Презентация по алгебре на тему "Геометрический смысл производной. Уравнение касательной"

• 1 слайд

  Геометрический смысл производной.
  Уравнение касательной.
  f (x)
  

• 2 слайд

  Подготовительная работа
  1. В прямоугольном треугольнике АВС длины катетов АС и ВС равны соответственно 5 см и 4 см, А = , В = . Найдите: tg  , tg 
  
  А
  В
  С
  

• 3 слайд

  Подготовительная работа
  2. Построить прямые у = 2х + 2, у = -х + 3, отметить угол  между каждой прямой и положительным направлением оси абсцисс и какую-нибудь точку М на стороне угла , не лежащей на оси абсцисс.
  
  3. Спроектировать точку М на ось абсцисс и найти tg.
  
  4. Сделать вывод.
  
  Тангенс угла, образованного прямой у = kx + b и положительным направлением оси абсцисс, равен k.
  tg  = k
  Число k называется угловым коэффициентом прямой
  y = kx + b.
  

• 4 слайд

  Подготовительная работа
  Если прямая параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, то угол между прямой и осью считается равным нулю, т. е. в этом случае тангенс угла равен угловому коэффициенту прямой
  у = b
  у = 0x + b, k =0
  
  Каков характер изменения функции?
  
  Если k > 0, то функция возрастает.
  Если k < 0, то функция убывает.
  Если k = 0, то функция постоянна.
  

• 5 слайд

  Подготовительная работа
  Назовите угловой коэффициент прямой и характер изменения функции:
  а) у = х + 4;
  б) у = -2х + 1;
  в) у = 3;
  
  Найдите угол между прямой и осью абсцисс:
  а) у = х + 1;
  б) у = -х + 2;
  
  
  
  

• 6 слайд

  Используя формулы и правила дифференцирования, найдите производные следующих функций:
  

• 7 слайд

  Оценить скорость изменения функций
  Охарактеризовать доходы мальчиков
  

• 8 слайд

  
  
  Определение производной
                      .
  

• 9 слайд

  Дать определение касательной к графику функции
  На каком из рисунков изображена касательная
  

• 10 слайд

• 11 слайд

  Новый материал
  Выясним геометрический смысл производной дифференцируемой функции y = f(x).
  Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и существует f′(x0).
  Рассмотрим график дифференцируемой функции y = f(x).
  В
  А
  f(x0)
  f(x0+h)
  x0 + Δх
  x0
  C
  Δх
  f(x0+Δх) – f(x0)
  Прямая АВ называется секущей к графику функции y = f(x).
  Угловой коэффициент прямой АВ k равен
  
  
  y = f(x)
  

• 12 слайд

  Новый материал
  Пусть Δх  0, тогда
  точка В, двигаясь по графику, приближается к точке А,
  а секущая поворачивается вокруг точки А.
  Если существует
  т.е. существует предельное положение секущей , то
  прямая
  называется касательной к графику
  функции y = f(x) в точке (х0; f(x0)).
  Итак, касательная к графику функции
  y = f(x) в точке (х0; f(x0))  предельное
  положение секущей ВА при Δх  0.
  
  В
  А
  f(x0)
  f(x0+Δх)
  x0 + Δх
  x0
  C
  Δх
  y = f(x)
  

• 13 слайд

  Новый материал
  Так как k0 – угловой коэффициент касательной, то
  
  
  где   угол, образуемый касательной с положительным направлением оси Ох.
  Итак,
  
  Геометрический смысл производной
  состоит в том, что значение
  производной функции f(x) в точке х0
  равно угловому коэффициенту
  касательной к графику функции
  у = f(x) в точке (х0; f(x0)).
  
  
  В
  А
  f(x0)
  f(x0+Δх)
  x0 + Δх
  x0
  C
  Δх
  f(x0+Δх) – f(x0)
  y = f(x)
  
  
  

• 14 слайд

  №1. Найдите угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой х0= - 2.
  
  
  
  

• 15 слайд

  №2. Укажите значение коэффициента k при котором графики линейных функций
  y = 8х+12 и y = kх – 3 параллельны.
  Ответ: 8.
  

• 16 слайд

  Закрепление
  № 253 (а, б), 254 (а, б), 257 (а, б)
  Учебник 10 – 11 класс / А. Н. Колмогоров
  

• 17 слайд

  .
  Уравнение касательной.
  f (x)
  

• 18 слайд

  1. В чем состоит геометрический смысл
  производной ?
  2. В любой ли точке графика можно провести
  касательную? Какая функция называется
  дифференцируемой в точке?
  3. Касательная наклонена под тупым углом к
  положительному направлению оси Ох.
  Что можно сказать о знаке производной и характере монотонности функции?
  4. Касательная наклонена под острым углом к
  положительному направлению оси Ох.
  Что можно сказать о знаке производной и характере монотонности функции?
  5. Касательная наклонена под прямым углом к
  положительному направлению оси Ох.
  Что можно сказать о производной?
  

• 19 слайд

  для дифференцируемых функций : 0° ≤ α ≤ 180°, α ≠ 90°
  α - тупой
  tg α < 0
  f ´(x₀) < 0
  α – острый
  tg α >0
  f ´(x1) >0
  положение
  касательной не
  определено
  tg α не сущ.
  f ´(x3) не сущ.
  α = 0
  tg α =0
  f ´(x2) = 0
  

• 20 слайд

  y
  
  x
  
  f (x)
  M
  

• 21 слайд

  y = f / (x0) · (x - x0) + f(x0)
  (x0; f(x0)) – координаты точки касания
  f´(x0) = tgα =k – тангенс угла наклона касательной в данной точке или угловой коэффициент
  (х;у) – координаты любой точки касательной
  
  
  
  
  
  Уравнение касательной
  

• 22 слайд

  №3. Напишите уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой х0= - 2.
  
  
  
  

• 23 слайд

  Закрепление
  № 255 (а, б), 256 (а, б)
  Учебник 10 – 11 класс / А. Н. Колмогоров
  
  

• 24 слайд

  Домашнее задание
  № 253 (в, г), 254 (в, г), 257 (в, г)
  № 255 (в, г), 256 (в, г)
  Учебник 10 – 11 класс / А. Н. Колмогоров
  
  

• 25 слайд

  Спасибо за внимание!
  

Краткое описание документа:

Презентация по алгебре на тему "Геометрический смысл производной. Уравнение касательной". Изложен теоретический материал: подготовительная работа (угловой коэффициент прямой на координатной плоскости), повторение(вычисление производных), новый материал (геометрический смысл производной, уравнение касательной). Приводятся примеры для закрепления, предлагаются задания из учебника.