Пробный экзамен по математике в форме ЕГЭ 2015 год

ВАРИАНТ № 1

Инструкция по выполнению работы

             На  выполнение  заданий  варианта  КИМ  по  математике  даётся 

3  часа 55 минут (235 минут).  Работа  состоит  из  двух  частей,  включающих  в себя 21 задание.

           Часть 1 содержит 9 заданий (задания  1–9)  базового  уровня

сложности,  проверяющих  наличие  практических  математических  знаний  и умений.

            Часть 2 содержит 12 заданий (задания  10–14  и 15–21)  базового,

повышенного и  высокого уровней по  материалу  курса  математики  средней школы, проверяющих уровень профильной математической подготовки. 

           Ответом  к  каждому  из  заданий  1–14  является  целое  число  или

конечная  десятичная  дробь.  При  выполнении  заданий  15–21 требуется записать полное решение и ответ.

          Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается

использование гелевой, капиллярной или перьевой ручки. 

          При  выполнении  заданий  Вы  можете  пользоваться  черновиком.

Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться при оценивании работы.

         Советуем  выполнять  задания  в  том  порядке,  как  они  даны.  Для

экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и  переходите  к  следующему.  Если  после  выполнения  всей  работы  у  Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

         Баллы,  полученные  Вами  за  выполненные  задания,  суммируются.

Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

Желаем успеха!

Часть 1

1. В розницу один номер еженедельного журнала стоит 42 рубля, а полугодовая подписка на этот журнал стоит 820 рублей. За полгода выходит 25 номеров журнала. Сколько рублей можно сэкономить за полгода, если не покупать каждый номер журнала отдельно, а получать журнал по подписке?

2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разность между наибольшей и наименьшей среднемесячными температурами в 2003 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

3. Для остекления музейных витрин требуется заказать 20 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,25 м². В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ?

4. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 27.

5. Вика, Рита, Ульяна и Боря бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.

6. Найдите корень уравнения   

7. Острые углы прямоугольного треугольника равны 29^о и 61^о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

8. На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (-1;12). Найдите точку экстремума функции y = f (x) на отрезке [2; 7]

9. В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали?

Часть 2

10. Найдите значение выражения log₅6,25 +  log₅4.

11. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 148 МГц. Скорость спуска батискафа, выражается в м/с, определяется по формуле

, где с = 1500 м/с – скорость звука в воде, f₀– частота испускаемых импульсов (в  МГц), f– частота отраженного от дна сигнала, регистрируемая приемником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала f, если скорость погружения батискафа не должна превышать 20 м/с. Ответ выразите в МГц.

12. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 6. Найдите его объем.

13. Моторная лодка прошла против течения реки 140 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна
12 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

14. Найдите наименьшее значение функции y = 3cosx – 15x + 3 на отрезке .

15. а)Решите уравнение

    б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
промежутку .

16. В правильной треугольной пирамиде SABC с ребром основания 3 и высотой  найдите расстояние между скрещивающимися ребрами
ВС и AS.

17. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

18. Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках P и Q. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку P, вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке A, а вто­рую — в точке D. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку Q па­рал­лель­но AD, вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке B, а вто­рую — в точке C.

а) До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник ABCD — па­рал­ле­ло­грамм.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние BP:PC, если ра­ди­ус пер­вой окруж­но­сти вдвое боль­ше ра­ди­у­са вто­рой.

19. Антон взял кре­дит в банке на срок 6 ме­ся­цев. В конце каж­до­го ме­ся­ца общая сумма остав­ше­го­ся долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на одно и то же число про­цен­тов (ме­сяч­ную про­цент­ную став­ку), а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную Ан­то­ном. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну. Общая сумма вы­плат пре­вы­си­ла сумму кре­ди­та на 63%. Най­ди­те ме­сяч­ную про­цент­ную став­ку.

20. Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние 

  на про­ме­жут­ке   имеет более двух кор­ней.

21. Най­ди­те все про­стые числа p, для каж­до­го из ко­то­рых су­ще­ству­ет такое целое число k, что число p яв­ля­ет­ся общим де­ли­те­лем чисел

k⁴ + 15k² + 35  и k³ + 8k.

ВАРИАНТ № 2

Инструкция по выполнению работы

             На  выполнение  заданий  варианта  КИМ  по  математике  даётся 

3  часа 55 минут (235 минут).  Работа  состоит  из  двух  частей,  включающих  в себя 21 задание.

           Часть 1 содержит 9 заданий (задания  1–9)  базового  уровня

сложности,  проверяющих  наличие  практических  математических  знаний  и умений.

            Часть 2 содержит 12 заданий (задания  10–14  и 15–21)  базового,

повышенного и  высокого уровней по  материалу  курса  математики  средней школы, проверяющих уровень профильной математической подготовки. 

           Ответом  к  каждому  из  заданий  1–14  является  целое  число  или

конечная  десятичная  дробь.  При  выполнении  заданий  15–21 требуется записать полное решение и ответ.

          Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается

использование гелевой, капиллярной или перьевой ручки. 

          При  выполнении  заданий  Вы  можете  пользоваться  черновиком.

Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться при оценивании работы.

         Советуем  выполнять  задания  в  том  порядке,  как  они  даны.  Для

экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и  переходите  к  следующему.  Если  после  выполнения  всей  работы  у  Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

         Баллы,  полученные  Вами  за  выполненные  задания,  суммируются.

Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

Желаем успеха!

Часть 1

1. Среди 40000 жителей города 60% не интересуется футболом. Среди футбольных болельщиков 80% смотрело по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот матч?

2. На рисунке жирными точками показана цена никеля на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 6 по 20 мая 2009 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – цена тонны никеля в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену никеля на момент закрытия торгов в период с 7 по 15 мая (в долларах США за тонну).

3. Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинг R бытовых приборов на основе коэффициента ценности, равного 0,01 средней цены P, показателей функциональности F, качества Q и дизайна D. Каждый из показателей оценивается целым числом от 0 до 4. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле R = 4(2F + 2Q + D) – 0,01P

В таблице даны средняя цена и оценки каждого показателя для нескольких моделей электрических мясорубок. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице моделей электрических мясорубок.

4. Точки D, Е, F — середины сторон треугольника  АВС. Периметр треуголь­ника DEF равен 5. Найдите периметр треугольника АВС.

5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

6. Найдите корень уравнения   

7. В тупоугольном треугольнике ABC  AC = BC = 25, AH – высота, CH = 20. Найдите sinACB.

8.  На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции  y = f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = 6 или сов­па­да­ет с ней.

9. Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличить в 1,5 раза?

Часть 2

10. Найдите значение выражения log₉ log₂8.

11. Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением a км/ч², вычисляется по формуле  .  Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,4 километра, приобрести скорость не менее 160 км/ч. Ответ выразите в км/ч².

12. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 9. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

13. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 352 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 44 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

14. Найдите точку минимума функции y = x³ + 5x² + 7x - 5

15. а)Решите уравнение cos²x – 0,75 = cos2x

    б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
промежутку .

16. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребра AB = AA₁ = 2, AD = . Найдите расстояние от вершины А до диагонали B₁C боковой грани.

17. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

18. Вы­со­ты BB₁ и CC₁ ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H.

а) До­ка­жи­те, что ÐAHB₁ = ÐACB

 б) Най­ди­те BC,  если AH = 8Ö3  и ÐBAC = 60⁰

19. Сер­гей взял кре­дит в банке на срок 9 ме­ся­цев. В конце каж­до­го ме­ся­ца общая сумма остав­ше­го­ся долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на 12%, а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную Сер­ге­ем. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну.

Сколь­ко про­цен­тов от суммы кре­ди­та со­ста­ви­ла общая сумма, упла­чен­ная Сер­ге­ем банку (сверх кре­ди­та)?

20. При каких  а урав­не­ние |x² – 2x - 3| - 2a = |x - a| - 1 имеет ровно три корня?

21. Най­ди­те все про­стые числа b, для каж­до­го из ко­то­рых су­ще­ству­ет такое целое число a, что дробь     можно со­кра­тить на b.

ВАРИАНТ № 3

Инструкция по выполнению работы

             На  выполнение  заданий  варианта  КИМ  по  математике  даётся 

3  часа 55 минут (235 минут).  Работа  состоит  из  двух  частей,  включающих  в себя 21 задание.

           Часть 1 содержит 9 заданий (задания  1–9)  базового  уровня

сложности,  проверяющих  наличие  практических  математических  знаний  и умений.

            Часть 2 содержит 12 заданий (задания  10–14  и 15–21)  базового,

повышенного и  высокого уровней по  материалу  курса  математики  средней школы, проверяющих уровень профильной математической подготовки. 

           Ответом  к  каждому  из  заданий  1–14  является  целое  число  или

конечная  десятичная  дробь.  При  выполнении  заданий  15–21 требуется записать полное решение и ответ.

          Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается

использование гелевой, капиллярной или перьевой ручки. 

          При  выполнении  заданий  Вы  можете  пользоваться  черновиком.

Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться при оценивании работы.

         Советуем  выполнять  задания  в  том  порядке,  как  они  даны.  Для

экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и  переходите  к  следующему.  Если  после  выполнения  всей  работы  у  Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

         Баллы,  полученные  Вами  за  выполненные  задания,  суммируются.

Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

Желаем успеха!

Часть 1

1. На счету Юлиного мобильного телефона было 77 рублей, а после разговора с Антоном осталось 41 рубль. Сколько минут длился разговор с Антоном, если одна минута разговора стоит 1 рубль 50 копеек.

2. Мощность отопителя в автомобиле регулируется дополнительным сопротивлением, которое можно менять, поворачивая рукоятку в салоне машины. При этом меняется сила тока в электрической цепи электродвигателя – чем меньше сопротивление, тем больше сила тока и тем быстрее вращается мотор отопителя. На рисунке показана зависимость силы тока от величины сопротивления. На оси абсцисс откладывается сопротивление (в Омах), на оси ординат – сила тока в Амперах. Ток в цепи электродвигателя уменьшился с 12 до 6 Ампер. На сколько Омов при этом увеличилось сопротивление цепи?

3. В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше 10000 руб., он получает скидку на следующую покупку в размере 10% уплаченной суммы. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить товар в магазин. Покупатель Б. хочет приобрести куртку ценой 9300 р., рубашку ценой 1800 р. и перчатки ценой 1200 р. В каком случае Б. заплатит за покупку меньше всего:

1) Б. купит все три товара сразу.

2) Б. купит сначала куртку и рубашку, а потом перчатки со скидкой.

3) Б. купит сначала куртку и перчатки, а потом рубашку со скидкой.

В ответ запишите, сколько рублей заплатит Б. за покупку в этом случае.

4. На клет­ча­той бу­ма­ге с клет­ка­ми раз­ме­ром 1 см х 1 см изоб­ра­жен тре­уголь­ник (см. ри­су­нок). Най­ди­те его пло­щадь в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

5. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 40 выступлений – по одному от каждой страны. В первый день 20 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

6. Найдите корень уравнения   2^{4 - 2х} = 64.

7. AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 38^o.

Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

8. На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (-8; 3). Найдите точку экстремума функции y = f (x) на отрезке [-6; 1].

9. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого?

Часть 2

10. Найдите значение выражения .

11. Мяч бросили под острым углом a к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полета мяча (в секундах) определяется по формуле

.  При каком наименьшем значении угла a (в градусах) время полета будет не меньше 1,8 с, если мяч бросают с начальной скоростью

u₀=18 м/с?. Считайте, что ускорение свободного падения g = 10 м/с².

12. Объем конуса равен 48. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

13. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 2 часа после этого следом за ним со скоростью, на 2 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между пристанями равно 99 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

14. Найдите наименьшее значение функции y = 17x – 7sinx + 4 на отрезке .

15. а)Решите уравнение

    б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
промежутку .

16. В правильной четырехугольной пирамиде  сторона основания равна 8, а высота равна 9. Через ребро АВ и медиану АМ боковой грани  проведена плоскость. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и основанием .

17. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

18. Точка M — се­ре­ди­на сто­ро­ны AD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD . Из вер­ши­ны A про­ве­де­ны два луча, ко­то­рые раз­би­ва­ют от­ре­зок BM на три рав­ные части.

а) До­ка­жи­те, что один из лучей со­дер­жит диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма.

б) Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка, огра­ни­чен­но­го двумя про­ведёнными лу­ча­ми и пря­мы­ми BD и BC , если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 40.

19. В конце ав­гу­ста 2001 года ад­ми­ни­стра­ция При­мор­ско­го края рас­по­ла­га­ла некой сум­мой денег, ко­то­рую пред­по­ла­га­лось на­пра­вить на по­пол­не­ние неф­тя­ных за­па­сов края. На­де­ясь на из­ме­не­ние конъ­юнк­ту­ры рынка, ру­ко­вод­ство края, от­сро­чив за­куп­ку нефти, по­ло­жи­ла эту сумму 1 сен­тяб­ря 2001 года в банк. Далее из­вест­но, что сумма вкла­да в банке уве­ли­чи­ва­лась пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца на 26% по от­но­ше­нию к сумме на пер­вое число преды­ду­ще­го ме­ся­ца, а цена бар­ре­ля сырой нефти убы­ва­ла на 10% еже­ме­сяч­но. На сколь­ко про­цен­тов боль­ше (от пер­во­на­чаль­но­го объ­е­ма за­ку­пок) ру­ко­вод­ство края смог­ло по­пол­нить неф­тя­ные за­па­сы края, сняв 1 но­яб­ря 2001 года всю сумму, по­лу­чен­ную из банка вме­сте с про­цен­та­ми, и на­пра­вив ее на за­куп­ку нефти?

20. Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции f(x) = 4x² – 4ax + a² + 2a + 2 на мно­же­стве  |x|≥1 не менее 6.

21. Най­ди­те все про­стые числа p, для каж­до­го из ко­то­рых су­ще­ству­ет такое целое число k, что число p яв­ля­ет­ся общим де­ли­те­лем чисел

k⁴ + 12k² + 12   и    k³ + 9k.

ВАРИАНТ № 4

Инструкция по выполнению работы

             На  выполнение  заданий  варианта  КИМ  по  математике  даётся 

3  часа 55 минут (235 минут).  Работа  состоит  из  двух  частей,  включающих  в себя 21 задание.

           Часть 1 содержит 9 заданий (задания  1–9)  базового  уровня

сложности,  проверяющих  наличие  практических  математических  знаний  и умений.

            Часть 2 содержит 12 заданий (задания  10–14  и 15–21)  базового,

повышенного и  высокого уровней по  материалу  курса  математики  средней школы, проверяющих уровень профильной математической подготовки. 

           Ответом  к  каждому  из  заданий  1–14  является  целое  число  или

конечная  десятичная  дробь.  При  выполнении  заданий  15–21 требуется записать полное решение и ответ.

          Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается

использование гелевой, капиллярной или перьевой ручки. 

          При  выполнении  заданий  Вы  можете  пользоваться  черновиком.

Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться при оценивании работы.

         Советуем  выполнять  задания  в  том  порядке,  как  они  даны.  Для

экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и  переходите  к  следующему.  Если  после  выполнения  всей  работы  у  Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

         Баллы,  полученные  Вами  за  выполненные  задания,  суммируются.

Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

Желаем успеха!

Часть 1

1. Спидометр автомобиля показывает скорость в милях в час. Какую скорость (в милях в час) показывает спидометр, если автомобиль движется со скоростью 56 км в час? (Считайте, что 1 миля равна 1,6 км.)

2. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, на сколько градусов нагреется двигатель с третьей по седьмую минуту разогрева.

3. В трёх салонах сотовой связи один и тот же телефон продаётся в кредит на разных условиях. Условия даны в таблице.

Определите, в каком из салонов покупка обойдётся дороже всего (с учётом переплаты), и в ответ напишите эту наибольшую сумму в рублях.

4. Периметр параллелограмма равен 70. Меньшая сторона равна 16. Найдите большую сторону параллелограмма.

5. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 5 из них встречается вопрос по теории вероятностей. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теории вероятностей.

6. Найдите корень уравнения   

7. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 125° и 47°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

8. На рисунке изображен график производной функции y =  f (x), определенной на интервале (- 2; 18). Найдите количество точек минимума функции y =  f (x) на отрезке [0; 15].

9. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает  высоты.
Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Часть 2

10. Найдите значение выражения .

11. Трактор тащит сани с силой F=100 кН, направленной под острым углом a к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной S=60м вычисляется по формуле A = FScosa. При каком максимальном угле a (в градусах) совершенная работа будет не менее 3000 кДж?

12. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 12. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

13. Заказ на 224 детали первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 2 детали больше?

14. Найдите точку минимума функции                   

15. а)Решите уравнение cos²x – 0,25 = cos2x

    б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
промежутку .

16. В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник с катетами АС = 3 и ВС = 4. Через вершину C₁ и ребро АВ нижнего основания проведена плоскость. Найдите расстояние от вершины С до этой плоскости, если высота призмы равна 12.

17. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

 18. Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K. Пря­мая AB ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке A, а вто­рой — в точке B. Пря­мая BK пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке D, пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точке C.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKB, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 4 и 1.

19. В ян­ва­ре 2000 года став­ка по де­по­зи­там в банке «Воз­рож­де­ние» со­ста­ви­ла х % го­до­вых, тогда как в ян­ва­ре 2001 года — у % го­до­вых, при­чем из­вест­но, что x + y = 30%. В ян­ва­ре 2000 года вклад­чик от­крыл счет в банке «Воз­рож­де­ние», по­ло­жив на него не­ко­то­рую сумму. В ян­ва­ре 2001 года, по про­ше­ствии года с того мо­мен­та, вклад­чик снял со счета пятую часть этой суммы. Ука­жи­те зна­че­ние х при ко­то­ром сумма на счету вклад­чи­ка в ян­ва­ре 2002 года ста­нет мак­си­маль­но воз­мож­ной.

20. Най­ди­те все зна­че­ния а, при ко­то­рых урав­не­ние    на про­ме­жут­ке   имеет ровно два кор­ня.

21. Име­ют­ся ка­мен­ные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1 000 кг и 60 штук по 1 500 кг (рас­ка­лы­вать глыбы нель­зя).

а) Можно ли увез­ти все эти глыбы од­но­вре­мен­но на 60 гру­зо­ви­ках, гру­зо­подъёмно­стью 5 тонн каж­дый, пред­по­ла­гая, что в гру­зо­вик вы­бран­ные глыбы по­ме­стят­ся?

б) Можно ли увез­ти все эти глыбы од­но­вре­мен­но на 38 гру­зо­ви­ках, гру­зо­подъёмно­стью 5 тонн каж­дый, пред­по­ла­гая, что в гру­зо­вик вы­бран­ные глыбы по­ме­стят­ся?

в) Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство гру­зо­ви­ков, гру­зо­подъёмно­стью 5 тонн каж­дый, по­на­до­бит­ся, чтобы вы­вез­ти все эти глыбы од­но­вре­мен­но, пред­по­ла­гая, что в гру­зо­вик вы­бран­ные глыбы по­ме­стят­ся?

ВАРИАНТ № 5

Инструкция по выполнению работы

             На  выполнение  заданий  варианта  КИМ  по  математике  даётся 

3  часа 55 минут (235 минут).  Работа  состоит  из  двух  частей,  включающих  в себя 21 задание.

           Часть 1 содержит 9 заданий (задания  1–9)  базового  уровня

сложности,  проверяющих  наличие  практических  математических  знаний  и умений.

            Часть 2 содержит 12 заданий (задания  10–14  и 15–21)  базового,

повышенного и  высокого уровней по  материалу  курса  математики  средней школы, проверяющих уровень профильной математической подготовки. 

           Ответом  к  каждому  из  заданий  1–14  является  целое  число  или

конечная  десятичная  дробь.  При  выполнении  заданий  15–21 требуется записать полное решение и ответ.

          Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается

использование гелевой, капиллярной или перьевой ручки. 

          При  выполнении  заданий  Вы  можете  пользоваться  черновиком.

Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться при оценивании работы.

         Советуем  выполнять  задания  в  том  порядке,  как  они  даны.  Для

экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и  переходите  к  следующему.  Если  после  выполнения  всей  работы  у  Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

         Баллы,  полученные  Вами  за  выполненные  задания,  суммируются.

Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

Желаем успеха!

Часть 1

1. В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 1200 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 4 недели?

2. На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Санкт-Пе­тер­бур­ге за каж­дый месяц 1999 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме наи­мень­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру во вто­рой по­ло­ви­не 1999 года. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

3. В среднем гражданин А. в дневное время расходует 120 кВт×ч электроэнергии в месяц, а в ночное время – 185 кВт×ч электроэнергии. Раньше у А. в квартире был установлен однотарифный счетчик, и всю электроэнергию он оплачивал по тарифу 2,40 руб. за кВт×ч. Год назад А. установил двухтарифный счётчик, при этом дневной расход электроэнергии оплачивается по тарифу 2,40 руб. за кВт×ч, а ночной расход оплачивается по тарифу 0,60 руб. за кВт×ч.

В течение 12 месяцев режим потребления и тарифы оплаты электроэнергии не менялись. На сколько больше заплатил бы А. за этот период, если бы не поменялся счетчик? Ответ дайте в рублях.

4. Площадь круга, изображённого на клетчатой бумаге, равна 16. Найдите площадь заштрихованного кругового сектора.

5. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 11 из них встречается вопрос по логарифмам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по логарифмам.

6. Найдите корень уравнения  

7. В треугольнике ABC  АС = 4, ВС = 3, , угол C равен 90^о. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

8. На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (- 10; 14). Найдите количество точек максимума функции
y = f (x) на отрезке [- 8; 11].

9. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.

Часть 2

10. Найдите значение выражения    при  х=3.

11. Скейтбордист  прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью

u = 6 м/с под острым углом a к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью    (м/с), где m = 75 кг – масса скейтбордиста со скейтом, а М = 375 кг – масса платформы. Под каким максимальным углом  a (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,5 м/с?

12. Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы слу­жит пря­мо­уголь­ный              тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8, бо­ко­вое ребро равно 5. Най­ди­те объем приз­мы.

13. На из­го­тов­ле­ние 475 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 6 часов мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 550 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 3 де­та­ли боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет пер­вый ра­бо­чий?

14. Найдите наименьшее значение функции y = 13cosx – 17x + 6 на отрезке .

15. а)Решите уравнение  cos2x – 0,75 + sin²x = o

    б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
промежутку .

16. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁…F₁, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостью основания и плоскостью ABC₁.

17. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

 18. Медианы АА₁, ВВ₁, СС₁ треугольника АВС пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ке М. Точки А₂, В₂, С₂ – середины отрезков МА, МВ, МС соответственно.

а) До­ка­жи­те, что площадь шестиугольника А₁В₂С₁А₂В₁С₂ вдвое меньше площади треугольника АВС.

б) Най­ди­те сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ=5, ВС=8, и АС=10.

19. Фер­мер по­лу­чил кре­дит в банке под опре­де­лен­ный про­цент го­до­вых. Через год фер­мер в счет по­га­ше­ния кре­ди­та вер­нул в банк 3/4 от всей суммы, ко­то­рую он дол­жен банку к этому вре­ме­ни, а еще через год в счет пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та он внес в банк сумму, на 21% пре­вы­ша­ю­щую ве­ли­чи­ну по­лу­чен­но­го кре­ди­та. Каков про­цент го­до­вых по кре­ди­ту в дан­ном банке?

20. Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние 

  на про­ме­жут­ке   имеет более двух кор­ней.

21. На­ту­раль­ные числа от 1 до 20 раз­би­ва­ют на че­ты­ре груп­пы, в каж­дой из ко­то­рых есть по край­ней мере два числа. Для каж­дой груп­пы на­хо­дят сумму чисел этой груп­пы. Для каж­дой пары групп на­хо­дят мо­дуль раз­но­сти най­ден­ных сумм и по­лу­чен­ные 6 чисел скла­ды­ва­ют.

а) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 0?

б) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 1?

в) Ка­ко­во наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние по­лу­чен­но­го ре­зуль­та­та?

Критерии и решения заданий с развернутым ответом.

Вариант 1.

Задание 15.

Задание 16.

Задание 17

Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

Ре­ше­ние.

Най­дем зна­че­ния  при ко­то­рых опре­де­ле­ны обе части не­ра­вен­ства:

Для таких  верно сле­ду­ю­щее пре­об­ра­зо­ва­ние:

Тогда ис­ход­ное не­ра­вен­ство при­мет вид  Так как  то при усло­вии  имеем:

Учи­ты­вая, что  по­лу­ча­ем ответ.

Ответ: 

Задание 18

Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках P и Q. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку P, вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке A, а вто­рую — в точке D. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку Q па­рал­лель­но AD, вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке B, а вто­рую — в точке C.

а) До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник ABCD — па­рал­ле­ло­грамм.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние BP:PC, если ра­ди­ус пер­вой окруж­но­сти вдвое боль­ше ра­ди­у­са вто­рой.

а) Обо­зна­чим . По­сколь­ку  и  — впи­сан­ные четырёхуголь­ни­ки.  

 Зна­чит, , и по­это­му . Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны четырёхуголь­ни­ка  по­пар­но па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, это па­рал­ле­ло­грамм. 

б) Пусть  — ра­ди­ус вто­рой (мень­шей) окруж­но­сти. Тогда ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти равен . По тео­ре­ме си­ну­сов:

  Сле­до­ва­тель­но, . 

Ответ: 2.

Задание 19

Антон взял кре­дит в банке на срок 6 ме­ся­цев. В конце каж­до­го ме­ся­ца общая сумма остав­ше­го­ся долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на одно и то же число про­цен­тов (ме­сяч­ную про­цент­ную став­ку), а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную Ан­то­ном. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну. Общая сумма вы­плат пре­вы­си­ла сумму кре­ди­та на 63%. Най­ди­те ме­сяч­ную про­цент­ную став­ку.

Ре­ше­ние.

Пусть сумма кре­ди­та  у.е., про­цент­ная став­ка банка  %.

Пред­ло­же­ние «Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну» озна­ча­ет: Антон взя­тую сумму воз­вра­щал в банк рав­ны­ми до­ля­ми. Сумма, об­ра­зо­ван­ная при­ме­не­ни­ем про­цент­ной став­ки, со­став­ля­ет:

Общая сумма, вы­пла­чен­ная Ан­то­ном за 6 ме­ся­цев:  (у.е.). А эта сумма по усло­вию за­да­чи равна  у.е. Решим урав­не­ние:

 Ответ: 18.

Задание 20

Най­ди­те все зна­че­ния а. при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

на про­ме­жут­ке  имеет более двух кор­ней.

Решение. Рас­смот­рим функ­ции  и . Ис­сле­ду­ем урав­не­ние  на про­ме­жут­ке . 

При  все зна­че­ния функ­ции  на про­ме­жут­ке  от­ри­ца­тель­ны, а все зна­че­ния функ­ции  — не­от­ри­ца­тель­ны, по­это­му при  урав­не­ние  не имеет ре­ше­ний на про­ме­жут­ке . 

При  функ­ция  воз­рас­та­ет. Функ­ция  убы­ва­ет на про­ме­жут­ке , по­это­му урав­не­ние  имеет не более од­но­го ре­ше­ния на про­ме­жут­ке , при­чем ре­ше­ние будет су­ще­ство­вать тогда и толь­ко тогда, когда, , от­ку­да по­лу­ча­ем , то есть . 

На про­ме­жут­ке  урав­не­ние  при­ни­ма­ет вид . Это урав­не­ние сво­дит­ся к урав­не­нию . Будем счи­тать, что , по­сколь­ку слу­чай  был рас­смот­рен ранее. Дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го урав­не­ния , по­это­му при  это урав­не­ние не имеет кор­ней; при  урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень, рав­ный 2; при  урав­не­ние имеет два корня. 

Если урав­не­ние имеет два корня  и , то есть , то боль­ший корень  , по­это­му он при­над­ле­жит про­ме­жут­ку . Мень­ший ко­рень  при­над­ле­жит про­ме­жут­ку  тогда и толь­ко тогда, когда 

 то есть . Таким об­ра­зом, урав­не­ние  имеет сле­ду­ю­щее ко­ли­че­ство кор­ней на про­ме­жут­ке : 

- нет кор­ней при ;

- один ко­рень при  и ;

- два корня при  и ;

- три корня при . 

Ответ: .

Задание 21

Най­ди­те все про­стые числа p, для каж­до­го из ко­то­рых су­ще­ству­ет такое целое число k, что число p яв­ля­ет­ся общим де­ли­те­лем чисел  и .

Решение. Если число p яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа , то оно яв­ля­ет­ся также и де­ли­те­лем числа . Но если число p яв­ля­ет­ся общим де­ли­те­лем чисел  и , то оно яв­ля­ет­ся также и де­ли­те­лем раз­но­сти этих чисел, то есть числа 

.  Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем: 1) число p яв­ля­ет­ся общим де­ли­те­лем чисел  и , зна­чит, p яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа  ;

 2) число p яв­ля­ет­ся общим де­ли­те­лем чисел  и , зна­чит, p яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа

 ;

Число 105 имеет ровно три раз­лич­ных про­стых де­ли­те­ля — 3, 5 и 7. Оста­ет­ся про­ве­рить най­дут­ся ли такие целые числа kдля каж­до­го из ко­то­рых одно из чисел 3, 5 и 7 яв­ля­ет­ся общим де­ли­те­лем чисел  и .  Если , то число 3 яв­ля­ет­ся общим де­ли­те­лем дан­ных чисел. Если число k крат­но 5, то число 5 яв­ля­ет­ся общим де­ли­те­лем дан­ных чисел. Если число k крат­но 7, то число 7 яв­ля­ет­ся общим де­ли­те­лем дан­ных чисел.  За­ме­ча­ние. По­след­ние два усло­вия могут быть объ­еди­не­ны в одно: если число k крат­но 35, то числа 5 и 7 яв­ля­ют­ся об­щи­ми де­ли­те­ля­ми дан­ных чисел.

 Ответ: 3, 5, 7.

Вариант 2.

Задание 15.

Задание 16.

Задание 17

Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

Решение.

Зна­че­ния , при ко­то­рых опре­де­ле­ны обе части не­ра­вен­ства:

Для таких  по­лу­ча­ем:

Тогда ис­ход­ное не­ра­вен­ство при­мет вид:

Учи­ты­вая, что  имеем:

Ответ: 

Задание 18        Вы­со­ты  и  ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  пе­ре­се­ка­ют­ся в точке 

а) До­ка­жи­те, что 

б) Най­ди­те  если  и 

Решение.

а) В четырёхуголь­ни­ке  углы  и  — пря­мые, сле­до­ва­тель­но, около этого четырёхуголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность, причём  — её диа­метр. Впи­сан­ные углы  и  опи­ра­ют­ся на одну дугу, сле­до­ва­тель­но, 

Углы  и  — пря­мые, зна­чит, точки  и  лежат на окруж­но­сти с диа­мет­ром Сле­до­ва­тель­но,  По­лу­ча­ем, что 

б) В тре­уголь­ни­ке  диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти  от­ку­да 

 В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке  имеем: 

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке  имеем:  

По­лу­ча­ем, что  Тре­уголь­ни­ки  и  имеют общий угол  и  сле­до­ва­тель­но, они по­доб­ны. Тогда  Зна­чит,   Ответ: 24.

Задание 19

Сер­гей взял кре­дит в банке на срок 9 ме­ся­цев. В конце каж­до­го ме­ся­ца общая сумма остав­ше­го­ся долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на 12%, а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную Сер­ге­ем. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну.

Сколь­ко про­цен­тов от суммы кре­ди­та со­ста­ви­ла общая сумма, упла­чен­ная Сер­ге­ем банку (сверх кре­ди­та)?

Ре­ше­ние.  Пред­ло­же­ние «Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну» озна­ча­ет: Сер­гей взя­тую сумму воз­вра­щал рав­ны­ми до­ля­ми.

Общая сумма, упла­чен­ная Сер­ге­ем банку сверх кре­ди­та, обу­слов­ле­на толь­ко при­ме­не­ни­ем про­цент­ной став­ки. В пер­вом ме­ся­це эта часть за­пла­чен­ной суммы со­став­ля­ла , во вто­ром —  в тре­тьем —  в вось­мом —  на­ко­нец, в по­след­нем —  Всего за 9 ме­ся­цев:

Ис­ко­мое про­цент­ное от­но­ше­ние есть 60  

Ответ: 60.

Задание 20

При каких  урав­не­ние  имеет ровно три корня?

Решение. За­пи­шем урав­не­ние в виде 

По­стро­им гра­фи­ки левой и пра­вой ча­стей урав­не­ния (см. рис.) Из ри­сун­ка видно, что под­хо­дя­щих зна­че­ний  ровно два — при одном из них гра­фик пра­вой части про­хо­дит через точку  при дру­гом — ка­са­ет­ся от­ра­жен­но­го участ­ка па­ра­бо­лы. Пер­вое про­ис­хо­дит при , а вто­рое — когда урав­нение   имеет един­ствен­ный ко­рень. При­рав­ни­вая дис­кри­ми­нант к нулю, на­хо­дим  

Ответ: 

Задание 21

Най­ди­те все про­стые числа b, для каж­до­го из ко­то­рых су­ще­ству­ет такое целое число а, что дробь  можно со­кра­тить на b.

Решение. Если целые числа  и  де­лят­ся на b, то целое число 

  также де­лит­ся на b. Тогда число

  тоже де­лит­ся на b.  Тогда число 

также де­лит­ся на b. 

Таким об­ра­зом, ис­ко­мое b — про­стой де­ли­тель числа 80, то есть 2 или 5. Оста­лось про­ве­рить, для каких из най­ден­ных чисел можно по­до­брать а. Если а не­чет­ное, то чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дан­ной дроби — чет­ные числа, по­это­му дробь можно со­кра­тить на 2. Если а крат­но 5, то чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дан­ной дроби также крат­ны 5, по­это­му дробь можно со­кра­тить на 5. 

Ответ: 2, 5.

Вариант 3.

Задание 15.

Задание 16.

Задание 17

Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

Решение. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство

Сде­лав за­ме­ну пе­ре­мен­ной  по­лу­ча­ем:

1)  2) 

Ответ: 

Задание 18

Точка M — се­ре­ди­на сто­ро­ны AD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD . Из вер­ши­ны A про­ве­де­ны два луча, ко­то­рые раз­би­ва­ют от­ре­зокBM на три рав­ные части.

а) До­ка­жи­те, что один из лучей со­дер­жит диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма.

б) Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка, огра­ни­чен­но­го двумя про­ведёнными лу­ча­ми и пря­мы­ми BD и BC , если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 40.

Решение.   

а) Обо­зна­чим точки пе­ре­се­че­ния лучей с от­рез­ком BM — бук­ва­ми P и R (см. ри­су­нок), и пусть O — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма, а N — точка пе­ре­се­че­ния лучаAP и пря­мой BC.

Точка R делит ме­ди­а­ну BM тре­уголь­ни­ка ABD в от­но­ше­нии 2 :1 счи­тая от B. Сле­до­ва­тель­но, R лежит на ме­ди­а­не AO этого тре­уголь­ни­ка, то есть луч AR со­дер­жит диа­го­наль AC . 

б) Пусть L — точка пе­ре­се­че­ния AN и BD. Нужно найти пло­щадь четырёхуголь­ни­каLNCO. Пусть пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна S . Пло­щадь тре­уголь­ни­ка BOC равна  Найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка BNL . Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков BPN и MPA сле­ду­ет, что  от­ку­да   

Те­перь из по­до­бия тре­уголь­ни­ков BNL и DAL сле­ду­ет, что их со­от­вет­ству­ю­щие вы­со­ты от­но­сят­ся как 1:4 ,  по­это­му вы­со­та тре­уголь­ни­ка BNL, про­ведённая к BN, со­став­ля­ет  вы­со­ты па­рал­ле­ло­грам­ма, про­ведённой к сто­ро­не BC. По­это­му  Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь четырёхуголь­ни­ка LNCO равна 

Ответ: 9.

Задание 19

В конце ав­гу­ста 2001 года ад­ми­ни­стра­ция При­мор­ско­го края рас­по­ла­га­ла некой сум­мой денег, ко­то­рую пред­по­ла­га­лось на­пра­вить на по­пол­не­ние неф­тя­ных за­па­сов края. На­де­ясь на из­ме­не­ние конъ­юнк­ту­ры рынка, ру­ко­вод­ство края, от­сро­чив за­куп­ку нефти, по­ло­жи­ла эту сумму 1 сен­тяб­ря 2001 года в банк. Далее из­вест­но, что сумма вкла­да в банке уве­ли­чи­ва­лась пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца на 26% по от­но­ше­нию к сумме на пер­вое число преды­ду­ще­го ме­ся­ца, а цена бар­ре­ля сырой нефти убы­ва­ла на 10% еже­ме­сяч­но. На сколь­ко про­цен­тов боль­ше (от пер­во­на­чаль­но­го объ­е­ма за­ку­пок) ру­ко­вод­ство края смог­ло по­пол­нить неф­тя­ные за­па­сы края, сняв 1 но­яб­ря 2001 года всю сумму, по­лу­чен­ную из банка вме­сте с про­цен­та­ми, и на­пра­вив ее на за­куп­ку нефти?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма, ко­то­рой пер­во­на­чаль­но рас­по­ла­га­ла ад­ми­ни­стра­ция края, со­став­ля­ла  у.е., а цена бар­ре­ля сырой нефти  у.е. Тогда пер­во­на­чаль­но воз­мож­ный объем за­ку­пок со­став­лял  бар­ре­лей. Этот объем при­мем за 100 про­цен­тов. За 2 ме­ся­ца хра­не­ния в банке по­ло­жен­ная сумм вы­рос­ла до  у.е., а цена бар­ре­ля сырой нефти за это же время убыла до  у.е. Сле­до­ва­тель­но, 1 но­яб­ря 2001 г. ру­ко­вод­ство края на эту сумму могла за­ку­пить  бар­ре­лей сырой нефти. Про­цент­ное от­но­ше­ние этого объ­е­ма к пер­во­на­чаль­но воз­мож­но­му объ­е­му за­ку­пок со­ста­вит:  % то есть  % =  %.  

Зна­чит, ру­ко­вод­ство края смог­ло по­пол­нить 1 но­яб­ря 2001 г. неф­тя­ные за­па­сы края на 96% боль­ше, чем 1 сен­тяб­ря того же года.  

Ответ: 96.

Задание 20

Най­ди­те все зна­че­ния  при каж­дом из ко­то­рых наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на мно­же­стве  не менее 6.
Решение. Гра­фи­ком функ­ции  яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, а вер­ши­на имеет ко­ор­ди­на­ты  Зна­чит, ми­ни­мум функ­ции  на всей чис­ло­вой оси до­сти­га­ет­ся в вер­ши­не при  На мно­же­стве  эта функ­ция до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния либо в точке  если эта точка при­над­ле­жит мно­же­ству, либо в одной из гра­нич­ных точек 

Если наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции не мень­ше 6, то и вся­кое зна­че­ние функ­ции не мень­ше 6. В част­но­сти,

от­ку­да по­лу­ча­ем си­сте­му не­ра­венств 

 ре­ше­ни­я­ми ко­то­рой яв­ля­ют­ся 

При  имеем: , зна­чит, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке  и , что не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.  

При  имеем:  зна­чит, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в одной из гра­нич­ных точек  в ко­то­рых зна­че­ние функ­ции не мень­ше 6.

При  имеем:  зна­чит, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке  и , что удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи. 

Ответ: 

Задание 21

Най­ди­те все про­стые числа p, для каж­до­го из ко­то­рых су­ще­ству­ет такое целое число k, что число p яв­ля­ет­ся общим де­ли­те­лем чисел  и .

Решение. Если число p яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа , то оно яв­ля­ет­ся также и де­ли­те­лем числа . Но если число p яв­ля­ет­ся общим де­ли­те­лем чисел  и , то оно яв­ля­ет­ся также и де­ли­те­лем раз­но­сти этих чисел, то есть числа 

. Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем:  

1) число p яв­ля­ет­ся общим де­ли­те­лем чисел  и , зна­чит, p яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа 

; 

2) число p яв­ля­ет­ся общим де­ли­те­лем чисел  и , зна­чит, p яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа 

;

Число 60 имеет ровно три раз­лич­ных про­стых де­ли­те­ля — 2, 3 и 5. Оста­ет­ся про­ве­рить най­дут­ся ли такие целые числа k для каж­до­го из ко­то­рых одно из чисел 2, 3 и 5 яв­ля­ет­ся общим де­ли­те­лем чисел  и . 

Если число k — чет­ное, то число 2 яв­ля­ет­ся общим де­ли­те­лем дан­ных чисел. Если число k крат­но 3, то число 3 яв­ля­ет­ся общим де­ли­те­лем дан­ных чисел. Если число , то число 5 яв­ля­ет­ся общим де­ли­те­лем дан­ных чисел. 

Ответ: 2, 3, 5.

Вариант 4.

Задание 15.

Задание 16.

Задание 17

Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

Решение. Найдём огра­ни­че­ния на 

 Вос­поль­зу­ем­ся свой­ства­ми ло­га­риф­мов: 

Ответ: 

Задание 18

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K. Пря­мая AB ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке A, а вто­рой — в точке B. Пря­мая BK пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке D, пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точке C.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKB, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 4 и 1.

