Презентация на тему Рациональные уравнения

• 1 слайд

  Рациональные уравнения
  Вишняков А.Ю. 2008год
  Prezentacii.com
  

• 2 слайд

  В данной презентации достаточно полно
  изложена теория решения различных видов
  рациональных уравнений,
  за исключением линейных и квадратных
  уравнений, а также общей теории
  решения уравнений 3-й и 4-й степеней.
  Нет здесь и примеров, решаемых
  с помощью теоремы Безу.
  Каждый вид уравнения сопровождается
  решением соответствующего примера.
  Данные материалы могут быть использованы
  частично на уроках алгебры
  в обычных классах,
  но в большей мере пригодятся
  для изучения этой темы
  в классах с углубленным изучением
  математики.
  

• 3 слайд

  end
  

• 4 слайд

  end
  

• 5 слайд

  Способ подстановки
  При решении некоторых целых рациональных уравнений есть смысл ввести новую переменную величину, обозначив некоторое рациональное выражение новой буквой.
  Например, в уравнении ,
  где Р(х) – многочлен, удобно ввести новую
  переменную y=Р(х), решить полученное
  квадратное уравнение
  относительно y и, наконец, решить
  уравнение Р(х)= yо, где yо – корень
  уравнения
  Обратно
  в меню
  Пример
  

• 6 слайд

  Пример
  Решите уравнение
  Решение. Введем новую переменную. Пусть
  
  Тогда получим уравнение
  
  Находим корень у = 1 и делаем обратную подстановку.
  
  
  
  
  Ответ: 2; 3.
  Обратно
  в меню
  

• 7 слайд

  Распадающееся уравнение
  Рациональное уравнение называется распадающимся, если его можно привести к виду , где – рациональные выражения с переменной х.
  Для решения воспользуемся равносильным переходом
  
  
  Применяемые приемы разложения на множители:
  - вынесение общего множителя за скобки;
  - способ группировки;
  -формулы сокращенного умножения.
  Обратно
  в меню
  Пример
  

• 8 слайд

  Пример
  Решите уравнение
  Решение. Разложим левую часть уравнения на множители:
  
  
  Воспользуемся равносильным переходом:
  
  
  
  Ответ:-2;0;1;2.
  Обратно
  в меню
  

• 9 слайд

  Однородное уравнение 2-го порядка
  При решении уравнения надо проверить две ситуации:
  1) т.е. корнями заданного уравнения
  являются решения этой системы.
  2) Если Q(x) ≠ 0, то после деления заданного уравнения на Q2(x) получим уравнение
  
  
  которое подстановкой сводится
  к квадратному уравнению
  В ответ включают числа, полученные
  при рассмотрении обеих ситуаций.
  
  Обратно
  в меню
  Пример
  

• 10 слайд

  Пример
  Решить уравнение
  (x2 – 2х)2 – (x2 – 2х)(x2 – х – 2) – 2(x2 – х – 2)2 = 0.
  Решение. Возможны две ситуации.
  Рассмотрим первую:
  Обратно
  в меню
  Найден первый корень уравнения х=2.
  

• 11 слайд

  Продолжение решения
  Рассмотрим вторую ситуацию: разделим почленно заданное уравнение на (x2 – х – 2)2 при условии, что х ≠ -1 и х ≠ 2. Уравнение принимает вид
  
  
  Обозначим и решим квадратное
  уравнение t2 – t –2 = 0. Получаем t1= -1, t2= 2.
  Обратная подстановка дает уравнения
  откуда х = -0,5 и х = -2.
  С учетом обеих ситуаций получаем
  ответ: - 0,5; -2; 2.
  
  Обратно
  в меню
  

• 12 слайд

  Биквадратное уравнение
  Уравнение имеет вид
  aх4+bх2+c=0.
  Сделаем подстановку x2 = t. Значит, x4 = t2.
  Получаем квадратное уравнение
  at2+bt+c=0.
  Находим значения t и, сделав обратную подстановку, находим корни исходного уравнения.
  Замечание.
  При решении биквадратного уравнения можно
  получить от 1 до 4-х корней или же это
  уравнение может совсем не иметь корней.
  
