Презентация на тему Вычисление объемов пространственных тел

• 1 слайд

  Вычисление объемов пространственных тел с помощью интеграла.
  Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск
  

• 2 слайд

  Немного теории.
  Чтобы получить представление об общем методе вычисления объемов различных пространственных фигур, попробуем найти объем лимона. Ни на одно из тел, изучаемых в школе (призма, пирамида, шар, конус и т.д.), лимон не похож. Однако, мы можем поступить как все хозяйки – разрезать лимон на тонкие ломтики, размер которых зависит от расстояния x, причем x[0;H].
  H
  x
  Тогда, по свойству объема, сумма объемов всех ломтиков даст нам объем всего лимона.
  

• 3 слайд

  Немного теории.
  H
  x
  x
  С точки зрения геометрии мы построили сечения пространственной фигуры плоскостями, перпендикулярными оси фигуры; причем, если принять число разбиений бесконечно большим числом (n→), то:
  Проще говоря, при бесконечном числе разбиений каждый ломтик «вырождается» в плоское сечение и объем лимона равен бесконечной интегральной сумме площадей таких сечений, зависящих от расстояния x, т.е.
  где H – высота тела, а Sсеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x[0;H].
  Sсеч.
  

• 4 слайд

  Немного теории (базовые классы могут пропустить).
  H
  x
  x
  Если принять число разбиений бесконечно большим числом (n→), то:
  где H – высота тела, а Sсеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x[0;H].
  Sсеч.
  

• 5 слайд

  I. Объем прямоугольного параллелепипеда
  с высотой H и площадью основания S.
  x
  H
  x[0;H]
  0
  Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.
  x
  

• 6 слайд

  II. Объем прямой призмы
  с высотой H и площадью основания S.
  x
  x[0;H]
  H
  0
  Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.
  x
  

• 7 слайд

  III. Объем n-угольной прямой призмы
  с высотой H и площадью основания S.
  x
  x[0;H]
  H
  0
  Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.
  x
  

• 8 слайд

  IV. Объем наклонной призмы
  с высотой H и площадью основания S.
  Площадь сечения, перпендикулярного высоте, не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.
  x
  H
  x[0;H]
  0
  x
  

• 9 слайд

  V. Объем треугольной пирамиды
  с высотой H и площадью основания S.
  H
  x
  x[0;H]
  
  x
  Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных треугольников, т.е.:
  0
  

• 10 слайд

  VI. Объем n-угольной пирамиды
  с высотой H и площадью основания S.
  H
  x
  Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных n-угольников, т.е.:
  x
  x[0;H]
  0
  

• 11 слайд

  VII. Объем усеченной пирамиды.
  текст
  

• 12 слайд

  VIII. Объем цилиндра с высотой H и площадью основания S.
  x
  x[0;H]
  H
  0
  x
  Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.
  

• 13 слайд

  IX. Объем конуса с высотой H и площадью основания S.
  x
  x[0;H]
  H
  x
  Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных кругов, т.е.:
  0
  

• 14 слайд

  X. Объем усеченного конуса.
  текст
  

• 15 слайд

  XI. Объем шара с радиусом R.
  Найдем объем полушария, как бесконечную интегральную сумму площадей сечения с радиусом r, где:
  R
  x
  Значит, объем всего шара равен:
  x
  0
  r
  

• 16 слайд

  XII. Объем шарового сегмента.
  Вывод объема шарового сегмента с высотой h и радиусом основания r отличается от вывода объема полушария нижним пределом интегрирования. В данном случае он равен R –h :
  r
  R
  h
  x
  h
  r
  Обратите внимание, что в формуле объема шарового сегмента участвует радиус шара (R), а не радиус основания сегмента (r)!
  

• 17 слайд

  XIII. Объем шарового слоя.
  текст
  

• 18 слайд

  XIV. Объем шарового сектора.
  текст
  h
  r
  R