План-конспект урока математики в 6 классе

       Тема: «Задачи на проценты»

Тип урока: урок обобщения и повторения с использованием межпредметных связей

Цели урока: Образовательные:

                         - повторить понятие процента от числа;

                           - отработать навык решения текстовых задач, связанных с отношением и с пропорциональностью величин, дробями и процентами;

                           Развивающие:

                           - сформировать умение интерпретации результатов решения задач с учетом реальных свойств, процессов и явлений.

                           - моделирование практических ситуаций и исследование построенных моделей с использованием аппарата алгебры;

                             - формирование навыка работы со статистическими данными, обобщения и выделения главного;

                          Воспитательные:

                          - способствовать развитию информационной культуры учащихся;

                          - способствовать развитию правовой культуры учащихся;

                          - воспитывать понимание учащимися своего правового статуса Жильца, Потребителя, Заказчика жилищно-коммунальных услуг, необходимость по-хозяйски бережно и ответственно относиться к своему дому, двору, квартире.

Формы работы: 1-я часть урока – традиционная, 2 часть – практическая исследовательская работа.

Оборудование:

·       ПК, мультимедийный проектор;

·       карточки для индивидульной работы;

Используемая литература: 1) Конституция РФ

                                                  2) Жилищный Кодекс РФ.

                                                  3)«Алгебра». Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений.Под редакцией С.А.Теляковского. Авторы: Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк и др., Москва, «Просвещение» 2007г.

    4) «Алгебра 9 класс» Подготовка к государственной итоговой аттестации 2010. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко. Учебно-методическое пособие. Ростов-на Дону, «Легион-М»,2010г.

Структура урока:

·       Организационное начало. Мотивация. Сообщение темы урока.

·       Актуализация знаний: подготовка к основному этапу.

·       Обобщение и систематизация знаний в форме исследовательской работы

·       Рефлексия

·       Подведение итогов урока

·       Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

Ход урока

Вступительное слово учителя. Постановка целей и задач урока.  

     С самых давних времен одной из потребностей человека являлось создание и обустройство своего жилища, своего дома. Правда, жилищем первоначально были пещеры, гроты, навесы. Научившись строить жилище, люди вырабатывали правила его использования, строительства, поддержания в нем порядка. С возникновением права стала развиваться совокупность юридических норм, которая регулировала отношения по использованию жилья или жилищного фонда.

    Одной из задач математики является моделирование практических ситуаций и исследование построенных моделей. Сегодня на уроке мы будем решать задачи, связанные с правовыми знаниями о жилище, необходимыми в жизни.         Для решения этих задач нам будет необходимо вспомнить такое понятие, как процент от числа, процентное отношение, среднее значение результатов измерений.

Фронтальный опрос:

-Что такое процент?

Ответ: - это сотая часть от некоторой величины;

- Как найти  несколько процентов от числа?

Ответ: - чтобы найти несколько процентов от числа, надо проценты выразить в виде дроби и умножить на данное число;

- Как найти, сколько процентов одно число составляет от другого?

Ответ: чтобы найти, сколько процентов составляет 1-е число от 2-го, надо найти отношение 1-го числа ко 2-му, умноженное на 100%-тов;

- Как найти, на сколько одно число больше или меньше другого?

Ответ: чтобы найти, на сколько 1-е число больше или меньше 2-го, надо из большего числа вычесть меньшее, а затем вычислить, сколько процентов составляет полученная разность от 2-го числа.

Устно:

 Найти 20% от 150р.

Ответ: 0,2 умножить на 150, получим 30р;

Или 150:5=30(р), так как 20% от числа – это его 5-я часть;

           Найти  15% от  60р.

Ответ: 0,15 умножить на 60, получим 9р.

  Найти  80% от 120р.

Ответ: 0,8 умножить на 120, получим 96р.

  Как легче найти 20%,25%,50% от числа?

Ответы: 20%-это 5-я часть, можно число разделить на 5,

               25% -это 4-я часть, число разделим на 4;

               50% -это половина, число разделим на 2.

Устно: Сколько процентов площади круга выделено? Выберите верный ответ:

   70%,  50%, 150%, 20%.

Ответ: 20%, так как выделено меньше четвертой части.

Найдите,  на сколько процентов второе число больше первого:

12 и 15

Ответ: Найдем разность 15-12=3, затем 3:15=1\5, умножим на 100%, получим

20%. Таким образом, число 15 больше числа 12 на 20%.

Выступление учащихся по домашнему заданию.

  1 группа учащихся выполняла задание:

Вычислить, сколько процентов дохода семьи составляет оплата коммунальных услуг за февраль месяц, при условии, что семья проживает в частном доме.  Группа их 3-х человек получила следующие результаты: 10%, 8%, 12%.

Среднее значение – 10%.

Группа из 8 человек проживает в приватизированной квартире. Квартплата составляет в среднем 15%.

Следующая группа учащихся проживает в квартирах по договору найма жилого помещения. Это 5 учащихся. Результаты следующие: 8%, 7%, 12%, 10%, 16%. Среднее значение – 10,6%.

Полученные статистические данные представим на диаграмме:

В тетрадях учащиеся строят следующую диаграмму, позволяющую проанализировать, сколько процентов составляет плата за жилье от дохода семьи:

Вывод: Наибольший процент платы за жилье в феврале составила плата для семей, имеющих приватизированную квартиру.

  Найдем среднее значение платы за жилье в феврале. Учащиеся самостоятельно вычисляют ответ:  ≈11,87% от дохода семьи.

  Учитель формулирует цели практической исследовательской работы:

Работая в группах и решая практические задачи, выяснить, каким образом каждый гражданин России может реализовать право на жилище, закрепленное Конституцией РФ и регулируемое Жилищным кодексом РФ.

1группа учащихся:

  Средняя рыночная стоимость частного домовладения площадью 45м² с участком земли составляет около 2,5 млн р. Банк предлагает льготный кредит на покупку дома под 12% на 30 лет. Какую сумму предстоит выплачивать клиенту ежегодно, если первоначальный взнос составит 100тыс р. Каждый год не происходит перерасчета оставшейся суммы с учетом выплаченной. Однако, банк оставляет за собой право раз в 5 лет увеличивать выплату на 2% для погашения инфляции.

2 группа учащихся:

  Необходимо купить квартиру в строящемся доме площадью 45 м². квадратный метр жилья стоит 25000р. Доход от бизнеса предпринимателя составляет 15% в год. Первоначальный капитал 450000р. Через сколько лет этот человек сможет купить квартиру?

3 группа учащихся:

   Договор найма жилого помещения предполагает, что ежемесячно за однокомнатную квартиру необходимо заплатить собственнику жилья 9 000р., кроме того, 10% от оставшегося дохода семьи составит плата за коммунальные услуги. Ежемесячный доход семьи равен 25 000р. Договор найма  жилого помещения предусматривает ремонт на сумму 50 000 р. Сколько процентов годового дохода семьи составит плата за жилье?

Решение задачи 1 группы:

1)    2500000 - 100000 = 2400000 (р) – осталось выплатить.

2)    2400000: 30=80000 (р) – выплата без учета процентов;

3)    0,12*80000= 1152 (р) - надбавка к платежу;

4)    80000+1152 = 81152 (р) – выплата с учетом процентов;

5)    81152*5 = 405760 (р) – за первые 5 лет.

6)    1,14* 80000 = 91200 (р) – ежегодная выплата в последующие 5 лет;

7)    91200*5=456000 (р) - за следующие 5 лет.

8)    1,16*80000= 92800 (р) – ежегодно;

9)    92800*5 = 464000(р) – за следующие 5 лет;

  10)      1,18*80000 = 944000 (р) – ежегодно;

11)                       94400*5= 472000 (р) – за следующие 5 лет;

12)                       1,2*80000*5 + 1.22*80000*5 = 2,42*400000 = 968000 (р)- за оставшиеся 10 лет;

13)       Общая сумма: 405760 +456000 +464000 +472000 + 968000 =2765760 (р)

13)                       Общая сумма с первоначальным взносом: 2 865 760 (р).

Ответ: Общая сумма выплаты составит  2 865 760 р.

Решение задачи 2 группы:

1)    Найдем стоимость квартиры:

45*25000 = 1 125 000 (р);

2)    Рассчитаем доход предпринимателя:

450000+ 0,15*450000 = 450000+ 67500 = 517 500  (р) – через год;

3)    517 500 + 517 500*0,15 = 595 125 (р) – через 2 года;

Воспользуемся формулой п-го члена геометрической  прогрессии:

bn = b1*qⁿ−1 .

b1 = 595125, q = 1,15,

b4 = 595 125* 1,15³≈ 595 125* 1,52≈ 1 375 768 (р)- через  6 лет;

Ответ: Бизнесмен сможет купить квартиру менее чем через 6 лет.

   Решение задачи 3 группы.

1)    25000 – 9000 = 16000 (р) – оставшийся доход семьи;

2)    16 000 : 10 = 1600 (р) –плата за коммунальные услуги;

3)    (9000+1600)* 12 + 50 000 = 177 200 (р) – выплата за год;

4)    25000*12 = 300 000 (р) – годовой доход семьи;

5)    177 200 : 300 000 * 100 % = 59% - столько процентов от дохода семьи за год составит плата за жилье по договору найма.

Ответ: 59%.

 После самостоятельной  исследовательской работы выступают учащиеся каждой группы, решения задач записывается на доске.

 После сравнения и анализа результатов учащиеся делают выводы:

  При приобретении жилья в собственность или по договору найма необходимо решать задачи математики, применяя понятие процент от числа, процентного отношения, формулы геометрической прогрессии.

Итог урока.

1.   Школьники получили базовые знания об основных понятиях  жилищной культуры.  Жилищные уроки по оценке учителей и школьников очень важны как часть современного неформального образования молодежи, подготовки молодых людей к взрослой жизни. 

2. В результате урока  повторили понятие процента от числа, отработали навык решения текстовых задач, связанных с отношением и с пропорциональностью величин, дробями и процентами; повторили формулы геометрической прогрессии.

Домашнее задание.

1. Повторить основные алгоритмы решения задач на проценты.

2. «Алгебра 9 класс» Подготовка к государственной итоговой аттестации. 2010г. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, с.143, №№1,2,3,4,5,6.

Тема: «Длина окружности и площадь круга»

Тип урока: урок закрепления изученного с использованием межпредметных связей.

Форма урока: нетрадиционный урок-путешествие;

Цели урока: Образовательные:

                         - повторить понятие площади, свойства площадей, формулы для вычисления площади круга, длины окружности;

                           - отработать навык решения практических  задач, связанных с вычислением  периметра и площади прямоугольника, длины окружности и площади круга;

                           Развивающие:

                           - сформировать умение интерпретации результатов решения задач с учетом реальных свойств, процессов и явлений.

                           - моделирование практических ситуаций и исследование построенных моделей с использованием аппарата геометрии;

                             - формирование навыка работы с историческими документами;

                              - развитие пространственного воображения и интуиции;

                          Воспитательные:

                       - способствовать развитию навыка самостоятельной работы;

                  - познакомить учащихся с достижениями русских мастеров в архитектуре, изобразительном искусстве; способствовать воспитанию патриотических чувств у учащихся;

                   - эстетическое воспитание.

Формы работы: 1-я часть урока – традиционная, 2 часть – в форме путешествия с посещением архитектурных памятников России.

Оборудование:

·       ПК, мультимедийный проектор;

·       карточки для индивидульной работы;

Используемая литература: 1) «Геометрия 7-9» Учебник для общеобразовательных учреждений, Москва, «Просвещение»,2008г.

2) Иванова О.Ю., Монастыри России. – Смоленск: Русич, 2004

Структура урока:

·       Организационное начало. Мотивация. Сообщение темы урока.

·       Актуализация знаний: подготовка к основному этапу.

·       Обобщение и систематизация знаний в форме игры - путешествия.

·       Рефлексия

·       Подведение итогов урока

·       Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

Ход урока.

      Учитель сообщает тему и цели урока.

  - Сегодня урок будет необычным. Мы совершим воображаемую экскурсию по архитектурным памятникам России 16-го века. В ходе путешествия нам предстоит разгадать загадку строительства одного из исторических памятников России – Печорского монастыря.

  Для решения практических задач необходимо вспомнить многие важные понятия геометрии.

Учащиеся получают задания на карточках.

1)   Выведите формулу для вычисления длину окружности.

2)   Выведите формулу для вычисления площади круга.

Двое учащихся работают на обороте доски с выводом формул.

В это время остальные учащиеся отвечают на вопросы учителя.

  Фронтальный опрос:

    - Что мы понимаем под площадью многоугольника?

    -Площадь многоугольника - это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник;

    - Что принимается за единицу измерения площади?

    - За единицу измерения площади принимается квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков;

    - Каковы основные свойства площадей?

    -Равные многоугольники имеют равные площади;

    - Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников;

   - Площадь квадрата равна квадрату его стороны;

   -  По какой формуле вычисляется площадь круга?

    - Площадь круга можно найти по формуле: S=πR², где  R – радиус круга, число π выражает отношение длины окружности к её диаметру, является иррациональным, π ≈ 3,14.

 После проведения фронтального опроса  отвечают учащиеся, получившие задания по карточкам.

1) Содержание ответа:

  Пусть С и Сٰ – длины окружностей радиусов R и Rٰ. Впишем в каждую из них правильный n-угольник и обозначим через P и Pٰ  их периметры, а через ап  и ап ٰ их стороны.

Р = n ап = n* 2Rsin 180\ n;

Рٰ = n ап ٰ= n* 2Rٰsin 180\ n;

Следовательно,                  

Будем неограниченно увеличивать число n. Так как Р→ С, Рٰ → ٰ С

При  n→∞ , то предел отношения           равен        . С другой стороны, этот предел равен                  . Таким образом,    

Из этого равенства следует, что                        , т.е. отношение длины окружности к диаметру есть одно и тоже число для всех окружностей.

Из равенства                   получим формулу для вычисления длины окружности радиуса R: С = 2πR.

2) Содержание ответа:

  При неограниченном увеличении числа сторон многоугольника вписанная в него окружность  «стремится» к описанной окружности , поэтому Sn→S при n→∞, получим S = ½2 πR*R = πR².

-Итак, мы доказали формулы для вычисления длины окружности и площади круга, которыми воспользуемся при решении  практических задач.

Игра- путешествие.

 На слайдах – фотографии архитектурных памятников России.

1) Троицкий собор Троицко–Сергиева монастыря (основан в 14 веке Сергием Радонежским)

2) Церковь Спаса Преображения в Новгороде.

3) Успенский собор Московского Кремля.

4) Печорский монастырь  Псково-Печорской крепости.

   Ученик- экскурсовод по Печорскому монастырю рассказывает учащимся легенду о строительстве этого монастыря в 16 веке во времена правления царя Ивана Грозного.

   Легенда об истории строительства  Печорского монастыря:

Иван Грозный, не желая создания в Печорах большой крепости, разрешил игумену монастыря Корнилию построить такую крепость, какую займет на земле воловья шкура. Корнилий схитрил и разрезал шкуру на полоски, которые и составили периметр будущей крепости.

Учитель формулирует задачи для решения учащимися класса  частично-поисковами  методами.

ЗАДАЧА 1.

 1) Найти количество полосок и вычислить протяженность крепостной стены, зная, что длина каждой полоски составляла 2м, ширина одной трети от всего количества полосок – 5мм, одной трети - 6мм, еще одной трети -7мм. Площадь воловьей шкуры приближенно считается равной 4,38 кв.м.

                                                    Решение:

   Вычислим сначала вероятные площади полосок. Длина - 2м, ширина -0,005м. Согласно формуле площади прямоугольника получим – 0, 01 кв.м.

 При  ширине полоски 0,006м площадь одной такой полоски – 0,012 кв.м. а при ширине 0.007м – 0,014 кв.м.

   Обозначим через х количество полосок. Зная, что общая площадь воловьей шкуры была приблизительно более 4 кв.м., для удобства вычислений возьмем число 4,38 кв.м.  Составим и решим уравнение:

                     1/3х 0,01 + 1/3х 0,012 + 1/3х 0.014 = 4,38

  Умножив обе части уравнения на 3, получим:

                               0.01х + 0.012х +0,014х = 13,14

  Приведем подобные слагаемые.

                                0,036х =13,14

  Разделим обе части уравнения на 0,036.

                                    х=365

  Зная, что длина каждой полоски равна 2м, умножив 365 на 2, имеем 730м.

Это и есть протяженность крепостной стены.

   Ответ: 730м.

  -Полученный ответ примерно совпадает с реальным периметром крепостной стены Печорского монастыря.  Значит, легенда имеет  реальные основания. Строительство действительно могло быть основано на описанных в легенде событиях. Подтвердить это нам помогли сведения из математики по теории решения уравнений, формулы геометрии, свойства площадей.

Учитель формулирует следующую проблему:

                                        ЗАДАЧА 2.

2)    Выяснить, какая форма участка с периметром 730м занимает большую площадь, квадратная или круглая. Сравнить площади земельных участков.

                                            Решение.

Воспользуемся формулами периметра и площади квадрата: Р=4а, S=a².

        Решим уравнение   4а = 730,

                                          а = 182,5 (м)

Площадь участка квадратной формы  S = 182,5² = 33306,25 (м²).

Найдем радиус окружности длиной 730 м, пользуясь формулой

 С= 2πR :

                                730= 6,28 R,

                                R ≈ 116,24 (м)

Воспользуемся формулой площади круга S=πR²:

                              S ≈  3,14 * 116,24² = 42426,856 (м²).

Сравнив значения площади квадрата и круга, можно сделать вывод, что участок земли в форме круга занимает большую площадь, чем квадрат.

 Реальный участок земли занимает площадь в форме, приближенно напоминающий круг. Строители монастыря 16 века знали, что в случае круглой формы крепостной стены будет занята большая площадь.

     Итог урока.

На уроке были решены все поставленные задачи.

- повторили понятие площади, свойства площадей,  вывод формул для вычисления площади круга, длины окружности;

 - отработали навык решения практических  задач, связанных с вычислением  периметра и площади прямоугольника, длины окружности и площади круга;

 - смогли интерпретировать результаты решения задач с учетом реальных свойств, процессов и явлений;

 - познакомились с достижениями русских мастеров в архитектуре, историческими памятниками России 16 века.

 Домашнее задание.

«Геометрия 7-9» Учебник для общеобразовательных учреждений, Москва, «Просвещение»,2008г. §2, п.110-111. №№1118, 1122, 1123.