
Задача 1
Задача 1 Задача 2
Задача 1
С вертолета, летящего горизонтально и прямолинейно на высоте, определены угл...
Подразделение в обороне занимает практически треугольный участок местности. С...
В условиях плохой видимости с береговых маяков K и M, расстояние межу которым...
75 км Сейсмической станцией А зафиксированы сильные подземные толчки на расст...
13 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними. Решение треугольник
Описание слайда:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними. Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам Решение треугольника по трем сторонам.

№ слайда 3 Задача 1
Описание слайда:

Задача 1

№ слайда 4 Задача 1 Задача 2
Описание слайда:

Задача 1 Задача 2

№ слайда 5 Задача 1
Описание слайда:

Задача 1

№ слайда 6 С вертолета, летящего горизонтально и прямолинейно на высоте, определены угл
Описание слайда:

С вертолета, летящего горизонтально и прямолинейно на высоте, определены углы А= и В= , обозначающие голову и хвост колонны войск противника длиной 800м, движущейся по прямолинейному участку маршрута. Определить угол D и высоту на которой летит вертолет AD.

№ слайда 7
Описание слайда:

№ слайда 8 Подразделение в обороне занимает практически треугольный участок местности. С
Описание слайда:

Подразделение в обороне занимает практически треугольный участок местности. Стороны треугольника равны соответственно 3,8 км, 1,7 км, 2,9 км. Наибольшая сторона треугольника является передним краем обороны. Определить углы между подразделениями. С В А 1,7 км 3,8 км 2,9 км

№ слайда 9
Описание слайда:

№ слайда 10 В условиях плохой видимости с береговых маяков K и M, расстояние межу которым
Описание слайда:

В условиях плохой видимости с береговых маяков K и M, расстояние межу которыми 15 морских миль обнаружено Корабль «Адмирал Чабаненко»- L. Определите расстояние от корабля до каждого маяка, если определены углы LKM и LMK 30 и 45 градусов.

№ слайда 11
Описание слайда:

№ слайда 12 75 км Сейсмической станцией А зафиксированы сильные подземные толчки на расст
Описание слайда:

75 км Сейсмической станцией А зафиксированы сильные подземные толчки на расстоянии 75 км от станции под углом 30 градусов к поверхности Земли. Между станцией и вулканом 48км. Определите глубину эпицентра землетрясения h. 48 км

№ слайда 13
Описание слайда:

Краткое описание документа:

Обобщающий урок по теме: «Теорема синусов и косинусов в задачах
с практическим содержанием»

Цели урока: 1) Обобщить знания, умения и навыки учащихся в  решении задач с практическим содержанием. 2)Показать связь теории с практикой.

На уроке  учащиеся повторяют и систематизируют пройденный материал по данной теме, узнают новые факты из истории математики. Ученики готовят заранее сообщенияна тему: «Геометрия в древних практических задачах» и представляют их на уроке с помощью презентации. Далее работа в группах. Ребята решают прикладные задачи, используемые в военном деле.

 На уроке я использовала две презентации:  1)основная и 2)прикладные задачи для работы в группах и последующей их проверки. Задания для групп распечатываются и выдаются заранее каждой группе (6 групп)

Домашнее задание предлагаю учителям подобрать на свое усмотрение.

 

Если остается время на уроке, то предусмотрены дополнительные вопросы.

Общая информация

Номер материала: 426994

Похожие материалы