Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Прикладная математика», тема "Теория пределов"

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Прикладная математика», тема "Теория пределов"



  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:



«Омский летно-технический колледж гражданской авиации
имени А.В. Ляпидевского» филиал Федерального государственного бюджетного
образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Ульяновское высшее авиационное училище гражданской авиации (институт)»

(ОЛТК ГА филиал ФГБОУ ВПО УВАУ ГА (И))

hello_html_m4fe661e3.jpg







КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ И

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

по дисциплине

«Математика»



Теория пределов











Омск - 2015

Рассмотрено

на заседании ЦМК ЕНД
от «_____»__________20__г.

Протокол №_________











Разработал: Пищагина Е.С., преподаватель математики

Краткий курс лекций и методические указания по выполнению контрольной работы по дисциплине «Математика», тема «Теория пределов»/ Е.С. Пищагина - ОЛТК ГА филиал ФГБОУ ВПО УВАУ ГА (И), 2015. – 27 с.



Краткий курс лекций и методические указания по выполнению контрольной работы по дисциплине «Математика» предназначены для подготовки специалистов со средним профессиональном образованием. Включает теоретические сведения, примеры решения заданий, примерные варианты контрольных заданий. Типовые задачи даются с подробным решением. Рекомендуется я самостоятельной проработки. Основное назначение – помочь курсанту самостоятельно, без помощи педагога закрепить знания по теме «Теория пределов» и подготовиться к контрольной работе.




ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА


Краткий курс лекций и методические рекомендации по выполнению контрольной работы по естественно - научной дисциплине «Математика» предназначены для курсантов 1-го курса специальностей:

25.02.01 Техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей;

25.02.03 Техническая эксплуатация электрифицированных и пилотажно-навигационных комплексов;

25.02.04 Летная эксплуатация летательных аппаратов.

Содержание раздела курса математики «Теория пределов» определяется федеральным государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования (ФГОС СПО).

Пособие объединяет лекционный материал и примеры решения типовых задач, и может быть использовано для изучения и закрепления учебного материала.



Теория пределов.

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:

1. Понять, что такое предел.

2. Научиться решать основные типы пределов.    

Итак, что же такое предел?

hello_html_49015955.png

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела hello_html_4a970e87.png

2) Записи под значком предела, в данном случае hello_html_4905b8ab.png. Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно hello_html_m61f18daf.png, хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность (hello_html_6a20e19e.png).

3) Функции под знаком предела, в данном случае hello_html_m1b60d076.png.

Сама запись hello_html_49015955.png читается так: «предел функции hello_html_m1b60d076.png при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала hello_html_m1198be57.png, затем hello_html_m474e7913.pnghello_html_2d5c91ab.png, …, hello_html_m7f432ee6.png, …. 
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

hello_html_m28d3ec10.png

Готово.

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

hello_html_m25e59a3e.png

Разбираемся, что такое hello_html_m26a9a1b5.png? Это тот случай, когда hello_html_m61f18daf.png неограниченно возрастает, то есть: сначала hello_html_mc7da060.png, потом hello_html_3ec79189.png, потом hello_html_m3a175872.png, затем hello_html_5a2ba124.png и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией hello_html_afb1884.png
hello_html_460c1f65.pnghello_html_m3cd4748e.pnghello_html_m10b5a2a1.png, …

Итак: если hello_html_m26a9a1b5.png, то функция hello_html_afb1884.png стремится к минус бесконечности:

hello_html_17142500.png

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию  hello_html_m4c3a1071.png бесконечность и получаем ответ.



Еще один пример с бесконечностью:

hello_html_m6bb9c5cd.png

Опять начинаем увеличивать hello_html_m61f18daf.png до бесконечности, и смотрим на поведение функции:
hello_html_19dfdff4.png

Вывод: при hello_html_m26a9a1b5.png функция hello_html_1f820d2a.png  неограниченно возрастает:
hello_html_m1efa4776.png


И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

hello_html_m4c321e31.pnghello_html_m44c5303f.pnghello_html_28f1cae1.pnghello_html_m3cf29770.pnghello_html_37b05c81.pnghello_html_7bffb6bd.pnghello_html_m6c27024.pnghello_html_23a60c0a.pnghello_html_m7dda9d5c.pnghello_html_1fd9deca.png
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.

В том случае, если hello_html_m26a9a1b5.png, попробуйте построить последовательность  hello_html_mc7da060.pnghello_html_3ec79189.pnghello_html_m3a175872.png. Если hello_html_m6ffbc1df.png, то  hello_html_517e3511.pnghello_html_22140bae.pnghello_html_m6023d7b1.png.

Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: hello_html_199e1cf0.png, то все равно hello_html_2b166f26.pngтак как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как hello_html_52289c24.pnghello_html_1b44313.pnghello_html_m1f26ad3d.png и т.д.

Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с очень интересными случаями, когда предела функции вообще не существует!

На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов.



Пределы с неопределенностью вида hello_html_5e944806.png и метод их решения

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда hello_html_m26a9a1b5.png, а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример:

Вычислить предел hello_html_2c6cf792.png

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида hello_html_5e944806.png. Можно было бы подумать, что hello_html_m94a67a9.png, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим hello_html_m61f18daf.png в старшей степени:
hello_html_m1c4e9ac0.jpg
Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим hello_html_m61f18daf.png в старшей степени:
hello_html_m52318718.jpg
Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность hello_html_5e944806.png необходимо разделить числитель и знаменатель на hello_html_m61f18daf.png в старшей степени.

hello_html_1d9219f6.png
Разделим числитель и знаменатель на hello_html_6d01c425.png
hello_html_m31e5286a.png

Вот оно как, ответ hello_html_26d5e45a.png, а вовсе не бесконечность.

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак hello_html_m55c90d03.png, он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:
hello_html_m1181f611.jpg
Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?


Пример 2

Найти предел hello_html_6ecf1d24.png
Снова в числителе и знаменателе находим hello_html_m61f18daf.png в старшей степени:
hello_html_56f875a0.jpg
Максимальная степень в числителе: 3

Максимальная степень в знаменателе: 4

Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности hello_html_48d556c1.png делим числитель и знаменатель на hello_html_m7e01a8db.png.

Полное оформление задания может выглядеть так:

hello_html_m7a1de6e.png

Разделим числитель и знаменатель на hello_html_m7e01a8db.png

hello_html_14eed506.png


Пример 3

Найти предел hello_html_m140c3e63.png

Максимальная степень «икса» в числителе: 2

Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 (hello_html_m61f18daf.png можно записать как hello_html_m571b1fe0.png)

Для раскрытия неопределенности hello_html_48d556c1.png необходимо разделить числитель и знаменатель на hello_html_77527961.png. Чистовой вариант решения может выглядеть так:

hello_html_59682a94.png

Разделим числитель и знаменатель на hello_html_77527961.png

hello_html_m58ec2a1d.png

Под записью hello_html_26b24abb.png подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида hello_html_5e944806.png у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида hello_html_m75ee3386.png и метод их решения

Предвосхищаю вопрос от чайников: «Почему здесь деление на ноль? На ноль же делить нельзя!». Смысл записи 0:0 будет понятен позже, после ознакомления с материалом о бесконечно малых функциях.

Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.

Пример 4

Решить предел hello_html_m518bfa2e.png

Сначала попробуем подставить -1 в дробь:

hello_html_m109d373d.png 
В данном случае получена так называемая неопределенность hello_html_6ed80684.png.

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида hello_html_6ed80684.png, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, то ознакомьтесь с методическим материалом «Горячие формулы школьного курса математики». Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.

Итак, решаем наш предел

hello_html_m16aa2afa.png

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

hello_html_m460af121.png
Сначала находим дискриминант:

hello_html_m75d07e84.png
И квадратный корень из него: hello_html_4a2bf2da.png.

В случае если дискриминант большой, например 361,  используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.

! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.

Далее находим корни: 

hello_html_37401938.png
hello_html_m6d5c6bac.png

Таким образом:

hello_html_4954a5e3.png

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель hello_html_40ec1184.png уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

hello_html_m69acdf16.png

Очевидно, что можно сократить на hello_html_5d83a646.png:

hello_html_m5df2ae3f.png

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

hello_html_m653c88ce.png

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

hello_html_m16aa2afa.png

Разложим числитель на множители.

hello_html_m460af121.png
hello_html_m75d07e84.png
hello_html_4a2bf2da.png
hello_html_37401938.png
hello_html_m6d5c6bac.png
hello_html_m21beb1df.png

hello_html_2fd6a4e2.png


Пример 5

Вычислить предел hello_html_12be48ce.png

Сначала «чистовой» вариант решения

hello_html_m452bccaf.png

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: hello_html_59a7a756.png
Знаменатель:
hello_html_390a068d.png
hello_html_m77815ab6.png
hello_html_m6cea9893.png
hello_html_m69a0c348.pnghello_html_5e97594.png
hello_html_22163ce.png

hello_html_m7404d1bb.png

Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.

Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.

Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.

Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.

! Важно 

В ходе решения фрагмент типа hello_html_m2c297248.png встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).

hello_html_m75c06dfd.png, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.

Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены.



Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Продолжаем рассматривать неопределенность вида hello_html_6ed80684.png

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

Пример 6

Найти предел hello_html_m640097e.png

Начинаем решать.

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела

Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.

 hello_html_1e2a5b40.png

Получена неопределенность вида hello_html_m75ee3386.png, которую нужно устранять.
hello_html_5423afb7.png

Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности hello_html_m75ee3386.png используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов: hello_html_m27d067db.png
И смотрим на наш предел: hello_html_m2f1d6522.png

Что можно сказать? hello_html_m76e8ea2c.png у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать hello_html_m50605e58.png (которое и называется сопряженным выражением).

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

hello_html_410fe905.png

Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.

Хорошо, hello_html_m50605e58.png мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на hello_html_m50605e58.png:

hello_html_m124bcdce.png

То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
В известной степени, это искусственный прием.

Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу hello_html_m27d067db.png:

hello_html_50a1e90c.png

Неопределенность hello_html_m75ee3386.png не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:

hello_html_11e2cd06.png

Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.

Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше.

hello_html_4fd72f66.png

Готово.

Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?

Примерно так:

hello_html_5423afb7.png

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

hello_html_2e4c9ca9.png


Пример 7

Найти предел hello_html_m3ac6f6dc.png

Сначала попробуйте решить его самостоятельно.

Окончательное решение примера может выглядеть так:

hello_html_76249da8.png

Разложим числитель на множители:

hello_html_247efbfb.png
hello_html_65087fb5.png
hello_html_5e872eb0.png
hello_html_m45c24c39.png
hello_html_49b1fdea.png
hello_html_m52d6ccdc.png

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

hello_html_6e00656c.png




Краткое описание документа:

Краткий курс лекций и методические указания по выполнению контрольной работы по дисциплине «Прикладная математика» предназначены для подготовки специалистов со средним профессиональном образованием. Включает теоретические сведения, примеры решения заданий, примерные варианты контрольных заданий. Типовые задачи даются с подробным решением. Рекомендуется я самостоятельной проработки. Основное назначение – помочь курсанту самостоятельно, без помощи педагога закрепить знания по теме «Теория пределов» и подготовиться к контрольной работе.

Автор
Дата добавления 23.07.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров318
Номер материала 319235
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх