Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Применение производной при решении экономических задач
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Применение производной при решении экономических задач

библиотека
материалов


Аттестуемый педагог Луконина Светлана Александровна .

Предмет математика .

Возраст учащихся группа 12 ТЭО-19к, 1 курс на базе основного общего

образования .

Тема урока Применение производной при решении экономических задач .

Цели урока:

  1. Образовательные: Познакомить учащихся с возможностями использования математического аппарата дифференциального исчисления в экономических расчётах. Закрепить, углубить и обобщить знания в области производной с помощью решения различных задач с экономическим и практическим содержанием.

  2. Развивающие: Продолжить развивать логическое мышление учащихся. Развивать навыки самостоятельной работы. Развивать навыки самоконтроля.

  3. Воспитательные: Развивать познавательный интерес к предмету. Развивать творческие способности учащихся.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, тесты, таблицы, доска.

Тип урока: комбинированный.



План

  1. Организационный момент ……………………………………………… 1 мин.

  2. Проверка домашнего задания …………………………………………… 3 мин.

  3. Актуализация ранее изученного...………………..………….………….. 3 мин.

  4. Экономический смысл производной………………...………………… 25 мин.

  5. Задачи на экстремум в экономике…………………………………….. 25 мин.

  6. Эластичность функции ………………………………………………… 25 мин.

  7. Подведение итогов……………………………………………………….. 3 мин.

  8. Домашнее задание, (проектор)………...………………………………... 2 мин.

  9. Этап рефлексии……………………………………………………..……. 3 мин.



  1. Организационный момент

Цель деятельности педагога: проверить готовность к занятию, настроить на выполнение учебных задач.

Цель деятельности учащегося: настроиться на учебный процесс, проверить свою готовность к занятию.

Вступительное слово преподавателя: На предыдущих уроках мы рассмотрели понятие производной, её геометрический и физический смысл, а сегодня рассмотрим возможность использования наших знаний при решении прикладных задач.


  1. Проверка усвоения учащимися пройденного материала.

Цель деятельности педагога: актуализировать знания, необходимые для изучения темы, развивать позитивный интерес к предмету.

Цель деятельности учащегося: поверить в свои силы, оказавшись в ситуации успеха при решении известных задач.


Проверка домашнего задания через мультимедиа-проектор:

Задача: Найдите наибольшее и наименьшее значение функции hello_html_4c4247e6.gif на отрезке hello_html_m194ed348.gif.

План решения

Реализация плана

Находим производную функции у /

hello_html_m63e543f.gif

Находим стационарные точки функции из уравнения у /=0

hello_html_m6c066aaf.gif, hello_html_m50a6109c.gif

hello_html_m6c6c66f0.gifили hello_html_3a6c2150.gif

hello_html_m298a9774.gif, hello_html_m5bf0f784.gif, hello_html_44f4c00e.gif – стационарные

точки функции

Выбираем стационарные точки, принадлежащие отрезку hello_html_m3430fa75.gif

hello_html_2319af80.gif

Находим значения функции в стационарных точках (принадлежащих промежутку) и на концах промежутка

hello_html_42ede3b0.gif

hello_html_m5ace2b46.gif

hello_html_68064d87.gif

Из найденных значений выбираем наибольшее и наименьшее и записываем ответ.

hello_html_m71c95074.gif

hello_html_2d16b855.gif

  1. Актуализация ранее изученного.

Вопросы для обсуждения:

  1. Определение производной.

  2. Производные элементарных функций.

  3. Правила вычисления производных.

  4. Дифференцирование сложной функции.

  1. Экономический смысл производной

Производительность труда.

Пусть известна функция hello_html_m29e3585a.gif, выражающая объём произведённой продукции и за время t. Тогда за время hello_html_m327aea9.gif величина произведённой продукции составит

hello_html_m7f17cdf4.gif

Средняя производительность труда – это отношение количества произведённой продукции к затраченному времени, т.е.

hello_html_4c46ac87.gif

Производительностью труда в момент времени t0 называется предел, к которому стремится zср при hello_html_536d4f24.gif:

hello_html_m615ef1b0.gif

Предельные затраты.

Пусть q – объём произведённой продукции, С – её себестоимость (или издержки), зависящая от q, т.е. hello_html_m138d4eef.gif.

Средние затраты на единицу продукции (средняя себестоимость) определяются по формуле

hello_html_13aaa401.gif

Найдём hello_html_7799bb2b.gif – приращение затрат на производство, связанное с увеличением объёма произведённой продукции на величину hello_html_f1dbf03.gif:

hello_html_66b23563.gif

Отношение hello_html_5cc31f76.gif есть среднее приращение затрат на производство, т.е. приращение затрат на единицу произведённой продукции. Тогда, если существует

hello_html_2a25efee.gif

То hello_html_m257d6452.gif называют предельными затратами на производство (себестоимостью). В экономических исследованиях предельные издержки называют маржинальными и обозначают через МС, т.е.

hello_html_738ba6e1.gif

Предельный доход.

Пусть функция hello_html_m10875fda.gif отражает зависимость дохода R от объёма продукции q. Рассуждения, аналогичные предыдущим, приведут к формуле

hello_html_m55b30359.gif

Величина hello_html_m5f2a6bd5.gif определяет предельный доход, который называют маржинальным и обозначают через МС, т.е.

hello_html_754d93f2.gif


Задача: Объём продукции и, выпускаемой рабочим в течение рабочего дня, выражается функцией hello_html_1792cc3c.gif, где t – время, ч; причём hello_html_64e31649.gif. Необходимо вычислить производительность труда и скорость её изменения через 1 ч после начала и за 1 ч до окончания рабочего дня.

Решение:

Производительность труда hello_html_m188582f.gif выражается формулой hello_html_m615ef1b0.gif. Тогда

hello_html_m6f5a9289.gif

Производительность труда через 1 ч после начала работы

hello_html_m783bf989.gif(у.е.)

Производительность труда за 1 ч до окончания работы

hello_html_444fd245.gif(у.е.)

Скорость изменения производительности труда hello_html_14bec719.gif

Значит, hello_html_decfd3b.gif, hello_html_454561.gif


  1. Задачи на экстремум в экономике.


Алгоритм решения задачи

на определение наибольшего или наименьшего значений:

  1. Этап построения математической модели (этап формализации).

  • выявляем оптимизируемую величину (прибыль, расходы на производство и т.п.). и обозначаем её у;

  • одну из неизвестных величин (цену товара, величину спроса, объём производства и т.п.) считаем независимой переменной и обозначаем х. Устанавливаем реальные границы изменения х в соответствии с условием задачи;

  • исходя из конкретных условий задачи, выражаем у через х и известные величины.

  1. Этап исследования математической модели.

  • для полученной функции находим максимум или минимум (в зависимости от требований задачи) на промежутке реального изменения х.

  1. Этап интерпретации результатов.

  • интерпретируем полученные результаты для данных задачи.

Данный алгоритм подходит и для функции с двумя переменными.


Задача: Затраты на производство продукции объёма х задаются функцией hello_html_4d74c655.gif. Производитель реализует продукцию по цене 25 ден.ед. Найдите максимальную прибыль П и соответствующий объём продукции х.


Решение:


План решения

Реализация плана

Записываем исходную формулу для вычисления величины, экстремальное значение которой надо найти

Прибыль равна разности между выручкой U и затратами С.

П= U – С

Находим соответствующую функцию, зависящую от х

Реализовав продукцию объёма х по цене 25 ден.ед., предприниматель имеет выручку, hello_html_6db25c99.gif. При этом затраты составят hello_html_bea33b8.gif. Значит,

hello_html_5c4bcbb0.gif

Определяем (по смыслу задачи) область определения функции

По смыслу задачи объём продукции х может принимать любое положительное значение, т.е.

hello_html_m3c20eaf7.gif

Формулируем математическую задачу

Найти наибольшее значение функции

hello_html_51a22c2a.gifпри hello_html_m3c20eaf7.gif

Функцию аргумента х исследуем на экстремум на найденном промежутке

hello_html_medfbf42.gif

hello_html_mcb4388b.gif, следовательно

стационарная точка функции hello_html_m7778b8ab.gif

Производная меняет свой знак при переходе через эту точку с «+» на «–», значит hello_html_m7778b8ab.gif – точка максимума.

hello_html_2f640ed9.gif

Интерпретируем результаты и записываем ответ

Максимальная прибыль, равная 96 ден.ед., достигается при объёме производства 10 у.е.


  1. Понятие эластичности в микроэкономике.

Для исследования экономических процессов и решения прикладных задач используется понятие эластичности функции.

Эластичностью функции (с точки зрения математики) hello_html_18de6a24.gif называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при hello_html_63609d48.gif.

hello_html_c8b9229.gifhello_html_m4755e60a.gif

hello_html_m48ab8f9e.gif


Экономический смысл эластичности функции в том, что она выражает приближённый процентный прирост значения функции при приращении аргумента на 1%.

Свойства эластичности:

  1. Эластичность – безразмерная величина, т.е. её значение не зависит от единиц измерения величин х и у.

  2. Эластичность произведения двух функций равна сумме эластичностей этих функций.

hello_html_78f32967.gif

  1. Эластичность частного двух функций равна разности эластичностей этих функций.

hello_html_217cd01c.gif

Эластичность спроса q относительно цены p.

Пусть спрос зависит от цены по закону hello_html_m70d1f366.gif. Функция hello_html_mdd49249.gif показывает, как изменится спрос на данный товар, если цена изменится на 1%. Так как обычно hello_html_m12995e0a.gif, т.е. с увеличением цены спрос падает, то hello_html_5f261a3a.gif берут со знаком «–», т.е. hello_html_m6862dd1c.gif.

Если hello_html_m20e5d0b8.gif то говорят, что спрос эластичен; если hello_html_m16531fac.gif то не эластичен; если жеhello_html_m3b3dfa5a.gifто спрос нейтрален.

Перекрестная эластичность спроса по цене характеризует относительное изменение величины спроса на один товар или услуги при изменении цены на другие (замещающие или дополняющие) на один процент.

hello_html_m6c67f424.gif

Положительный знак в (10) свидетельствует о замещаемости, а отрицательный – о дополняемости.

Эластичность спроса q относительно дохода r.

Пусть hello_html_m5b2e05ee.gif – закон зависимости спроса от дохода. Тогда hello_html_39f00112.gif есть эластичность спроса относительно дохода, она показывает как изменится спрос на данный товар, если доход изменится на 1%.

Аналогично можно определить эластичность предложения s относительно цены р или дохода r:

hello_html_m55d125bf.gifи hello_html_m159813c6.gif

Ценовая эластичность ресурсов.

hello_html_m49e8af7f.gif

Характеризует относительное изменение величины спроса на какой-либо ресурс (например, труд) при изменении цены этого ресурса (зарплаты) на один процент.

Эластичность замещения одного ресурса другим

hello_html_7e8033e5.gif

Характеризует необходимое изменение величины одного ресурса (капитала) при изменении количества другого ресурса (труда) на один процент с тем, чтобы выпуск при этом не сократился.

Пример 1: Функция спроса: hello_html_6c606f6f.gif Функция предложения: S = p + 0,5. Здесь р(руб) – цена товара, q(шт.) – количество покупаемого товара; S(шт.) – количество предлагаемого на продажу товара в единицах времени.

Найти: а) равновесную цену: q= S; б) эластичность спроса и предложения для этой цены.

Решение: а) hello_html_m7e403d81.gif p = 2 руб.

б) hello_html_m3f69072d.gif

hello_html_ma153e18.gif; hello_html_mc87470c.gif неэластична

hello_html_44764468.gifhello_html_mfbf9e06.gif; hello_html_m426f8b6f.gif неэластична.

Следовательно изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения. При увеличении цены р на 1% спрос уменьшится на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%.

Пример 2: Функция спроса y от цены х продукта имеет вид hello_html_m67d2ab6f.gif. Найти коэффициент эластичности спроса при цене товара hello_html_23262167.gif единицы.

Решение. Коэффициент эластичности спроса равен

hello_html_ab62653.gif.

При hello_html_23262167.gif получаем hello_html_239cfaed.gif, т.е. при повышении цены на 1% спрос на товар уменьшится на 0,25%. Так как hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m7a81fbc9.gif, то спрос при цене hello_html_23262167.gif единицы не эластичен.

VII. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

VIII. Домашнее задание, слайд № 15.

Тематические тесты. Раздел 2.5. А3; А6 ; А15; В30; В38; В43.

Записи в тетрадях.

IX. Рефлексия урока.

Цель деятельности педагога: создание условий для саморазвития, самопознания школьника.

Цель деятельности учащегося: воспроизведение полученных в ходе занятия знаний; осознание собственной деятельности.

Слово преподавателя:

  1. Какими навыками, умениями вы овладели на сегодняшнем уроке?

  2. Что было непонятно?

  3. Решение каких задач показалось вам сложным?

  4. Какие задания вам понравились?

  5. Что удивило вас?


9



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Цель данной разработки - помочь преподавателям образовательных учреждений экономического профиля в подборе материала профессиональной направленности при изучении производной.

Цель урока - познакомить учащихся с возможностями использования математического аппарата дифференциального исчисления в экономических расчётах. Закрепить, углубить и обобщить знания в области производной с помощью решения различных задач с экономическим и практическим содержанием.

В конспекте подробно рассматривается и даётся алгоритм решения задач на нахождение наибольшкго и наименьшего значений функции, рассматривается понятие "эластичность".

 

 

 

Автор
Дата добавления 15.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров5573
Номер материала 533635
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх