Презентация по математике "Число Пи. История. Реальность. Гипотезы". (8-11 класс)

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Число
  История,
  реальность,
  гипотезы
  

• 

  2 слайд

  В глубокой древности считалось, что окружность ровно в 3 раза длиннее диаметра. Эти сведения содержатся в клинописных табличках Древнего Междуречья. Такое же значение можно извлечь из текста Библии:
  Введение
  назад
  вперёд
  «И сделал литое из меди море, — от края его до края его десять локтей, — совсем круглое... и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом»
  (3 Цар. 7. 23)
  Однако уже во II тысячелетии до н. э. математики Древнего Египта находили более точные значения отношения длины окружности к её диаметру, названное позднее числом π
  

• 

  3 слайд

  Числом π называется отношение длины окружности к её диаметру. Это отношение постоянно для любых окружностей и выражается иррациональным числом.
  О числе π
  назад
  вперёд
  Ламберт Иоганн Генрих
  (1728 - 1777),
  немецкий математик,
  астроном, физик
  Это означает, что число π не является целым или дробным, иррациональные числа могут быть представлены только бесконечными непериодическими десятичными дробями. Иррациональность числа π была установлена и доказана немецким математиком И. Ламбертом в 1766 г.
  
  

• 

  4 слайд

  В цифрах числа π после запятой нет цикличности и системы.
  назад
  вперёд
  Лиувилль Жозеф
  (1809 -1882) французский
  математик
  Кроме того, число π является трансцендентным, то есть оно не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами (этот факт стал основной сложностью перед учёными, вычислявшими точное значение числа π).
  
  Существование трансцендентных чисел и, в частности, трансцендентность числа π впервые установил Ж. Лиувилль в 1844 г.
  
  О числе π
  

• 

  5 слайд

  Итак, число π является иррациональным трансцендентным числом, цифровое представление которого является бесконечной непериодической десятичной дробью, равной отношению длины окружности к её диаметру.
  назад
  вперёд
  Так выглядят первые 350 десятичных знаков числа π:
  3. 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 2 3 0 7 8 1 6 4 0 6 2 8 6 2 0 8 9 9 8 6 2 8 0 3 4 8 2 5 3 4 2 1 1 7 0 6 7 9 8 2 1 4 8 0 8 6 5 1 3 2 8 2 3 0 6 6 4 7 0 9 3 8 4 4 6 0 9 5 5 0 5 8 2 2 3 1 7 2 5 3 5 9 4 0 8 1 2 8 4 8 1 1 1 7 4 5 0 2 8 4 1 0 2 7 0 1 9 3 8 5 2 1 1 0 5 5 5 9 6 4 4 6 2 2 9 4 8 9 5 4 9 3 0 3 8 1 9 6 4 4 2 8 8 1 0 9 7 5 6 6 5 9 3 3 4 4 6 1 2 8 4 7 5 6 4 8 2 3 3 7 8 6 7 8 3 1 6 5 2 7 1 2 0 1 9 0 9 1 4 5 6 4 8 5 6 6 9 2 3 4 6 0 3 4 8 6 1 0 4 5 4 3 2 6 6 4 8 2 1 3 3 9 3 6 0 7 2 6 0 2 4 9 1 4 1 2 7 3 7 2 4 5 8 7 0 0 6 6 0 6 3 1 5 5 8 8 1 7 4 8 8 1 5 2 0 9 2 0 9 6 2 8
  О числе π
  П
  

• 

  6 слайд

  Символ, которым математики обозначают число π, является одноимённой буквой греческого алфавита.
  назад
  вперёд
  Леонард Эйлер (1707 – 1783), математик, механик и физик.
  Обозначение числа π
  Это обозначение, образованное от первой буквы греческого слова perijereia (окружность) стало общепринятым после работы Леонарда Эйлера, знаменитого математика и физика, относящейся к 1736 году, однако впервые оно было употреблено английским математиком У. Джонсом в 1706 году.
  
  

• 

  7 слайд

  За последние несколько лет математикам удалось сделать важный шаг к ответу на вопрос, насколько случайны цифры числа π. Им удалось связать теорию чисел с теорией хаоса.
  назад
  вперёд
  Свойства числа π
  Теперь, когда значение числа π известно с точностью до триллионов знаков после запятой, есть основание утверждать, что в нем нет ни одной циклической последовательности и, если математики не ошибаются, никогда не будет, сколько бы еще знаков ни вычислили.
  
  П
  

• 

  8 слайд

  Любая последовательность цифр одинаковой длины встречается в числе π с одинаковой частотой.
  назад
  вперёд
  Свойства числа π
  Например, вероятность найти последовательность 234 равна вероятности обнаружить 876; а 23568 попадается так же часто, как 98427.
  
  Математики называют такие числа "нормальными". Другие примеры "нормальных" чисел - корень квадратный из 2 и натуральный логарифм 2.
  
  

• 

  9 слайд

  Но, до сих пор строгого доказательства нормальности числа π нет. Как считает Дэвид Бэйли из Национальной лаборатории Лоуренс Беркли в США, нормальность некоторых математических констант связана с гипотезами из области хаотической динамики.
  назад
  вперёд
  Исследование числа π
  Бэйли и его канадские коллеги - математики Питер Борвин и Саймон Плуфф написали компьютерную программу, вычисляющую произвольную цифру числа π, не вычисляя предыдущие, - раньше это считалось невозможным.
  

• 

  10 слайд

  Отличительная особенность алгоритма Бэйли - то, что он работает не целиком с числом, а с его фрагментами. То есть ученые взяли числа 0.314; 0.141; 0.415; 0.159 и т.д. Все они составлены из трех последовательных цифр числа π. Если цифры π случайны, то все эти числа должны быть случайно распределены между 0 и 1.
  
  Правда, ученые работали не с десятичной, а с двоичной записью числа π, то есть с последовательностями из нулей и единиц.
  назад
  вперёд
  Исследование числа π
  

• 

  11 слайд

  Вычисления по созданной Бэйли и его коллегами программе показали, что цифры числа π ведут себя в соответствии с теорией хаоса, то есть, их последовательность действительно случайна.
  назад
  вперёд
  Возможные применения этих результатов:
  Исследование числа π
  - новый алгоритм генератора случайных чисел
  - разработка криптографических алгоритмов
  

• 

  12 слайд

  Из того факта, что в цифрах числа π после запятой нет цикличности и системы, следует, что в десятичном разложении π присутствует любая последовательность цифр, какую только можно себе представить.
  
  Это позволяет предположить, что в числе π, в закодированном виде, содержатся все написанные и ненаписанные книги, и вообще любая информация, которая существовала, существует и будет известна человечеству.
  
  Остаётся только найти способ расшифровать эту информацию. Предполагается, что такие работы сейчас ведутся в Пентагоне. Несмотря на то, что у этой теории очень много воодушевлённых грандиозностью перспективы поклонников, многие учёные относятся к ней скептически.
  назад
  вперёд
  Исследование числа π
  

• 

  13 слайд

  Число π стало одной из древнейших математических загадок. Еще большую загадочность оному придает тот факт, что тайна числа π простирается далеко за границы чистой математики - это число вы найдете везде:
  назад
  вперёд
  Подобное всеобъемлющее присутствие этого набора чисел действительно заставляет задуматься. Может быть, узнай мы закономерность этого числа, перед нами откроются доселе неизвестные тайны вселенной?
  - в астрономии;
  - в теории вероятности;
  - в статистике;
  - в физике звука и света;
  - в биологии и генетике.
  Свойства числа π
  

• 

  14 слайд

  Для запоминания большого числа знаков существуют забавные поговорки и стихи.
  Запоминание числа π
  назад
  вперёд
  В следующих фразах знаки числа π можно определить по количеству букв в каждом слове:
  Нужно только постараться
  И запомнить всё как есть:
  Три, четъ/рнадиатъ, пятнадцать,
  Девяносто два и шесть.
  «Что я знаю о кругах?» (π ~ 3,1416);
  «Вот и знаю я число, именуемое Пи. — Молодец!» (π ~ 3,1415927);
  «Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать» (π ~ 3,141 59265359).
  

• 

  15 слайд

  Через число π может быть определена любая другая математическая константа, включая константу постоянной тонкой структуры ά, константу золотой пропорции (f = 1,618…), не говоря уж о числе e.
  
