Проект "Пирамида" по геометрии (10 класс)

1 слайд

Пирамида
Учитель математики Липовского филиала
МОУ Пичаевской СОШ
Лядова Елена Анатольевна
учащиеся 10 класса

творческий проект по геометрии

2 слайд

«В НЕМОЙ ДАЛИ ЗАСТЫЛИ ПИРАМИДЫ
ФАРАОНОВ, САРКОФАГИ ДРЕВНЕЙ БЫЛИ.
ВЕЛИЧАВЫЕ КАК ВЕЧНОСТЬ, МОЛЧАЛИВЫЕ КАК СМЕРТЬ»
МИХАЙ ЭМИНЕСКУ

3 слайд

Информационная карта

4 слайд

Гипотеза
Пирамида, как геометрическая фигура, самая совершенная в природе.

5 слайд

ОСНОВОПОЛАГАЮЩИЙ ВОПРОС
создание
рук
человека
или
нет
Пирамида

6 слайд

Проблемные вопросы


1. История развития геометрии пирамиды.

2.Какими бывают пирамиды?


3. Формулы связанные с пирамидами.

7 слайд

АННОТАЦИЯ ПРОЕКТА
Пирамиды представляют интерес для историков, физиков, биологов, медиков, философов. Чем больше мы узнаем о пирамидах, тем больше у нас возникает вопросов. Хотя не стоит забывать и о том, что пирамиды таят в себе ответы на огромное количество вопросов, которыми сейчас задается наука. В рамках проекта учащиеся изучают пирамиду как геометрическое тело, находят математическое обоснование геометрических тайн пирамиды.

8 слайд

ДИДАКТИЧЕСКИЕ ЦЕЛИ
изучение нового вида многогранника-пирамиды, её элементов, видов и свойств

9 слайд

Дидактические задачи
1.Разрешать проблемные ситуации из области математики,привлекая знания из разных областей науки,

2.Самостоятельно, критически мыслить; прогнозировать результаты; практически применять полученные знания;

3.Формировать навыки работы в команде, навыки публичного выступления;
4. Расширять свои знания; развивать аналитическое мышление 5.Приобрести навыки самостоятельной работы : конструировать, моделировать, проектировать и т.д.
6.Использовать определение и свойства пирамиды при решении геометрических задач.

10 слайд

Учебные задачи
1.Что такое пирамида? (определение древних греков)
2.Математическая точка зрения.
3.Историческая точка зрения.
4.Исследованиесвойств пирамиды
5.Элементы пирамиды.
6.Формулы для вычисления объемов и площадей различных пирамид.
7.Теоремы,связывающие пирамиды с другими геометрическими телами.

11 слайд

Методические задачи

1.Познакомить учащихся с понятием «пирамида», изучить её элементы, виды и свойства; изучить историю развития геометрии пирамиды;

2.Развитие пространственного воображения и познавательного интереса через творческую активности, исследовательскую деятельность;

3.Формирование интереса к предмету и навыков работы в группах.

12 слайд

Ожидаемые результаты
После завершения проекта ученики должны уметь:
- находить необходимую информацию из различных источников;
- представлять результаты деятельности в электронном виде;
- работать в группе.

13 слайд

Дидактические материалы
Тест Свойства пирамиды

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАИЯ
И ТВОРЧЕСКИЕ РАБОТЫ
УЧЕНИКОВ
Кроссворд Пирамида
Формулы связанные с пирамидой
презентация
История развития геометрии пирамиды
презентация
Виды и свойства пирамиды
презентация

14 слайд

Участники проекта – учащиеся 10 класса.
Руководитель проекта – учитель математики Лядова Е.А.
В рамках данного проекта было сформировано несколько групп ребят, проводящих самостоятельные исследования данной проблемы и оформляющие результаты в виде творческих работ
Управление и кадры

15 слайд

Циклограмма работы над проектом

1.Вводный этап
2.Поисково-исполнительский
3.Обобщительный этап
4.Заключительный этап

16 слайд

Этапы и сроки проведения проекта:













В

17 слайд

Этапы и сроки проведения проекта:

18 слайд

Этапы и сроки проведения проекта:

19 слайд

Итоги проекта

1.Умение ставить перед собой задачу
2.Систематизировать и собирать материал
3.Привитие навыков самостоятельной деятельности и уровня ответственности уч-ся в процессе подготовки к итоговой аттестации.

20 слайд

Цели проекта:

Формирование умений:
исследовательских
принимать оптимальные решения;
анализировать,
делать выводы;
сотрудничать в группах;

Развитие:
коммуникативных способностей;
организаторских способностей;
творчества;
монологической и диалогической речи;
навыков самостоятельной работы.

21 слайд

Перспектива развития проекта

1.Создание сайта проекта
2.Совершенствование навыков работы над проектом
3.Участие в школьных мероприятиях посвященных пирамидам.

22 слайд

Используемая литература
1. Погорелов А.В. Геометрия: Учебн. для 7-11 кл. сред. шк. – 3-е изд. – М.:Просвещение, 1992. – 383 с.
2.Интернет-ресурсы
http://ru.wikipedia.org/wiki/Пирамида_(геометрия

23 слайд

Участники проекта

1 слайд

История развития пирамиды




Презентацию подготовили ученики 10 класса
Хаперскова Яна, Махотина Инна, Карпиков Николай.
Руководитель проекта Лядова Е. А.

2 слайд

Слово «пирамида» в геометрию ввели греки,
которые, как полагают, заимствовали его
у египтян, создавших самые знаменитые
пирамиды в мире. Другая теория выводит
этот термин из греческого слова «пирос»
(рожь) – считают, что греки выпекали хлебцы,
имевшие форму пирамиды

3 слайд

Историческая точка зрения
ПИРАМИДА, монументальное сооружение, имеющее геометрическую форму пирамиды (иногда ступенчатую или башнеобразную). Пирамидами называют гробницы древне-египетских фараонов
3 – 2-го тыс. до н. э., а также постаменты храмов в Центральной и Южной Америке, связанные с космологическими культами.
Терра-Лексикон: Иллюстрированный
энциклопедический словарь, 1998

4 слайд

Пирамида с гробницы

5 слайд

Пирамида, созданная человеком

6 слайд

Пирамиды, созданные
природой

7 слайд

Пирамиды в архитектуре
Торговый центр в Илинге, Лондон

8 слайд

Большая пирамида Хеопса

9 слайд

Ключ к тайне пирамид .
Египетские пирамиды.
Самая высокая пирамида мира представляет собой еще и самый исследованный в геометрическом отношении памятник. Тем не менее, в египтологии не существует теории, которая бы объясняла конкретные значения параметров пирамид. В самом деле, нельзя же думать, что такое огромное и чрезвычайно сложное сооружение имеет высоту, которая получилась случайно, или что между фараонами проводилось соревнование "чья пирамида выше".

10 слайд

Известно несколько теорий по поводу отношений между параметрами пирамид.
Как ни странно, но древние архитекторы Египта уклонились от идеальной формы пирамиды.
Чтобы понять, зачем они это сделали, впишем в пирамиду шар и вычислим его радиус. В идеальной пирамиде он будет равен 55,9720 м, а в пирамиде с измеренным углом 51°51'30" – 56,010 м. А теперь поделим высоту пирамиды "золотым сечением" так, чтобы меньшая часть была внизу:
Она будет равна 56,034 м.

Таким образом, центр вписанного шара совпадает с точкой "золотого сечения" высоты пирамиды. А радиус шара равен 56 м. Ровно!
Полезно выразить радиус вписанного шара в канонических царских локтях в 28 пальцев (0,5185 (185).... м):
56 м : 0,5185 (185).... м = 108 локтей.
Хороший и понятный результат.

Точное значение 56,00 м радиус вписанного шара будет иметь при угла в 51°51' и высоте пирамиды 146,42 м. Таким образом, точное выражение радиуса числом 56 в метрах, может быть достаточно сильным мотивом для выбора угла. Но почему 56, не потому ли, что 56 м = 108 локтей? Ключ к этой тайне пирамид лежит в числе рядов кладки и их высоте. Археологи дважды проводили замеры и расчеты. Общее число рядов кладки до вершины геометрической пирамиды – их 220.

Верхняя поверхность ряда № 215 образует площадку, которая играет важную роль в геометрии пирамиды. Длина стороны квадратной площадки составит 4,24 м. Примечательно, что идеальная пирамида (с α = 51°49'38",25) будет иметь на этом уровне площадку 3,98 м х 3,98 м. Четырехметровая (4,00 м х 4,00 м) площадка будет при α = 51°49'43",5 и высоте 146,54 м, что нечувствительно отличается от идеальной пирамиды.

11 слайд

Египетские пирамиды — действительно поразительная конструкция, которую со всей современной технологией невозможно построить в наше время. Возьмём, к примеру, пирамиду фараона Хуфу. Её высота 147 метров, что равняется высоте 55-этажного дома. Она построена приблизительно из 230 миллионов камней. Каждый камень весит примерно две с половиной тонны (средний вес индийского слона). Отдельные камни достигают веса в 30 тонн! Египетские пирамиды были построены с удивительной точностью. Многие ученые утверждают, что, готовясь к строительству пирамид, египтяне делали астрономические расчёты, чтобы расположение пирамид соответствовало расположению планет.
Каким образом смогли древние люди принести сюда такие тяжёлые камни и водрузить их на такую огромную высоту? Мы видим , что и в других областях технологии у древних были преимущества над нами. Например, бальзамирование. Степень сохранности египетских мумий удивительна, — такое высокое качество бальзамирования остаётся недостижимым и сегодня.

12 слайд

Откуда же у египтян были те знания, которых пока, со всем развитием науки, нет даже у нас?
Изучив данный вопрос мы пришли к выводу:
Древние люди были гораздо ближе к Адаму, который был одним из мудрейших людей во всей истории человечества и, несомненно, передал какие-то знания своим потомкам. Можно предположить, что множество своих знаний египтяне почерпнули из мудрости Адама.
По утверждению ученых ,Имхотеп — первый архитектор пирамид — не кто иной, как библейский Йосеф. Мы видим большое сходство между историей Йосефа и тем, что египетская традиция сообщает об Имхотепе. Эти учёные предполагают, что ступенчатая пирамида в Саккаре была построена Йосефом. На её пьедестале было написано имя фараона Джосера и далее: «Имхотеп — хранитель сокровищницы царя Нижнего Египта, первый после царя в Верхнем Египте, распорядитель великого дворца…». Считают,что сооружение в Саккаре — не усыпальница фараона, а громадное зернохранилище, находившееся в ведении Имхотепа — Йосефа.

13 слайд

Изучаем историю Древнего Египта Составление кроссворда “Пирамида”

1 слайд

Виды и свойства пирамид



Презентацию подготовили ученики 10 класса
Садов Алексей, Грибакова Надежда.
Руководитель проекта Лядова Е. А.

2 слайд

Цель:


Изучить виды и свойства пирамиды.

3 слайд

Задачи:


1.Рассмотреть различные виды пирамид.
2.Свойства пирамиды и теоремы связывающие пирамиду с другими геометрическими телами.

4 слайд

Исследование свойств пирамид
При постройке египетских пирамид было установлено, что квадрат, построенный на высоте пирамиды, в точности равен площади каждого из боковых треугольников. Это подтверждается новейшими измерениями.
Если сторону основания пирамиды разделить на точную длину года – 365,2422 суток, то получается 10-миллионная доля земной полуоси с большой точностью.

5 слайд

Исследование свойств пирамид
Мы знаем, что отношение между длиной окружности и её диаметром есть постоянная величина, хорошо известная современным математикам, школьникам – это число  = 3,1416… Но если сложить четыре стороны основания пирамиды Хеопса, мы получим 931,22 м. Разделив это число на удвоенную высоту пирамиды (2148,208), мы получим 3,1416…, то есть число .

6 слайд

S
C
B
A
Виды пирамид
A
M
D
B
C
Треугольная пирамида
Четырёхуголь-
ная пирамида
Боковая
поверхность

7 слайд

C
B
A
S
O
M
N
K
AB=BC=AC,
∆ABC-равносторонний.
Пирамида
правильная
r
R
Апофема
Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник, а высота ее проходит через центр основания.

8 слайд

PO( катет) – общий;
Все боковые рёбра правильной пирамиды равны.
P
A2
An
A1
PA1A2…An - правильная пирамида
O
h
R
R
OPA1 =
OPA2 = …
2.OA1=OA2=…R
(катеты)
Значит,
PA1=PA2 =…

9 слайд

PA2A3=…=
PA1A2=
Все боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники .
A1
A2
A3
A4
A5
An
P
PA1A2 A3…An – правильная пирамида
PA1An
(по трём сторонам)
A1A2=A2A3=A3A4=..;
PA1=PA2=PA3=…

10 слайд

Высота проецируется в центр описанной окружности
Свойства


s
A
B
C
1
2
3
6
4
5
1. SA=SB=SC
2. 1=2=3
3. 4=5=6

11 слайд

Высота проецируется в центр вписанной окружности
свойства
S
M
N
K
1
2
3
4
5
1.SM=SN=SK
2.1= 2= 3
3.4= 5= 6

12 слайд

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
A1
A2
A3
A4
An
P
H
Sб.п.=S A1A2P+S A2A3P+S A3A 4P =…
= ½A1A2·PH + ½A2A3· PH +
+ ½A3A4· PH…=
= ½PH·(A1A2 + A2A3 + A3A4 +…)
= ½PОСНОВ. PH
или
Sбок.п. =½Pосновh,
где h - апофема
Высота боковой грани правильной пирамиды - апофема пирамиды

13 слайд

Правильная пирамида
Отметим некоторые свойства правильной n-угольной пирамиды на примере треугольной пирамиды.Как известно центр правильного треугольника совпадает с центром вписанной и описанной окого него окружности. Поэтому отрезки АО, ВО и СО равны как радиусы.
Поэтому прямоугольные треугольники АОМ, ВОМ и СОМ равны по двум катетам (МО-общая). Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих сторон: АМ=ВМ=СМ

Свойство 1: В правильной n-угольной пирамиде все боковые ребра равны между собой.
Из равенства ребер следует и равенство боковых граней. Треугольники АВМ, ВСМ и АСМ равны по трем сторонам.
Свойство 2: Все боковые грани правильной n-угольной пирамиды суть равные равнобедренные треугольники, поэтому все плоские углы при вершине равны, все плоские углы при основании равны.
Из равенства прямоугольных треугольников ОРМ, ОТМ и ОКМ (ОТ=ОР=ОК как радиусы вписанной окружности; МО - общая) следует равенство всех двугранных углов при основании пирамиды РОРМ=РОТМ=РОКМ
Свойство 3: В правильной n-угольной пирамиде все двугранные углы при основании равны.

14 слайд

M
C
B
D1
D
A
C1
A1
B1
Усечённая пирамида
Верхнее основание
Нижнее основание
Ребра
Боковая грань
h

15 слайд

ПИРАМИДА
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ УСЕЧЁННОЙ ПИРАМИДЫ
Найдем площадь одной из граней правильной n-угольной усечённой пирамиды.
α2
α1
h

16 слайд

Если все боковые грани наклонены к пл-ти основания
под одинаковым углом,то



В правильной усеченной пирамиде площадь
боковой поверхности равна

17 слайд

Объем пирамиды

Сумма объемов пирамид будет равна одной трети произ­ведения радиуса вписанного

шара на полную поверхность многогранника:

18 слайд

Пирамида и шар:




Определение 1.
Пирамида называется описанной около шара (сферы), если все её грани касаются поверхности шара - сферы.

Теорема 1.
Центр вписанной в пирамиду сферы лежит на пересечении биссекторных плоскостей внутренних двугранных углов пирамиды.

Теорема 2.
Для того чтобы в пирамиду можно было вписать шар (сферу), необходимо и достаточно, чтобы биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекались в одной точке.

Теорема 3.
В любой тетраэдр (треугольную пирамиду) можно вписать шар (сферу).

Теорема 4.
В любую правильную пирамиду можно вписать шар (сферу).

Теорема 5.
В правильную усеченную пирамиду можно вписать шар в том и только в том случае, если апофема пирамиды равна сумме апофем оснований.

19 слайд

Вывод: при изучении данного вопроса мы узнали какими бывают пирамиды , свойства пирамиды, и теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами.

1 слайд

Формулы связанные с пирамидой



Презентацию подготовили ученики 10 класса
Сысоев Владислав, Садова Ирина.
Руководитель проекта Лядова Е. А.

2 слайд

Цель:


Изучить формулы связанные с пирамидой

3 слайд

Задачи:


1.Дать определение пирамиды и ее элементов.
2.Найти формулы свяанные с пирамидой.

4 слайд

Математическая точка зрения
Евклид пирамиду определяет как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости сходятся к одной точке.
Герон предложил следующее определение пирамиды: «Это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке и основанием которой служит многоугольник».

5 слайд

Математическая точка зрения
Адриен Мари Лежандр в своём труде «Элементы геометрии» в 1794 г. даёт определение: «Пирамида – телесная фигура, образованная треугольниками, сходящимися в одной точке и заканчивающаяся на различных сторонах плоского основания».
В учебнике XIX в. Фигурировало определение: «пирамида – телесный угол, пересечённый плоскостью».

6 слайд

Определение
пирамида это
n-треугольников








элементы пирамиды
S
B
C
D
E


А
вершина
Многогранник
n-угольник в
основании и
основание
боковые грани
боковые ребра
высота

7 слайд

Формулы для пирамид
Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней
Sполн=Sбок+Sосн;
Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей её боковых граней;
Площадь боковой грани
Sбок.гр=1/2 x mx\g\,
где m – апофема, \g\ - основание грани;
Теорема: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
Sбок=1/2 x(Pосн x m),
где m – апофема, Р – периметр многоугольника основания;
Объём пирамиды
V=(1/3) x Sосн x h.

8 слайд

Если все боковые грани наклонены к пл-ти основания
под одинаковым углом,то



В правильной усеченной пирамиде площадь
боковой поверхности равна

9 слайд

ПИРАМИДА
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ УСЕЧЁННОЙ ПИРАМИДЫ
Найдем площадь одной из граней правильной n-угольной усечённой пирамиды.
α2
α1
h
Т.к. эта усечённая пирамида правильная, то

10 слайд

Объем пирамиды
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

11 слайд

Вывод: при изучении данного вопроса, мы узнали определение пирамиды , выяснили из каких элементов они состоят, нашли формулы для вычисления объемов и площадей различных пирамид.