Презентация " Случайный выбор точки на некоторой дуге окружности"

• 1 слайд

  Случайный выбор точки на дуге окружности
  Выполнил:Костин Матвей
  Учитель: Сингатулина М.И.
  

• 2 слайд

  На окружности даны точки А и В, причем эти точки не являются диаметрально противоположными. На этой же окружности выбирается точка С. Найти вероятность того, что отрезок ВС пересечёт диаметр окружности, проходящий через точку А.
  Решение: Пусть длина окружности равна L. Интересующее нас событие К «отрезок ВС пересекает диаметр DA» наступает, только если т. С лежит на полуокружности DA, не содержащей точку В. Длина этой полуокружности равна L.
  

• 3 слайд

  На окружности взята точка А. На окружность «бросают» точку В. Какова вероятность того, что длина хорда АВ будет меньше радиуса окружности.
  Решение: Пусть r – радиус окружности. Для того чтобы хорда АВ была короче радиуса окружности, точка В должна попасть на дугу В1АВ2, длина которой равна длины окружности. Вероятность того, что длина хорды АВ будет меньше радиуса окружности, равна:
  .
  

• 4 слайд

  Задача: На плоскости дана фигура в виде прямоугольника со сторонами a и b, а также вписанная в этот прямоугольник окружность радиусом r ( r < a/2 и r < b/2). Найдите вероятность того, что случайно выбранная точка из этой фигуры будет находиться в пределах окружности.
  
  
  Решение: Обозначим случайную точку, выбранную из данной фигуры, как точку А. Чтобы точка А была в пределах окружности, она должна находиться в пределах прямоугольника и находиться внутри окружности. Вероятность выбора точки А из прямоугольника может быть найдена как отношение площади окружности к площади прямоугольника: P(A внутри прямоугольника) = S(окружность) / S(прямоугольник) = πr^2 / ab, где ab - площадь прямоугольника, πr^2 - площадь окружности. Теперь оценим, находится ли точка А внутри окружности. Для этого воспользуемся геометрией. Пусть точка А имеет координаты (x, y). Точка А будет находиться внутри окружности, если расстояние между точкой А и центром окружности (0,0) будет меньше или равно радиусу окружности r: √(x^2 + y^2) ≤ r. Таким образом, мы можем записать условие, которому должна удовлетворять случайно выбранная точка А: x^2 + y^2 ≤ r^2. Это условие представляет собой уравнение круга с центром в (0,0) и радиусом r. Теперь нам нужно найти вероятность P(A внутри окружности) с учетом условия x^2 + y^2 ≤ r^2. Для этого нужно найти площадь окружности, удовлетворяющей этому условию, и поделить ее на площадь всей фигуры прямоугольника: P(A внутри окружности) = S(окружность, удовлетворяющая условию) / S(прямоугольник). Площадь окружности, удовлетворяющей условию, может быть найдена как разность площади обычной окружности радиусом r и площади окружности, удовлетворяющей условию x^2 + y^2 ≤ r^2: S(окружность, удовлетворяющая условию) = πr^2 - S(окружность с условием x^2 + y^2 > r^2). Площадь прямоугольника ab может быть найдена как произведение его сторон a и b: S(прямоугольник) = ab. Таким образом, вероятность P(A внутри окружности) будет: P(A внутри окружности) = (πr^2 - S(окружность с условием x^2 + y^2 > r^2)) / ab. Варьируя радиус r и размеры прямоугольника a и b, мы можем найти вероятность P(A внутри окружности) для каждой конкретной ситуации.
  

• 5 слайд

  В шар брошена случайная точка.
  а) С какой вероятностью она попадёт в центр шара?
  Решение:Объём одной точки (центра шара) равен нулю, значит и искомая вероятность равна 0
  Ответ: 0
  б) С какой вероятностью она попадёт на какой-нибудь диаметр шара?
  Решение: Любая точка шара всегда попадает на какой-нибудь диаметр. Поэтому вероятность равна единице.
  Ответ: 1.
  в) С какой вероятностью она попадёт в одно, определённое, полушарие?
  Решение: При решении этой задачи используем отношение объемов фигур. Пусть весь объём шара равен V. Все точки шара - трёхмерная фигура Ω. Искомая вероятность равна отношению объёма полушария V(A) к объёму шара V: Ответ: 0.5
  

• 6 слайд

  В круг радиуса см вписан равнобедренный прямоугольный треугольник. В круг наудачу ставится точка. Найдите вероятность того, что она не попадёт в данный треугольник. При необходимости в расчетах используйте значение π с точностью до целых. Решение: Площадь круга равна:
  Гипотенуза прямоугольного треугольника, вписанного в круг, равна диаметру круга (прямой угол опирается на диаметр), то есть
  Поскольку треугольник равнобедренный, его катеты равны между собой, и по теореме Пифагора каждый катет равен . Площадь такого треугольника будет равна
  (можно найти площадь треугольника, не вычисляя длины катета: рассмотрим квадрат со стороной, равной гипотенузе нашего треугольника, площадь такого квадрата в четыре раза больше площади треугольника
  Вероятность попадания точки в треугольник равна отношению площадей треугольника и круга:
  Ответ: 1/3
  

• 7 слайд

• 8 слайд

  Спасибо за внимание!