  Математикам удалось получить соотношение, связывающее эти безразмерные константы.
  
  Формула имеет вид:
  назад
  вперёд
  Свойства числа π
  

• 

  16 слайд

  Полученные результаты подтверждают геометрический статус постоянной тонкой структуры, а также указывают на то, что основные безразмерные параметры, которые характеризуют микромир и Вселенную, определяются числами π, ά и числом золотой пропорции и являются принципиально вычисляемыми.
  
  Это порождает надежду на то, что наконец-то появится хоть какая-то возможность подступиться к решению запутанной головоломки о таинственном числе ά, что не дает покоя физикам.
  назад
  вперёд
  Свойства числа π
  

• 

  17 слайд

  Константа ά была введена в физику Арнольдом Зоммерфельдом в 1916 году при создании теории тонкой структуры энергии атома.
  назад
  вперёд
  Арнольд
  Зоммерфельд
  (1868 -1951) немецкий физик и математик
  До сих пор природа происхождения этой константы и ее физический смысл не раскрыты. По мнению автора формулы, теперь можно установить геометрический, или пространственный смысл постоянной тонкой структуры, что, в свою очередь, позволит приоткрыть тайны микромира и устройства материи.
  Свойства числа π
  

• 

  18 слайд

  В 1965-ом году американский математик польского происхождения Станислав Улам (именно ему принадлежит ключевая идея конструкции термоядерной бомбы). Чтобы как-то развлечься, он начал писать на клетчатой бумаге цифры, входящие в десятичную запись числа π. Поставив в центре клетчатого листа 3 и двигаясь по спирали против часовой стрелки, он выписывал 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 и прочие цифры после запятой. Без всякой задней мысли он попутно обводил все простые числа кружками.
  
  Вскоре, к его удивлению, кружки с поразительным упорством стали выстраиваться вдоль прямых. Этот феномен заставил многих учёных задуматься над хаотичностью десятичных знаков числа π, однако опровергнуть или доказать что-либо ещё никому не удалось.
  назад
  вперёд
  Свойства числа π
  

• 

  19 слайд

  назад
  вперёд
  На протяжении всей истории изучения числа π, вплоть до наших дней, велась своеобразная погоня за десятичными знаками этого числа.
  Вычисление числа π
  Начало положил Леонардо Фибоначчи, в 1220 году определивший три первых точных десятичных знака числа π (3 целых и 14 сотых).
  В XVI веке Андриан Антонис смог определить шесть знаков. Франсуа Виет (используя метод Архимеда с многоугольниками), вычисляя периметры вписанного и описанного возле окружности
  322.216-угольников, получил девять десятичных знаков. Андриан Ван Ромен таким же способом (только вычисляя периметры 1.073.741.824-угольников) получил пятнадцать десятичных знаков. Следующим стал Лудольф Ван Кёлен, вычислив периметры 32.512.254.720-угольников и получив двадцать десятичных знаков числа.
  
  

• 

  20 слайд

  назад
  вперёд
  Темпы постоянно возрастали. Вычисление десятичных знаков числа π не давало покоя математикам всего мира.
  
  В 1844-м году З. Дазе вычисляет двести знаков числа π.
  В 1847-м году Т. Клаузен получает 248 знаков.
  В 1853-м Рихтер вычисляет 330 знаков, и в том же 1853 году 440 знаков получает З. Дазе и 513 знаков - У. Шенкс.
  Вычисление числа π
  

• 

  21 слайд

  назад
  вперёд
  С появлением компьютеров соперничество перешло к их разработчикам. Только потенциальная мощность компьютеров ограничивает возможности по вычислению десятичных знаков числа π.
  
  Хронология вычислений с использованием первых компьютеров:
  
  1949 год - 2037 десятичных знаков (Джон фон Нейман, на компьютере ENIAC),
  1958 год - 10000 десятичных знаков (Ф. Женюи, на компьютере IBM-704),
  1961 год - 100000 десятичных знаков (Д. Шенкс, на компьютере IBM-7090),
  1973 год - 10000000 десятичных знаков (Ж. Гийу, на компьютере CDC-7600),
  1986 год - 29360000 десятичных знаков (Д. Бейли, на компьютере Cray-2),
  1987 год - 134217000 десятичных знаков (Т. Канада, на компьютере NEC SX2).
  
