• 

  1 слайд

  Решение задач по геометрии Подготовка к ЕГЭ Планиметрия Учитель математики МАОУ СОШ № 13 с углублённым изучением отдельных предметов г.Тамбова Е.В.Кирина

• 

  2 слайд

  Некоторые теоремы Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанной окружности.

• 

  3 слайд

  Теорема о пропорциональности отрезков, высекаемых на сторонах угла параллельными прямыми. Стороны угла, пересекаемые рядом параллельных прямых, рассекаются ими на пропорциональные части. Признаки подобия треугольников. Два треугольника подобны, если выполнено хотя бы одно из условий: два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника; две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между пропорциональными сторонам, равны; три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника. Свойства подобных треугольников. В подобных треугольниках сходственные элементы (например, медианы, высоты, периметры, Радиусы вписанной и описанной окружностей и др.) относятся как сходственные стороны, и это отношение равно коэффициенту подобия. Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон, т.е. отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

• 

  4 слайд

  Задача 1. Периметр прямоугольного треугольника равен 60 см. Найти его стороны, если высота, проведённая к гипотенузе, равна 12 см. Решение. Составим и решим систему: Решая систему, находим стороны: 15 см, 20 см, 25 см. Ответ: 15 см, 20 см, 25 см.

• 

  5 слайд

  Задача 2. В треугольнике АВС сторона АВ=6, сторона АС=9. Из вершины В проведена прямая, проходящая через середину биссектрисы АL. В каком отношении эта прямая делит площадь треугольника АВС? Решение. Пусть D –середина биссектрисы AL, К – точка пересечения BD и АС. Проведём LM//ВК. Пусть АК=х. По теореме Фалеса АК=КМ, поэтому КМ=х. По свойству биссектрисы BL:LC=АВ:АС=6:9=2:3. А К С В M L D x

• 

  6 слайд

  По теореме о пропорциональности отрезков, высекаемых на сторонах угла параллельными прямыми, имеем: КМ:МС=BL:LC= . Т.о., Тогда Ответ: 2:5

• 

  7 слайд

  Задача 3. Через точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные его сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых – треугольники с площадями S1, S2,S3. Найти площадь S треугольника. Решение. Треугольник МРО подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия и этот коэффициент равен , т.е. А Е С В M Р D О N Q S S S

• 

  8 слайд

  Проводим аналогичные рассуждения для треугольников DQO и OEN, получаем: Складываем эти равенства и, учитывая, что AD+DQ+QC=AC, получаем: . Отсюда Ответ:

• 

  9 слайд

  Задача 4. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС построены квадраты ABDE и BCKM. Доказать, что отрезок DM вдвое длиннее медианы ВР треугольника АВС. Решение. Продолжим отрезок ВР и отложим РТ=ВР. Рассмотрим треугольники DBM и ВСТ. Отрезки ВМ и ВС равны как стороны квадрата, АВ=СТ – как противоположные стороны параллелограмма АВСТ. Кроме того, <DBM= <BCT как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно, ∆DBM=∆TCB (по I признаку рав. треуг.) Поэтому DM=BT=2BP. M K

• 

  10 слайд

  Задача 5. На стороне АС треугольника АВС Взята точка D. Через неё проведены две прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разбивают треугольник на три части – один параллелограмм и два треугольника, площади которых равны S1 и S2. Найти площадь параллелограмма. Решение. Пусть х – искомая площадь параллелограмма PBQD. Отметим, ∆APD~∆ABC с коэффициентом подобия . Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, кроме того, площадь ∆ABC равна S1+S2+x. Поэтому (1) Аналогично (2) А В С D P Q S S x

• 

  11 слайд

  Складывая почленно равенства (1) и (2), получаем: Находим х из данного равенства и получаем, что Ответ:

• 

  12 слайд

  Задача 6. Серединный перпендикуляр к гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС пересекает катет АС в точке М, а продолжение катета ВС – в точке N. Найти гипотенузу АВ, если Р – середина АВ, МР = а, MN = в. Решение. Пусть АВ = 2х. ∆АМР ~ ∆NВР (по двум углам: <АМР = <В и <C=<BPN=90 ). Поэтому , откуда . Итак, АВ = 2 Ответ: 2 b А В С N M Р а

• 

  13 слайд

  Задача 7. В треугольнике АВС сторона ВС = а, радиус вписанной окружности равен r. Найти радиус двух равных окружностей, касающихся друг друга, если одна из них касается сторон АВ и ВС, а другая - сторон ВС и АС. Решение. Отметим (Рис. 1), что ВС = BD + DC. Так как точка О лежит на биссектрисах углов треугольника АВС, то , откуда (1) Рис. 1 С В О D α β А

• 

  14 слайд

  Проведём радиусы О1Р и О2Р вписанных окружностей (Рис. 2). Отметим, что ВС=ВР+PQ +QC. Пусть х – искомый радиус. Т.к. точки О1 и О2 лежат на биссектрисах углов В и С, то , кроме того, PQ=2x. Отсюда (2) Обозначим . Тогда из равенств (1) и (2) получим систему уравнений Ответ: Рис. 2 А С Р O 1 Q В O 2

• 

  15 слайд

  Используемая литература 1. В.А.Кокотушкин, Н.Г.Панфилов «200 задач по геометрии» для поступающих в ВУЗы. М.:«Уникум-Центр», «Поматур», 2002 2. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. «Геометрия, 10-11» М.:«Просвещение», 2006

Краткое описание материала