Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Обобщающий урок по теме: «Теорема синусов и косинусов в задачах с практическим содержанием»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ от 03.07.2016 все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.


Подать заявку на курс
  • Математика

Обобщающий урок по теме: «Теорема синусов и косинусов в задачах с практическим содержанием»

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ ХОД УРОКА.doc

библиотека
материалов



Обобщающий урок по теме:

«Теорема синусов и косинусов в задачах
с практическим содержанием»

Цель:

  1. Обобщить знания, умения и навыки учащихся в решении задач с практическим содержанием.


  1. Показать связь теории с практикой.

ХОД УРОКА

Орг. Момент. Актуализация знаний

  1. Учитель: Ребята! Сегодня у нас обобщающий урок по теме: «Соотношения между сторонами и углами треугольника». (Записать в тетрадях число и тему урока)

  2. Исходя из формулировки темы, какие цели вы должны поставить перед собой на сегодняшний урок?

Ученик: Необходимо повторить весь теоретический материал и применить его при решении задач.

  1. Для этого, какие поставим перед собой цели?

Ученики:

  • Знать теорему синуса, теорему косинуса.

  • Знать табличные значения синуса, косинуса.

  • Уметь решить треугольник, по каким- то трем данным элементам, определяющим треугольник.

  • Уметь применять основные формулы раздела при решении задач.

Разминка

-Сформулировать теорему синусов и записать на доске и в тетрадях соответствующую формулу

- Сформулировать теорему косинусов и записать на доске и в тетрадях соответствующую формулу

- Чему равна сумма углов треугольника?

- Записать на доске формулу для нахождения косинуса угла треугольника.

- Какими формулами приведения мы пользуемся при решении треугольников? Запишите на доске

sin (180-a)= sin a

cos (180-a)= -cos a





2. Два ученика работают у доски по карточкам у доски.

Карточка № 1


Карточка № 2


1. В АВС сторона АВ = 8 см,
С = 60 В = 45.

Найдите сторону АС.

2. Сформулируйте теорему косинусов.


1. В АВС сторона АВ = 7 см,
В = 45 ВС = 5 см.

Найдите сторону АС.

2. Сформулируйте теорему синусов.

Три ученика работают по карточкам № 3-5 индивидуально.

Карточка № 3

Карточка № 4

Карточка № 5

В АВС сторона АВ = 4 см, С= 30 В = 45. Найдите сторону АС.

В PQR сторона PQ = 7,5 м, QR = 9,4 cм, PR = 11,3 м. Какой угол треугольника наибольший, какой наименьший?

В СDМ сторона СD = 10 см, D= 45 М = 60. Найдите сторону СМ.

Стороны треугольника равны 7 см, 9 см. Может ли угол, противолежащий стороне 7 см, быть тупым? Почему?

В KPD сторона PD = 6 см, K= 60 P = 45. Найдите сторону KD.

Стороны треугольника равны 8 см, 6 см. Может ли угол, противолежащий стороне 6 см, быть прямым? Почему?


3. Остальные учащиеся в это время слушают сообщение на тему: «Геометрия в древних практических задачах» (журнал «Математика в школе», № 5. — 1995).

Ученик: На первых этапах своего развития геометрия представляла собой набор полезных, но не связанных между собой правил, формул для решения задач, с которыми люди сталкивались в повседневной жизни.

Лишь много веков спустя учёными Древней Греции была создана теоретическая основа геометрии. Но и тогда прикладная геометрия не утратила своего значения, поскольку была незаменима для землемерия, мореплавания и строительства.

Таким образом, написанные в древности, руководства по геометрии, содержащие «рецепты» решения практических задач, сопровождали человечество на протяжении всей истории существования.

Рhello_html_279c334b.gifешение отдельных старинных задач практического характера могут найти применение и в настоящее время, а поэтому заслуживают внимания. История хранит немало приёмов решения задач на нахождение расстояний, определение расстояний до кораблей, находящихся в море, – одна из таких задач, решаемая двумя способами. Предполагают, что оба способа принадлежат древнегреческому учёному, путешественнику и купцу Фалесу Милетскому (VI век до н.э.).

Задача

1-ый способ основан на одном из признаков равенства треугольников. Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется определить расстояние КА.

Построив в точке А прямой угол, необходимо отложить на берегу два рав­ных отрезка АВ=ВС. В точке С вновь построить, прямой угол, причём наблюдатель должен идти по перпендикуляру до тех пор, пока не дойдет до точки D, из которой корабль К и точка В были бы видны лежащими на одной прямой.

