Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Пробный экзамен по математике в форме ЕГЭ 2015 год
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Пробный экзамен по математике в форме ЕГЭ 2015 год

Выбранный для просмотра документ Критерии к заданиям пробного экзамена 2015.docx

библиотека
материалов

21


Критерии и решения заданий с развернутым ответом.

Вариант 1.

Задание 15.

hello_html_420a641c.png

hello_html_420a641c.png

Баллы

Критерии оценки выполнения задания

2

Обоснованно получено верное решение уравнения, верно указаны корни принадлежащие отрезку.

1

Обоснованно получен верный ответ при решении уравнения или верно указаны корни, принадлежащие отрезку

0

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.


Задание 16.

hello_html_42643401.png

hello_html_42643401.png

Баллы

Критерии оценки выполнения задания

2

Обоснованно получен верный ответ. Корректно проведено доказательство, сделаны вычисления.

1

Верно определен перпендикуляр, длина которого является искомым расстоянием, но обоснование содержит пробелы, вычисления проведены верно, получен правильный ответ, либо корректно проведена стереометрическая часть доказательства, но в вычислении катета допущена арифметическая ошибка, приведшая к неправильному ответу.

0

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.


Задание 17

Решите неравенство http://reshuege.ru/formula/ab/ab0aa830dc8cf9ddd90da029b45f590e.png

Решение.

Найдем значения http://reshuege.ru/formula/0e/0e503e6ba8df74a61723be29415bcdc5.png при которых определены обе части неравенства: http://reshuege.ru/formula/d6/d6d554ad04aa8406e4091b7abd9b91b8.png

Для таких http://reshuege.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png верно следующее преобразование:

http://reshuege.ru/formula/ff/ffd6f263a2f5dacee3bddbb69ca905a3.png

Тогда исходное неравенство примет вид http://reshuege.ru/formula/c7/c708158bbc1dd1d511642552b44fcc59.png Так как http://reshuege.ru/formula/21/21c9d965ee8965da40befd43164d2654.png то при условии http://reshuege.ru/formula/a5/a5ab13becd2d3347a3397fa011f48ac0.png имеем:

 

http://reshuege.ru/formula/2f/2f2f4e7bca2488b47802bd3652d80a3e.png

Учитывая, что http://reshuege.ru/formula/96/96cc7b3ba88cd5df369e1b21c51ac673.png получаем ответ.

Ответ: http://reshuege.ru/formula/b9/b9394498be836326580d5b0e0857779a.png

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен правильный ответ

3

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного только конечным числом точек

2

Полученный ответ неверен, решено верно только дробно-рациональное неравенство без учёта области допустимых значений переменной неравенства

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0


Задание 18

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую — в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C.

а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

б) Найдите отношение BP:PC, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.

Решение.http://reshuege.ru/get_file?id=12223

а) Обозначим http://reshuege.ru/formula/b3/b3876fde31974db5b31da8b419ae4ac7.png. Поскольку http://reshuege.ru/formula/bd/bd902b8d7f194f7066eb46e64ebbdfaa.png и http://reshuege.ru/formula/55/55714545bdd5131629a2efb81300e859.png — вписанные четырёхугольники. http://reshuege.ru/formula/1a/1ae709c03c800a460b9ef0432860fff3.png 

http://reshuege.ru/formula/27/2791acced60b7fe51744b2d7d32068c9.png http://reshuege.ru/formula/01/01c1ebd8b1467cbc61071a3584f03b68.png

 Значит, http://reshuege.ru/formula/4b/4bd3ab1cf14e48c2d1c5ea0de054b21b.png, и поэтому http://reshuege.ru/formula/7f/7fcb0c55d57ece696664441ae764d89a.png. Противоположные стороны четырёхугольника http://reshuege.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм. 

б) Пусть http://reshuege.ru/formula/e1/e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png — радиус второй (меньшей) окружности. Тогда радиус большей окружности равен http://reshuege.ru/formula/14/149e2d0a34006684e8f8e1ebd827f681.png. По теореме синусов:

http://reshuege.ru/formula/45/4501cad355ab8d1fc1a992d13a84c5fb.png http://reshuege.ru/formula/3c/3c07206ba97305278447faf2c654c71e.png Следовательно, http://reshuege.ru/formula/4f/4fca790117cc087bcc998621401afe5a.png

Ответ: 2.

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б.

3

Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2

Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

0




Задание 19

Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.

Решение.

Пусть сумма кредита http://reshuege.ru/formula/5d/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png у.е., процентная ставка банка http://reshuege.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png %.

Предложение «Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину» означает: Антон взятую сумму возвращал в банк равными долями. Сумма, образованная применением процентной ставки, составляет:

 http://reshuege.ru/formula/3f/3f45360901334dae8b0e16737c9b28ac.pnghttp://reshuege.ru/formula/29/2964364f2654ee29213ca1cc83988a80.png

Общая сумма, выплаченная Антоном за 6 месяцев: http://reshuege.ru/formula/de/dece802819ad025c44340c7a227eaf16.png (у.е.). А эта сумма по условию задачи равна http://reshuege.ru/formula/08/08dc0f7f7e1bf62cfdec9db749ddf24b.png у.е. Решим уравнение:

 http://reshuege.ru/formula/dd/dd419af67d5c00793f4bfe9afb6ba45a.png

 Ответ: 18.

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен правильный ответ.

3

Получено верное выражение для суммы платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу.

2

Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено ИЛИ верный ответ найден подбором.

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

0




Задание 20

Найдите все значения а. при каждом из которых уравнение http://reshuege.ru/formula/b2/b24165ee01d2d5fa5c0f97495ce25b83.png

на промежутке http://reshuege.ru/formula/49/49f4fce7da0370af8e99de418359dc25.png имеет более двух корней.

Решение. Рассмотрим функции http://reshuege.ru/formula/bd/bdea883b8fc9a3b671f6eeaf3823570b.png и http://reshuege.ru/formula/ee/eecff07e0fb6908823191f4561267991.png. Исследуем уравнение http://reshuege.ru/formula/59/59bf3cb51b9f4f441d7f15bd5439ac62.png на промежутке http://reshuege.ru/formula/e1/e111c6a4015758e2cfd5d6ecc141540a.png

При http://reshuege.ru/formula/8f/8fb2d69d787fe0387e3ec3f9c9011991.png все значения функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png на промежутке http://reshuege.ru/formula/49/49f4fce7da0370af8e99de418359dc25.png отрицательны, а все значения функции http://reshuege.ru/formula/e8/e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png — неотрицательны, поэтому при http://reshuege.ru/formula/8f/8fb2d69d787fe0387e3ec3f9c9011991.png уравнение http://reshuege.ru/formula/59/59bf3cb51b9f4f441d7f15bd5439ac62.png не имеет решений на промежутке http://reshuege.ru/formula/49/49f4fce7da0370af8e99de418359dc25.png

При http://reshuege.ru/formula/32/323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png функция http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png возрастает. Функция http://reshuege.ru/formula/e8/e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png убывает на промежутке http://reshuege.ru/formula/70/702af9a5c8639ab74184ec2f4ecbce05.png, поэтому уравнение http://reshuege.ru/formula/59/59bf3cb51b9f4f441d7f15bd5439ac62.png имеет не более одного решения на промежутке http://reshuege.ru/formula/70/702af9a5c8639ab74184ec2f4ecbce05.png, причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, http://reshuege.ru/formula/dc/dc09bfc3c3f4c42f8e760f508d7f1aea.png, откуда получаем http://reshuege.ru/formula/d4/d40c44dff549c2e16c3dd0b25bd52541.png, то есть http://reshuege.ru/formula/76/760683626197bad99afd7311816234af.png

На промежутке http://reshuege.ru/formula/be/beb1fe833d0eafdbf9ad46376a421673.png уравнение http://reshuege.ru/formula/59/59bf3cb51b9f4f441d7f15bd5439ac62.png принимает вид http://reshuege.ru/formula/d7/d7c7f166e237ff1cf4595b78c4c6b921.png. Это уравнение сводится к уравнению http://reshuege.ru/formula/7a/7a4fe2650948c0bd7ecf6961bc77ecf5.png. Будем считать, что http://reshuege.ru/formula/32/323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png, поскольку случай http://reshuege.ru/formula/8f/8fb2d69d787fe0387e3ec3f9c9011991.png был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения http://reshuege.ru/formula/d3/d3c18e313c3b9a432e480bd837de3f29.png, поэтому при http://reshuege.ru/formula/38/380e322236e340b0bb8aadd752c82215.png это уравнение не имеет корней; при http://reshuege.ru/formula/fa/fa449739f6ab178a8bcc0cd73f04b75f.png уравнение имеет единственный корень, равный 2; при http://reshuege.ru/formula/c9/c948a040d3ab55c1c2b875e72cb01e46.png уравнение имеет два корня. 

Если уравнение имеет два корня http://reshuege.ru/formula/f9/f9a3b8e9e501458e8face47cae8826de.png и http://reshuege.ru/formula/8f/8f43fce8dbdf3c4f8d0ac91f0de1d43d.png, то есть http://reshuege.ru/formula/c9/c948a040d3ab55c1c2b875e72cb01e46.png, то больший корень  http://reshuege.ru/formula/d5/d597e5003f83790699315cb54e87d4d0.png, поэтому он принадлежит промежутку http://reshuege.ru/formula/be/beb1fe833d0eafdbf9ad46376a421673.png. Меньший корень http://reshuege.ru/formula/f9/f9a3b8e9e501458e8face47cae8826de.png принадлежит промежутку http://reshuege.ru/formula/be/beb1fe833d0eafdbf9ad46376a421673.png тогда и только тогда, когда 

 

http://reshuege.ru/formula/db/db02368e88d641d1a5d369ceeeca78c5.png то есть http://reshuege.ru/formula/27/276c84eb761bdf5d5f3ffa95d48448d9.png. Таким образом, уравнение http://reshuege.ru/formula/b2/b24165ee01d2d5fa5c0f97495ce25b83.png имеет следующее количество корней на промежутке http://reshuege.ru/formula/49/49f4fce7da0370af8e99de418359dc25.png

- нет корней при http://reshuege.ru/formula/8f/8fb2d69d787fe0387e3ec3f9c9011991.png;

- один корень при http://reshuege.ru/formula/fa/fabde126b6c173a86e9efb0c56329db2.png и http://reshuege.ru/formula/38/380e322236e340b0bb8aadd752c82215.png;

- два корня при http://reshuege.ru/formula/cb/cbc1d1e58b1a1ed72cfd4bad5b68c37b.png и http://reshuege.ru/formula/fa/fa449739f6ab178a8bcc0cd73f04b75f.png;

- три корня при http://reshuege.ru/formula/c3/c3e07a7fc4a9551812d4a86e34d4d4f6.png

Ответ: http://reshuege.ru/formula/c3/c3e07a7fc4a9551812d4a86e34d4d4f6.png.

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен правильный ответ

4

С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек

3

С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а

2

Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0




Задание 21

Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует такое целое число k, что число p является общим делителем чисел http://reshuege.ru/formula/27/27d9fe1f6facd08efc4147c39ad85099.png и http://reshuege.ru/formula/ed/ed2c8a3e9819c0d2bc40d94bc5656d54.png.

Решение. Если число p является делителем числа http://reshuege.ru/formula/ed/ed2c8a3e9819c0d2bc40d94bc5656d54.png, то оно является также и делителем числа http://reshuege.ru/formula/ec/ec1fbe37c4b05ae371c176098ca9ed6a.png. Но если число p является общим делителем чисел http://reshuege.ru/formula/27/27d9fe1f6facd08efc4147c39ad85099.png и http://reshuege.ru/formula/89/8965f47e1438f6e4cb0a849064b0df03.png, то оно является также и делителем разности этих чисел, то есть числа 

http://reshuege.ru/formula/3a/3a5451fb87bb48ae7b7b0b4f5e342004.png. Аналогично получаем: 1) число p является общим делителем чисел http://reshuege.ru/formula/ed/ed2c8a3e9819c0d2bc40d94bc5656d54.png и http://reshuege.ru/formula/e5/e58622323fc92c3afdd46eb9472445ab.png, значит, p является делителем числа  http://reshuege.ru/formula/9e/9ec5d36db4329bdd023ad43ad3fe5f37.png;

 2) число p является общим делителем чисел http://reshuege.ru/formula/e5/e58622323fc92c3afdd46eb9472445ab.png и http://reshuege.ru/formula/f6/f6ad6f54188347796dd29a6e4e2de06a.png, значит, p является делителем числа

 http://reshuege.ru/formula/e1/e1af767321fe1d988e363df4989e53cb.png;

Число 105 имеет ровно три различных простых делителя — 3, 5 и 7. Остается проверить найдутся ли такие целые числа kдля каждого из которых одно из чисел 3, 5 и 7 является общим делителем чисел http://reshuege.ru/formula/27/27d9fe1f6facd08efc4147c39ad85099.png и http://reshuege.ru/formula/ed/ed2c8a3e9819c0d2bc40d94bc5656d54.png.  Если http://reshuege.ru/formula/ce/ceef78b61bf01306cc7e80344c92c19d.png, то число 3 является общим делителем данных чисел. Если число k кратно 5, то число 5 является общим делителем данных чисел. Если число k кратно 7, то число 7 является общим делителем данных чисел.  Замечание. Последние два условия могут быть объединены в одно: если число k кратно 35, то числа 5 и 7 являются общими делителями данных чисел.

 Ответ: 3, 5, 7.

Критерии оценивания ответа на задание

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

4

Решение не содержит логических пробелов, получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки.

3

Решение доведено до ответа, но содержит логические пробелы, вычислительные ошибки или описки. 2

2

Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.

1

Все прочие случаи.

0


Вариант 2.

Задание 15.

hello_html_329885c6.png

hello_html_329885c6.png

Баллы

Критерии оценки выполнения задания

2

Обоснованно получено верное решение уравнения, верно указаны корни принадлежащие отрезку.

1

Обоснованно получен верный ответ при решении уравнения или верно указаны корни, принадлежащие отрезку

0

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.


Задание 16.

hello_html_ba63b6d.png

hello_html_ba63b6d.png

Баллы

Критерии оценки выполнения задания

2

Обоснованно получен верный ответ. Корректно проведено доказательство, сделаны вычисления.

1

Правильно определено положение перпендикуляра из вершины к искомой прямой, но обоснование содержит пробелы, вычисления проведены верно, получен правильный ответ; либо корректно проведена стереометрическая часть доказательства, но в вычислении расстояния допущена арифметическая ошибка, приведшая к неправильному ответу.

0

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Задание 17

Решите неравенство http://reshuege.ru/formula/e0/e043dde9400dd22a7078b2431bdabe53.png


Решение.

Значения http://reshuege.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png, при которых определены обе части неравенства:

http://reshuege.ru/formula/28/28d8c1e1c19b7ef3b7511847f09249ac.png

Для таких http://reshuege.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png получаем:

http://reshuege.ru/formula/cd/cd9d9e03cffa53bf0881df35dfed0e04.png


Тогда исходное неравенство примет вид:

http://reshuege.ru/formula/9f/9f9ca505e8455ce1c3c9b44d316b873c.png

Учитывая, что http://reshuege.ru/formula/bd/bdcb93b84df921c86e243c01bf1844a4.png имеем:

http://reshuege.ru/formula/44/443c4359cb68aa8a12d17f25c6008d0d.png

Ответ: http://reshuege.ru/formula/39/3916b63da945887a62595d85a5054e51.png

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен правильный ответ

3

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного только конечным числом точек

2

Полученный ответ неверен, решено верно только дробно-рациональное неравенство без учёта области допустимых значений переменной неравенства

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0




Задание 18 Высоты http://reshuege.ru/formula/3e/3e885d8cc2b3a7fc96f4fedee82f3de2.png и http://reshuege.ru/formula/1d/1d1a5eb698955091aadf0a6a26c747c0.png остроугольного треугольника http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png пересекаются в точке http://reshuege.ru/formula/42/42a2f2ea04ee5535700a2ed92b2b1d15.png

а) Докажите, что http://reshuege.ru/formula/2e/2e39addf3291b02e774f23d5b30e82e7.png

б) Найдите http://reshuege.ru/formula/13/1386a33c8084d2507f95822d41bc77e1.png если http://reshuege.ru/formula/03/0366053b37bc4a32d0e0482de34889e9.png и http://reshuege.ru/formula/38/3869c7398149bda9885c81a741182dbb.png

Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=13799а) В четырёхугольнике http://reshuege.ru/formula/43/43e54648068d71f507756980b7319027.png углы http://reshuege.ru/formula/4f/4fa71d007c094ac3c858919aec515277.png и http://reshuege.ru/formula/26/262e0afc75c8a9fc536a7dce57e6ebe1.png — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём http://reshuege.ru/formula/e9/e99c19dec2b574bc5d4990504f6cf550.png — её диаметр. Вписанные углы http://reshuege.ru/formula/19/19fdbcc9703214953d88461a7052a57b.png и http://reshuege.ru/formula/01/01a0d2cea073ac0eb08f82c768d15097.png опираются на одну дугу, следовательно, http://reshuege.ru/formula/b6/b623146d74f75db3e2fc7db2d3eac99c.png

Углы http://reshuege.ru/formula/6c/6c3bf1c534b10e2777cad4043de8c0a7.png и http://reshuege.ru/formula/31/319320104fa3dfd839d34d2e3cc30e6c.png — прямые, значит, точки http://reshuege.ru/formula/8d/8da862c8b2feeee7e31519fd1c223270.png и http://reshuege.ru/formula/4f/4fa71d007c094ac3c858919aec515277.png лежат на окружности с диаметром http://reshuege.ru/formula/90/90b425c2898f0ee7d2629aad1e09646f.pngСледовательно, http://reshuege.ru/formula/63/6367d7172ba3d10bd28a1c75c07da365.png Получаем, что http://reshuege.ru/formula/1a/1aa81d9f94fc5eac3cec661ec8bf8501.png

б) В треугольнике http://reshuege.ru/formula/d4/d46c63f50f0d6151a720542950013b96.png диаметр описанной окружности http://reshuege.ru/formula/34/342d84f01b971487a5d66eb19eabcfad.png откуда 

http://reshuege.ru/formula/74/74af7eb8bfdf53f1a0e0e4e12e62a7c6.png В прямоугольном треугольнике http://reshuege.ru/formula/b4/b478ce8cdfd38390042252598bcd859c.png имеем: 

http://reshuege.ru/formula/84/846affe09fd19c82f4e800ef2999d6d0.png

В прямоугольном треугольнике http://reshuege.ru/formula/ba/bad578e0890df2305cfac673b98cf863.png имеем: http://reshuege.ru/formula/c3/c38e180a1a0793f171b8aab608b52ce6.png 

Получаем, что http://reshuege.ru/formula/ad/addab8a7af1edd2d945a3c8ae58a0930.png Треугольники http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png и http://reshuege.ru/formula/d4/d46c63f50f0d6151a720542950013b96.png имеют общий угол http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png и http://reshuege.ru/formula/99/99e9c590cc20e443faff3541ad49330c.png следовательно, они подобны. Тогда http://reshuege.ru/formula/5b/5b6eb33e236bd4ab2be724c122e8777a.png Значит, http://reshuege.ru/formula/72/728619ec6d8fe342f2a7fb5ace9b6e48.png  Ответ: 24.

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.

3

Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2

Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

0




Задание 19

Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.

Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем банку (сверх кредита)?

Решение. Предложение «Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину» означает: Сергей взятую сумму возвращал равными долями.

Общая сумма, уплаченная Сергеем банку сверх кредита, обусловлена только применением процентной ставки. В первом месяце эта часть заплаченной суммы составляла http://reshuege.ru/formula/41/410e60258dd197e1f07cae348dcf56a9.png, во втором — http://reshuege.ru/formula/2e/2ed1d3c2c45a20a87c8f7678e7976846.png в третьем — http://reshuege.ru/formula/13/13fbbfcd99ffa4a385d8870cca56f0fe.png в восьмом — http://reshuege.ru/formula/58/58da2236f92571cf8be8fb8a9108ade2.png наконец, в последнем — http://reshuege.ru/formula/90/90a2252de31c65c258fb215c485c1b95.png Всего за 9 месяцев:

http://reshuege.ru/formula/c8/c83026c5b096a57f17cfbc87263234d1.png 

Искомое процентное отношение есть 60 http://reshuege.ru/formula/1e/1e6d0f512aeaae81f851f873698fce9b.png 

Ответ: 60.

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен правильный ответ.

3

Получено верное выражение для суммы платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу.

2

Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено ИЛИ верный ответ найден подбором.

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

0




Задание 20

При каких http://reshuege.ru/formula/0c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png уравнение http://reshuege.ru/formula/eb/ebcacdff455a428dcf90ef816d4fe987.png имеет ровно три корня?

Решение. Запишем уравнение в виде http://reshuege.ru/formula/4c/4c631a0767471855f7f0d369033cd676.png

http://reshuege.ru/get_file?id=2693

Построим графики левой и правой частей уравнения (см. рис.) Из рисунка видно, что подходящих значений http://reshuege.ru/formula/0c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png ровно два — при одном из них график правой части проходит через точку http://reshuege.ru/formula/b1/b1e92785d16d5552197c29ccbe55b261.png при другом — касается отраженного участка параболы. Первое происходит при http://reshuege.ru/formula/de/ded681eaa02d11064c9a469dd1b3e04c.png, а второе — когда уравнение  http://reshuege.ru/formula/d3/d39e5d495d4bca35d49905492b4b0d22.png имеет единственный корень. Приравнивая дискриминант к нулю, находим http://reshuege.ru/formula/8a/8a622e6397e24d52f8abbe8a398884a1.png 

Ответhttp://reshuege.ru/formula/50/50b0b4b6291d6f290b75ae468fa5f6e2.png

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

4

Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован, или в обосновании содержатся мелкие неточности, например отсутстуют рисунки для различных значений параметра

3

Ход решения в целом верен, но ответ содержит посторонние числа, или найдено только одно из верных значений

2

Решение содержит верную геометрическую интерпретацию задачи или верный переход к равносильной системе без модулей,

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0


Задание 21

Найдите все простые числа b, для каждого из которых существует такое целое число а, что дробь http://reshuege.ru/formula/cb/cb0ab25c7e55c69dbfc22a9a3087b950.png можно сократить на b.

Решение. Если целые числа http://reshuege.ru/formula/aa/aaf52ba2111119b08ec9b8f2f6d81bff.png и http://reshuege.ru/formula/a3/a3ab233f36b7181baa33f90ab7d34f86.png делятся на b, то целое число 

http://reshuege.ru/formula/7c/7cf63dedebe83f4dbcee48abd9cba225.png также делится на b. Тогда число

http://reshuege.ru/formula/75/751f308beb8fdf0d52d88738c6512eaf.png тоже делится на b. Тогда число http://reshuege.ru/formula/91/912487402c1133547d2c51ee376e21cd.png

также делится на b

Таким образом, искомое b — простой делитель числа 80, то есть 2 или 5. Осталось проверить, для каких из найденных чисел можно подобрать а. Если а нечетное, то числитель и знаменатель данной дроби — четные числа, поэтому дробь можно сократить на 2. Если а кратно 5, то числитель и знаменатель данной дроби также кратны 5, поэтому дробь можно сократить на 5. 

Ответ: 2, 5.

Критерии оценивания ответа на задание

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

4

Решение не содержит логических пробелов, получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки.

3

Решение доведено до ответа, но содержит логические пробелы, вычислительные ошибки или описки. 2

2

Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.

1

Все прочие случаи.

0


Вариант 3.

Задание 15.

hello_html_75a6369e.png

hello_html_m5135ec27.png

Баллы

Критерии оценки выполнения задания

2

Обоснованно получено верное решение уравнения, верно указаны корни принадлежащие отрезку.

1

Обоснованно получен верный ответ при решении уравнения или верно указаны корни, принадлежащие отрезку

0

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.


Задание 16.

hello_html_m67df36a0.png

hello_html_m67df36a0.png


Баллы

Критерии оценки выполнения задания

2

Обоснованно получен верный ответ. Корректно проведено доказательство, сделаны вычисления.

1

Линейный угол определен верно, но доказательство не вполне корректно, вычисления проведены верно, получен правильный ответ; либо корректно проведена стереометрическая часть доказательства, но в вычислении функции угла допущена арифметическая ошибка, приведшая к неправильному ответу.

0

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.


Задание 17

Решите неравенство http://reshuege.ru/formula/84/84ae346c5b90d49fb6718b4316bb288d.png


Решение. Преобразуем неравенство

 

http://reshuege.ru/formula/19/1960ecf8c8660deaf293ee0176b9f747.png

Сделав замену переменной http://reshuege.ru/formula/ac/accaeda4cea5ebad9b78629b4a405ca6.png получаем:

 

http://reshuege.ru/formula/11/11ea25d52e454bc78db932b9de7c594d.png

1) http://reshuege.ru/formula/ff/ffb7ecbb9cc7ce05e0f4908935bba740.png 2) http://reshuege.ru/formula/fd/fd52f4a65da4a73cf122ca5a60411e08.png

Ответ: http://reshuege.ru/formula/6e/6efb32e6ad130f76f411db2595175ac5.png

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

3

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного только конченым числом точек

2

Полученный ответ неверен, но решение содержит переход от исходного неравенства к верным рациональным неравенствам

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0




Задание 18

Точка M — середина стороны AD параллелограмма ABCD . Из вершины A проведены два луча, которые разбивают отрезокBM на три равные части.

а) Докажите, что один из лучей содержит диагональ параллелограмма.

б) Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного двумя проведёнными лучами и прямыми BD и BC , если площадь параллелограмма ABCD равна 40.


Решение. http://reshuege.ru/get_file?id=13918

а) Обозначим точки пересечения лучей с отрезком BM — буквами P и R (см. рисунок), и пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма, а N — точка пересечения лучаAP и прямой BC.

Точка R делит медиану BM треугольника ABD в отношении 2 :1 считая от B. Следовательно, R лежит на медиане AO этого треугольника, то есть луч AR содержит диагональ AC . 

б) Пусть L — точка пересечения AN и BD. Нужно найти площадь четырёхугольникаLNCO. Пусть площадь параллелограмма равна S . Площадь треугольника BOC равна http://reshuege.ru/formula/35/35d99c40bb20456984a114870365a935.png Найдём площадь треугольника BNL . Из подобия треугольников BPN и MPA следует, что http://reshuege.ru/formula/98/989ca6a3e3f703165b07252d09622ca4.png откуда http://reshuege.ru/formula/3e/3e735cde4488861bbe5f6991fb1a677e.png  

Теперь из подобия треугольников BNL и DAL следует, что их соответствующие высоты относятся как 1:4 , поэтому высота треугольника BNL, проведённая к BN, составляет http://reshuege.ru/formula/22/22417f146ced89939510e270d4201b28.png высоты параллелограмма, проведённой к стороне BC. Поэтому http://reshuege.ru/formula/a9/a9610e1fdd74a011be591080d7d39413.png Следовательно, площадь четырёхугольника LNCO равна 

http://reshuege.ru/formula/fa/fa78a00594d49e104892c6fec851ba51.png

Ответ: 9.

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б.

3

Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2

Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

0




Задание 19

В конце августа 2001 года администрация Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена барреля сырой нефти убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от первоначального объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и направив ее на закупку нефти?

Решение.

Пусть сумма, которой первоначально располагала администрация края, составляла http://reshuege.ru/formula/5d/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png у.е., а цена барреля сырой нефти http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png у.е. Тогда первоначально возможный объем закупок составлял http://reshuege.ru/formula/77/7730138e9ace02892c03ed7d918e2f72.png баррелей. Этот объем примем за 100 процентов. За 2 месяца хранения в банке положенная сумм выросла до http://reshuege.ru/formula/08/08771170f49433a751044bc8e4514f7c.png у.е., а цена барреля сырой нефти за это же время убыла до http://reshuege.ru/formula/19/195574a62e5ce51203b87628ec9178fb.png у.е. Следовательно, 1 ноября 2001 г. руководство края на эту сумму могла закупить http://reshuege.ru/formula/f0/f09c44810eba7e487bc296290b399a1a.png баррелей сырой нефти. Процентное отношение этого объема к первоначально возможному объему закупок составит: http://reshuege.ru/formula/02/02f77a014f9866077df968db036356f8.png % то есть http://reshuege.ru/formula/98/98980192d1936fa3352ecc44c1494801.png % = http://reshuege.ru/formula/08/084b6fbb10729ed4da8c3d3f5a3ae7c9.png %.  

Значит, руководство края смогло пополнить 1 ноября 2001 г. нефтяные запасы края на 96% больше, чем 1 сентября того же года.  

Ответ: 96.

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен правильный ответ.

3

Получено верное выражение для суммы платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу.

2

Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено ИЛИ верный ответ найден подбором.

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

0




Задание 20


Найдите все значения http://reshuege.ru/formula/0c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png при каждом из которых наименьшее значение функции http://reshuege.ru/formula/3e/3eca327569a9620367d55c441c87445e.png на множестве http://reshuege.ru/formula/3f/3f59efce5511233dbb25782acd685333.png не менее 6.
Решение. Графиком функции http://reshuege.ru/formula/23/23cc4cc184381bb928298ddf71d08177.png является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты http://reshuege.ru/formula/8a/8a68a2ad0d61dca128db2a2dd31d2295.png Значит, минимум функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png на всей числовой оси достигается в вершине при http://reshuege.ru/formula/94/94df8024f1ca733a5ea6cb7ab1cdd1d2.png На множестве http://reshuege.ru/formula/3f/3f59efce5511233dbb25782acd685333.png эта функция достигает наименьшего значения либо в точке http://reshuege.ru/formula/21/21cc63dfc41d88668bb9320bd7775583.png если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек http://reshuege.ru/formula/ab/abb749f762501efa4689784239e61870.png

Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,

 http://reshuege.ru/formula/12/128074a4eb9ed08934fbe9aed8096baa.png http://reshuege.ru/formula/2d/2da833644a63fe0864e6aa097111ff40.png

откуда получаем систему неравенств 

http://reshuege.ru/formula/99/99771c1f8b934852513d5369d5f98145.png решениями которой являются http://reshuege.ru/formula/c0/c023fb7139c6390d03795ae28a7de914.png

При http://reshuege.ru/formula/31/3136b74db69af597fcbe904bbe596f0c.png имеем: http://reshuege.ru/formula/6d/6d51f75817db30f39829b693b88fa733.png, значит, наименьшее значение функции достигается в точке http://reshuege.ru/formula/9f/9f13e905e202d83e2ec7b4643e173e71.png и http://reshuege.ru/formula/d7/d7c27f6b7751ea3a94e702680a196415.png, что не удовлетворяет условию задачи.

При http://reshuege.ru/formula/de/ded681eaa02d11064c9a469dd1b3e04c.png имеем: http://reshuege.ru/formula/f1/f179cc43bed21c846d4d031b6c1ac24c.png значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек http://reshuege.ru/formula/fa/fa1983ce149d2b4d886619a596ffbd18.png в которых значение функции не меньше 6.

При http://reshuege.ru/formula/8e/8ea17b7b12e4e66e0632b4730671e9f7.png имеем: http://reshuege.ru/formula/02/02adac030ebc683a98afed243978d89d.png значит, наименьшее значение функции достигается в точке http://reshuege.ru/formula/9f/9f13e905e202d83e2ec7b4643e173e71.png и http://reshuege.ru/formula/f9/f992b9732f729ff8122f1556ff500cc9.png, что удовлетворяет условию задачи. 

Ответhttp://reshuege.ru/formula/df/dff72f9bc79091b63bff915b4b707537.png

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

4

С помощью верного рассуждения получены искомые значения, возможно неверные, из-за одной допущенной вычислительной ошибки (описки)

3

С помощью верного рассуждения получено одно значение параметра (возможно неверное из-за одной вычислительной ошибки), а второе значение потеряно в результате ошибки (например «потеряны» модули)

2

Задача сведена к исследованию взаимного расположения графиков неравенства и уравнения (приведен правильный рисунок)

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0




Задание 21

Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует такое целое число k, что число p является общим делителем чисел http://reshuege.ru/formula/d1/d1521873742f251f3634f9774c3539ea.png и http://reshuege.ru/formula/01/017a714f55a430892004e93357cb02d8.png.

Решение. Если число p является делителем числа http://reshuege.ru/formula/01/017a714f55a430892004e93357cb02d8.png, то оно является также и делителем числа http://reshuege.ru/formula/ac/ac8ae8ef98a5d842533d38e0f6c738d5.png. Но если число p является общим делителем чисел http://reshuege.ru/formula/d1/d1521873742f251f3634f9774c3539ea.png и http://reshuege.ru/formula/03/036c126da9dea78086abfd122fe4d149.png, то оно является также и делителем разности этих чисел, то есть числа 

http://reshuege.ru/formula/17/17cc782c7917dc96c0046915372a95d5.png. Аналогично получаем:  

1) число p является общим делителем чисел http://reshuege.ru/formula/01/017a714f55a430892004e93357cb02d8.png и http://reshuege.ru/formula/32/32b8dacbd767375194df6f84dc64f9a3.png, значит, p является делителем числа 

http://reshuege.ru/formula/1e/1e9682ee806aac9cf2d797d370b2f271.png

2) число p является общим делителем чисел http://reshuege.ru/formula/32/32b8dacbd767375194df6f84dc64f9a3.png и http://reshuege.ru/formula/2c/2ca56c1a25bdfd5add595eda838516d7.png, значит, p является делителем числа 

http://reshuege.ru/formula/e6/e645f9883355d247bc125767afd5fbea.png;

Число 60 имеет ровно три различных простых делителя — 2, 3 и 5. Остается проверить найдутся ли такие целые числа k для каждого из которых одно из чисел 2, 3 и 5 является общим делителем чисел http://reshuege.ru/formula/d1/d1521873742f251f3634f9774c3539ea.png и http://reshuege.ru/formula/01/017a714f55a430892004e93357cb02d8.png

Если число k — четное, то число 2 является общим делителем данных чисел. Если число k кратно 3, то число 3 является общим делителем данных чисел. Если число http://reshuege.ru/formula/ce/ceef78b61bf01306cc7e80344c92c19d.png, то число 5 является общим делителем данных чисел. 

Ответ: 2, 3, 5.

Критерии оценивания ответа на задание

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

4

Решение не содержит логических пробелов, получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки.

3

Решение доведено до ответа, но содержит логические пробелы, вычислительные ошибки или описки. 2

2

Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.

1

Все прочие случаи.

0

Вариант 4.

Задание 15.

hello_html_4adc5501.png

hello_html_4adc5501.png

Баллы

Критерии оценки выполнения задания

2

Обоснованно получено верное решение уравнения, верно указаны корни принадлежащие отрезку.

1

Обоснованно получен верный ответ при решении уравнения или верно указаны корни, принадлежащие отрезку

0

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.


Задание 16.

hello_html_m57626c86.png

hello_html_m57626c86.png

hello_html_661daee1.png

Баллы

Критерии оценки выполнения задания

2

Обоснованно получен верный ответ. Корректно проведено доказательство, сделаны вычисления.

1

Положение перпендикуляра указано верно, но доказательство не вполне корректно, вычисления проведены верно, получен правильный ответ; либо корректно проведено доказательство положения перпендикуляра, но в вычислении длины допущена арифметическая ошибка, приведшая к неправильному ответу.

0

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.


Задание 17

Решите неравенство http://reshuege.ru/formula/28/281e677d891ba99506eb10892a5c9528.png


Решение. Найдём ограничения на http://reshuege.ru/formula/89/89c090488479a41cad9954347908e91c.png

 

http://reshuege.ru/formula/4b/4bd428647cca78ab77871f90f6ffb798.png

 Воспользуемся свойствами логарифмов: 

http://reshuege.ru/formula/2f/2f9b8d569cbd5460237f47a714c64175.png

http://reshuege.ru/formula/66/66f6da363e2e0764849fc1424acfe60c.png

http://reshuege.ru/formula/08/0809e616f3eda4b18cb8846133f7dc94.png

http://reshuege.ru/formula/20/20a16ee1d09a7a8f2b4ef576ef3165cf.png

Ответ: http://reshuege.ru/formula/cd/cd0fee411338580a9bad33838496120c.png

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

3

Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.

2

Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

0




Задание 18

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=10582

Задание а). Обозначим центры окружностей http://reshuege.ru/formula/31/31b6eb924de49df799c3016cfea5a36bp.png и http://reshuege.ru/formula/49/49e4fe93c55ea5f2b7bf970512cbc408p.png соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке http://reshuege.ru/formula/20/203b72e01aead089a31554ab7f19520ep.png пересекает http://reshuege.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9p.png в точке http://reshuege.ru/formula/0a/0ae1285ce5610001567ddb53236e50fep.png По свойству касательных, проведённых из одной точки, http://reshuege.ru/formula/34/348c5a841df13d55176193bbcbe70e95p.png и. http://reshuege.ru/formula/b1/b10071fe8b73c899aab460c79ccc8851p.png Треугольник http://reshuege.ru/formula/e9/e9d96a3b939ae0d43357f82cb5dfc186p.png у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.

Вписанный угол http://reshuege.ru/formula/00/00fb894db8842e94329be9c94c9392b4p.png прямой, поэтому он опирается на диаметрhttp://reshuege.ru/formula/a2/a218b183751b614e66f14c82240dff3dp.png Значит, http://reshuege.ru/formula/17/179dcf45e6a7bad64bb787bd3df2e451p.png Аналогично получаем, что http://reshuege.ru/formula/30/3081a273acfe401d1813740362d35720p.png Следовательно, прямые http://reshuege.ru/formula/e1/e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1p.png и http://reshuege.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508dp.png параллельны.

Задание б). Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.

Треугольники http://reshuege.ru/formula/b4/b4d7d64c550a874da41a4f03c4e56f1fp.png и http://reshuege.ru/formula/93/9331aa616db8c0999634503ab04c97dep.png подобны, http://reshuege.ru/formula/5c/5c70d3b2916cef81c28e7eea5825657bp.png Пусть http://reshuege.ru/formula/a1/a1ef35de4c975d7e987c5a3b2deb39adp.png, тогда http://reshuege.ru/formula/b3/b3f97c38375a5925b9729cac8db2c85cp.png

У треугольников http://reshuege.ru/formula/1a/1aa1f685d8de5e2e9f09fba9ed22110cp.png общая высота, следовательно, http://reshuege.ru/formula/2c/2c18868d7abb4394c546fa4305fefd08p.png то естьhttp://reshuege.ru/formula/9f/9fb4cbba99d590f9c203a071e34b3644p.png Аналогично, http://reshuege.ru/formula/be/be3f6a0adaac495ec4d3e451314797b4p.png Площадь трапеции http://reshuege.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7p.png равна http://reshuege.ru/formula/7b/7b2642fb3698574c4f50f6a219141402p.png

Вычислим площадь трапеции http://reshuege.ru/formula/33/338b677dbcd742dcdb764591385ad7f4p.png Проведём к http://reshuege.ru/formula/e1/e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1p.png перпендикуляр http://reshuege.ru/formula/8c/8c59edc87ece4d3556ccd9b13dc30b1ap.png равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника http://reshuege.ru/formula/8a/8aaabc81e5f31a7abd81395951bf41b4p.png http://reshuege.ru/formula/15/15cae60842aa46c2fd948b9e227be27fp.png

Тогда http://reshuege.ru/formula/54/54f24c68dd1f9abf58aaea0de9ec7cecp.png  Следовательно, http://reshuege.ru/formula/9e/9e9cbe46becc53449dcc2919b945104fp.png откуда http://reshuege.ru/formula/ea/eaa868087a2989b86ef33e45fe829e2ep.png и http://reshuege.ru/formula/60/60115f28e506d47fa005c73647cbefdap.png

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.

3

Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2

Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

0




Задание 19

В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составила х % годовых, тогда как в январе 2001 года — у % годовых, причем известно, что x + y = 30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение х при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.

Решение.

Пусть в январе 2000 года вкладчик положил на счет http://reshuege.ru/formula/5d/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png у.е. Тогда в январе 2001 года на счету сумма станет http://reshuege.ru/formula/bc/bc050297d9e0a49bbe8948daf9dfbb61.png у.е. Но в январе же 2001 года вкладчик снял http://reshuege.ru/formula/9c/9ca34dc306584f1bd6ec3bed7180fb17.png у.е. На счету осталось: 

http://reshuege.ru/formula/ed/ed45b6c4e74ec4e93c813a6a264ad28d.png у.е. В январе 2002 года сумма на счету будет равна: 

http://reshuege.ru/formula/bf/bf715056bedbd4c1303c59f94a8ccdd3.png 

http://reshuege.ru/formula/51/51f7f94c497309e1aae610caee21ef82.png 

http://reshuege.ru/formula/d5/d5c735ae29c108f2a0373e13c6389acf.png Функция http://reshuege.ru/formula/c1/c108e1eac037568203fe3ac6d16c7977.png является квадратичной от http://reshuege.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png. У нее есть наибольшее значение при http://reshuege.ru/formula/46/4680d63673c35eafe4c644520fec1038.png 

Ответ: 25.


Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен правильный ответ.

3

Получено верное выражение для суммы платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу.

2

Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено ИЛИ верный ответ найден подбором.

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

0




Задание 20 Найдите все значения http://reshuege.ru/formula/0c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png, при которых уравнение http://reshuege.ru/formula/21/217d88fed5860080fe7c84389f8abcf1.png на промежутке http://reshuege.ru/formula/c4/c42f96c2720f5a8d15ea1e30295bf634.png имеет ровно два корня.

Решение. Рассмотрим функции http://reshuege.ru/formula/c8/c8b1e20825572906083af6b66644d1e1.png и http://reshuege.ru/formula/4f/4f265633b8df19e54e1d530b6e81634d.png Исследуем http://reshuege.ru/formula/ec/ecd8c05f6fd940909a6dcd15d47e8b08.png на промежутке http://reshuege.ru/formula/9b/9b1cb6b51d78bb96c88dc6208841200a.png

При http://reshuege.ru/formula/8f/8fb2d69d787fe0387e3ec3f9c9011991.png все значения функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png на промежутке http://reshuege.ru/formula/9b/9b1cb6b51d78bb96c88dc6208841200a.png неположительны, а все значения функции http://reshuege.ru/formula/e8/e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png — положительны, поэтому при http://reshuege.ru/formula/8f/8fb2d69d787fe0387e3ec3f9c9011991.png уравнение не имеет решений на промежутке http://reshuege.ru/formula/a9/a984f3cd251a87ad63fd8dea1128626d.png

При http://reshuege.ru/formula/32/323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png функция http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png возрастает на промежутке http://reshuege.ru/formula/5f/5f804dba3a92442b6cce7ddded2eab8b.png Функция http://reshuege.ru/formula/e8/e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png убывает на этом промежутке, поэтому уравнениеhttp://reshuege.ru/formula/ec/ecd8c05f6fd940909a6dcd15d47e8b08.png всегда имеет ровно одно решение на промежутке http://reshuege.ru/formula/48/48976a4e7851db9ae43791ae4f94c1b1.png поскольку http://reshuege.ru/formula/51/51aebc0aa0caf4d32b9c4044ededb44d.png и http://reshuege.ru/formula/a9/a9ab5a2d5cd559443b79d9173b70d374.png На промежутке http://reshuege.ru/formula/b4/b41fe6c363a8336c5b387fa75150d9a4.png уравнение http://reshuege.ru/formula/ec/ecd8c05f6fd940909a6dcd15d47e8b08.png принимает вид http://reshuege.ru/formula/15/1544955d5854676322f8ab05fbe63606.png Это уравнение сводится к уравнению http://reshuege.ru/formula/c0/c030e9c3dcc7760dc6bc9bfa22dc21c5.png Будем считать, что http://reshuege.ru/formula/90/904dbe7d83b40f0c7990781c1373b9c0.png поскольку случай http://reshuege.ru/formula/8f/8fb2d69d787fe0387e3ec3f9c9011991.png был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения http://reshuege.ru/formula/44/44a64ebaca42113efb730b107bbdb5c3.png поэтому при http://reshuege.ru/formula/3f/3f131b5f410a06eafd098541b75bcfef.png это уравнение не имеет корней, при http://reshuege.ru/formula/ab/ab78c695a994451b92ab1241c809e28c.png уравнение имеет единственный корень, равный http://reshuege.ru/formula/a6/a6abefd351f6f009a3be86412d24b59e.png при http://reshuege.ru/formula/24/241714fb6d45a8117959e088bdea7c51.png уравнение имеет два корня. Пусть уравнение имеет два корня, то есть http://reshuege.ru/formula/33/33513bdf57b9ec8c02c70ccf799d3405.png Тогда оба корня меньше http://reshuege.ru/formula/c5/c59471f3ce70ca3107957a84ae0d3d9d.png поскольку при http://reshuege.ru/formula/f4/f42dedb49ee1dacbd6983295f817d419.png значения функции http://reshuege.ru/formula/b3/b386ffa6612ac8b795ed3cd033ff0c82.pngнеположительны, а значения функции http://reshuege.ru/formula/d8/d88c8d316c59ffb1f9f76982a27e94d0.png положительны. По теореме Виета сумма корней равна http://reshuege.ru/formula/24/24cccdfe8b9dddaed87bb893d7abcfc2.png а произведение равно http://reshuege.ru/formula/97/97cbc67ae72d78f305833239b55cb6fb.png Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку http://reshuege.ru/formula/6f/6f39eaa0161fefb0a8e4347a36cee910.png а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда http://reshuege.ru/formula/41/41c243855376400d852d9d7692cf1ddc.png Таким образом, исходное уравнение http://reshuege.ru/formula/21/217d88fed5860080fe7c84389f8abcf1.png имеет следующее количество корней на промежутке http://reshuege.ru/formula/47/478ad11f77e100d5e7c7f50ac1ea5d6d.png

1) Нет корней при http://reshuege.ru/formula/24/2402f6b5d7c0615b0398ceb8d4d34e7a.png

2) Один корень при http://reshuege.ru/formula/94/9472b5b3be455a3f9d9f669577cc6325.png

3) Два корня при http://reshuege.ru/formula/ab/ab78c695a994451b92ab1241c809e28c.png и http://reshuege.ru/formula/2c/2ce3224b2a5afbba97f3081f45095a44.png

4) Три корня при http://reshuege.ru/formula/cf/cf9b228ea615f58ed213d1f73e7630a0.png

Ответ: http://reshuege.ru/formula/54/54d1c58f29e8b8ca9049a345504bfa3b.png

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

4

С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек

3

С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а

2

Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0




Задание 21

Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1 000 кг и 60 штук по 1 500 кг (раскалывать глыбы нельзя).

а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

Решение.

а) Масса любых трёх таких глыб не превосходит 5 тонн. Значит, в 60 грузовиков можно погрузить 180 таких глыб. Всего глыб 170, поэтому их можно увезти на 60 грузовиках.

б) Суммарная масса глыб равна 50 · 800 + 60 · 1000 + 60 · 1500 = 190 000 (кг), то есть в точности совпадает с грузоподъёмностью 38 грузовиков. Значит, если возможно увезти эти глыбы на 38 грузовиках, то каждый грузовик должен быть загружен полностью (по массе груза).

Если в каком-то грузовике есть глыба массой 800 кг, то единственная возможность загрузить такой грузовик полностью — это добавить ещё 4 таких глыбы и одну глыбу массой 1 000 кг. Таким образом, грузовиков, загруженных так, понадобится 10 штук. Поскольку осталось 60 глыб, массой 1 500 кг каждая, и 28 грузовиков, то в одном из грузовиков должно быть хотя бы 3 такие глыбы. Но в грузовик, в который загружено 3 глыбы, массой 1 500 кг каждая, ничего больше погрузить не получится.

Значит, на 38 грузовиках увезти эти глыбы нельзя.

в) В предыдущем пункте было показано, что 38 грузовиков не хватит.

Если в 10 грузовиков загрузить по 5 глыб, массой 800 кг каждая, и глыбу массой 1 000 кг, в 25 грузовиков загрузить по 2 глыбы, массой 1 000 кг каждая, и по 2 глыбы, массой 1 500 кг каждая, в 3 грузовика загрузить

3 глыбы, массой 1 500 кг каждая, и в один грузовик глыбу массой 1 500 кг, то все глыбы окажутся загружены в 39 грузовиков. Значит, наименьшее количество грузовиков — это 39.

Ответ: а) да; б) нет; в) 39.

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты

4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов

3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов

2

Верно получен один из следующих результатов: — обоснованное решение п. а; — обоснованное решение п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0



Вариант 5.

Задание 15.

hello_html_m5fde69ff.png

hello_html_m5fde69ff.png

Баллы

Критерии оценки выполнения задания

2

Обоснованно получено верное решение уравнения, верно указаны корни принадлежащие отрезку.

1

Обоснованно получен верный ответ при решении уравнения или верно указаны корни, принадлежащие отрезку

0

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.


Задание 16.

hello_html_5746e026.png

hello_html_5746e026.png



Баллы

Критерии оценки выполнения задания

2

Обоснованно получен верный ответ. Корректно проведено доказательство, сделаны вычисления.

1

Правильно указан искомый угол, но обоснование не вполне корректно, вычисления проведены верно, получен правильный ответ; либо корректно проведена стереометрическая часть доказательства, но в вычислении угла допущена арифметическая ошибка, приведшая к неправильному ответу.

0

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.


Задание 17

Решите неравенство http://reshuege.ru/formula/53/53fd5a6931989dd68e7e2d2735e7c687.png

Решение.

Неравенство имеет смысл при

 http://reshuege.ru/formula/8e/8ecf6181a8a60ef06118961aafc7b668.png

Для таких http://reshuege.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png получаем 

http://reshuege.ru/formula/85/8577b036f96432b326c6aff259345bfa.pnghttp://reshuege.ru/formula/f1/f1b7e83b62a4b694ff93661a9ef1a575.png

Значит, http://reshuege.ru/formula/53/535df981fc70ff13c4de929aab00b766.png

Ответ: http://reshuege.ru/formula/c3/c327a79e4db07e7a7763d17b083b0bbb.png

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

3

Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.

2

Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

0




Задание 18

hello_html_m6062374c.gif

hello_html_7e5d8387.gif


hello_html_1ae2ac5e.gif

hello_html_472e3de2.gif

hello_html_18af7948.gif


Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.

3

Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2

Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

0




Задание 19

Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Решение. Пусть сумма кредита составляет http://reshuege.ru/formula/5d/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png у.е., а процентная ставка по кредиту http://reshuege.ru/formula/7b/7b8345297144d96868168dff26fbb501.png К концу первого года сумма долга фермера в банк с учетом начисленных процентов составила http://reshuege.ru/formula/c4/c4e46dee4bc19577794b3cb379f220c1.png у.е.

После возвращения банку 3/4 части от суммы долга долг фермера на следующий год составил http://reshuege.ru/formula/75/75e86e972c7b34bfd39a50350eb9d50e.png у.е. На эту сумму в следующем году вновь начислены проценты. Сумма долга фермера к концу второго года погашения кредита с учетом процентной ставки составила http://reshuege.ru/formula/95/957e36f5cded4df9b6a0c3aa46d0cce6.png у.е. По условию задачи эта сумма равна http://reshuege.ru/formula/c3/c3f6d7c2a4d4eb1b63518e324e1ad473.png у.е. Решим уравнение http://reshuege.ru/formula/13/13b075f10723794e198b3aa4022198c8.png на множестве положительных чисел. http://reshuege.ru/formula/0a/0ae4ddca228af35ed64a86d42f6845b2.png

Ответ: 120.

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен правильный ответ.

3

Получено верное выражение для суммы платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу.

2

Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено ИЛИ верный ответ найден подбором.

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

0




Задание 20 Найдите все значения а. при каждом из которых уравнение http://reshuege.ru/formula/62/62c24662c176609c6cae53932d0a19ee.png на промежутке http://reshuege.ru/formula/04/0427d405dae19aa501da8f322a3fa1fa.png имеет более двух корней.

Решение. Рассмотрим функции http://reshuege.ru/formula/bd/bdea883b8fc9a3b671f6eeaf3823570b.png и http://reshuege.ru/formula/11/113259653e19f803104fd31357aa0c04.png Исследуем уравнение http://reshuege.ru/formula/59/59bf3cb51b9f4f441d7f15bd5439ac62.png на промежутке http://reshuege.ru/formula/d2/d2e55970b48e86cc7cd4eba6065c203d.png

При http://reshuege.ru/formula/8f/8fb2d69d787fe0387e3ec3f9c9011991.png все значения функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png на промежутке http://reshuege.ru/formula/04/0427d405dae19aa501da8f322a3fa1fa.png отрицательны, а все значения функции http://reshuege.ru/formula/e8/e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png — неотрицательны, поэтому при http://reshuege.ru/formula/8f/8fb2d69d787fe0387e3ec3f9c9011991.png уравнение http://reshuege.ru/formula/59/59bf3cb51b9f4f441d7f15bd5439ac62.png не имеет решений на промежутке http://reshuege.ru/formula/cb/cba46c9a3cb269a5b12f847c3afe69be.png

При http://reshuege.ru/formula/32/323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png функция http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png возрастает. Функция http://reshuege.ru/formula/e8/e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png убывает на промежутке http://reshuege.ru/formula/ae/ae5cfa6267a799697c47a708b95147cd.png поэтому уравнение http://reshuege.ru/formula/59/59bf3cb51b9f4f441d7f15bd5439ac62.png имеет не более одного решения на промежутке http://reshuege.ru/formula/ae/ae5cfa6267a799697c47a708b95147cd.png причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, http://reshuege.ru/formula/37/37331cd88dd29dacf07b538fb35d4ebf.png откуда получаем http://reshuege.ru/formula/2e/2ee8745afad03224b74a70374a1502dc.png то есть http://reshuege.ru/formula/5d/5d07192ac2197567e5e654b5dfd60889.png

На промежутке http://reshuege.ru/formula/1c/1ce72a7b085c087a3dac12b7a190dd3b.png уравнение http://reshuege.ru/formula/59/59bf3cb51b9f4f441d7f15bd5439ac62.png принимает вид http://reshuege.ru/formula/29/2981e92bbb54e572fc77611f1115069d.png Это уравнение сводится к уравнению http://reshuege.ru/formula/76/761d6b8167fed9ca99cb3b65d9c766de.png Будем считать, что http://reshuege.ru/formula/90/904dbe7d83b40f0c7990781c1373b9c0.png поскольку случай http://reshuege.ru/formula/8f/8fb2d69d787fe0387e3ec3f9c9011991.png был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения http://reshuege.ru/formula/b7/b737ed17017f5faa10765ae7b5867236.png поэтому при http://reshuege.ru/formula/09/09b8ff2342cd9dcfb2ee3f5d2ce301c8.png это уравнение не имеет корней, при http://reshuege.ru/formula/7f/7fa339f95c1d081b6a55da0143277072.png уравнение имеет единственный корень, равный http://reshuege.ru/formula/70/70623d96ac2e03af814c12d092c446fc.png при http://reshuege.ru/formula/63/63f1de81f37829ca035a2d68606459a7.png уравнение имеет два корня.

Если уравнение имеет два корня http://reshuege.ru/formula/aa/aa687da0086c1ea060a8838e24611319.png и http://reshuege.ru/formula/2d/2d7616976eeff7d7dd56512675ccb59b.png то есть http://reshuege.ru/formula/e6/e6cd3b12a4bc1d4a14a5b48b580ae75c.png то больший корень http://reshuege.ru/formula/7e/7ee29ab91e848ddf3881b797c775d9d8.png поэтому он принадлежит промежутку http://reshuege.ru/formula/a4/a46ea384e875dcfef790c088492c59cc.png Меньший корень http://reshuege.ru/formula/aa/aa687da0086c1ea060a8838e24611319.png принадлежит промежутку http://reshuege.ru/formula/1c/1ce72a7b085c087a3dac12b7a190dd3b.png тогда и только тогда, когда

http://reshuege.ru/formula/7e/7e29d1eefaec8c05ef4db4028dc21cc4.png то есть http://reshuege.ru/formula/33/33513bdf57b9ec8c02c70ccf799d3405.png

Таким образом, исходное уравнение http://reshuege.ru/formula/62/62c24662c176609c6cae53932d0a19ee.png имеет следующее количество корней на промежутке http://reshuege.ru/formula/9e/9e0697c0455b6b3af084d7dbac884e6a.png

нет корней при http://reshuege.ru/formula/6b/6b81a6c2ff05fd36f08eb5e1da24b10e.png

один корень при http://reshuege.ru/formula/3f/3f131b5f410a06eafd098541b75bcfef.png и http://reshuege.ru/formula/0e/0e9e45ac129850898d3822162f97ff8d.png

два корня при http://reshuege.ru/formula/ab/ab78c695a994451b92ab1241c809e28c.png и http://reshuege.ru/formula/87/875b17a63aa5de00b86083e0d125edf9.png

три корня при http://reshuege.ru/formula/60/60f906ef27619f438819752ab269abbb.png

Ответ: http://reshuege.ru/formula/60/60f906ef27619f438819752ab269abbb.png




Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен правильный ответ

4

С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек

3

С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а

2

Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0




Задание 21

Натуральные числа от 1 до 20 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.

 а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?

Решение. Обозначим суммы чисел в группах http://reshuege.ru/formula/8d/8dc4eef060814e559aff4c5fac3f51fe.png, http://reshuege.ru/formula/97/97a6ae0695c4b2723ff5c8bccdb1e735.png, http://reshuege.ru/formula/ef/eff9b86742e85cfc8d927f72f872442d.png, http://reshuege.ru/formula/2f/2f86803c1a5c270da025ca9f943196e9.png а указанную в условии сумму модулей их попарных разностей через http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png. Можно считать, что http://reshuege.ru/formula/1f/1f8806addf544e7c0c5372c16d496f3d.png

а) Чтобы число http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png равнялось 0, необходимо, чтобы каждая из разностей http://reshuege.ru/formula/6f/6f2f4c3baeef89e4d974a20cbd9506cd.png равнялась 0, то есть http://reshuege.ru/formula/77/77cb27caac840564b3bfb184e52c3209.png. Сумма всех двадцати чисел http://reshuege.ru/formula/85/8545bf915dd11d4c35376da4359a8a01.png. С другой стороны, она равна http://reshuege.ru/formula/70/7058119b1df8735ccfb787274a14f3dd.png, но 210 не делится на 4. Значит, http://reshuege.ru/formula/cb/cb182d7b8e94282c3a43f39a0b41066c.png.

 

б) Чтобы число http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png равнялось 1, необходимо, чтобы все, кроме одной, разности http://reshuege.ru/formula/6f/6f2f4c3baeef89e4d974a20cbd9506cd.png равнялись 0. Значит, http://reshuege.ru/formula/22/22927280c502f5042c1780cdbd66f103.png, но в этом случае каждая из сумм http://reshuege.ru/formula/97/97a6ae0695c4b2723ff5c8bccdb1e735.png, http://reshuege.ru/formula/ef/eff9b86742e85cfc8d927f72f872442d.png не равна хотя бы одной из сумм http://reshuege.ru/formula/8d/8dc4eef060814e559aff4c5fac3f51fe.png, http://reshuege.ru/formula/2f/2f86803c1a5c270da025ca9f943196e9.png поэтому хотя бы три разности http://reshuege.ru/formula/6f/6f2f4c3baeef89e4d974a20cbd9506cd.png не равны 0 и число http://reshuege.ru/formula/87/87a06b19f2c69c317eb4fc207ecc10f7.pngне меньше 3. Значит, http://reshuege.ru/formula/53/53619656778899512d9f7da0952aa3c1.png

в) Выразим число http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png явно через http://reshuege.ru/formula/8d/8dc4eef060814e559aff4c5fac3f51fe.png, http://reshuege.ru/formula/97/97a6ae0695c4b2723ff5c8bccdb1e735.png, http://reshuege.ru/formula/ef/eff9b86742e85cfc8d927f72f872442d.png, http://reshuege.ru/formula/2f/2f86803c1a5c270da025ca9f943196e9.png:

 

http://reshuege.ru/formula/dc/dcb0bb8e143e118620393e7991e73dcc.png

В предыдущих пунктах было показано, что http://reshuege.ru/formula/b5/b5dd3257d6feffbca6bb45211ad9acd7.png. Если http://reshuege.ru/formula/35/35f296650bd5c4896f2b634ac9a2f1b5.png, то http://reshuege.ru/formula/77/77f0164c3ab758cf14979bf72fcb6877.png или http://reshuege.ru/formula/b5/b5ff561504ab29ce0beb891fe6abf415.png. В этом случае сумма всех двадцати чисел равна http://reshuege.ru/formula/ff/ff339c83ee75d648e2f7da1026386b09.png или http://reshuege.ru/formula/00/00e4ca24a3a3bc61a4690274cf653f90.png, то есть нечётна, что неверно. 

Для следующего разбиения чисел на группы: http://reshuege.ru/formula/7e/7e77dd9ab90a73053ebde2ab7ff4a06e.png; http://reshuege.ru/formula/0f/0f2191f2520b169b98e60902097ea702.png; http://reshuege.ru/formula/a2/a25864dd25539f47f1caa0731bb07088.png; http://reshuege.ru/formula/7c/7ce38fa84c1bf56a6b6364808e02b9ba.png — число http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png равно 4. 

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты

4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов

3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов

2

Верно получен один ш следующих результатов: — Обоснованное решение п. а; — обоснованное решение п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0





Выбранный для просмотра документ Ответы к заданиям 1-14 .docx

библиотека
материалов


В1

В2

В3

В4

В5

В6

В7

В8

В9

В10

В11

В12

В13

В14

Вариант 1


230

26

1840

364,5

0,25

35

16

7

3

2

152

1728

2

6

Вариант 2


12800

12200

32

10

0,375

4

0,6

4

2,25

0,5

32000

90,5

19

-1

Вариант 3


24

1

12120

6

0,25

-1

104

-3

2

64

30

6

9

4

Вариант 4


35

30

25920

19

0,25

-13

55

2

490

9

60

24

14

-5

Вариант 5


10

-2

3996

6

0,55

4

2,5

1

0,25

27

60

120

25

19

Ответы к заданиям 1-14

Выбранный для просмотра документ вариант 1.docx

библиотека
материалов

4

Математика ЕГЭ 2015 вариант № 1



ВАРИАНТ № 1

Инструкция по выполнению работы

На выполнение заданий варианта КИМ по математике даётся

3 часа 55 минут (235 минут). Работа состоит из двух частей, включающих в себя 21 задание.

Часть 1 содержит 9 заданий (задания 1–9) базового уровня

сложности, проверяющих наличие практических математических знаний и умений.

Часть 2 содержит 12 заданий (задания 10–14 и 15–21) базового,

повышенного и высокого уровней по материалу курса математики средней школы, проверяющих уровень профильной математической подготовки.

Ответом к каждому из заданий 1–14 является целое число или

конечная десятичная дробь. При выполнении заданий 15–21 требуется записать полное решение и ответ.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается

использование гелевой, капиллярной или перьевой ручки.

При выполнении заданий Вы можете пользоваться черновиком.

Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться при оценивании работы.

Советуем выполнять задания в том порядке, как они даны. Для

экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.

Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.


Желаем успеха!



Часть 1


Ответом на задания 1–9 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.


1. В розницу один номер еженедельного журнала стоит 42 рубля, а полугодовая подписка на этот журнал стоит 820 рублей. За полгода выходит 25 номеров журнала. Сколько рублей можно сэкономить за полгода, если не покупать каждый номер журнала отдельно, а получать журнал по подписке?

2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разность между наибольшей и наименьшей среднемесячными температурами в 2003 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

MA.E10.B2.165/innerimg0.png
















3. Для остекления музейных витрин требуется заказать 20 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,25 м2. В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ?

Фирма

Цена стекла

(руб. за 1 м2)

Резка стекла

(руб. за одно стекло)

Дополнительные условия

А

300

17


Б

320

13


В

340

8

При заказе на сумму больше 2500 руб. резка бесплатно.


4. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 27.


5. Вика, Рита, Ульяна и Боря бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.

6. Найдите корень уравнения hello_html_m6d1a8ead.gif

7. Острые углы прямоугольного треугольника равны 29о и 61о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

8. На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (-1;12). Найдите точку экстремума функции y = f (x) на отрезке [2; 7]

hello_html_6c36a19b.png

9. В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали?

Часть 2



Ответом на задания 10–14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.


10. Найдите значение выражения log56,25 + log54.

11. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 148 МГц. Скорость спуска батискафа, выражается в м/с, определяется по формуле

hello_html_m64e6eec4.gif, где с = 1500 м/с – скорость звука в воде, f0– частота испускаемых импульсов (в МГц), f– частота отраженного от дна сигнала, регистрируемая приемником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала f, если скорость погружения батискафа не должна превышать 20 м/с. Ответ выразите в МГц.

12. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 6. Найдите его объем.hello_html_m32196ea7.png










13. Моторная лодка прошла против течения реки 140 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна
12 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

14. Найдите наименьшее значение функции y = 3cosx – 15x + 3 на отрезке hello_html_m173c384e.gif.



Для записи решений и ответов на задания 15–21 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (15, 16 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.


15. а)Решите уравнение hello_html_m68395f76.gif

б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
промежутку
hello_html_m7c48e444.gif.

16. В правильной треугольной пирамиде SABC с ребром основания 3 и высотой hello_html_63abda47.gif найдите расстояние между скрещивающимися ребрами
ВС и AS.

17. Решите неравенство hello_html_m2b13b5b3.gif

18. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую — в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C.

а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

б) Найдите отношение BP:PC, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.






19. Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.


20. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 

hello_html_m239f0899.gif  на промежутке hello_html_m6d6b1ad3.gif  имеет более двух корней.


21. Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует такое целое число k, что число p является общим делителем чисел

k4 + 15k2 + 35  и k3 + 8k.


Выбранный для просмотра документ вариант 2.docx

библиотека
материалов

4

Математика ЕГЭ 2015 вариант № 2



ВАРИАНТ № 2

Инструкция по выполнению работы

На выполнение заданий варианта КИМ по математике даётся

3 часа 55 минут (235 минут). Работа состоит из двух частей, включающих в себя 21 задание.

Часть 1 содержит 9 заданий (задания 1–9) базового уровня

сложности, проверяющих наличие практических математических знаний и умений.

Часть 2 содержит 12 заданий (задания 10–14 и 15–21) базового,

повышенного и высокого уровней по материалу курса математики средней школы, проверяющих уровень профильной математической подготовки.

Ответом к каждому из заданий 1–14 является целое число или

конечная десятичная дробь. При выполнении заданий 15–21 требуется записать полное решение и ответ.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается

использование гелевой, капиллярной или перьевой ручки.

При выполнении заданий Вы можете пользоваться черновиком.

Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться при оценивании работы.

Советуем выполнять задания в том порядке, как они даны. Для

экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.

Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.


Желаем успеха!



Часть 1


Ответом на задания 1–9 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.


1. Среди 40000 жителей города 60% не интересуется футболом. Среди футбольных болельщиков 80% смотрело по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот матч?

2. На рисунке жирными точками показана цена никеля на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 6 по 20 мая 2009 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – цена тонны никеля в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену никеля на момент закрытия торгов в период с 7 по 15 мая (в долларах США за тонну).MA.E10.B2.225/innerimg0.png


















3. Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинг R бытовых приборов на основе коэффициента ценности, равного 0,01 средней цены P, показателей функциональности F, качества Q и дизайна D. Каждый из показателей оценивается целым числом от 0 до 4. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле R = 4(2F + 2Q + D) – 0,01P

В таблице даны средняя цена и оценки каждого показателя для нескольких моделей электрических мясорубок. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице моделей электрических мясорубок.


Модель мясорубки

Средняя цена

Функциональность

Качество

Дизайн

А

4600

2

0

2

Б

5500

4

3

1

В

4800

4

4

4

Г

4700

2

1

4


4. Точки D, Е, Fсередины сторон треугольника АВС. Периметр треугольника DEF равен 5. Найдите периметр треугольника АВС.

hello_html_m14f8eae8.gif


5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

6. Найдите корень уравнения hello_html_745b559.gif

7. В тупоугольном треугольнике ABC AC = BC = 25, AH – высота, CH = 20. Найдите sinACB.

8. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.


get_file.png

9. Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличить в 1,5 раза?

Часть 2



Ответом на задания 10–14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.


10. Найдите значение выражения log9 log28.

11. Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением a км/ч², вычисляется по формуле hello_html_1da78f.gif . Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,4 километра, приобрести скорость не менее 160 км/ч. Ответ выразите в км/ч².


12. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 9. Боковые ребра равны hello_html_16fdc019.gif. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

hello_html_4c48638.png








13. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 352 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 44 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

14. Найдите точку минимума функции y = x3 + 5x2 + 7x - 5

Для записи решений и ответов на задания 15–21 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (15, 16 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.


15. а)Решите уравнение cos2x – 0,75 = cos2x

б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
промежутку
hello_html_m2e228452.gif.

16. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребра AB = AA1 = 2, AD = hello_html_mc46c9a6.gif. Найдите расстояние от вершины А до диагонали B1C боковой грани.

17. Решите неравенство hello_html_m7608c8be.gif




 

18. Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

а) Докажите, что AHB1 = ACB

 б) Найдите BC,  если AH = 83  и BAC = 600

19. Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.

Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем банку (сверх кредита)?


20. При каких  а уравнение |x2 – 2x - 3| - 2a = |x - a| - 1 имеет ровно три корня?


21. Найдите все простые числа b, для каждого из которых существует такое целое число a, что дробь  hello_html_m59e041d8.gif  можно сократить на b.




Выбранный для просмотра документ вариант 3.docx

библиотека
материалов

5

Математика ЕГЭ 2015 вариант № 3



ВАРИАНТ № 3

Инструкция по выполнению работы

На выполнение заданий варианта КИМ по математике даётся

3 часа 55 минут (235 минут). Работа состоит из двух частей, включающих в себя 21 задание.

Часть 1 содержит 9 заданий (задания 1–9) базового уровня

сложности, проверяющих наличие практических математических знаний и умений.

Часть 2 содержит 12 заданий (задания 10–14 и 15–21) базового,

повышенного и высокого уровней по материалу курса математики средней школы, проверяющих уровень профильной математической подготовки.

Ответом к каждому из заданий 1–14 является целое число или

конечная десятичная дробь. При выполнении заданий 15–21 требуется записать полное решение и ответ.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается

использование гелевой, капиллярной или перьевой ручки.

При выполнении заданий Вы можете пользоваться черновиком.

Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться при оценивании работы.

Советуем выполнять задания в том порядке, как они даны. Для

экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.

Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.


Желаем успеха!



Часть 1


Ответом на задания 1–9 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.


1. На счету Юлиного мобильного телефона было 77 рублей, а после разговора с Антоном осталось 41 рубль. Сколько минут длился разговор с Антоном, если одна минута разговора стоит 1 рубль 50 копеек.

2. Мощность отопителя в автомобиле регулируется дополнительным сопротивлением, которое можно менять, поворачивая рукоятку в салоне машины. При этом меняется сила тока в электрической цепи электродвигателя – чем меньше сопротивление, тем больше сила тока и тем быстрее вращается мотор отопителя. На рисунке показана зависимость силы тока от величины сопротивления. На оси абсцисс откладывается сопротивление (в Омах), на оси ординат – сила тока в Амперах. Ток в цепи электродвигателя уменьшился с 12 до 6 Ампер. На сколько Омов при этом увеличилось сопротивление цепи?

gia18_3.JPG





3. В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше 10000 руб., он получает скидку на следующую покупку в размере 10% уплаченной суммы. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить товар в магазин. Покупатель Б. хочет приобрести куртку ценой 9300 р., рубашку ценой 1800 р. и перчатки ценой 1200 р. В каком случае Б. заплатит за покупку меньше всего:

1) Б. купит все три товара сразу.

2) Б. купит сначала куртку и рубашку, а потом перчатки со скидкой.

3) Б. купит сначала куртку и перчатки, а потом рубашку со скидкой.

В ответ запишите, сколько рублей заплатит Б. за покупку в этом случае.


4. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.


get_file.png


5. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 40 выступлений – по одному от каждой страны. В первый день 20 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?


6. Найдите корень уравнения 24 - 2х = 64.

7. AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 38o.

Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.246/innerimg0.jpg






8. На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (-8; 3). Найдите точку экстремума функции y = f (x) на отрезке [-6; 1].

hello_html_m4f6e5b10.png












9. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого?


Часть 2



Ответом на задания 10–14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.


10. Найдите значение выражения hello_html_m45a906fe.gif.

11. Мяч бросили под острым углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полета мяча (в секундах) определяется по формуле

hello_html_365ea1b7.gif. При каком наименьшем значении угла (в градусах) время полета будет не меньше 1,8 с, если мяч бросают с начальной скоростью

0=18 м/с?. Считайте, что ускорение свободного падения g = 10 м/с².



12. Объем конуса равен 48. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

hello_html_7dd81b04.png








13. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 2 часа после этого следом за ним со скоростью, на 2 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между пристанями равно 99 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

14. Найдите наименьшее значение функции y = 17x – 7sinx + 4 на отрезке hello_html_m124a88e.gif.

Для записи решений и ответов на задания 15–21 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (15, 16 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.


15. а)Решите уравнение hello_html_766bfee6.gif

б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
промежутку
hello_html_m7c48e444.gif.


16. В правильной четырехугольной пирамиде hello_html_5dc5a3d8.gifсторона основания равна 8, а высота равна 9. Через ребро АВ и медиану АМ боковой грани hello_html_m2db76b07.gif проведена плоскость. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и основанием hello_html_m7b468304.gif.


17. Решите неравенство hello_html_753d9cc0.gif

18. Точка M — середина стороны AD параллелограмма ABCD . Из вершины A проведены два луча, которые разбивают отрезок BM на три равные части.

а) Докажите, что один из лучей содержит диагональ параллелограмма.

б) Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного двумя проведёнными лучами и прямыми BD и BC , если площадь параллелограмма ABCD равна 40.


19. В конце августа 2001 года администрация Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена барреля сырой нефти убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от первоначального объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и направив ее на закупку нефти?


20. Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции f(x) = 4x2 – 4ax + a2 + 2a + 2 на множестве  |x|≥1 не менее 6.


21. Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует такое целое число k, что число p является общим делителем чисел

k4 + 12k2 + 12  и k3 + 9k.




Выбранный для просмотра документ вариант 4.docx

библиотека
материалов

4

Математика ЕГЭ 2015 вариант № 4



ВАРИАНТ № 4

Инструкция по выполнению работы

На выполнение заданий варианта КИМ по математике даётся

3 часа 55 минут (235 минут). Работа состоит из двух частей, включающих в себя 21 задание.

Часть 1 содержит 9 заданий (задания 1–9) базового уровня

сложности, проверяющих наличие практических математических знаний и умений.

Часть 2 содержит 12 заданий (задания 10–14 и 15–21) базового,

повышенного и высокого уровней по материалу курса математики средней школы, проверяющих уровень профильной математической подготовки.

Ответом к каждому из заданий 1–14 является целое число или

конечная десятичная дробь. При выполнении заданий 15–21 требуется записать полное решение и ответ.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается

использование гелевой, капиллярной или перьевой ручки.

При выполнении заданий Вы можете пользоваться черновиком.

Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться при оценивании работы.

Советуем выполнять задания в том порядке, как они даны. Для

экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.

Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.


Желаем успеха!



Часть 1


Ответом на задания 1–9 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.


1. Спидометр автомобиля показывает скорость в милях в час. Какую скорость (в милях в час) показывает спидометр, если автомобиль движется со скоростью 56 км в час? (Считайте, что 1 миля равна 1,6 км.)

2. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, на сколько градусов нагреется двигатель с третьей по седьмую минуту разогрева.

engine3.eps



















3. В трёх салонах сотовой связи один и тот же телефон продаётся в кредит на разных условиях. Условия даны в таблице.

Салон

Цена

телефона

(руб.)

Первоначальный

взнос (в процентах от

цены)

Срок

кредита

(мес)

Сумма

ежемесячного платежа (pуб.)

Эпсилон

21600

20

6

3600

Дельта

22 300

15

12

1860

Омикрон

24 000

20

12

1750


Определите, в каком из салонов покупка обойдётся дороже всего (с учётом переплаты), и в ответ напишите эту наибольшую сумму в рублях.


4. Периметр параллелограмма равен 70. Меньшая сторона равна 16. Найдите большую сторону параллелограмма.


5. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 5 из них встречается вопрос по теории вероятностей. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теории вероятностей.

6. Найдите корень уравнения hello_html_4bff3def.gif

7. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 125° и 47°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.


hello_html_33a4e326.gif


8. На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (- 2; 18). Найдите количество точек минимума функции y = f (x) на отрезке [0; 15].hello_html_27a9928d.png

9. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает hello_html_6eec8aff.gif высоты.
Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
konus_1_2.eps











Часть 2



Ответом на задания 10–14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.


10. Найдите значение выражения hello_html_15cbf33c.gif.

11. Трактор тащит сани с силой F=100 кН, направленной под острым углом к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной S=60м вычисляется по формуле A = FScos. При каком максимальном угле (в градусах) совершенная работа будет не менее 3000 кДж?

12. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 12. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.hello_html_1ced5a11.png










13. Заказ на 224 детали первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 2 детали больше?

14. Найдите точку минимума функции hello_html_4edcbf61.gif


Для записи решений и ответов на задания 15–21 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (15, 16 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.


15. а)Решите уравнение cos2x – 0,25 = cos2x

б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
промежутку
hello_html_6b88960c.gif.

16. В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник с катетами АС = 3 и ВС = 4. Через вершину C1 и ребро АВ нижнего основания проведена плоскость. Найдите расстояние от вершины С до этой плоскости, если высота призмы равна 12.

17. Решите неравенство

hello_html_m290b63e3.gif

 18. Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.


19. В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составила х % годовых, тогда как в январе 2001 года — у % годовых, причем известно, что x + y = 30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение х при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.


20. Найдите все значения а, при которых уравнение  hello_html_m51e8d8ae.gif  на промежутке hello_html_m7c48e444.gif  имеет ровно два корня.


21. Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1 000 кг и 60 штук по 1 500 кг (раскалывать глыбы нельзя).

а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?


Выбранный для просмотра документ вариант 5.docx

библиотека
материалов

4

Математика ЕГЭ 2015 вариант № 5



ВАРИАНТ № 5

Инструкция по выполнению работы

На выполнение заданий варианта КИМ по математике даётся

3 часа 55 минут (235 минут). Работа состоит из двух частей, включающих в себя 21 задание.

Часть 1 содержит 9 заданий (задания 1–9) базового уровня

сложности, проверяющих наличие практических математических знаний и умений.

Часть 2 содержит 12 заданий (задания 10–14 и 15–21) базового,

повышенного и высокого уровней по материалу курса математики средней школы, проверяющих уровень профильной математической подготовки.

Ответом к каждому из заданий 1–14 является целое число или

конечная десятичная дробь. При выполнении заданий 15–21 требуется записать полное решение и ответ.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается

использование гелевой, капиллярной или перьевой ручки.

При выполнении заданий Вы можете пользоваться черновиком.

Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться при оценивании работы.

Советуем выполнять задания в том порядке, как они даны. Для

экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.

Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.


Желаем успеха!



Часть 1


Ответом на задания 1–9 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.


1. В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 1200 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 4 недели?

2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру во второй половине 1999 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.


get_file.png

3. В среднем гражданин А. в дневное время расходует 120 кВтч электроэнергии в месяц, а в ночное время – 185 кВтч электроэнергии. Раньше у А. в квартире был установлен однотарифный счетчик, и всю электроэнергию он оплачивал по тарифу 2,40 руб. за кВтч. Год назад А. установил двухтарифный счётчик, при этом дневной расход электроэнергии оплачивается по тарифу 2,40 руб. за кВтч, а ночной расход оплачивается по тарифу 0,60 руб. за кВтч.

В течение 12 месяцев режим потребления и тарифы оплаты электроэнергии не менялись. На сколько больше заплатил бы А. за этот период, если бы не поменялся счетчик? Ответ дайте в рублях.


4. Площадь круга, изображённого на клетчатой бумаге, равна 16. Найдите площадь заштрихованного кругового сектора.

http://www.fipi.ru/os11/docs/AC437B34557F88EA4115D2F374B0A07B/questions/MA.E12.B3.05_28copy1_29/xs3qstsrcF23978AA24EBBC5A46C372766F7AA552_1_1324391469.png










5. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 11 из них встречается вопрос по логарифмам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по логарифмам.

6. Найдите корень уравнения hello_html_4138c05c.gif

7. В треугольнике ABC АС = 4, ВС = 3, , угол C равен 90о. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.MA.OB10.B4.273/innerimg0.jpg







8. На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (- 10; 14). Найдите количество точек максимума функции
y = f (x) на отрезке [- 8; 11].

hello_html_6a4e325d.png

9. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.CC5AED81ED1A4A0AAC0819910E5B5Dx4/img1.png










Часть 2


Ответом на задания 10–14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.


10. Найдите значение выражения hello_html_2ec32262.gif при х=3.

11. Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью

= 6 м/с под острым углом к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью hello_html_m6b879729.gif (м/с), где m = 75 кг – масса скейтбордиста со скейтом, а М = 375 кг – масса платформы. Под каким максимальным углом (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,5 м/с?


12. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.


13. На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

14. Найдите наименьшее значение функции y = 13cosx – 17x + 6 на отрезке hello_html_m173c384e.gif.



Для записи решений и ответов на задания 15–21 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (15, 16 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.


15. а)Решите уравнение cos2x – 0,75 + sin2x = o

б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
промежутку
hello_html_m4827c42a.gif.


16. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1F1, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостью основания и плоскостью ABC1.


17. Решите неравенство

hello_html_m25bcbf64.gif

 18. Медианы АА1, ВВ1, СС1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Точки А2, В2, С2 – середины отрезков МА, МВ, МС соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника А1В2С1А2В1С2 вдвое меньше площади треугольника АВС.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ=5, ВС=8, и АС=10.



19. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?



20. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 

hello_html_me39eab.gif  на промежутке hello_html_m6d6b1ad3.gif  имеет более двух корней.


21. Натуральные числа от 1 до 20 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.

 

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?




Краткое описание документа:

Пробный экзамен в форме ЕГЭ 2015 (профильный уровень). Данные тесты адресованы учителям, преподающим в старших классах общеобразовательных учреждений, и их ученикам. Задания взяты из открытого банка заданий, часть С с сайта Гущина и работ Статграда. Работа состоит из 5 вариантов с ответами на первую часть и критериями ко второй части. 

             На  выполнение  заданий  варианта  КИМ  по  математике  даётся 3  часа 55 минут (235 минут).  Работа  состоит  из  двух  частей,  включающих  в себя 21 задание.            Часть 1 содержит 9 заданий (задания  1–9)  базового  уровня сложности,  проверяющих  наличие  практических  математических  знаний  и умений.  Часть 2 содержит 12 заданий (задания  10–14  и 15–21)  базового, повышенного и  высокого уровней по  материалу  курса  математики  средней школы, проверяющих уровень профильной математической подготовки. Ответом  к  каждому  из  заданий  1–14  является  целое  число  или конечная  десятичная  дробь.  При  выполнении  заданий  15–21 требуется записать полное решение и ответ.

         

Общая информация

Номер материала: 525538

Похожие материалы