Ре­ше­ние.

За­да­ние а). Обо­зна­чим цен­тры окруж­но­стей  и  со­от­вет­ствен­но. Пусть общая ка­са­тель­ная, про­ведённая к окруж­но­стям в точке  пе­ре­се­ка­ет  в точке  По свой­ству ка­са­тель­ных, про­ведённых из одной точки,  и.  Тре­уголь­ник  у ко­то­ро­го ме­ди­а­на равна по­ло­ви­не сто­ро­ны, к ко­то­рой она про­ве­де­на, — пря­мо­уголь­ный.

Впи­сан­ный угол  пря­мой, по­это­му он опи­ра­ет­ся на диа­метр Зна­чит,  Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что  Сле­до­ва­тель­но, пря­мые  и  па­рал­лель­ны.

За­да­ние б). Пусть, для опре­де­лен­но­сти, пер­вая окруж­ность имеет ра­ди­ус 4, а ра­ди­ус вто­рой равен 1.

Тре­уголь­ни­ки  и  по­доб­ны,  Пусть , тогда 

У тре­уголь­ни­ков  общая вы­со­та, сле­до­ва­тель­но,  то есть Ана­ло­гич­но,  Пло­щадь тра­пе­ции  равна 

Вы­чис­лим пло­щадь тра­пе­ции  Про­ведём к  пер­пен­ди­ку­ляр  рав­ный вы­со­те тра­пе­ции, и найдём его из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка   

Тогда   Сле­до­ва­тель­но,  от­ку­да  и 

Задание 19

В ян­ва­ре 2000 года став­ка по де­по­зи­там в банке «Воз­рож­де­ние» со­ста­ви­ла х % го­до­вых, тогда как в ян­ва­ре 2001 года — у % го­до­вых, при­чем из­вест­но, что x + y = 30%. В ян­ва­ре 2000 года вклад­чик от­крыл счет в банке «Воз­рож­де­ние», по­ло­жив на него не­ко­то­рую сумму. В ян­ва­ре 2001 года, по про­ше­ствии года с того мо­мен­та, вклад­чик снял со счета пятую часть этой суммы. Ука­жи­те зна­че­ние х при ко­то­ром сумма на счету вклад­чи­ка в ян­ва­ре 2002 года ста­нет мак­си­маль­но воз­мож­ной.

Ре­ше­ние.

Пусть в ян­ва­ре 2000 года вклад­чик по­ло­жил на счет  у.е. Тогда в ян­ва­ре 2001 года на счету сумма ста­нет  у.е. Но в ян­ва­ре же 2001 года вклад­чик снял  у.е. На счету оста­лось: 

 у.е. В ян­ва­ре 2002 года сумма на счету будет равна: 

 Функ­ция  яв­ля­ет­ся квад­ра­тич­ной от . У нее есть наи­боль­шее зна­че­ние при  

Ответ: 25.

Задание 20 Най­ди­те все зна­че­ния , при ко­то­рых урав­не­ние  на про­ме­жут­ке  имеет ровно два корня.

Решение. Рас­смот­рим функ­ции  и  Ис­сле­ду­ем  на про­ме­жут­ке 

При  все зна­че­ния функ­ции  на про­ме­жут­ке  не­по­ло­жи­тель­ны, а все зна­че­ния функ­ции  — по­ло­жи­тель­ны, по­это­му при  урав­не­ние не имеет ре­ше­ний на про­ме­жут­ке 

При  функ­ция  воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке  Функ­ция  убы­ва­ет на этом про­ме­жут­ке, по­это­му урав­не­ние все­гда имеет ровно одно ре­ше­ние на про­ме­жут­ке  по­сколь­ку  и  На про­ме­жут­ке  урав­не­ние  при­ни­ма­ет вид  Это урав­не­ние сво­дит­ся к урав­не­нию  Будем счи­тать, что  по­сколь­ку слу­чай  был рас­смот­рен ранее. Дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го урав­не­ния  по­это­му при  это урав­не­ние не имеет кор­ней, при  урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень, рав­ный  при  урав­не­ние имеет два корня. Пусть урав­не­ние имеет два корня, то есть  Тогда оба корня мень­ше  по­сколь­ку при  зна­че­ния функ­ции не­по­ло­жи­тель­ны, а зна­че­ния функ­ции  по­ло­жи­тель­ны. По тео­ре­ме Виета сумма кор­ней равна  а про­из­ве­де­ние равно  Зна­чит, боль­ший ко­рень все­гда при­над­ле­жит про­ме­жут­ку  а мень­ший при­над­ле­жит этому про­ме­жут­ку тогда и толь­ко тогда, когда   Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние  имеет сле­ду­ю­щее ко­ли­че­ство кор­ней на про­ме­жут­ке 

1) Нет кор­ней при 

2) Один ко­рень при 

3) Два корня при  и 

4) Три корня при 

Ответ: 

Задание 21

Име­ют­ся ка­мен­ные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1 000 кг и 60 штук по 1 500 кг (рас­ка­лы­вать глыбы нель­зя).

а) Можно ли увез­ти все эти глыбы од­но­вре­мен­но на 60 гру­зо­ви­ках, гру­зо­подъёмно­стью 5 тонн каж­дый, пред­по­ла­гая, что в гру­зо­вик вы­бран­ные глыбы по­ме­стят­ся?

б) Можно ли увез­ти все эти глыбы од­но­вре­мен­но на 38 гру­зо­ви­ках, гру­зо­подъёмно­стью 5 тонн каж­дый, пред­по­ла­гая, что в гру­зо­вик вы­бран­ные глыбы по­ме­стят­ся?

в) Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство гру­зо­ви­ков, гру­зо­подъёмно­стью 5 тонн каж­дый, по­на­до­бит­ся, чтобы вы­вез­ти все эти глыбы од­но­вре­мен­но, пред­по­ла­гая, что в гру­зо­вик вы­бран­ные глыбы по­ме­стят­ся?

Решение.

а) Масса любых трёх таких глыб не пре­вос­хо­дит 5 тонн. Зна­чит, в 60 гру­зо­ви­ков можно по­гру­зить 180 таких глыб. Всего глыб 170, по­это­му их можно увез­ти на 60 гру­зо­ви­ках.

б) Сум­мар­ная масса глыб равна 50 · 800 + 60 · 1000 + 60 · 1500 = 190 000 (кг), то есть в точ­но­сти сов­па­да­ет с гру­зо­подъёмно­стью 38 гру­зо­ви­ков. Зна­чит, если воз­мож­но увез­ти эти глыбы на 38 гру­зо­ви­ках, то каж­дый гру­зо­вик дол­жен быть за­гру­жен пол­но­стью (по массе груза).

