Презентация по математике "Решение систем уравнений с двумя и более переменными".

• 1 слайд

  Решение систем уравнений с двумя и более переменными
  

• 2 слайд

  Приготовились смотреть и слушать.
  Все возникшие в ходе просмотра презентации вопросы помечаем в тетради и готовимся их задать.
  

• 3 слайд

  Понятие системы и совокупности уравнений
  Уравнения могут содержать несколько переменных. Например, х + у = 5 – уравнение с двумя переменными, х + у = z – уравнение с тремя переменными и т. д.
  Решением уравнения с двумя и более переменными называют упорядоченную пару или более значений переменных, обращающих это уравнение в истинное числовое равенство.
  

• 4 слайд

  Пусть дано несколько уравнений. Говорят, что множество уравнений образуют систему, если ставится задача найти пересечение множеств решений заданных уравнений.
  Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки.
  
  
  

• 5 слайд

  Примеры систем уравнений:
  
  а)х + 3у = 9,б) х2 + у2 = 25,
  2х – у = 4; х + 7у = 25;
  
  в)х + у + z = -2,
  х – у + 2z = -7,
  2х + 3у – z = 1.
  
  
  
  

• 6 слайд

  Определение
  Решением системы уравнений с двумя ( и более ) переменными называют упорядоченную пару ( множество пар ) чисел, являющуюся решением каждого из уравнений, входящих в систему.
  

• 7 слайд

  
  Например, решением системы а) является упорядоченная пара ( 3; 2 ); решением системы б) - упорядоченная пара ( 4; 3 ); решением системы в) – упорядоченная тройка чисел ( -3; 2; -1 ).
  Решить систему уравнений – значит найти множество всех её решений. Оно также может быть пустым.
  Итак, решить систему уравнений – значит найти пересечение множеств решений уравнений, входящих в эту систему.
  

• 8 слайд

  
  Для решения некоторых систем можно использовать графики уравнений. Рассмотрим систему двух линейных уравнений
  a1x + b1x = c1,
  a2x + b2x = c2.
  Графиками этих уравнений являются прямые (если хотя бы один из коэффициентов при переменных в каждом из них не равен нулю):
  если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение;
  если прямые параллельны, то система не имеет решений;
  если прямые совпадают, то множество решений бесконечно.
  

• 9 слайд

  
  Для нахождения решений системы с помощью графиков уравнений поступают следующим образом:
  1) строят графики каждого уравнения системы;
  2) находят координаты точек пересечения построенных графиков ( если они пересекаются );
  3) записывают ответ.
  

• 10 слайд

  
  Множество уравнений с двумя переменными образует совокупность, если нужно найти объединение множеств их решений.
  Для обозначения совокупности уравнений используется квадратная скобка
  у = 2х – 3,
  [ . Например, запись 3у + 2х = 1 совокупность двух уравнений. При записи совокупности в строчку используют логическую связку “или”. Например, у = 2х – 3 или 3у + 2х = 1.
  

• 11 слайд

  
  Упорядоченная пара чисел, которая хотя бы одно из уравнений совокупности обращает в истинное числовое равенство, называется решением этой совокупности.
  
  Множество решений совокупности есть объединение множеств решений, входящих в неё уравнений.
  

• 12 слайд

  Способы решений систем уравнений
  

• 13 слайд

  Способ равносильных переходов и способ проверки. Метод подстановки
  1. Способ равносильных переходов. В основе этого способа лежит понятие равносильности систем уравнений.
  Две системы уравнений на множестве Х называют равносильными, если множества их решений совпадают.
  Замену одной системы другой, равносильной первой, на множестве Х, называют равносильным переходом на множестве Х.
  

• 14 слайд

  
  Утверждения о равносильных переходах от одной системы к другой:
  1) Если одно из уравнений системы заменить на равносильное уравнение, то получится система, равносильная исходной.
  Например, системы уравнений
  у – х = 8, и у = х + 8,
  х2 + у = 14 х2 + у = 14
  равносильны, т. к. уравнение у – х = 8 равносильно уравнению у = х + 8.
  

• 15 слайд

  
  2) Если одно из уравнений системы заменить суммой каких-либо двух уравнений данной системы, то получится система, равносильная исходной.
  Суммой двух уравнений f(x) = g(x) и h(x) = l(x) называется уравнение вида
  f(х) + h(х) = g(х) + l(х).
  Например, системы уравнений
  2х + 3у = -8,и3х = 33,
  х – 3у = 41 х – 3у = 41
  равносильны по данному утверждению.
  

• 16 слайд

  
  3) Если одно из уравнений системы выражает зависимость какой-либо переменной, например х, через другие переменные, то, заменив в каждом другом уравнении системы переменную х на её выражение через другие переменные, получится система, равносильная исходной.
  Например, системы уравнений
  х = у – 1, и х = у – 1,
  у2 – х = 39 у2 – у + 1 = 39
  Равносильны по данному утверждению.
  

• 17 слайд

  
  2. Способ проверки. В основе способа лежит понятие следствия. Пусть даны две системы уравнений
  f1(x, y) = 0,(1)
  f2(x, y) = 0
  
  g1(x, y) = 0,(2)
  g2(x, y) = 0.
  Систему (2) называют следствием системы (1), если каждое решение системы (1) является и решением системы (2).
  

• 18 слайд

  
  Переход к системе-следствию записывается с помощью знака =>:
  
  f1(x, y) = 0, => g1(x, y) = 0, f2(x, y) = 0 g2(x, y) = 0
  
  В этом случаи множество решений системы (2) может быть шире множества решений системы (1). Как правило, при решении систем переход от данной системе к её следствию происходит за счёт того, что одно из уравнений исходной системы заменяется его следствием. Посторонние решения, которые могут при этом появляться, исключают, выполняя проверку.
  

• 19 слайд

  
  Важным способом решения систем уравнений является метод подстановки, основанный на равносильном переходе:
  
  y = f(x), <=>y = f(x),
  g(x; y) = 0g(x; f(x)) = 0
  
  
  

• 20 слайд

  Пример. Решим систему уравнений
  х – у = 1,
  х2 – у2 = ху – 1.
  Решение. Из первого уравнения находим х = у + 1. Подставив выражение у + 1 во второе уравнение системы, получим уравнение (у + 1)2 – у2 = (у + 1)у – 1, далее имеем: у2 + 2у + 1 – у2 = у2 + у - 1, у2 – у – 2 = 0, откуда у = 2 или у = -1. Соответствующие значения х найдём из уравнения х = у + 1. Если у = 2, то х = 3; если у = -1, то х = 0.
  Ответ: {(3;2), (0; -1)}.
  

• 21 слайд

  
  Для решения системы уравнений с двумя переменными методом подстановки поступают следующим образом:
  1) выражают из какого-либо уравнения системы одну переменную через другую;
  2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
  3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
  4) находят соответствующие значения второй переменной;
  5) записывают ответ.
  

• 22 слайд

  Метод алгебраического сложения
  Ещё одним важным методом решения систем уравнений является метод сложения, основанный на следующем утверждении:
  если одно из уравнений системы оставить без изменения, а другое заменить суммой уравнений системы, то получится система, равносильная данной.
  

• 23 слайд

  
  Пример. Решим систему уравнений
  2х – у - ху = 14,
  х + 2у + ху = -7.
  Решение. Сложив почленно левые и правые части уравнений и оставив первое уравнение системы, получим более простую систему, равносильную данной:
  2х – у - ху = 14,
  3х + у = 7.
  Решив эту систему методом подстановки, найдём решение исходной системы {(3; -2), (-7/3; 14)}.
  Ответ: {(3; -2), (-7/3; 14)}.
  

• 24 слайд

  
  Для решения системы уравнений с двумя переменными методом алгебраического сложения поступают следующим образом:
  1) обе части первого уравнения на некоторый множитель, обе части второго уравнения умножают на другой множитель (если это требуется). Эти множители подбираются так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях стали противоположными числами;
  2) уравнения почленно складывают и решают полученное уравнение с одной переменной;
  3) вторую переменную находят подстановкой найденного значения первой переменной в одно из уравнений системы;
  4) записывают множество решений системы.
  

• 25 слайд

  Метод введения новых переменных
  Сущность этого метода решения систем уравнений раскрывается на конкретном примере.
  Пример. Решим систему уравнений
  (х + у)² - 2(х + у) – 15 = 0,
  ху = 6.
  Решение. Пусть х + у = а, тогда первое уравнение системы примет вид а² - 2а – 15 = 0, откуда находим: а = -3 или а = 5.
  

• 26 слайд

  
  Значит, первое уравнение системы равносильно совокупности двух уравнений:
  х + у = -3 или х + у = 5.
  Соответственно исходная система равносильна совокупности систем:
  х + у = -3, или х + у = 5,
  ху = 6 ху = 6.
  Каждую из систем можно решить, например, методом подстановки. Заметим, что первая система не имеет решений.
  Ответ: {(2; 3), (3; 2)}.
  

• 27 слайд

  Метод Гаусса
  Линейным уравнением с тремя переменными х, у, z называется уравнение вида
  ах + bу + сz = d,(1)
  где а, b, с, d – некоторые числа.
  Напомним, что решением уравнения (1) является упорядоченная тройка чисел (х0,у0,z0), обращающая это уравнение в верное числовое равенство.
  

• 28 слайд

  
  Например, решением уравнения 2х + у + z = 13 является упорядоченная тройка чисел х = 1, у = 2, z = 3, а также можно записать как (1; 2; 3).
  При нахождении решений систем линейных уравнений с тремя переменными удобно пользоваться методом последовательного исключения переменных, который также называют методом Гаусса. Раскроем его сущность на конкретном примере.
  

• 29 слайд

  
  Пример. Решим систему линейных уравнений
  х + 2у – z = 7,
  2х – у + z = 2,
  -3х +5у - 2z = 7.
  Решение. Умножим первое уравнение системы на -2 и сложим его почленно со вторым уравнением. Затем первое уравнение системы умножим на 3 и сложим его почленно с третьим уравнением.
  

• 30 слайд

  
  Получим равносильную исходной систему, в которой переменная х будет исключена из второго и третьего уравнений
  х + 2у + z = 7,
  -5у + 3z = -12,
  11у - 5z = 28.
  Разделим почленно второе уравнение на -5 и получим у – 0,6z = 2,4 – уравнение с коэффициентом 1 при переменной у.
  

• 31 слайд

  
  Прибавив почленно это уравнение, умноженное на -11, к третьему уравнению системы (2) и решив полученное уравнение, имеем z = 1. В результате преобразований получили систему
  х + 2у – z = 7,
  у – 0,6z = 2,4,
  z = 1.
  Такая система легко решается: z = 1, у = 2,4 + 0,6z = 3, х = 7 + z – 2у = 2.
  Ответ: {(2; 3; 1)}.
  
  
  

• 32 слайд

  
  
  Итак, система линейных уравнений может:
  а) иметь единственное решение;
  б) не иметь решений;
  в) иметь бесконечно много решений.
  

• 33 слайд

  
  Какие возникли вопросы?
  
  

• 34 слайд

  КОНЕЦ
  

Краткое описание документа:

Решение систем уравнений различными способами. Презентация позволит учащимся расширить свои знания по методам решения систем уравнений, даст возможность обратиться к этим методам в любое время, открыв презентацию на своём ПК, ноутбуке или планшете. Рассмотренные примеры решения систем с тремя и более неизвестными расширяют базовый уровень знаний учащихся. Возможно применение предлагаемой разработки на факультативных занятиях и занятиях математического кружка.