Прямоугольные ВСD и ВAK равны, следовательно, СD = АК, а отрезок СD можно непосредственно измерить.





Уhello_html_50e6d1eb.gifченик: 2-ой способ, получивший название метода триангуляции, нашёл применение в астрономии. С его помощью измерялись расстояния до небесных тел. Этот метод состоит из трёх этапов.

1. Измерение углов и и расстояния АВ.

2. Построение АВК с углами и при вершинах А и В соответственно.

3. Учитывая подобие треугольников АВК и АВК, рассматриваем равенство: АК:АВ = АК: АВ, по известным длинам отрезков АВ и АВ нетрудно найти длину АК.


После этого сообщения учитель собирает самостоятельную работу учеников, а работающие у доски объясняют своё решение и отвечают на вопросы.


4. Сообщения учеников.

1. Решение задачи на определение недоступных расстояний. Задача

Вhello_html_m530c74d.gifершина горы видна из точки А под углом 3842, а при приближении к горе на 200м вершина стала видна под углом 42. Найдите высоту горы.

Дано: АВ = 200м,

САВ = = 3842,

СВD = = 42, СD

hello_html_m43a470c1.gifНайти СD.

Решение:

1. Из СВА по теореме синусов имеем равенство: hello_html_m28f88265.gif

2. Угол – внешний угол АВС, поэтому = + , откуда = .

3. hello_html_b53dad1.gif.

4. Из СВD находим hello_html_38f45af3.gif(м)

Ответ: hello_html_m45b80bd1.gifм


2. Решение задачи на движение

В 7 часов утра пассажирский самолёт вылетел из города А. После получасовой остановки в городе В в 8 часов 10 минут самолёт сделал поворот на 35 вправо и в 9 часов совершил посадку в городе С.

Найти расстояние между городами А и С, если средняя скорость самолёта на каждом участке полёта была равна 320км/час.

Дhello_html_133936e3.pngано: СВD = 35,

V = 320 км/час, t1 = 7 ч.,

t2 = 8 ч. 10 мин, t3 = 9 ч.

tост = 30 мин.

Найти АС.

Решение:

1. hello_html_c601475.gif; hello_html_18a7a695.gif (км)

2. hello_html_2f542ecf.gif; hello_html_48f5980a.gif (км)

3. АВС + DВС = 180 (как смежные)

АВС = 180 – 35, АВС = 145

По теореме косинусов из АСВ находим АС:

АС2 = АВ2 + ВС2 – 2АВ * ВС cos 145

Ответ: АС 458 км.


5. Учитель:  Подведем итог этого этапа урока, ответим на вопросы:

1. Что значит решить треугольник?

Ученик : Решить треугольник означает определить стороны, углы и другие элементы треугольника, если даны некоторые из них.

2. Какие теоремы, таблицы используем при этом?

Ученик: теоремы синусов, косинусов, теорему Пифагора, теорему о сумме углов треугольника. Используем таблицы значений синусов и косинусов.

3. Какие типы задач при этом можно выделить?

Ученик: по стороне и двум прилежащим к ней углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам


  1. Самостоятельная работа по группам.

Учитель: Вам предстоит на практике показать ваши умения решать прикладные задачи.


Цель: проверить умение учащихся применять знания по изученной теме при решении задач

Группа 1

Нhello_html_6da6ddfd.gifайти расстояние от точки А, находящейся на берегу, до корабля К.

Дано: А = , В = , АВ = а.

Найти АК.

Решение:

К = 180 – ( + ), из АВК по теореме синусов находим расстояние АК: hello_html_348cddc3.gif, hello_html_m493c3e74.gif.







Гhello_html_c7e907b.gifруппа 2: Найти расстояние от острова, находящегося на озере, до пункта В на берегу (остров О принят за точку).

Дано: А = ,

В = ,

АВ = в.

Найти ОВ.

Решение:

О = 180 – ( + ), из АОВ по теореме синусов находим расстояние ОВ: hello_html_5df9371e.gif, hello_html_m69f6ef59.gif.

Военно-прикладные задачи.


Группа 3

hello_html_m3a447df4.png

hello_html_1ddb988a.png






Группа 4

hello_html_m354226de.png


hello_html_m473d570e.png

Группа 5

hello_html_ec97d69.png


hello_html_m72345dfb.png




Группа 6

hello_html_4f16ba40.png



hello_html_72f9372c.png

Проверка решений по слайдам.

