Презентация на тему Теорема Пифагора

• 1 слайд

  Теорема Пифагора
  Различные формулировки
  

• 2 слайд

  Как известно…
  Теорема Пифагора звучит так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов», но…
  Как звучала эта теорема у Евклида: «В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол »
  Как звучала у Аннаирици: «Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол»
  

• 3 слайд

  Научное открытие
  В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифатор первым дал ее полноценное докзательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Многим известен сонет Шамиссо:
  

• 4 слайд

  Доказательства теоремы Пифагора
  Простейшее
  Метод разложения
  Метод дополнения
  Другие…
  

• 5 слайд

  Простейшее доказательство
  Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников , чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два.
  Теорема доказана.
  

• 6 слайд

  Доказательство методом дополнения
  От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части так, чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные на катетах, а в другом- квадрат, построенный на гипотенузе. Ведь если в равенствах: В-А=С и В1-А1=С1. Часть А равновелика части А1, а часть В равновелика В1, то части С и С1 также равновелики.
  

• 7 слайд

  Доказательство методом дополнения
  Поясним этот метод на примере. На рис. к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1. Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь (далее мы это докажем), что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат, построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов,построенных на катетах.
  

• 8 слайд

  Доказательство методом дополнения
  Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Заметим, что прямая DG делит верхний шестиугольник на равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK и нижнем шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG, составляющий половину шестиугольника DABGFE, вокруг точки А по часовой стрелке на угол 90; тогда он совпадет с четырехугольником CAJK, составляющим половину шестиугольника CAJKHB. Поэтому шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики.
  Теорема доказана
  

• 9 слайд

  Доказательство методом вычитания
  Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника. Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник распадается на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим из прямоугольника сначала несколько частей так чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе. Эти части следующие:
  

• 10 слайд

  Доказательство методом вычитания
  треугольники 1, 2, 3, 4;
  прямоугольник 5;
  прямоугольник 6 и квадрат 8;
  прямоугольник 7 и квадрат 9;
  Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на катетах. Этими частями будут:
  прямоугольники 6 и 7;
  прямоугольник 5;
  прямоугольник 1(заштрихован);
  прямоугольник 2(заштрихован);
  
  

• 11 слайд

  Доказательство методом вычитания
  Нам осталось лишь показать, что отнятые части равновелики. Это легко видеть в силу расположения фигур. Из рисунка ясно, что:
  прямоугольник 5 равновелик самому себе;
  четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7;
  прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1 (заштрихован);;
  прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику 2(заштрихован);
  Доказательство закончено
  

• 12 слайд

  Доказательство Хоукинсa
  Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).
  

• 13 слайд

  Доказательство Хоукинсa
  SCAA'=b²/2, SCBB'=a²/2
  SA'AB'B=(a²+b²)/2
  Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA
  и DB, поэтому :
  
  SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2
  Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:
  a²+b²=c²
  Теорема доказана.
  

• 14 слайд

  Векторное доказательство
  Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство:b+c=a
  откуда имеем
  c = a - b
  возводя обе части в квадрат, получим
  c²=a²+b²-2ab
  Так как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда
  c²=a²+b² или c²=a²+b²
  Нами снова доказана теорема Пифагора.
  Если треугольник АВС - произвольный, то та же формула дает т. н. теорему косинусов, обобщающую теорему Пифагора.
  

• 15 слайд

  Доказательство Евклида
  Это доказательство было приведено Евклидом в его "Началах". По свидетельству Прокла (Византия), оно придумано самим Евклидом. Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги "Начал".
  На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL - квадрату АСКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе.
  В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними:
  

• 16 слайд

  Доказательство Евклида
  FB = AB, BC = BD
  
  РFBC = d + РABC = РABD
  
  Но
  SABD = 1/2 S BJLD,
  так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично
  SFBC=1\2S ABFH
  (BF-общее основание, АВ-общая высота). Отсюда, учитывая, что
  SABD=SFBC,
  имеем
  SBJLD=SABFH.
  Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что
  SJCEL=SACKG.
  Итак,
  SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED,
  что и требовалось доказать.
  

• 17 слайд

  Удивительный факт
  Вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно , было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора.
  Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.
  

• 18 слайд

  Итоги работы
  На самом деле существует много способов доказательства теоремы Пифагора: доказательство Евклида, Хоукинса, Вальдхейма, способ «луночками» Гиппократа, доказательство Басхары, Эпштейна, Нильсена, Бетхера, Перигаля, Гутхейля, векторное доказательство и многие другие…