  Обратно
  в меню
  Пример
  

• 13 слайд

  Пример
  Решите уравнение х4–3х2–4=0.
  Решение.
  Сделаем подстановку x2 = t. Получаем квадратное уравнение
  t2–3t–4=0,
  корни которого t = -1 и t = 4.
  Обратная замена дает два уравнения
  x2 = -1 и x2 = 4, из которых первое уравнение не имеет корней, а корни второго уравнения -2 и 2.
  Ответ: -2; 2.
  Обратно
  в меню
  

• 14 слайд

  Симметричное уравнение
  3-го порядка
  Уравнение имеет вид
  ах3+bх2+bх+а=0.
  Сгруппируем слагаемые: а(х3+1)+bх(х+1)=0.
  Применим формулу суммы кубов
  а(х+1)(х2 –х+1)+bх(х+1)=0
  и выполним разложение на множители
  (х+1)(ах2+(b - а)х+а)=0.
  Получили распадающееся уравнение. Значит,
  х+1=0 или ах2+(b - а)х+а=0.
  Решив эти два уравнения, найдем корни
  исходного уравнения.
  Обратно
  в меню
  Пример
  

• 15 слайд

  Пример
  Решите уравнение 2х3–3х2– 3х +2=0.
  Решение. Сгруппируем слагаемые парами и в каждой паре вынесем общий множитель за скобки:
  2(х3+1)–3х(х+1)=0.
  Применим формулу суммы кубов и вынесем общий множитель (х+1):
  2(х+1)(х2 –х+1)– 3х(х+1)=0,
  (х+1)(2х2 –5х+2)=0.
  Значит,
  х+1=0 или 2х2 –5х+2=0.
  Решив эти два уравнения, найдем корни
  исходного уравнения: -1; 0,5; 2.
  Ответ: -1; 0,5; 2.
  Обратно
  в меню
  

• 16 слайд

  Симметричное уравнение
  4-го порядка
  Уравнение имеет вид
  ах4+bх3+сх2+bх+а=0.
  Сгруппируем слагаемые и разделим обе части уравнения на х2. Получаем
  
  
  
  Сделаем подстановку , тогда
  
  Получаем квадратное уравнение
  a(t2-2)+bt+c=0.
  Находим значения t и делаем обратную подстановку.
  Обратно
  в меню
  Пример
  

• 17 слайд

  Пример
  Решите уравнение
  Решение. Разделим обе части уравнения на x2 ≠ 0 и, удобно группируя, получим равносильное уравнение:
  
  
  Сделаем подстановку , тогда
  
  Получаем квадратное уравнение , корни
  которого 2 и -3,5.
  Обратная подстановка дает два рациональных
  уравнения и
  откуда и находим корни исходного уравнения.
  Ответ: 1;
  Обратно
  в меню
  

• 18 слайд

  Возвратное уравнение
  Уравнение вида
  ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0,
  
  где   a ≠ 0,   b ≠ 0 и ,
  
  называется возвратным уравнением четвертого порядка.
  
  Это уравнение сводится к квадратному с
  помощью подстановки
  Обратно
  в меню
  Пример
  

• 19 слайд

  Пример
  Решить уравнение
  x4 + x3 - 6x2 - 2x + 4 = 0.
  
  Решение. Заметим, что и, следовательно, данное уравнение есть возвратное уравнение четвертого порядка.
  Так как x = 0 не является решением уравнения, разделим на x2 и получим равносильное уравнение
  
  
  Обозначим , тогда
  
  и уравнение примет вид t2 + t - 2 = 0, корни которого t1 = -2 и t2 = 1.
  Делаем обратную замену и после умножения на x ≠ 0
  получаем два квадратных уравнения
  x2 + 2x - 2 = 0, x2 - x - 2 = 0,
  откуда и получим корни исходного уравнения.
  Ответ:
  Обратно
  в меню
  

• 20 слайд

  Уравнения вида
  (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m
  Если a + b = c + d , то это уравнение сводится к квадратному уравнению. Действительно,
  (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
  (x + c)(x + d) = x2 + (c + d)x + cd =
  = x2 + (a + b)x + cd
  Обозначив x2 + (a + b)x = t, получим квадратное
  уравнение
  (t + ab)(t + cd) = m
  Из этого уравнения найдем значения t и,
  сделав обратную подстановку, закончим
  решение исходного уравнения.
  Обратно
  в меню
  Пример
  

• 21 слайд

  Пример
  Решить уравнение
  (x - 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 19.
  Решение. Заметим, что -2 + 7 = 1 + 4. Удобно группируя, получим
  [(x - 2)(x + 7)]·[(x + 1)(x + 4)] = 19
  или
  (x2 + 5x – 14 )(x2 + 5x + 4) = 19.
  Обозначим t = x2 + 5x - 14, тогда x2 + 5x + 4 = t + 18.
  Уравнение примет вид
  t(t + 18) = 19   или   t2 + 18t - 19 = 0,
  откуда t = -19 и t = 1.
  Сделав обратную подстановку, получим
  x2 + 5x - 14 = -19 и x2 + 5x - 14 = 1.
  
  Окончательный ответ:
  Обратно
  в меню
  

• 22 слайд

  Уравнение вида
  (x + a)4 + (x + b)4 = c
  Используя подстановку , уравнение
  можно свести к биквадратному уравнению относительно t.
  Действительно, подставив в уравнение , получим
  
  Обозначим и возведем
  
  каждое слагаемое в 4-ю степень. После приведения
  подобных получим биквадратное уравнение
  
  
  
  Обратно
  в меню
  Пример
  

• 23 слайд

  Пример
  Решить уравнение
  (x + 3)4 + (x - 1)4 = 82.
  Решение. Сделаем подстановку
  
  Получим следующее уравнение относительно t:
  (t + 2)4 + (t - 2)4 = 82
  или
  t4 + 8t3 + 24t2 + 32t + 16 + t4 - 8t3 + 24t2 - 32t + 16 - 82 = 0.
  Откуда получим биквадратное уравнение
  t4 + 24t2 - 25 = 0,
  корни которого t = ± 1.
  Следовательно, x + 1 = ± 1.
  Значит, корни исходного уравнения
  x = -2 и x = 0.
  Ответ: -2;0.
  Обратно
  в меню
  

• 24 слайд

  Уравнение вида
  Решить уравнение Р(х) = 0.
  Для каждого корня уравнения Р(х) = 0
  сделать проверку: удовлетворяет ли он
  условию Q(х) ≠ 0 или нет. Если да, то
  это — корень заданного уравнения,
  а если нет, то этот корень является
  посторонний для заданного уравнения
  и в ответ его включать не следует.
  
  Обратно
  в меню
  Пример
  

• 25 слайд

  Пример
  Решите уравнение  
  
  Решение.
  Приравняем числитель дроби к нулю и решим полученное уравнение:
  
    
  Значение х = 2 не удовлетворяет условию
  Следовательно, уравнение имеет один
  корень х= 4.
  Ответ: 4.
  Обратно
  в меню
  

• 26 слайд

  Уравнение вида
  Подстановкой это уравнение
  сводится к виду
  
  
  Умножим на и решим полученное квадратное
  уравнение относительно t.
  Остается сделать обратную подстановку
  где tо - корень квадратного уравнения,
  и решить полученное уравнение
  относительно х.
  
  Обратно
  в меню
  Пример
  

• 27 слайд

  Уравнение вида
  Подстановкой это уравнение
  сводится к виду
  
  
  Умножим на и решим полученное квадратное
  уравнение относительно t.
  Остается сделать обратную подстановку
  где tо - корень квадратного уравнения,
  и решить полученное уравнение
  относительно х.
  
  Обратно
  в меню
  Пример
  

• 28 слайд

  Пример
  Решите уравнение  
  
  Решение.
  Сделаем подстановку и решим полученное
  уравнение относительно t :
  
    
  Обратная подстановка приводит к уравнению
  
  корень которого х = -1.
  Ответ: -1.
  Обратно
  в меню
  

• 29 слайд

  Уравнения, состоящие из суммы двух и более дробей
  
  1-й способ
  Перенести все члены уравнения
  в одну часть.
  Привести уравнение к виду и найти корни полученного уравнения.
  2-й способ
  Определить О.Д.З. уравнения.
  Умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей и получить целое уравнение.
  Найти корни полученного уравнения и проверить их соответствие О.Д.З.
  
  Обратно
  в меню
  Пример
  

• 30 слайд

  Пример
  Решите уравнение  
  
  
  Решение. Найдём О.Д.З. Знаменатели дробей не могут обращаться в нуль . Значит, О.Д.З. уравнения: х ≠ 2 и х ≠ 0.
  Перенесём члены из правой части уравнения в левую и приведём к общему знаменателю.
  
    
  .
  Приравняем числитель дроби к нулю: х2 – 6х + 8 = 0.
  Находим корни квадратного уравнения: х = 4 и х = 2.
  Значение х = 2 не удовлетворяет О.Д.З.
  Следовательно, уравнение имеет один корень х= 4.
  Ответ: 4.
  Обратно
  в меню
  

• 31 слайд

  Уравнения вида
  Данное уравнение сводится к квадратному уравнению заменой переменной
  Обратно
  в меню
  Пример
  

• 32 слайд

  Пример
  Решить уравнение
  
  Решение. О.Д.З. уравнения есть множество
  
  Поскольку x = 0 не является решением данного уравнения, перепишем уравнение в виде
  
  
  
  (разделим числитель и знаменатель каждой дроби на x).
  
  Обозначим и уравнение примет вид
  
  
  Обратно
  в меню
  

• 33 слайд

  Продолжение решения
  О.Д.З. полученного уравнения t ≠ 5 и t ≠ -1.
  Решая это уравнение, приходим к квадратному уравнению
    2t2 - 13t + 11 = 0,
  корни которого t1 = 1 и t2 = 11/2 удовлетворяют О.Д.З..
  Делаем обратную подстановку и получаем два
  рациональных уравнения
  
  решив которые находим корни заданного
  уравнения.
  Ответ:
  Обратно
  в меню
  

• 34 слайд

  Литература
  Алгебра и математический анализ, 10 Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд
  Алгебра и начала анализа. 8 – 11 кл. Пособие для школ и классов с углубл. изучением математики (серия «Дидактические материалы») Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В.