Рефлексия на листочках

Ребята сдают листочки с работами в группах учителю.


Итак, где можно применить полученные знания на практике и в жизни?

Учитель:  Существует множество областей, в которых применяются тригонометрия и тригонометрические функции. Например, метод триангуляции используется в астрономии для измерения расстояния до ближайших звезд, в географии для измерения расстояний между объектами, а также в спутниковых навигационных системахСинус и косинус имеют фундаментальное значение для теории периодических функций, например при описании звуковых и световых волн.
Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов, когда требуется сферическая тригонометрия), в морской и воздушной навигации, в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятностей, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации (например, компьютерная томография и ультразвук), в аптеках, в химии, в теории чисел (следовательно, и в криптологии), в сейсмологии, в метеорологии, в океанографии, во многих физических науках, в межевании и геодезии, в архитектуре, в фонетике, в экономике, в электротехнике, в машиностроении, в гражданском строительстве, в компьютерной графике, в картографии, в кристаллографии, в разработке игр и многих других областях.

В старших классах каждый школьник
Изучает треугольник.
Три каких-то уголка,
А работы – на века.

Учитель:  Сегодня мы с вами обобщили тему «Решение треугольника». Кроме того узнали где можно применить полученные знания на практике и в жизни. Запишите домашнее задание.

Оценки за урок
– Спасибо за урок! 



Дополнительные вопросы:

1. Почему теорема косинусов является обобщённой теоремой Пифагора? (Когда треугольник АВС прямоугольный с прямым углом при вершине С; hello_html_2e569b65.pngC = 90º, cos 90º = 0 => а2 + b2 = c2).

2. Как, используя теорему косинусов определить вид треугольника? (достаточно определить знак косинуса, соответствующего наибольшему углу, если сторона а наибольшая, то достаточно определить знак величины в2 + с2 – а2)

3. В треугольнике АВС,  АВ = 8,4 cм,  ВС = 13,2 см,  АС = 7,5 см. Какой угол треугольника наибольший, какой наименьший?

4. Стороны треугольника 12 см, 15 см, 9 см. Может ли угол, противолежащий стороне 9 см, быть тупым? Почему?

5. Стороны треугольника 9 см и 12 см. Может ли угол, противолежащий стороне равной 9 см, быть прямым? Почему?


10


Выбранный для просмотра документ основная.ppt

библиотека
материалов
Знать теорему синуса, теорему косинуса. Знать табличные значения синуса, коси...
Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется опред...
Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется опред...
Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется опред...
Вершина горы видна из точки А под углом 3842, а при приближении к горе на 2...
Вершина горы видна из точки А под углом 3842, а при приближении к горе на 2...
Задача на движение В 7 часов утра пассажирский самолёт вылетел из города А. П...
Задача на движение В 7 часов утра пассажирский самолёт вылетел из города А. П...
9 1

"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Знать теорему синуса, теорему косинуса. Знать табличные значения синуса, коси
Описание слайда:

Знать теорему синуса, теорему косинуса. Знать табличные значения синуса, косинуса. Уметь решить треугольник, по каким- то трем данным элементам, определяющим треугольник. Уметь применять основные формулы раздела при решении задач.

№ слайда 3 Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется опред
Описание слайда:

Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется определить расстояние КА. 1-ый способ основан на одном из признаков равенства треугольников.

№ слайда 4 Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется опред
Описание слайда:

Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется определить расстояние КА. 2-ой способ, получил название метода триангуляции.

№ слайда 5 Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется опред
Описание слайда:

Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется определить расстояние КА. 1. Измерение углов  и  и расстояния АВ. 2. Построение треугольника АВК с углами  и  при вершинах А и В соответственно. Учитывая подобие треугольников АВК и АВК, рассматриваем равенство: АК:АВ = АК: АВ, АК=АВ* АК: АВ

№ слайда 6 Вершина горы видна из точки А под углом 3842, а при приближении к горе на 2
Описание слайда:

Вершина горы видна из точки А под углом 3842, а при приближении к горе на 200м вершина стала видна под углом 42. Найдите высоту горы

№ слайда 7 Вершина горы видна из точки А под углом 3842, а при приближении к горе на 2
Описание слайда:

Вершина горы видна из точки А под углом 3842, а при приближении к горе на 200м вершина стала видна под углом 42. Найдите высоту горы

№ слайда 8 Задача на движение В 7 часов утра пассажирский самолёт вылетел из города А. П
Описание слайда:

Задача на движение В 7 часов утра пассажирский самолёт вылетел из города А. После получасовой остановки в городе В в 8 часов 10 минут самолёт сделал поворот на 35 вправо и в 9 часов совершил посадку в городе С. Найти расстояние между городами А и С, если средняя скорость самолёта на каждом участке полёта была равна 320км/час.

№ слайда 9 Задача на движение В 7 часов утра пассажирский самолёт вылетел из города А. П
Описание слайда:

Задача на движение В 7 часов утра пассажирский самолёт вылетел из города А. После получасовой остановки в городе В в 8 часов 10 минут самолёт сделал поворот на 35 вправо и в 9 часов совершил посадку в городе С. Найти расстояние между городами А и С, если средняя скорость самолёта на каждом участке полёта была равна 320км/час.

Выбранный для просмотра документ прикл. задачи.ppt

библиотека
материалов
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними. Решение треугольник...
Задача 1
Задача 1 Задача 2
Задача 1
С вертолета, летящего горизонтально и прямолинейно на высоте, определены угл...
Подразделение в обороне занимает практически треугольный участок местности. С...
В условиях плохой видимости с береговых маяков K и M, расстояние межу которым...
75 км Сейсмической станцией А зафиксированы сильные подземные толчки на расст...
13 1

"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2 Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними. Решение треугольник
Описание слайда:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними. Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам Решение треугольника по трем сторонам.

№ слайда 3 Задача 1
Описание слайда:

Задача 1

№ слайда 4 Задача 1 Задача 2
Описание слайда:

Задача 1 Задача 2

№ слайда 5 Задача 1
Описание слайда:

Задача 1

№ слайда 6 С вертолета, летящего горизонтально и прямолинейно на высоте, определены угл
Описание слайда:

С вертолета, летящего горизонтально и прямолинейно на высоте, определены углы А= и В= , обозначающие голову и хвост колонны войск противника длиной 800м, движущейся по прямолинейному участку маршрута. Определить угол D и высоту на которой летит вертолет AD.

№ слайда 7
Описание слайда:

№ слайда 8 Подразделение в обороне занимает практически треугольный участок местности. С
Описание слайда:

Подразделение в обороне занимает практически треугольный участок местности. Стороны треугольника равны соответственно 3,8 км, 1,7 км, 2,9 км. Наибольшая сторона треугольника является передним краем обороны. Определить углы между подразделениями. С В А 1,7 км 3,8 км 2,9 км

№ слайда 9
Описание слайда:

№ слайда 10 В условиях плохой видимости с береговых маяков K и M, расстояние межу которым
Описание слайда:

В условиях плохой видимости с береговых маяков K и M, расстояние межу которыми 15 морских миль обнаружено Корабль «Адмирал Чабаненко»- L. Определите расстояние от корабля до каждого маяка, если определены углы LKM и LMK 30 и 45 градусов.

№ слайда 11
Описание слайда:

№ слайда 12 75 км Сейсмической станцией А зафиксированы сильные подземные толчки на расст
Описание слайда:

75 км Сейсмической станцией А зафиксированы сильные подземные толчки на расстоянии 75 км от станции под углом 30 градусов к поверхности Земли. Между станцией и вулканом 48км. Определите глубину эпицентра землетрясения h. 48 км

№ слайда 13
Описание слайда:

Краткое описание документа:

Обобщающий урок по теме: «Теорема синусов и косинусов в задачах
с практическим содержанием»

Цели урока: 1) Обобщить знания, умения и навыки учащихся в  решении задач с практическим содержанием. 2)Показать связь теории с практикой.

На уроке  учащиеся повторяют и систематизируют пройденный материал по данной теме, узнают новые факты из истории математики. Ученики готовят заранее сообщенияна тему: «Геометрия в древних практических задачах» и представляют их на уроке с помощью презентации. Далее работа в группах. Ребята решают прикладные задачи, используемые в военном деле.

 На уроке я использовала две презентации:  1)основная и 2)прикладные задачи для работы в группах и последующей их проверки. Задания для групп распечатываются и выдаются заранее каждой группе (6 групп)

Домашнее задание предлагаю учителям подобрать на свое усмотрение.

 

Если остается время на уроке, то предусмотрены дополнительные вопросы.

Автор
Дата добавления 07.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1373
Номер материала 426994
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх