"Построение графиков функции" ( 9 класс )

Урок алгебры в 9 классе по теме "Построение графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины".

Цели урока: Обучающая: Наглядно продемонстрировать учащимся возможности использования компьютера при построении графиков функции с модулями; для самоконтроля, экономии времени при построении графиков функций вида у=f |(х)| , у = | f (х)| , у=|f |(х)| |.

Развивающая: Развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций - анализ и синтез сравнение, обобщение. Формирование ИКТ компетентности учащихся.

Воспитывающая: Воспитание познавательного интереса к предмету путем введения новейших технологий обучения. Воспитание самостоятельности при решении учебных задач.

Оборудование: Оборудование: компьютерный класс, интерактивная доска, презентация на тему "Построение графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины", раздаточный материал: карточки для работы с графической моделью функций, листы для фиксирования результатов исследования функций, персональные компьютеры. Лист самоконтроля.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Повторение, обобщение и систематизация.

График функции у=f |(х)|

у=f |(х)| - четная функция, т.к. | х | = | -х |, то f |-х| = f | х |

График этой функции симметричен относительно оси координат.

Следовательно, достаточно построить график функции у=f(х) для х>0,а затем достроить его левую часть, симметрично правой относительно оси координат.

Например, пусть графиком функции у=f(х) является кривая, изображенная на рис.1, тогда графиком функции у=f |(х)| будет кривая, изображенная на рис.2.

Рис.1

Рис.2

1. Исследование графика функции у= |х|

1.     Если х 0, то |х| =х и наша функция у=х, т.е. искомый график совпадает с биссектрисой первого координатного угла.

2.     Если х<0, то |х|= -х и у= -х. При отрицательных значениях аргумента х график данной функции - прямая у= -х, т.е. биссектриса второго координатного угла.

Таким образом, искомый график есть ломанная, составленная из двух полупрямых. (Рис.3)

Рис. 3

Из сопоставления двух графиков: у=х и у= |х|, учащиеся сделают вывод, что второй получается из первого зеркальным отображением относительно ОХ той части первого графика, которая лежит под осью абсцисс. Это положение вытекает из определения абсолютной величины.

Из сопоставления двух графиков: у = х и у = -х, сделают вывод: функции у = f(|х|) получается из графика у = f (x) при х 0 симметричным отображением относительно оси ОУ.

Можно ли применять этот метод построения графиков для любой функции, содержащей абсолютную величину?

1. Построите график функции у=0,5 х² - 2|х| - 2,5

1) Поскольку |х| = х при х 0, требуемый график совпадает с параболой у=0,5 х² - 2х - 2,5 . Если х<0, то поскольку х² = |х|², |х|=-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,5 х² + 2х - 2,5.

2) Если рассмотрим график у=0,5 х² -2х - 2,5 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график.

Можно ли применять этот метод построения графиков дл квадратичной функции, для графиков обратной пропорциональности, содержащие абсолютную величину?

2. Например: у=х² - |х| -3

1) Поскольку |х| = х при х 0, требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х² - х - 3. Если х<0, то поскольку х² = |х|², |х|=-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х² + х - 3.

2) Если рассмотрим график у=0,25 х² - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график.

(0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ.

у =0, х² -х -3 = 0

х² -4х -12 = 0

Имеем, х₁= - 2; х₂ = 6.

(-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной |х|. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4).

Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0.

б) Поэтому достраиваю для х<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ.

Рис. 4

На тетрадях ученики доказывают, что график функции у = f |(х)| совпадает с графиком функции у = f (х) на множестве неотрицательных значений аргумента и симметричен ему относительно оси ОУ на множестве отрицательных значений аргумента.

Доказательство: Если х  0, то f |(х)|= f (х), т.е. на множестве неотрицательных значений аргумента графики функции у = f (х) и у = f |(х)| совпадают. Так как у = f |(х)| - чётная функция, то её график симметричен относительно ОУ.

Таким образом, график функции у = f |(х)| можно получить из графика функции у = f (х) следующим образом:

1. построить график функции у = f(х) для х>0;

2. Для х<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ.

Вывод: Для построения графика функции у = f |(х)|

1. построить график функции у = f(х) для х>0;

2. Для х<0, симметрично отразить построенную часть

относительно оси ОУ.

4. Исследовательская работа по построению графика функции у = | f (х)|

Построить график функции у = |х² - 2х|

Освободимся от знака модуля по определению

Если х² - 2х0, т.е. если х 0 и х2, то |х² - 2х|= х² - 2х

Если х² - 2х<0, т.е. если 0<х< 2, то |х² - 2х|=- х² + 2х

Видим, что на множестве х 0 и х2 графики функции

у = х² - 2х и у = |х² - 2х|совпадают, а на множестве (0;2)

графики функции у = -х² + 2х и у = |х² - 2х| совпадают. Построим их.

График функции у = | f (х)| состоит из части графика функции у = f(х) при у ?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ.

Построить график функции у = |х² - х -6|

1) Если х² - х -6 0, т.е. если х-2 и х3, то |х² - х -6|= х² - х -6.

Если х² - х -6<0, т.е. если -2<х< 3, то |х² - х -6|= -х² + х +6.

Построим их.

2) Построим у = х² - х -6 . Нижнюю часть графика

симметрично отбражаем относительно ОХ.

Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые.

Работа на тетрадях.

Докажем, что график функции у = | f (х)| совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 и симметрично отражённой частью у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ.

Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий:

у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0

Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, то

| f (х)| = f(х), значит в этой части график функции

у = | f (х)| совпадает с графиком самой функции

у = f(х).

Если же f(х) <0, то | f (х)| = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х).

Вывод: действительно для построения графика функции у = |f(х) | достаточно:

1.Построить график функции у = f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5)

Рис.5

Вывод: Для построения графика функции у=|f(х) |

1.Построить график функции у=f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс.

(Рис.6, 7.)

5. Исследовательская работа по построению графиков функции у=|f |(х)| |

Применяя определение абсолютной величины и ранее рассмотренные примеры, построим графиков функции:

у = |2|х| - 3|

у = |х² - 5|х||

у = | |х²| - 2| и сделал выводы.

Для того чтобы построить график функции у = | f |(х)| надо:

1. Строить график функции у = f(х) для х>0.

2. Строить вторую часть графика, т. е. построенный график симметрично отражать относительно ОУ, т.к. данная функция четная.

3. Участки получившегося графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Построить график функции у = | 2|х | - 3| (1-й способ по определению модуля)

1. Строим у = 2|х | - 3 , для 2 |х| - 3 > 0 , |х |>1,5 т.е. х< -1,5 и х>1,5

а) у = 2х - 3 , для х>0

б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

2. Строим у = -2 |х| + 3, для 2|х | - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5

а) у = -2х + 3, для х>0

б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

У = | 2|х | - 3|

1) Строим у = 2х-3, для х>0.

2) Строим прямую, симметричную построенной относительно оси ОУ.

3) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаю симметрично относительно оси ОХ.

Сравнивая оба графика, видим, что они одинаковые.

2.

у = | х² - 5|х| |

1. Строим у = х² - 5 |х|, для х² - 5 |х| > 0 т.е. х >5 и х<-5

а) у = х² - 5 х, для х>0

б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

2. Строим у = - х² + 5 |х| , для х² - 5 |х| < 0. т.е. -5х5

а) у = - х² + 5 х , для х>0

б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

У = | х² - 5|х| |

а) Строим график функции у = х² - 5 х для х>0.

Б) Строим часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые. (Рис.9)

3. у =| |х|² - 2 |

1). Строим у = |х|² - 2 , для |х|² - 2 > 0, x> и x< -

а) у = х² - 2, для х>0

б) для х<0, симметрично отражаю построенную часть относительно оси ОУ.

2). Строим у = - |х|² + 2 , для |х|² - 2 < 0. т.е. - < x<

а) у = -х² + 2 , для х>0

б) для х<0, симметрично отражаю построенную часть относительно оси ОУ.

У = ||х|² - 2 |

а) Строим у = х² -2 для х > 0.

Б) Строим часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые. (Рис.10)

3. Подведение итогов урока.

Алгоритм построения графика функции у=f |(х)|

1.Построить график функции у=f(х) для х>0;

2.Построить для х<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ.

Алгоритм построения графика функции у=|f(х) |

1.Построить график функции у=f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, строить кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс.

Алгоритм построения графика функции у=|f |(х)| |

1. Построить график функции у=f(х) для х>0.

2. Построить кривую графика, симметричную построенной относительно оси ОУ, т.к. данная функция четная.

3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.