Если в каком-то гру­зо­ви­ке есть глыба мас­сой 800 кг, то един­ствен­ная воз­мож­ность за­гру­зить такой гру­зо­вик пол­но­стью — это до­ба­вить ещё 4 таких глыбы и одну глыбу мас­сой 1 000 кг. Таким об­ра­зом, гру­зо­ви­ков, за­гру­жен­ных так, по­на­до­бит­ся 10 штук. По­сколь­ку оста­лось 60 глыб, мас­сой 1 500 кг каж­дая, и 28 гру­зо­ви­ков, то в одном из гру­зо­ви­ков долж­но быть хотя бы 3 такие глыбы. Но в гру­зо­вик, в ко­то­рый за­гру­же­но 3 глыбы, мас­сой 1 500 кг каж­дая, ни­че­го боль­ше по­гру­зить не по­лу­чит­ся.

Зна­чит, на 38 гру­зо­ви­ках увез­ти эти глыбы нель­зя.

в) В преды­ду­щем пунк­те было по­ка­за­но, что 38 гру­зо­ви­ков не хва­тит.

Если в 10 гру­зо­ви­ков за­гру­зить по 5 глыб, мас­сой 800 кг каж­дая, и глыбу мас­сой 1 000 кг, в 25 гру­зо­ви­ков за­гру­зить по 2 глыбы, мас­сой 1 000 кг каж­дая, и по 2 глыбы, мас­сой 1 500 кг каж­дая, в 3 гру­зо­ви­ка за­гру­зить

3 глыбы, мас­сой 1 500 кг каж­дая, и в один гру­зо­вик глыбу мас­сой 1 500 кг, то все глыбы ока­жут­ся за­гру­же­ны в 39 гру­зо­ви­ков. Зна­чит, наи­мень­шее ко­ли­че­ство гру­зо­ви­ков — это 39.

Ответ: а) да; б) нет; в) 39.

Вариант 5.

Задание 15.

Задание 16.

Задание 17

Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

Ре­ше­ние.

Не­ра­вен­ство имеет смысл при

Для таких  по­лу­ча­ем 

Зна­чит, 

Ответ: 

Задание 18

Задание 19

Фер­мер по­лу­чил кре­дит в банке под опре­де­лен­ный про­цент го­до­вых. Через год фер­мер в счет по­га­ше­ния кре­ди­та вер­нул в банк 3/4 от всей суммы, ко­то­рую он дол­жен банку к этому вре­ме­ни, а еще через год в счет пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та он внес в банк сумму, на 21% пре­вы­ша­ю­щую ве­ли­чи­ну по­лу­чен­но­го кре­ди­та. Каков про­цент го­до­вых по кре­ди­ту в дан­ном банке?

Ре­ше­ние. Пусть сумма кре­ди­та со­став­ля­ет  у.е., а про­цент­ная став­ка по кре­ди­ту  К концу пер­во­го года сумма долга фер­ме­ра в банк с уче­том на­чис­лен­ных про­цен­тов со­ста­ви­ла  у.е.

После воз­вра­ще­ния банку 3/4 части от суммы долга долг фер­ме­ра на сле­ду­ю­щий год со­ста­вил  у.е. На эту сумму в сле­ду­ю­щем году вновь на­чис­ле­ны про­цен­ты. Сумма долга фер­ме­ра к концу вто­ро­го года по­га­ше­ния кре­ди­та с уче­том про­цент­ной став­ки со­ста­ви­ла  у.е. По усло­вию за­да­чи эта сумма равна  у.е. Решим урав­не­ние  на мно­же­стве по­ло­жи­тель­ных чисел.

Ответ: 120.

Задание 20  Най­ди­те все зна­че­ния а. при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние   на про­ме­жут­ке  имеет более двух кор­ней.

Решение. Рас­смот­рим функ­ции  и  Ис­сле­ду­ем урав­не­ние  на про­ме­жут­ке 

При  все зна­че­ния функ­ции  на про­ме­жут­ке  от­ри­ца­тель­ны, а все зна­че­ния функ­ции  — не­от­ри­ца­тель­ны, по­это­му при  урав­не­ние  не имеет ре­ше­ний на про­ме­жут­ке 

При  функ­ция  воз­рас­та­ет. Функ­ция  убы­ва­ет на про­ме­жут­ке  по­это­му урав­не­ние  имеет не более од­но­го ре­ше­ния на про­ме­жут­ке  при­чем ре­ше­ние будет су­ще­ство­вать тогда и толь­ко тогда, когда,  от­ку­да по­лу­ча­ем  то есть 

На про­ме­жут­ке  урав­не­ние  при­ни­ма­ет вид  Это урав­не­ние сво­дит­ся к урав­не­нию  Будем счи­тать, что  по­сколь­ку слу­чай  был рас­смот­рен ранее. Дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го урав­не­ния  по­это­му при  это урав­не­ние не имеет кор­ней, при  урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень, рав­ный  при  урав­не­ние имеет два корня.

Если урав­не­ние имеет два корня  и  то есть  то боль­ший ко­рень  по­это­му он при­над­ле­жит про­ме­жут­ку  Мень­ший ко­рень  при­над­ле­жит про­ме­жут­ку  тогда и толь­ко тогда, когда

 то есть 

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние  имеет сле­ду­ю­щее ко­ли­че­ство кор­ней на про­ме­жут­ке 

— нет кор­ней при 

— один ко­рень при  и 

— два корня при  и 

— три корня при 

Ответ: 

Задание 21

На­ту­раль­ные числа от 1 до 20 раз­би­ва­ют на че­ты­ре груп­пы, в каж­дой из ко­то­рых есть по край­ней мере два числа. Для каж­дой груп­пы на­хо­дят сумму чисел этой груп­пы. Для каж­дой пары групп на­хо­дят мо­дуль раз­но­сти най­ден­ных сумм и по­лу­чен­ные 6 чисел скла­ды­ва­ют.

 а) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 0?

б) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 1?

в) Ка­ко­во наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние по­лу­чен­но­го ре­зуль­та­та?

Решение. Обо­зна­чим суммы чисел в груп­пах , , ,  а ука­зан­ную в усло­вии сумму мо­ду­лей их по­пар­ных раз­но­стей через . Можно счи­тать, что . 

а) Чтобы число  рав­ня­лось 0, не­об­хо­ди­мо, чтобы каж­дая из раз­но­стей  рав­ня­лась 0, то есть . Сумма всех два­дца­ти чисел . С дру­гой сто­ро­ны, она равна , но 210 не де­лит­ся на 4. Зна­чит, .

б) Чтобы число  рав­ня­лось 1, не­об­хо­ди­мо, чтобы все, кроме одной, раз­но­сти  рав­ня­лись 0. Зна­чит, , но в этом слу­чае каж­дая из сумм ,  не равна хотя бы одной из сумм ,  по­это­му хотя бы три раз­но­сти  не равны 0 и число не мень­ше 3. Зна­чит, . 

в) Вы­ра­зим число  явно через , , , :

В преды­ду­щих пунк­тах было по­ка­за­но, что . Если , то  или . В этом слу­чае сумма всех два­дца­ти чисел равна  или , то есть нечётна, что не­вер­но. 

Для сле­ду­ю­ще­го раз­би­е­ния чисел на груп­пы: ; ; ;  — число  равно 4. 

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

Ответы к заданиям 1-14