Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по алгебре 8 класс на тему " Квадратные уравнения"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация по алгебре 8 класс на тему " Квадратные уравнения"

библиотека
материалов
Квадратные уравнения Теория. Примеры решения задач. История Классификация При...
ИСТОРИЯ Процесс " решения" уравнения есть просто акт приведения его к возможн...
ИСТОРИЯ Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне Квадратные уравнения в Европе...
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в др...
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЕВРОПЕ XIII-XVII ВЕКОВ Уравнение есть равенство, котор...
ФРАНСУА ВИЕТ Виет (1540-1603) сделал решающий шаг, введя символику во все алг...
ах2 + bx = 0 ( с=0 ) решается с помощью разложения на множители х(ax + b) = 0...
Формула корней квадратного уравнения ax2 + bx +c = 0 ( а≠0): Зависимость числ...
Если х1 и х2 - корни уравнения х2 + px + q =0, то справедливы формулы: x1+x2...
ПРИМЕНЕНИЕ
БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Уравнение ax4 + bx2 + c = 0, где а не равно 0, называю...
ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ При решении дробных рациональных уравнений пос...
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Задача. Решить систему уравнений: (x-y)2=12 x+y=2 Решение:...
ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ Задача. На лист картона, имеющий форму прямоугольника длиной...
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ Задача. При каких значениях а уравнение х2 - 2ах + а(1 +...
РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ Квадратный трехчлен ax2 + bx +...
ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ Расмотрим приведенное квадра...
17 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Квадратные уравнения Теория. Примеры решения задач. История Классификация При
Описание слайда:

Квадратные уравнения Теория. Примеры решения задач. История Классификация Применение Итоговый тест

№ слайда 2 ИСТОРИЯ Процесс " решения" уравнения есть просто акт приведения его к возможн
Описание слайда:

ИСТОРИЯ Процесс " решения" уравнения есть просто акт приведения его к возможно более простой форме. В какой бы форме уравнение ни было написано, его информационный характер остается тот же. Лодж О.  Впервые квадратное уравнение сумели решить математики древнего Египта. В одном из папирусов есть задача: "Найти длину прямоугольного поля, если площадь 12, а длины равны ширине. Пусть х - длина поля. Тогда - его ширина, S = - площадь. Получилось квадратное уравнение =12. В папирусе дано правило: "Разделить 12 на ". 12 : =12 · =16. Итак, х2 =16. "Длина поля равна 4" - указано в папирусе. Прошли тысячелетия, и сейчас мы получим два корня уравнения: -4 и 4.Но в египетской задаче и мы приняли бы х = 4,т.к. длина поля может быть только положительной величиной.

№ слайда 3 ИСТОРИЯ Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне Квадратные уравнения в Европе
Описание слайда:

ИСТОРИЯ Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII веков. Франсуа Виет

№ слайда 4 Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в др
Описание слайда:

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных табличках встречаются и неполные, и полные квадратные уравнения, например: х2 + x = 3/4, х2 - x = 14,5. Правило решения этих уравнений изложено в вавилонских текстах и по существу совпадает с современным, но не известно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, не говоря, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах нет понятия отрицательного числа и общих методов решения квадратных уравнений. КАК ВАВИЛОНЯНЕ РЕШАЛИ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ УРАВНЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ НАИБОЛЕЕ СЕРЬЕЗНУЮ И ВАЖНУЮ ВЕЩЬ В МАТЕМАТИКЕ. Лодж О.

№ слайда 5 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЕВРОПЕ XIII-XVII ВЕКОВ Уравнение есть равенство, котор
Описание слайда:

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЕВРОПЕ XIII-XVII ВЕКОВ Уравнение есть равенство, которое еще не является истинным, но которое стремятся сделать истинным, не будучи уверенными, что этого можно достичь. Фуше А. Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал- Хорезми в Европе были впервые изложены в "Книге абака", написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фиббоначи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Общее правило решения квадратных уравнений,приведенных к единому каноническому виду х2 + bx = c при возможных комбинациях знаков коэффициентов b,c, было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

№ слайда 6 ФРАНСУА ВИЕТ Виет (1540-1603) сделал решающий шаг, введя символику во все алг
Описание слайда:

ФРАНСУА ВИЕТ Виет (1540-1603) сделал решающий шаг, введя символику во все алгебраические доказательства путем применения буквенных обозначений для выражения как известных, так и неизвестных величин не только в алгебре, но также и в тригонометрии. Бернал Д. Франсуа Виет родился в городке Фонтене-ле-Конт, недалеко от знаменитой крепости Ла- Рошель.Получил юридическое образование,но стал секретарем и домашним учителем.Тогда Виет очень увлекся изучением астрономии и тригонометрии и даже получил некоторые важные результаты. В 1571 году Виет переехал в Париж,где возобновил адвокатскую практику а позже стал советником парламента в Бретани.Занял должность тайного советника сначала при королеГенрихе III, а затем и при Генрихе IV. Одним из самых замечательных достижений Виета на королевской службе была разгадка шифра из 500 знаков, меняющихся время от времени, которым пользовались испанцы. Из-за религиозных противоречий был отстранен от двора и вернулся на службу лишь после разрыва короля с герцогами Гизами. Четыре года опалы оказались чрезвычайно плодотворными для Виета. Математика стала его единственной страстью. Мог просиживать за письменным столом по трое суток подряд, только иногда забываясь сном на несколько минут. Именно тогда он начал большой труд, который назвал "Искусство анализа или Новая алгебра".Книгу завершить не удалось, но главное было написано. И это главное определило развитие всей математики Нового времени.

№ слайда 7 ах2 + bx = 0 ( с=0 ) решается с помощью разложения на множители х(ax + b) = 0
Описание слайда:

ах2 + bx = 0 ( с=0 ) решается с помощью разложения на множители х(ax + b) = 0 x=0 или ax+b=0 x=-b/a Неполные квадратные уравнения (если хотя бы один из коэффициентов b или c равен 0 ) Неприведенные ах2 + bx + c = 0 Приведенные (если а = 1 ) х2 + px +q = 0 КЛАССИФИКАЦИЯ Квадратным уравнением называется уравнение вида aх2 + bx + c = 0, где х - неизвестное, a,b,c - заданные числа, причем а≠0; а называют старшим коэффициентом, b - вторым коэффициентом, c - свободным членом. Полные квадратные уравнения ax2 + c = 0 ( c не равно 0 ) приводится к виду х2 =d, где d=-с/d если d>0, x= и х=- если d<0, корней нет ах2 =0 имеет корень х=0

№ слайда 8 Формула корней квадратного уравнения ax2 + bx +c = 0 ( а≠0): Зависимость числ
Описание слайда:

Формула корней квадратного уравнения ax2 + bx +c = 0 ( а≠0): Зависимость числа корней квадратного уравнения от дискриминанта D: D = b2 - 4ac D > 0 D = 0 D < 0 Уравнение имеет два корня: Уравнение имеет один корень x = -b/(2a) Уравнение не имеет корней

№ слайда 9 Если х1 и х2 - корни уравнения х2 + px + q =0, то справедливы формулы: x1+x2
Описание слайда:

Если х1 и х2 - корни уравнения х2 + px + q =0, то справедливы формулы: x1+x2 =-p, x1x2 = q, т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Теорема Виета.

№ слайда 10 ПРИМЕНЕНИЕ
Описание слайда:

ПРИМЕНЕНИЕ

№ слайда 11 БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Уравнение ax4 + bx2 + c = 0, где а не равно 0, называю
Описание слайда:

БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Уравнение ax4 + bx2 + c = 0, где а не равно 0, называют биквадратным. После замены х2 = t биквадратное уравнение сводится к квадратному. Задача. Решить биквадратное уравнение. 2х4 - 5х2 + 2 = 0 Решение: Обозначим х2 = t. Тогда х4 = (х2)2 = t2 и уравнение примет вид: 2t2 - 5t + 2 = 0 D = (- 5)2 – 4 · 2·2 = 25 – 16 = 9 >0, t1=(5 + 3)/4 = 2 и t2=(5 - 3)/4 = 1/2 Так как t = x2, то корни исходного уравнения найдем в результате решения уравнений х2=2 и х2=1/2. Имеем: Ответ:

№ слайда 12 ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ При решении дробных рациональных уравнений пос
Описание слайда:

ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ При решении дробных рациональных уравнений поступают следующим образом: находят общий знаменатель дробей, входящих в уравнение; умножают обе части уравнения на общий знаменатель (или на дополнительные множители); решают получившееся целое уравнение; исключают из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель. Задача: решить дробное рациональное уравнение. Решение: Ответ: 2.

№ слайда 13 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Задача. Решить систему уравнений: (x-y)2=12 x+y=2 Решение:
Описание слайда:

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Задача. Решить систему уравнений: (x-y)2=12 x+y=2 Решение: Выразим х через y: х = 2 - у. Подставим выражение для х в первое уравнение: (2 – у – у)2 = 12 (2 – 2у)2 = 12 4 – 8у + 4у2 – 12 = 0 4у2 – 8у – 8 = 0 у2 – 2у – 2 = 0 D= (-2)2 – 4·(-2) = 12 Подставим найденные значения в выражение для х: ОТВЕТ:

№ слайда 14 ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ Задача. На лист картона, имеющий форму прямоугольника длиной
Описание слайда:

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ Задача. На лист картона, имеющий форму прямоугольника длиной 30 см, а шириной 20 см, наклеили картину, имеющую форму прямоугольника площадью 200 см2, так, что края картины находятся на одинаковом расстоянии от краев листа. Найти это расстояние. Решение. Пусть искомое расстояние равно х см. Тогда длина картины равна (30-2х) см, ширина равна (20-2х) см. Площадь картины равна (30-2х)(20-2х) см2. Так как по условию площадь картины 200 см2, получим уравнение: (30-2х)(20-2х)=200 600 - 60х - 40х + 4х2 = 200 4х2 - 100х + 400 = 0 х2 -25х + 100 = 0 х1=5 и х2=20 х=20 - не подходит по смыслу задачи Значит, искомое расстояние - 5 см. Ответ: 5 см.

№ слайда 15 ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ Задача. При каких значениях а уравнение х2 - 2ах + а(1 +
Описание слайда:

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ Задача. При каких значениях а уравнение х2 - 2ах + а(1 + а) = 0 а) имеет два различных корня; б) имеет только один корень; в) не имеет корней. Решение. Найдем дискриминант квадратного уравнения D = (-2а)2 - 4a(1 + a) = 4a2 - 4a - 4a2 = -4a а) Уравнение имеет два различных корня, если D>0: -4a>0, то есть a<0. б) Уравнение имеет только один корень, если D=0: -4a = 0, то есть а = 0. в) Уравнение не имеет корней, если D<0: -4a<0, то есть a>0. Ответ: при a<0 уравнение имеет два различных корня при а=0 уравнение имеет только один корень; при a>0 уравнение не имеет корней.

№ слайда 16 РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ Квадратный трехчлен ax2 + bx +
Описание слайда:

РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ Квадратный трехчлен ax2 + bx + c тогда и только тогда представим в виде произведения линейных множителей с действительными коэффициентами: аx2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), когда дискриминант D=b2-4ac этого квадратного трехчлена неотрицателен (х1 и х2 - корни трехчлена) Задача. Разложить на множители квадратный трехчлен 6х2 -7х + 2 Решение. Выносим коэффициент при х2 за скобки: 6х2-7х+2=6(х2-7/6х+2/6) Находим корни уравнения х2 - (7/6)х + 2/6 = 0: D=b2-4ac=49-4·6·2=1>0 х1=1/2; х2=2/3 Запишем: 6х2-7х+2 = 6(х-1/2)(х-2/3) = (2х-1)(3х-2) Ответ: 6х2-7х+2=(2х-1)(3х-2)

№ слайда 17 ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ Расмотрим приведенное квадра
Описание слайда:

ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ Расмотрим приведенное квадратное уравнение. х2+px+q=0 Перепишем его в виде: x2=-px-q Построим графики зависимости: y=x2; y=-px+q График первой зависимости - парабола. График второй зависимости - прямая. Найдем точки пересечения параболы и прямой, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения. Если парабола и прямая не имеют общих точек, то соответствующее квадратное уравнение не имеет решений. Этот способ удобен, если не требуется большой точности.

Краткое описание документа:

Данная презентация поможет ярко и интересно провести первые уроки по алгебре по теме " Квадратные уравнения" .

Здесь же представлен материал по истории решения квадратных уравнений, как Вавилоняни решали квадратные уравнения, квадратные уравнения в Европе 13-17 веков, о математике Франсуа Виете.

Дана классификаци квадратных уравнений. Теорем Виета.

 

Рассмотрены методы решения биквадратных уравнений, дробно-рациональных, систем уравнений, уравнений с параметрами, графический спасоб решения квадратных уравнений, разложение квадратного трехчлена не множители, текстовые задачи,

Автор
Дата добавления 01.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров452
Номер материала 357597
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх