Различные виды уравнения прямой

• 1 слайд

  Различные виды уравнения прямой
  презентацию подготовила
  ученица 7 «Б» класса
  МОУ «Гимназия №1»
  Распарина Ольга
  

• 2 слайд

  Общее уравнение прямой
  Уравнение Ax+By+C=0 (где A, B и C могут принимать любые значения, лишь бы коэффициенты A, B не были равны нулю оба сразу) представляет прямую линию.
  Всякую прямую можно представить уравнением этого вида. Поэтому его называют общим уравнением прямой.
  

• 3 слайд

  Ах+Ву+С=0
  1) Если A=0, то уравнение представляет прямую, параллельную оси Ох (у= ).
  Пример 1.
  Графиком уравнения у=-10 является прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;-10).
  О
  -10
  х
  у
  

• 4 слайд

  Ах+Ву+С=0
  2) Если В=0, то уравнение представляет прямую, параллельную оси Оу (х= ).
  Пример 2.
  Графиком уравнения х=6 является прямая, параллельная оси Оу и проходящая через точку (6;0).
  
  О
  6
  у
  х
  

• 5 слайд

  Ах+Ву+С=0
  3) Когда В=0, то у=
  Уравнение у=кх+m, где к= , а m= называется уравнением прямой с угловым коэффициентом к.
  4) Если С=0, то есть уравнение Ах+Ву+С=0 не содержит свободного члена, то оно представляет прямую, проходящую через начало координат.
  

• 6 слайд

  Ах+Ву+С=0
  (у= , то есть у=кх – где к – угловой коэффициент прямой. Ясно, что к= , где Х0 и У0 координаты произвольной точки прямой, Х0=0).
  
  х
  у
  у0
  х0
  1
  0
  1
  

• 7 слайд

  Пример 3.
  Составить уравнение прямой, изображенной на рисунке.
  Решение.
  Так как прямая проходит через начало координат, то она задается уравнением у=кх. Определим угловой коэффициент этой прямой. Возьмем к примеру точку А этой прямой, тогда к= , то есть к= . Значит, к=-2 и уравнение данной прямой имеет вид: у=-2х.
  
  0
  у
  х
  -1
  1
  1
  -1
  А
  2
  

• 8 слайд

  Пример 4.
  Составить уравнение прямой, изображенной на рисунке.
  Решение.
  Данная прямая получена из прямой у=кх смещением последней на 3 ед. отрезка вверх вдоль оси Оу. Прямые у=кх и данная параллельны, следовательно, их угловые коэффициенты равны. Определив угловой коэффициент прямой у=кх (к= ), получим, что угловой коэффициент данной прямой равен -2. А так как данная прямая пересекает ось Оу в точке с ординатой 3, то в уравнении данной прямой (у=кх+m), к=-2, m=3. Искомое уравнение имеет вид у= =-2х+3.
  у=кх
  у
  х
  А
  

• 9 слайд

  Теоремы
  Уравнение изображенной прямой можно получить и иначе, если иметь ввиду следующие утверждения.
  Теорема 1.
  Если прямая отсекает на осях отрезки а и в (не равные нулю), то ее можно представить уравнением =1.
  
  

• 10 слайд

  Теорема 2.
  Уравнение =1 представляет прямую, отсекающую на осях (считая от начала координат) отрезки а и в.
  
  
  Уравнение =1 называется уравнением прямой в отрезках (ясно, что а=0, в=0).
  

• 11 слайд

  Вывод уравнения прямой в отрезках.
  Уравнение прямой в отрезках легко получается либо из общего уравнения прямой, либо из уравнения прямой с угловым коэффициентом.
  Пусть у=кх+m – уравнение прямой с угловым коэффициентом. Приведем его к виду =1.
  

• 12 слайд

  у=кх+m
  Для этого перенесем слагаемое кх в левую часть уравнения, изменив его знак на противоположный и разделим обе части полученного равенства на m. Получим следующее уравнение =1. Перепишем это уравнение в виде =1.
  Учтем, что = . Следовательно, = . Обозначив буквой «а», а m – буквой «в» получим искомое уравнение прямой в отрезках =1.
  
  

• 13 слайд

  Рассмотрим следующий пример
  Пример 5.
  Составить уравнение прямой, изображенной на рисунке.
  Решение.
  Прямая отсекает отрезки -2 на оси Оу и 3 – на оси Ох. Поэтому ее уравнение можно записать так:1) =1 или =1. Из последнего уравнения можно получить уравнение прямой в общем виде и уравнение прямой с угловым коэффициентом.
  у
  -1
  х
  1
  1
  -1
  0
  3
  -2
  

• 14 слайд

  Пример 5.
  2) =1 6. 2х-3у=6. 2х-3у-6=0.
  3) =1. = 1 2. у= -2.
  В ответе можно записать любое из уравнений 1), 2) или 3).
  Кроме того, уравнение прямой в отрезках удобно использовать для построения этой прямой на чертеже.
  

• 15 слайд

  Уравнение прямой, проходящей через две точки.
  Теперь, допустим, нужно записать уравнение прямой проходящей через две точки А (1;-2) и В (-1;4). Очевидно, что для решения этой задачи надо составить и решить систему уравнений
  относительно к и m, где х1=1, у1=-2,
  х2=-1, у2=4. И, найдя значения к и m, подставить их в уравнение у=кх+m. Всякий раз решать подобные задачи таким способом довольно-таки нерационально.
  у2=кх2+m.
  у1=кх1+m,
  

• 16 слайд

  Решим эту задачу в общем виде.
  Пусть требуется составить уравнение прямой, проходящей через две различные точки (х1;у1) и (х2;у2) такие, что х1=х2, у1=у2.
  Так как прямая проходит через эти точки, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой у=кх+m.
  
  

• 17 слайд

  Решим эту задачу в общем виде.
  Решим систему уравнений
  относительно к и m. Найдя
  значения к и m, подставим их в уравнение у=кх+m. Итак,
  
  
  
  
  
  Уравнение прямой примет вид: у= х+у1- х1.
  
  у2=кх2+m.
  у1=кх1+m,
  m=у1-кх1,
  у2=кх2+у1-кх1.
  m=у1-кх1,
  у2=кх2+m.
  у1=кх1+m,
  к= .
  (у2-у1)=к (х2-х1).
  m=у1-кх1,
  m=у1- х1,
  к= .
  

• 18 слайд

  Преобразуем его
  у-у1= х- х1,
  у-у1= (х-х1).
  (у-у1) (х2-х1)=(у2-у1) (х-х1) (х2-х1) (у2-у1),
  
  
  
  Мы получили уравнение прямой, проходящей через две различные точки (х1;у1) и (х2;у2), причем х1=х2, у1=у2.
  ,
  ,
  

• 19 слайд

  (у-у1) (х2-х1)=(у2-у1) (х-х1)
  А что если х2=х1 (при условии, что у2=у1) или у2=у1 (при условии, что х2=х1)?
  В этом случае уравнение ( ) будет выглядеть так:
  (у2-у1) (х-х1)=0 или (у-у1) (х2-х1)=0. Откуда получим уравнения: х=х1 или у=у1. То есть уравнения прямых, параллельных координатным осям.
  

• 20 слайд

  В первом случае – уравнение прямой, параллельной оси Оу, а во втором случае – уравнение прямой, параллельной оси Ох.
  О
  -1
  -1
  1
  1
  у
  О
  -1
  -1
  1
  1
  х
  у
  х
  х
  

• 21 слайд

  Пример 6.
  Записать уравнение прямой, проходящей через точки А (1;-2) и В (-1;4).
  Решение.
  Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две различные точки.
  Перепишем его в виде
  Теперь подставим в него координаты данных точек:
  
  
  Итак, у=-3х+1 – уравнение прямой, проходящей через точки А(1;-2) и В (-1;4).
  Ответ: у=-3х+1
  (-6)
  -3(х-1)=у+2.
  у=-3х+1.
  

• 22 слайд

  Рассмотрим задачу:
  «Лежат ли точки А1 (-2;5), А2 (4;3), А3 (16;-1) на одной прямой?».
  Решить ее можно так:
  1) Составить уравнение прямой, проходящей, например, через точки А1 и А2.
  2) Подставить координаты точки А3 в полученное уравнение, проверив тем самым, принадлежит ли точка А3 прямой, проходящей через точки А1 и А2.
  

• 23 слайд

  Итак: «Лежат ли точки А1 (-2;5), А2 (4;3), А3 (16;-1) на одной прямой?»
  Использование уравнения прямой, проходящей через две различные точки, значительно сокращает процесс поиска решения данной задачи. Положив в уравнении х=х3, у=у3 и, подставив координаты данных точек в равенство ,
  получим: . Полученное равенство верное, следовательно, точки А1, А2 и А3 лежат на одной прямой .
  Итак, использование различных видов уравнений прямой позволяет рационализировать поиск решения ряда задач.
  

• 24 слайд

  
  Спасибо за внимание!!!