Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Применение производной при решении экономических задач

Применение производной при решении экономических задач

В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЮ ОТ ПРОЕКТА "ИНФОУРОК":
СКАЧАТЬ ВСЕ ВИДЕОУРОКИ СО СКИДКОЙ 86%

Видеоуроки от проекта "Инфоурок" за Вас изложат любую тему Вашим ученикам, избавив от необходимости искать оптимальные пути для объяснения новых тем или закрепления пройденных. Видеоуроки озвучены профессиональным мужским голосом. При этом во всех видеоуроках используется принцип "без учителя в кадре", поэтому видеоуроки не будут ассоциироваться у учеников с другим учителем, и благодарить за качественную и понятную подачу нового материала они будут только Вас!

МАТЕМАТИКА — 603 видео
НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА — 577 видео
ОБЖ И КЛ. РУКОВОДСТВО — 172 видео
ИНФОРМАТИКА — 201 видео
РУССКИЙ ЯЗЫК И ЛИТ. — 456 видео
ФИЗИКА — 259 видео
ИСТОРИЯ — 434 видео
ХИМИЯ — 164 видео
БИОЛОГИЯ — 305 видео
ГЕОГРАФИЯ — 242 видео

Десятки тысяч учителей уже успели воспользоваться видеоуроками проекта "Инфоурок". Мы делаем все возможное, чтобы выпускать действительно лучшие видеоуроки по общеобразовательным предметам для учителей. Традиционно наши видеоуроки ценят за качество, уникальность и полезность для учителей.

Сразу все видеоуроки по Вашему предмету - СКАЧАТЬ

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Аттестуемый педагог Луконина Светлана Александровна .

Предмет математика .

Возраст учащихся группа 12 ТЭО-19к, 1 курс на базе основного общего

образования .

Тема урока Применение производной при решении экономических задач .

Цели урока:

  1. Образовательные: Познакомить учащихся с возможностями использования математического аппарата дифференциального исчисления в экономических расчётах. Закрепить, углубить и обобщить знания в области производной с помощью решения различных задач с экономическим и практическим содержанием.

  2. Развивающие: Продолжить развивать логическое мышление учащихся. Развивать навыки самостоятельной работы. Развивать навыки самоконтроля.

  3. Воспитательные: Развивать познавательный интерес к предмету. Развивать творческие способности учащихся.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, тесты, таблицы, доска.

Тип урока: комбинированный.



План

  1. Организационный момент ……………………………………………… 1 мин.

  2. Проверка домашнего задания …………………………………………… 3 мин.

  3. Актуализация ранее изученного...………………..………….………….. 3 мин.

  4. Экономический смысл производной………………...………………… 25 мин.

  5. Задачи на экстремум в экономике…………………………………….. 25 мин.

  6. Эластичность функции ………………………………………………… 25 мин.

  7. Подведение итогов……………………………………………………….. 3 мин.

  8. Домашнее задание, (проектор)………...………………………………... 2 мин.

  9. Этап рефлексии……………………………………………………..……. 3 мин.



  1. Организационный момент

Цель деятельности педагога: проверить готовность к занятию, настроить на выполнение учебных задач.

Цель деятельности учащегося: настроиться на учебный процесс, проверить свою готовность к занятию.

Вступительное слово преподавателя: На предыдущих уроках мы рассмотрели понятие производной, её геометрический и физический смысл, а сегодня рассмотрим возможность использования наших знаний при решении прикладных задач.


  1. Проверка усвоения учащимися пройденного материала.

Цель деятельности педагога: актуализировать знания, необходимые для изучения темы, развивать позитивный интерес к предмету.

Цель деятельности учащегося: поверить в свои силы, оказавшись в ситуации успеха при решении известных задач.


Проверка домашнего задания через мультимедиа-проектор:

Задача: Найдите наибольшее и наименьшее значение функции hello_html_4c4247e6.gif на отрезке hello_html_m194ed348.gif.

План решения

Реализация плана

Находим производную функции у /

hello_html_m63e543f.gif

Находим стационарные точки функции из уравнения у /=0

hello_html_m6c066aaf.gif, hello_html_m50a6109c.gif

hello_html_m6c6c66f0.gifили hello_html_3a6c2150.gif

hello_html_m298a9774.gif, hello_html_m5bf0f784.gif, hello_html_44f4c00e.gif – стационарные

точки функции

Выбираем стационарные точки, принадлежащие отрезку hello_html_m3430fa75.gif

hello_html_2319af80.gif

Находим значения функции в стационарных точках (принадлежащих промежутку) и на концах промежутка

hello_html_42ede3b0.gif

hello_html_m5ace2b46.gif

hello_html_68064d87.gif

Из найденных значений выбираем наибольшее и наименьшее и записываем ответ.

hello_html_m71c95074.gif

hello_html_2d16b855.gif

  1. Актуализация ранее изученного.

Вопросы для обсуждения:

  1. Определение производной.

  2. Производные элементарных функций.

  3. Правила вычисления производных.

  4. Дифференцирование сложной функции.

  1. Экономический смысл производной

Производительность труда.

Пусть известна функция hello_html_m29e3585a.gif, выражающая объём произведённой продукции и за время t. Тогда за время hello_html_m327aea9.gif величина произведённой продукции составит

hello_html_m7f17cdf4.gif

Средняя производительность труда – это отношение количества произведённой продукции к затраченному времени, т.е.

hello_html_4c46ac87.gif

Производительностью труда в момент времени t0 называется предел, к которому стремится zср при hello_html_536d4f24.gif:

hello_html_m615ef1b0.gif

Предельные затраты.

Пусть q – объём произведённой продукции, С – её себестоимость (или издержки), зависящая от q, т.е. hello_html_m138d4eef.gif.

Средние затраты на единицу продукции (средняя себестоимость) определяются по формуле

hello_html_13aaa401.gif

Найдём hello_html_7799bb2b.gif – приращение затрат на производство, связанное с увеличением объёма произведённой продукции на величину hello_html_f1dbf03.gif:

hello_html_66b23563.gif

Отношение hello_html_5cc31f76.gif есть среднее приращение затрат на производство, т.е. приращение затрат на единицу произведённой продукции. Тогда, если существует

hello_html_2a25efee.gif

То hello_html_m257d6452.gif называют предельными затратами на производство (себестоимостью). В экономических исследованиях предельные издержки называют маржинальными и обозначают через МС, т.е.

hello_html_738ba6e1.gif

Предельный доход.

Пусть функция hello_html_m10875fda.gif отражает зависимость дохода R от объёма продукции q. Рассуждения, аналогичные предыдущим, приведут к формуле

hello_html_m55b30359.gif

Величина hello_html_m5f2a6bd5.gif определяет предельный доход, который называют маржинальным и обозначают через МС, т.е.

hello_html_754d93f2.gif


Задача: Объём продукции и, выпускаемой рабочим в течение рабочего дня, выражается функцией hello_html_1792cc3c.gif, где t – время, ч; причём hello_html_64e31649.gif. Необходимо вычислить производительность труда и скорость её изменения через 1 ч после начала и за 1 ч до окончания рабочего дня.

Решение:

Производительность труда hello_html_m188582f.gif выражается формулой hello_html_m615ef1b0.gif. Тогда

hello_html_m6f5a9289.gif

Производительность труда через 1 ч после начала работы

hello_html_m783bf989.gif(у.е.)

Производительность труда за 1 ч до окончания работы

hello_html_444fd245.gif(у.е.)

Скорость изменения производительности труда hello_html_14bec719.gif

Значит, hello_html_decfd3b.gif, hello_html_454561.gif


  1. Задачи на экстремум в экономике.


Алгоритм решения задачи

на определение наибольшего или наименьшего значений:

  1. Этап построения математической модели (этап формализации).

  • выявляем оптимизируемую величину (прибыль, расходы на производство и т.п.). и обозначаем её у;

  • одну из неизвестных величин (цену товара, величину спроса, объём производства и т.п.) считаем независимой переменной и обозначаем х. Устанавливаем реальные границы изменения х в соответствии с условием задачи;

  • исходя из конкретных условий задачи, выражаем у через х и известные величины.

  1. Этап исследования математической модели.

  • для полученной функции находим максимум или минимум (в зависимости от требований задачи) на промежутке реального изменения х.

  1. Этап интерпретации результатов.

  • интерпретируем полученные результаты для данных задачи.

Данный алгоритм подходит и для функции с двумя переменными.


Задача: Затраты на производство продукции объёма х задаются функцией hello_html_4d74c655.gif. Производитель реализует продукцию по цене 25 ден.ед. Найдите максимальную прибыль П и соответствующий объём продукции х.


Решение:


План решения

Реализация плана

Записываем исходную формулу для вычисления величины, экстремальное значение которой надо найти

Прибыль равна разности между выручкой U и затратами С.

П= U – С

Находим соответствующую функцию, зависящую от х

Реализовав продукцию объёма х по цене 25 ден.ед., предприниматель имеет выручку, hello_html_6db25c99.gif. При этом затраты составят hello_html_bea33b8.gif. Значит,

hello_html_5c4bcbb0.gif

Определяем (по смыслу задачи) область определения функции

По смыслу задачи объём продукции х может принимать любое положительное значение, т.е.

hello_html_m3c20eaf7.gif

Формулируем математическую задачу

Найти наибольшее значение функции

hello_html_51a22c2a.gifпри hello_html_m3c20eaf7.gif

Функцию аргумента х исследуем на экстремум на найденном промежутке

hello_html_medfbf42.gif

hello_html_mcb4388b.gif, следовательно

стационарная точка функции hello_html_m7778b8ab.gif

Производная меняет свой знак при переходе через эту точку с «+» на «–», значит hello_html_m7778b8ab.gif – точка максимума.

hello_html_2f640ed9.gif

Интерпретируем результаты и записываем ответ

Максимальная прибыль, равная 96 ден.ед., достигается при объёме производства 10 у.е.


  1. Понятие эластичности в микроэкономике.

Для исследования экономических процессов и решения прикладных задач используется понятие эластичности функции.

Эластичностью функции (с точки зрения математики) hello_html_18de6a24.gif называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при hello_html_63609d48.gif.

hello_html_c8b9229.gifhello_html_m4755e60a.gif

hello_html_m48ab8f9e.gif


Экономический смысл эластичности функции в том, что она выражает приближённый процентный прирост значения функции при приращении аргумента на 1%.

Свойства эластичности:

  1. Эластичность – безразмерная величина, т.е. её значение не зависит от единиц измерения величин х и у.

  2. Эластичность произведения двух функций равна сумме эластичностей этих функций.

hello_html_78f32967.gif

  1. Эластичность частного двух функций равна разности эластичностей этих функций.

hello_html_217cd01c.gif

Эластичность спроса q относительно цены p.

Пусть спрос зависит от цены по закону hello_html_m70d1f366.gif. Функция hello_html_mdd49249.gif показывает, как изменится спрос на данный товар, если цена изменится на 1%. Так как обычно hello_html_m12995e0a.gif, т.е. с увеличением цены спрос падает, то hello_html_5f261a3a.gif берут со знаком «–», т.е. hello_html_m6862dd1c.gif.

Если hello_html_m20e5d0b8.gif то говорят, что спрос эластичен; если hello_html_m16531fac.gif то не эластичен; если жеhello_html_m3b3dfa5a.gifто спрос нейтрален.

Перекрестная эластичность спроса по цене характеризует относительное изменение величины спроса на один товар или услуги при изменении цены на другие (замещающие или дополняющие) на один процент.

hello_html_m6c67f424.gif

Положительный знак в (10) свидетельствует о замещаемости, а отрицательный – о дополняемости.

Эластичность спроса q относительно дохода r.

Пусть hello_html_m5b2e05ee.gif – закон зависимости спроса от дохода. Тогда hello_html_39f00112.gif есть эластичность спроса относительно дохода, она показывает как изменится спрос на данный товар, если доход изменится на 1%.

Аналогично можно определить эластичность предложения s относительно цены р или дохода r:

hello_html_m55d125bf.gifи hello_html_m159813c6.gif

Ценовая эластичность ресурсов.

hello_html_m49e8af7f.gif

Характеризует относительное изменение величины спроса на какой-либо ресурс (например, труд) при изменении цены этого ресурса (зарплаты) на один процент.

Эластичность замещения одного ресурса другим

hello_html_7e8033e5.gif

Характеризует необходимое изменение величины одного ресурса (капитала) при изменении количества другого ресурса (труда) на один процент с тем, чтобы выпуск при этом не сократился.

Пример 1: Функция спроса: hello_html_6c606f6f.gif Функция предложения: S = p + 0,5. Здесь р(руб) – цена товара, q(шт.) – количество покупаемого товара; S(шт.) – количество предлагаемого на продажу товара в единицах времени.

Найти: а) равновесную цену: q= S; б) эластичность спроса и предложения для этой цены.

Решение: а) hello_html_m7e403d81.gif p = 2 руб.

б) hello_html_m3f69072d.gif

hello_html_ma153e18.gif; hello_html_mc87470c.gif неэластична

hello_html_44764468.gifhello_html_mfbf9e06.gif; hello_html_m426f8b6f.gif неэластична.

Следовательно изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения. При увеличении цены р на 1% спрос уменьшится на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%.

Пример 2: Функция спроса y от цены х продукта имеет вид hello_html_m67d2ab6f.gif. Найти коэффициент эластичности спроса при цене товара hello_html_23262167.gif единицы.

Решение. Коэффициент эластичности спроса равен

hello_html_ab62653.gif.

При hello_html_23262167.gif получаем hello_html_239cfaed.gif, т.е. при повышении цены на 1% спрос на товар уменьшится на 0,25%. Так как hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m7a81fbc9.gif, то спрос при цене hello_html_23262167.gif единицы не эластичен.

VII. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

VIII. Домашнее задание, слайд № 15.

Тематические тесты. Раздел 2.5. А3; А6 ; А15; В30; В38; В43.

Записи в тетрадях.

IX. Рефлексия урока.

Цель деятельности педагога: создание условий для саморазвития, самопознания школьника.

Цель деятельности учащегося: воспроизведение полученных в ходе занятия знаний; осознание собственной деятельности.

Слово преподавателя:

  1. Какими навыками, умениями вы овладели на сегодняшнем уроке?

  2. Что было непонятно?

  3. Решение каких задач показалось вам сложным?

  4. Какие задания вам понравились?

  5. Что удивило вас?


9


Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Краткое описание документа:

Цель данной разработки - помочь преподавателям образовательных учреждений экономического профиля в подборе материала профессиональной направленности при изучении производной.

Цель урока - познакомить учащихся с возможностями использования математического аппарата дифференциального исчисления в экономических расчётах. Закрепить, углубить и обобщить знания в области производной с помощью решения различных задач с экономическим и практическим содержанием.

В конспекте подробно рассматривается и даётся алгоритм решения задач на нахождение наибольшкго и наименьшего значений функции, рассматривается понятие "эластичность".

 

 

 

Автор
Дата добавления 15.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров3924
Номер материала 533635
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх