Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Видеоуроки / План-конспект по теме "Основное свойство первообразной"

План-конспект по теме "Основное свойство первообразной"


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Гуманитарно-технический техникум»


Урок по алгебре и началам анализа.


Разработка преподавателя математики

Телиповой Эльзы

Сайдмагомедовны.

 





















г. Грозный

2015г.






Математика –

это та часть

физики,

в которой

эксперименты

очень дешевы.

План конспект.

Тема: Основное свойство первообразной.

Тип урока: Усвоение новых знаний

Методы обучения: диалогические, виртуальные и практические.

Формы работы: индивидуальная, парная, групповая, коллективная.

Цели:

а) обучающая ; знать пользоваться определением первообразной , формировать умение вести формулы в таблицу первообразных функций, применение таблицы первообразных на практике.

б) Развивать логическое мышление, вычислительные навыки учащихся.

в) воспитательная;

развитие у обучающихся грамотной

устной и письменной математической речи, а также научного мировоззрения.


УМК: Алгебра и начала анализа под редакцией А.Н.Колмогорова для 10-11класс, Мордкович – задачник 2012г.,



ТСО: раздаточный материал, компьютеры, презентация,

Обучающийся должен

Знать: а) определение производной,

б) нахождение первообразной по определению

Уметь:

а) находить первообразные по определению,

применить формулы из таблицы,

логически мыслить, сопоставлять.



Ход урока.

  1. Орг. момент.

II. Повторение пройденного материала.

1.Фронтальный опрос обучающихся.

а) сформулировать определение производной, первообразной.

б)доказать , что функция Fявляется первообразной для функции f на R: f(x)=2x+3, F(x)=х2+3х+1

3. Самостоятельная работа (8мин.)

Тесты на компьютере (скачать с сервера).

III.Объяснение темы

Общий вид первообразных Задача интегрирование состоит в том ,

что бы для заданной функции найти все ее первообразные. При решении

этой задачи важную роль играет следующее утверждение

Признак постоянства функции . Если F!(x)= 0 на некотором промежутке I, то функция F-постоянная на этом промежутке .

Доказательство: Зафиксируем некоторое х0 из промежутка I. В силу формулы Лагранжа можно указать такое число с, заключенное между х и х0 , что F(х)-F(x0)=F/(c)(х-х0)

По условию F/(c)=0 , так как CЄI, следовательно, F(х)-F(x0)=0

Итак , для всех х из промежутка I

F(х) = F(x0) , т.е. функция Fсохраняет постоянное значение .

Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы , которую называют общим видом первообразных для функции f .

Справедлива следующая теорема : Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке может быть записана в виде F(х)+С (1), где F(х)- одна из первообразных для функции f(x) на промежутке I, а С - произвольная постоянная. (Основное свойство первообразной ).

Графики всех первообразных данной функций f(x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси ОУ. (Геометрическая интерпретация ).

графики первообразных

Примеры нахождения первообразных .

Пример 1. Найдите общий вид первообразных для функции f(x)=- x3 на R.

Заметим, что одной из первообразных функции f является функция hello_html_m1d7045fb.gif,

Так как производная (hello_html_m1d7045fb.gif) / =hello_html_285ae369.gif3. В силу доказанной теоремы общий вид первообразных для функций f таков F(x) =hello_html_m1d7045fb.gif+C.

Пример 2. Найдем первообразную F0(x) для функции f(х)=hello_html_7316c638.gif на промежутке

(0,hello_html_m192b6b21.gif), принимающую при х=1 значение 1.

Легко проверить, что любая первообразная функции f имеет вид F(х)=hello_html_3ebbae22.gif

Так как по условию F(1)=1,приходим к уравнению (относительно С ) вида

hello_html_17fb8f2d.gif

Пример3. Точка движется по прямой с постоянным ускорением a. В начальный момент t0=0 точка имеет начальную координату x0 и начальную скорость v0 . найдем координату х (t) точки как функцию от времени.

Так как x/(t)= v(t) и v/(t)=a(t), из условии а(t)=a получаем v/(t)=a. Отсюда следует , что v(t)=at+C1, подставляя t0=0 в формулу (2), находим С1=v0 и

х/(t)=v(t) =at+v0 следовательно x(t) =hello_html_156b8abf.gif.

Чтобы найти hello_html_m3af9773a.gif, подставим в (3) значение t0 =0, откуда hello_html_7b95ddaa.gif2 =x0 .

Итак, x(t) =hello_html_m74021511.gif.

Пример 4. Найдем для функции f(x)=hello_html_m49e17d54.gif первообразную, график которой проходит через точку М(9,-2).

Любая первообразная функция f(x)=hello_html_m49e17d54.gif записывается в виде 2hello_html_22577e71.gif + С =hello_html_m5c062083.gif2

Следовательно , 2hello_html_22577e71.gif hello_html_76c4e8ef.gif.

Рассмотрим таблицу первообразных для некоторых функций.

Функ-

ция

f

k(пос-

то-

янная )

hello_html_m56ae4b7a.gif

(nhello_html_6d4c5d56.gif

hello_html_6790924d.gif)



hello_html_m49e17d54.gif

hello_html_39b6f98e.gif

hello_html_m5cca13d6.gif

hello_html_72ba4f5c.gif

hello_html_4b78f2b5.gif

Общий

Вид первооб

разных

для f

hello_html_28f86c69.gifC

hello_html_m65faaaee.gif+C

2hello_html_m5a39810d.gif +C

hello_html_m27f536ad.gif

hello_html_m37ae82cb.gif

hello_html_43b806c.gif

hello_html_322b6f79.gif



335.Письменное решение с применением таблицы первообразных.

а) найдите общий вид первообразных для функций f (применяя таблицу первообразных)

1. f(x)=2hello_html_m5c062083.gifx, F(x)=2x hello_html_m6dd26a53.gif +С,

F/(x) = ( 2x hello_html_m6dd26a53.gif +С)1=2hello_html_m23c37053.gif

2. f(x) =x+hello_html_m5cca13d6.gif, F(x) =hello_html_41117713.gif

F/(x) =hello_html_m6e5982d1.gifsinx+С)/ = x+hello_html_m5cca13d6.gif;

3.f(x)=4х, F(x)=2x2 +C

F1(x) = (2x2 +C)/ = 4х

337. Для функции f найдите первообразную F, принимающую заданное значение в указанной точке:

f(x)=hello_html_m30a1bd44.gif , F(hello_html_6eec8aff.gif) =-12

F(x) =hello_html_65f5397d.gif где hello_html_6b807a61.gif

-12=hello_html_6b51e13a.gif +c , hello_html_m5c062083.gif12 = hello_html_m5c062083.gif2+hello_html_7b95ddaa.gif, hello_html_7b95ddaa.gif=hello_html_778c3c54.gif

F(х)=hello_html_2e9fe90d.gif;

г) f(x)=hello_html_me839999.gif F(hello_html_5001b80a.gif) =hello_html_m5c062083.gif1

F(x) =hello_html_14a450b1.gif где hello_html_6b807a61.gif

hello_html_m4f0ff780.gif= hello_html_376fe7fa.gif

hello_html_m5c062083.gif1 = hello_html_m5ff0b02b.gif hello_html_7b95ddaa.gif

hello_html_m5c062083.gif1= 1+hello_html_7b95ddaa.gif,

hello_html_2c82edfd.gif

F(x) = hello_html_2efb47ff.gif

F(х)=-cosx-2- первообразная для f(x)=sinx, F(x)= -hello_html_4bbc8ba.gif

338.- Проверьте, что функция F является первообразной для функции f.

F/(x)=x/ hello_html_m4651f7da.gif ) =1+hello_html_ma242a6b.gif=f(x); F(x)=hello_html_340cf367.gif hello_html_742e26b5.gifявляется первообразной для функции f(х).

б) F!(x)=hello_html_m5f7bcc90.gif' =hello_html_m29e612cf.gif1=hello_html_m31f002d1.gif =f(x),

F(x) =hello_html_m5f7bcc90.gif+C – общая первообразная для функцииhello_html_m9ca0dd9.gif

339.-Найдите общий вид первообразных для функции f , если

а) F(x)=hello_html_504062d2.gif f(x) =hello_html_4a98ed37.gif

По определению первообразной – функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка

F/(x) =f(x)

Проверим: F/(x) =(sinx- xcosx)/ =sin /xhello_html_m5c062083.gifx /cosx hello_html_742e26b5.gifx cos/x =cosxhello_html_m5c062083.gifcosxhello_html_736170ce.gifsinx =

=hello_html_m4774bd67.gif =f(x).



3) Работа с карточками (применяя интерактивную доску).

Вариант 1

A1. Выберите первообразную для функции f(х)=4х-1

1) F(x) =16x2-x, 2) F(x) = 2x2; 3) F(x)=2x2 –x+1; 4) F(x)= 16x2

A2.Какая из данных функций не является первообразной для функции

f(x) =hello_html_m7f879921.gif

1) F(x) =hello_html_m3d15adeb.gif hello_html_586461df.gif 2)F(x)=hello_html_10a2f187.gif 3) F(x) =hello_html_m5c062083.gif2hello_html_m3d1b64da.gif 4)F(x) =4hello_html_4bdc3ead.gif

A3.Найдите общий вид первообразных для функции f(x) =-5

1)-5x +С; 2) -5x; 3) -5+C; 4) 5x+C;



Вариант 2

A1. Выберите первообразную для функции f (х)=2-х

1) F(x) =2x-2x2, 2) F(x) = -0,5x2+2x+1; 3) F(x)=2-x; 4) F(x)= - 0,5x2

A2.Какая из данных функций не является первообразной для функции

f(x) =hello_html_1abce58e.gif

1) F(x)=2+1/3 hello_html_m2b78e3b8.gif 2)F(x)=hello_html_mf758d39.gif 3) F(x) =2hello_html_m4713ea2c.gif 4)F(x) =4hello_html_4d4d5152.gif

A3.Найдите общий вид первообразных для функции f(x) =hello_html_m5c062083.gif5

1) -5x + С; 2) -5x; 3) -5+C; 4) 5x+C;

Вариант

А1

А2

А3

1

3

3

1

2

2

3

1



5) Самостоятельная работа.

Найдите первообразные функции

  1. у=2; 2) у =hello_html_m3156b7af.gif 3) у=3x3 +4x3;

  2. 4)у=5х+3; 5) y= hello_html_c3c91c2.gify =hello_html_86d97ed.gif.

Задача B11(ЕГЭ)

Найдите наибольшее значение функции у =hello_html_m7091e4bd.gif на отрезке hello_html_750e7baf.gif.

Решение: для начала найдем производную у'=hello_html_1876a10d.gif =

=3hello_html_7a2a5240.gif+14hello_html_m48fd556f.gif

Найдем нули производной у'=3hello_html_7a2a5240.gif+14hello_html_m48fd556f.gif, 3hello_html_7a2a5240.gif+14hello_html_m60827838.gif

Решая квадратное уравнение, найдем корни уравнения hello_html_21ace79c.gif и hello_html_2b92f0a8.gif=hello_html_m5c062083.gif4

Поскольку корень hello_html_21ace79c.gif не лежит на отрезке [-6, -3], нас интересует

hello_html_2b92f0a8.gif=hello_html_m5c062083.gif4,итак у нас три точки: -6, -4;-3

Найдем значение функции в этих точках

У(-6)=-20

У(-4)= 4

У(-3)= 8

Требуется найти наибольшее значение функции , это значение у(-3)=8

Ответ: 8



6.Рефлексия урока.


1.Сегодня на уроке я узнал …

2. Сегодня на уроке я ознакомился …

3.Сегодня я на уроке научился …

4.Сегодня на уроке я закрепил …

5.Сегодня на уроке я повторил…


7.Итоги урока.

д/з Уч.Колмогоров А.Н.-№337,339,341.


57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Краткое описание документа:

Математика-это часть физики, в которой эксперименты очень дешевы. План-конспект. Тема: Основное свойство первообразной . Тип урока: Усвоение новых знаний. Методы обучения: диалогические, виртуальные и практические. Формы работы: индивидуальная, парная,групповая , коллективная. Цели: а)обучающая; знать пользоваться определением первообразной, формировать умение вести формулы в таблицу первообразных функций, применение таблицы первообразных на практике. б) развивать логическое мышление, вычислительные навыки обучающихся; в) воспитательная; развитие у обучающихся грамотной устной и письменной математической речи,а также научного мировоззрения.

Автор
Дата добавления 22.06.2015
Раздел Математика
Подраздел Видеоуроки
Просмотров357
Номер материала 572805
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх