Проект по математике "Лист Мёбиуса"

• 1 слайд

  Лист Мёбиуса
  Мышление начинается с удивления.
  Аристотель.
  

• 2 слайд

  Цель работы:
  Показать, что в математике увлекательного и интересного.
  
  Гипотеза: лист (лента) Мёбиуса таит в себе много загадок.
  
  

• 3 слайд

  Задачи:
  Сделать ленту Мёбиуса.
  Узнать свойства ленты Мёбиуса.
  Придумать математические развлечения с лентой Мёбиуса.
  Узнать об использовании ленты Мёбиуса в искусстве и жизни.
  Узнать, есть ли фигуры, подобные листу Мёбиуса.
  

• 4 слайд

  Методы исследования:
  
  Анализ математической литературы.
  Изучение, исследование и сбор информации.
  Практический эксперимент.
  
  

• 5 слайд

  Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868)
  Ученик К. Ф. Гаусса
  Астроном и геометр
  

• 6 слайд

  Иоганн Бенедикт Листинг (1808-1882)
  
  Профессор Геттингенского университета
  

• 7 слайд

  Лист Мёбиуса
  

• 8 слайд

• 9 слайд

• 10 слайд

  Топология
  

• 11 слайд

• 12 слайд

• 13 слайд

  Бутылка Клейна
  

• 14 слайд

  Свойства листа Мёбиуса
  Односторонность
  Непрерывность
  Связность.
  
  

• 15 слайд

  Применение в жизни
  

• 16 слайд

• 17 слайд

• 18 слайд

• 19 слайд

• 20 слайд

• 21 слайд

• 22 слайд

• 23 слайд

• 24 слайд

• 25 слайд

  Эксперимент 1
  

• 26 слайд

  Эксперимент 2
  

• 27 слайд

  Эксперимент 3
  

• 28 слайд

  Эксперимент 4
  

• 29 слайд

  Эксперимент 5
  

• 30 слайд

  Эксперимент 6
  

• 31 слайд

  Эксперимент 7
  

• 32 слайд

• 33 слайд

  Фокус «Рамка для фотографий»
  

• 34 слайд

  Фокус «Узел»
  

• 35 слайд

  Заключение
  Математика - замечательный предмет для удивления. В ходе математического исследования мы узнали много нового и интересного, необычного. Чтобы проверить свою гипотезу, мы читали книги, работали с различными источниками информации в сети Интернет, проводили эксперименты, демонстрировали своим одноклассникам и родным фокусы. Изучение математики за страницами учебника расширило наши знания в области экспериментальной математики. Это исследование помогло нам приобрести навык самостоятельной работы и сформировало компетентность в данном разделе математики.
  Поставленной цели мы достигли, так как теперь знаем, что Мёбиус – это великий немецкий учёный, который внёс огромный вклад в развитие науки. По ходу исследования мы узнали, что наука топология – это раздел математики, изучающий явление непрерывности и познакомились со свойствами листа Мёбиуса, узнали о применении его в технике, искусстве, литературе. Разрезая лист на части можно проводить различные увлекательные эксперименты
  

• 36 слайд

  Работу выполнили:
  Смольяков Вадим
  Трудников Анатолий
  

   Актуальность исследования.     Слышали ли вы когда- нибудь о листе Мёбиуса? Как его можно изготовить, как  он связан с математикой и где применяется в жизни? Удивительные свойства листа Мёбиуса использовались и используются в кулинарии, в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий и бижутерии. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников. Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни. Нас заинтересовала эта тема. Мы  изучили литературу, затем сами изготовила лист Мёбиуса, а потом проводили исследования, ставя опыты, изучая его необыкновенные свойства.

   Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (иногда говорят: «лента Мёбиуса») придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868),ученик «короля математиков» Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика была обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений.И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых — лист Мёбиуса. Идея этого открытия возникла,когда тот увидел служанку, неправильно завязавшую шарф. Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг (1808 – 1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, – в 1862 году.Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело  (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера), – две стороны.Лист Мёбиуса — это простейшая односторонняя поверхность с краемПопасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Всякая замкнутая поверхность, лежащая в трёхмерном пространстве, разделяет его на две части — ограниченную «внутренность» и неограниченную «внешность», подобно тому, как замкнутая кривая разделяет плоскость на две части. Самое же удивительное, пожалуй, то, что я смогу её сделать своими руками и это совсем несложно. Надо лишь взять полоску бумаги и для ясности обозначим углы с одной стороны ленты А и В, а с другой – C и D. Далее склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180^о. И тогда в ваших руках окажется лист, или лента Мёбиуса. Лист Мёбиуса — один из объектов области математики под названием «топология» (по-другому — «геометрия положения»). Удивительные свойства листа Мёбиуса — он имеет один край, одну сторону, не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология. В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины). Наглядный пример 2. Топологический человек.

Непрерывными деформациями человек (см. рисунок) может распутать пальцы — факт. Не сразу очевидно, но можно догадаться. А если же наш топологический человек предусмотрительно надел часы на одну руку, то наша задача станет невыполнимой.Да, существуют, и в научной литературе описаны ещё более замысловатые, о них очень интересно узнавать. Если Лист Мебиуса – «условно двумерный объект» (он получен из плоской полоски), то его подружка — Бутылка Клейна полноправно занимает 3 измерения. (Приложение III)

Запустите суда муравья, и бедняга побывает во всех точках Бутылки Клейна – не делая в ней дырок, и не переползая через край.На всех рисунках показано следующее: в месте, где трубка «проникает в бутылку» — нет зазора, казалось бы, это не правильно! Ведь если нет зазора, тогда муравей должен будет выползать из бутылки тем же маршрутом, каким он туда вползал. Разве бродя по Листу Мебиуса ему нужно было разворачиваться, после того как он куда-то дошёл? Бесконечность, она на то и бесконечность!А почему мы только обходим Бутылку Клейна? Что же будет, если разрезать Бутылку Клейна?Это невероятно, но получился Лист Мебиуса. Резать, правда, нужно было так, что бы режущий предмет делал оборот в 360 градусов между начальной точкой и конечной.Чудеса! Бутылка Клейна в трёх измерениях — это аналог Листа Мёбиуса в двух измерениях. ОдносторонностьВ своей работе «Об объёме многогранников» Август Мёбиус описал геометрическую поверхность – лист Мёбиуса, обладающую совершенно невероятным свойством: она имеет только одну сторону! И я наглядно могу убедиться, что у этой ленты Мёбиуса действительно всего одна сторона. Попробую закрасить перекрученную ленту в два цвета – одним с внутренней стороны, а другим с внешней. Чтобы я не придумывала, мне это не удастся. Но зато муравью, ползущему по листу Мёбиуса, не надо переползать через край, чтобы попасть на противоположную сторону, как это видно на гравюре художника Маурица Эшера «Лента Мёбиуса II». (Приложение III)НепрерывностьЭто ещё одно топологическое свойство. Если сравнить схему самолётных маршрутов и географическую карту, то убедитесь, что масштаб Аэрофлотом далеко не выдержан – скажем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И всё-таки что-то общее между географической картой есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск – с Владивостоком. И поэтому тополог может как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. Взгляните с этой точки зрения на нашего старого знакомца и увидите: на листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом муравью на гравюре Эшера ни разу не придётся переползать через край «ленты». Разрывов нет – непрерывность полная. Связность. Если квадрат полоснуть бритвой от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы располовинить кольцо, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. А телефонный диск можно десять раз рассечь ножом от одной замкнутой кривой до другой, а он останется единым целым. Поэтому любой тополог скажет, что квадрат и ромашка – односвязны, кольцо и оправа от очков – двусвязны, а всяческие решётки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры – многосвязны.