  Вычисление числа π
  

• 

  22 слайд

  Особых успехов в вычислении десятичных знаков числа π добились Д. Чудновский и Г. Чудновский. Используя сразу два компьютера: Cray-2 и IBM-3040, им удалось вычислить 1011196691 десятичный знак числа уже в 1989 году. На этом они останавливаться не стали и в 1991 году получили 2260000000 знаков, а в 1994 году уже 4044000000.
  
  Дальнейшие рекорды принадлежат японцу Тамуре Канада: в 1995 году 4294967286 знаков, в 1997-м - 51539600000.
  назад
  вперёд
  Вычисление числа π
  

• 

  23 слайд

  В настоящее время число π известно до 12,411 триллионного десятичного знака после запятой. Их вычислили учёные из Центра информационных технологий Токийского университета.
  Вычисление числа π
  Для этого был разработан уникальный сверхмощный компьютер, способный выполнять более двух триллионов операций в секунду. Этому, не имеющему аналогов по вычислительной мощности компьютеру, потребовалось более трёх недель беспрерывной работы для выполнения поставленной задачи. Достижение ученых занесено в Книгу Рекордов Гиннеса.
  
  

• 

  24 слайд

  Зачем нужны такие сложные и дорогостоящие вычисления этого загадочного числа, равного отоношению периметра окружности к её диаметру, казалось бы абсолютно бесполезного?
  
  Многие считают, что такое точное определение числа π позволит более точно решать сложные геометрические задачи. На самом деле, даже при вычислении астрономических величин (например расчёт траектории движения планет) необходимо такое количество десятичных знаков числа π, которое было известно ещё несколько веков назад. В частности для расчета траектории полета на край нашей галактики с точностью, равной диаметру протона, достаточно знать сорок знаков числа π. Цели, приследуемые учёными при проведении подобных вычислений являются лишь исследовательскими. Ведь это таинственное число - это вызов нашему интеллекту, волнующая загадка устройства мира, в конце концов, это очень интересно.
  назад
  вперёд
  Цели вычисления числа π
  

• 

  25 слайд

  Существует множество способов вычисления значения числа π. Начиная от обычных уточнений (например 16/9 = 3,1604 у египтян, 22/7 = 3.1428 у греков), и до астрономической точности нашего времени.
  
  Самым первый способ вычисления, которым были с достаточно высокой точностью вычислены первые несколько десятков десятичных знаков числа π, был изобретён ещё Архимедом в третьем веке до нашей эры. Архимед вписывал в круг правильный многоугольник и находил отношение его периметра к радиусу описанной окружности.
  назад
  вперёд
  Архимед
  (287 - 212 до н. э.)
  древнегреческий учёный, математик и механик
  Методы вычисления числа π
  

• 

  26 слайд

  В семнадцатом веке в Европе Ф.Виет нашел число π с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников.
  
  Но, при этом Ф.Виет первым заметил, что число π можно отыскать, используя пределы некоторых рядов.
  
  Это открытие имело огромное значение, так как позволило вычислять π с какой угодно точностью.
  
  Именно, вычисляя пределы рядов, современные компьютеры вычисляют десятичные знаки числа π.
  назад
  вперёд
  Франсуа Виет
  (1540 -1603),
  французский
  математик
  Методы вычисления числа π
  

• 

  27 слайд

  Благодаря Франсуа Виету открылся тот факт, что пределы некоторых арифметических последовательностей, составляемых по простым законам, приводят к тому же числу π.
  
  Первым был найден Лейбницем в 1673 году следующий ряд:
  назад
  вперёд
  Лейбниц
  (1646-1716), немецкий философ, математик
  Методы вычисления числа π
  

• 

  28 слайд

  Помимо вычисления рядов, возможно также представление числа π с помощью тригонометрических формул, например:
  Методы вычисления числа π
  назад
  Именно с помощью этой формулы вычислялись первые сотни тысяч десятичных знаков числа π с использованием компьютеров.
  

• 

  29 слайд

  назад
  Спасибо за внимание!