- 09.02.2015
- 1771
- 1
Урок алгебры и основ математического анализа в 11 классе
Тема урока: Решение уравнений и доказательство неравенств нестандартными методами.
Цель урока: Организация деятельности учащихся по решению уравнений и доказательству неравенств нестандартными методами.
Задачи урока:
а) обучающая: формирование навыков решения алгебраических задач нестандартными методами;
б) развивающая: развитие умений анализировать, сравнивать, строить аналогии при доказательстве математических утверждений, нахождении корней уравнений;
в) воспитывающая: формирование устойчивого интереса к предмету, к решению конкурсных, навыков исследовательской работы, коммуникативных умений..
Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний и способов деятельности; установления внутрипредметных связей.
Оборудование: Интерактивная доска.
Ход урока:
Организационный момент (приветствие, объявление темы, цели, задач урока, разбиение на группы).
Решение нестандартных задач (групповая работа)
а) объяснение материала «Применение тригонометрии в алгебре»
№1. Числа a, b, c, d удовлетворяют условиям 
. Доказать, что 
.
Решение: Поскольку 
то существуют такие 
и 
, что 
Имеем 
Следовательно,
№2. Известно, что 
Вычислить 
Решение: положим 
Отсюда 
Из условия следует, что 
Далее, 
Ответ: 0.
№3. Доказать, что при 
и 
имеет место неравенство 
Решение:
С учетом того, что 
можем положить 
где 
Тогда достаточно доказать неравенство 
т.е. 
Так как 
и 
то 
и 
Отсюда 
№4. Решить уравнение
Решение: т.к. 
то положим 
. Тогда исходное уравнение становится таким Переходим к равносильной системе 
Отсюда 
где n и k – целые.
Очевидно подходят только 
и 
Ответ: 
№5. Решить систему
Решение: 
. 
и 
.
отсюда 
возведем в квадрат и сложим, 
отсюда 
, 
Учитывая, что 
и 
, 
т.е. 
Тогда 
. Значит 
Ответ: 
б) «Применение векторов в алгебре»
№6. Числа a, b, c, d удовлетворяют условиям 
. Доказать, что 
Решение:
Рассмотрим два вектора 
и 
Очевидно, имеет место следующее неравенство 
или в координатной форме 
Именно это последнее неравенство является ключом к решению. Отметим, что равенство достигается при условии коллинеарности векторов 
и 
.
Пусть векторы и такие, что 
и 
. Тогда с учетом условия 
, 
. Кроме того, 
Имеем 
№7.Решить уравнение 
Решение: введем векторы 
Тогда левая часть уравнения равна 
то левая часть уравнения не превосходит 2.
Оценим правую часть. Имеем 
Следовательно, исходное уравнение равносильно систем 
Этот корень удовлетворяет и второму уравнению.
Ответ: 
№8. Решить уравнение 
Решение:
Введем векторы 
и 
Оценим левую часть 
Так как равенство возможно лишь при условии коллинеарности векторов 
и 
, то решения (если они существуют) следует искать среди решений уравнения 
имеющего (в этом несложно убедиться) единственный корень 
Проверка показывает, что 
удовлетворяет исходному уравнению
Ответ.
№9. На сторонах треугольника АВС во внешнюю сторону построены параллелограммы АА1В1В, ВВ2С1С, СС2А2А. Могут ли отрезки А1А2, В1В2, С1С2 быть сторонами некоторого треугольника?
Решение:
Покажем, что 
. (см. рис.). Действительно, имеем 
. Кроме того, 
С2
В2
Возможен случай, когда векторы 
коллинеарны. В этом случае сумма двух рассматриваемых отрезков равна третьему и треугольник построить нельзя.
№10.Доказать 
где А, В, С – углы треугольника.
Решение: пусть 
– единичные векторы коллинеарные сторонам АВ, ВС, СА треугольника АВС соответственно. Рассмотрим очевидное неравенство 
Имеем 
или 
откуда и следует 
.
в) О решений уравнений вида 
Наряду с уравнением , где 
- некоторая функция (1) можно рассмотреть уравнение 
(2). Уравнение (1) проще уравнения (2), поэтому попытаемся это использовать для решения (2). Примем без доказательства следующие утверждения:
Любой корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).
Пусть функция строго возрастает на множестве Х и пусть 
для любого 
, тогда уравнения (1) и (2) равносильны на множестве Х.
№10. Решить уравнение 
Решение: Функция 
строго возрастает на множестве R, и 
для любого 
. Тогда на основании утверждения 2 исходное уравнение равносильно уравнению 
и имеет единственный корень . Следовательно, данное уравнение также имеет единственный корень .
Ответ: .
№11. Решить уравнение 
Решение: 
(1). Рассмотрим функцию 
она строго возрастает на множестве 
и 
для любого . Тогда по утверждению 2 уравнение (1) равносильно уравнению 
которое имеет три корня: 
Следовательно, данное уравнение имеет те же три корня.
Ответ: 1; 2; -3.
Задания для самостоятельного решения(индивидуальная работа)
№1. Решить уравнение 
№2. Числа 
таковы , что 
Найти наибольшее и наименьшее значение выражения 
№3. Пусть 
- плоские углы некоторого трехгранного угла. Доказать, что 
Оценивание учебных достижений:
а)самооценка каждого(лист самооценки);
б)взаимооценка ( внутри малой группы);
в)оценка учителя.
5. Домашнее задание:
№1. Решить уравнение 
№2. Решить уравнение 
№3. Решить уравнение 
№4. Решить уравнение 
№5. Решить уравнение 
5. Подведение итогов урока, рефлексия каждой микрогруппы, мнения 2-3 учеников класса.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
В разработке урока по алгебре и началам математического анализа в 11 классе на тему "Решение уравнений и доказательство неравенств нестандартными методами" систематизированы задачи по применению нестандартного подхода в решении уравнений и доказательстве неравенств. Отличительной особенностью данной разработки является наличие векторов в алгебре, применение тригонометрической замены в алгебре, решение уравнение вида f(f(x))=x, использование свойств функции (оценивание значений функции, монотонность функции).
Думаю, что приведенные задания вызовут интерес у учителей и учащихся.
6 664 044 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Ахметова Галия Зейнуллаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.