Презентация по математике "Решение задач по теории вероятностей. Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ"

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Решение задач по теории вероятностей.
  Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ
  

• 

  2 слайд

  Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
  

• 

  3 слайд

  Случай, случайность — с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находка, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики, но и здесь наука обнаружила
  интересные закономерности - они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со
  случайными
  событиями.
  

• 

  4 слайд

  Развитие теории вероятностей с момента зарождения этой науки и до настоящего времени было несколько своеобразным. На первом этапе истории этой науки она рассматривалась как занимательный “пустячок”, как собрание курьезных задач, связанных в первую очередь с азартными играми в кости и карты.
  

• 

  5 слайд

  Никаких специальных методов решения задач нет. Этот период кончается работами Дж. Кардано, 
  Л. Пачоли, Н. Тарталья.
  Д. Кардано
  Н. Тарталья
  Л. Пачоли
  

• 

  6 слайд

  К середине XVII в. вероятностные вопросы и проблемы, возникающие в статистике, в практике страховых обществ, при обработке результатов наблюдений и в других областях, привлекли  внимание ученых.
  Б. Паскаль
  П. Ферма
  X. Гюйгенс
  

• 

  7 слайд

  Следующий период развития теории вероятностей начинается с работы Якоба Бернулли «Искусство предположений». В  ней впервые была доказана первая предельная теорема – простейший случай закона больших чисел.
  Теорема Бернулли: Вероятность Рn(k) наступления ровно k «успехов» в n независимых повторениях одного и того же испытания вычисляется по формуле
  q – вероятность «успеха»
  r = 1 – q – вероятность «неудачи» в
  отдельном испытании.
  

• 

  8 слайд

  Современный период развития теории вероятностей начался с установления аксиоматики. Этого прежде всего требовала практика, так как для успешного применения теории вероятностей в физике, биологии и других областях науки, а также в технике и военном деле необходимо было уточнить и привести в стройную систему ее основные понятия.
  

• 

  9 слайд

  Первые работы этого периода связаны с именами С.Бернштейна, Р.Мизеса, Э.Бореля.
  

• 

  10 слайд

  ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
  В толковом словаре С.И. Ожегова и Н.Ю. Шведовой:
  «Вероятность – возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь».
  
  
  Основатель современной теории вероятностей А.Н.Колмогоров:
  «Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях».
  

• 

  11 слайд

  СОБЫТИЯ
  Происходят при каждом проведении опыта (Солнце всходит в определенное время, тело падает вниз, вода закипает при нагревании и т.п.).
  ДОСТОВЕРНЫЕ
  НЕВОЗМОЖНЫЕ
  СЛУЧАЙНЫЕ
  Происходят в определенных условиях, но при каждом проведении опыта: одни происходят чаще, другие реже (бутерброд чаще падает маслом вниз и т.п.).
  

• 

  12 слайд

  Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определённым закономерностям, а именно, вероятностным закономерностям.
  
  Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.
  Определение вероятности
  

• 

  13 слайд

  Классическое определение вероятности
  Классическое определение вероятности было впервые дано в работах французского математика П. Лапласа. В нём события определяются как множества равновероятных случаев.
  Вероятностью р наступления случайного события А называется отношение ,
  где n – число всех возможных исходов эксперимента,
  а k – число всех благоприятных исходов:
  p =
  

• 

  14 слайд

  Для нахождения вероятности случайного события А при проведении некоторого испытания следует найти:
  
  1) число n всех возможных исходов данного испытания;
  2) количество k тех исходов, в которых наступает событие А;
  
  3) частное ; оно и будет равно
  
  вероятности события А.
  Алгоритм нахождения вероятности случайного события
  

• 

  15 слайд

  Статистическое определение вероятности
  Статистические закономерности были впервые обнаружены на примере азартных игр, т.е. на примере тех испытаний, которые характеризуются равновозможностью исходов. В последовательности одинаковых испытаний можно обнаружить устойчивость некоторых средних характеристик.
  

• 

  16 слайд

  Частостью какого-либо события в данной серии из n испытаний называется отношение числа k тех испытаний, в которых событие А наступает, к общему числу испытаний n.
  Частость испытания А обозначается
  
  ,
  
  где k – число экспериментов , в которых появилось событие А, n – общее число экспериментов.
  

• 

  17 слайд

  Опыт человечества
  Вероятность попасть под дождь в Лондоне гораздо выше, чем в пустыне Сахара.
  Весь наш жизненный опыт подсказывает, что любое событие считается тем более вероятным, чем чаще оно происходит. Значит, вероятность должна быть каким-то образом связана с частотой.
  

• 

  18 слайд

  Фундаментальным свойством относительных частот является тот факт, что с увеличением числа опытов относительная частота случайного события постепенно стабилизируется и приближается к вполне определенному числу, которое и следует считать его вероятностью.
  

• 

  19 слайд

  Решение задач
  
  Задачи по теории вероятностей в КИМах ОГЭ встречаются под №19, а в КИМах ЕГЭ под №5.
  
  В данной презентации задачи условно разделены
  по группам.
  
  
  
  

• 

  20 слайд

  Задачи про жребий
  Задача
  
  Папа, мама, сын и дочка бросили жребий – кому мыть посуду. Найдите вероятность того, что посуду будет мыть мама.
  Решение:
  Всего в задаче указано 4 человека, то есть n=4. При этом меня устраивает только один вариант, то есть k=1. имеем p=k/n=1/4=0,25
  
  Ответ: 0,25
  

• 

  21 слайд

  Задачи про выступления на конкурсе
  Задача
  
  Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 50 выступлений – по одному от каждой страны. В первый день 26 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
  

• 

  22 слайд

  Решение:
  
  Поскольку всего заявлено 50 выступлений, то n=50. Теперь посмотрю, сколько выступлений состоится в каждый из дней конкурса. По условию, на первый день запланировано 26 выступлений. Значит, на другие дни останется 50 – 26=24 выступления.
  Эти выступления распределены поровну между оставшимися 4 днями, то есть на каждый день приходится по 24:4=6 выступлений. Получаю следующее распределение по дням;
  

• 

  23 слайд

  Число участ-ников
  День
  6
  6
  6
  6
  26
  5
  4
  3
  2
  1
  Меня интересует третий день, на который приходится 5 выступлений. Таким образом, k=6. Находим вероятность:
  P=k/n=6/50=0,12
  
  Ответ: 0,12
  

• 

  24 слайд

  Задачи про игральные кости (кубики) или монеты
  Задача
  
  Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало менее 4 очков?
  Решение:
  
  У кубика 6 граней, поэтому всего возможно 6 вариантов: 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков. Получает, что n=6 – по числу граней. Меня интересуют случаи, когда выпадает менее 4 очков. Другими словами, если выпадает 1, 2 или 3 очка, меня это устраивает. Всего таких вариантов k=3. Находим вероятность: p=k/n=3/6=0,5
  Ответ: 0,5
  

• 

  25 слайд

  Задача
  
  В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпадет орел.
  
  Решение:
  
  Рассмотрим все возможные варианты: орёл – решка, орёл – орёл, решка – решка, решка – орёл, то есть всего 4 варианта и n=4. Случай, когда оба раза выпадет орел – единственный, значит k=1. вероятность того, что оба раза выпадет орёл p=k/n=1/4=0,25
  
  Ответ: 0,25
  

• 

  26 слайд

  Задача
  
  Таня и Нина играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что Таня выиграла.
  
  
  

• 

  27 слайд

  3
  4
  2
  5
  1
  Нина
  3
  2
  4
  1
  5
  Таня
  Эту задачу можно решить с помощью таблицы:
  Для Тани удачных вариантов 2, а всего игр возможно 5, получаем: p=2/5=0,4
  
  Ответ:0,4
  

• 

  28 слайд

  Задачи о соревнованиях
  Задача
  
  На соревнования по метанию ядра приехали 2 спортсмена из Великобритании, 2 из Испании и 4 из Швейцарии. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что восьмым будет выступать спортсмен из Испании.
  

• 

  29 слайд

  Решение:
  
  Для начала выясню, сколько всего спортсменов приехало на соревнования: 2 + 2 + 4 = 8 спортсменов. Значит n=8. Меня интересуют лишь спортсмены из Испании, которых было 2. Поэтому k=2. Найду вероятность: p=2/8=1/4=0,25
  Ответ: 0,25
  

• 

  30 слайд

  Задача
  
  Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Меркурий» по очереди играет с
  командами «Марс», «Юпитер» и «Уран». Найдите вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда «Меркурий».
  

• 

  31 слайд

  Решение:
  
  1 способ
  Первая игра
  Вторая игра
  Вторая игра
  Третья игра
  Третья игра
  Третья игра
  Третья игра
  Таким образом, всего возможных вариантов n=8, из них благоприятный k=1. Вероятность выигрыша права первой владеть мячом в трех матчах p=1/8=0,125
  

• 

  32 слайд

  Вероятность того, что команда «Меркурий» выиграет право первой владеть мячом в игре с командой «Марс» равна 0,5. Аналогично можно рассуждать о результатах жеребьевки и в других матчах, поскольку эти события независимы друг от друга.
  Воспользуемся правилом
  умножения вероятностей:
  0,5·0,5·0,5=0,125
  
  Ответ: 0,125
  2 способ
  

• 

  33 слайд

  Задачи об экзаменах
  Задача
  
  В сборнике билетов по физике всего 20 билетов, в 6 из них встречается вопрос по электростатике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику встретится вопрос по электростатике.
  
  Решение:
  
  Из условия следует, что n=20, а k=6. Значит, вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику встретится вопрос по электростатике P=6/20=0,3
  
  Ответ: 0,3
  

• 

  34 слайд

  Также вы можете решать тестовые задания на сайте www.fipi.ru
  

• 

  35 слайд

  В презентации использованы материалы учебного проекта обучающейся 11б класса Зайцевой Ольги