Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Разработка урока по алгебре и началам математического анализа в 11 классе на тему
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Разработка урока по алгебре и началам математического анализа в 11 классе на тему

библиотека
материалов

Урок алгебры и основ математического анализа в 11 классе


Тема урока: Решение уравнений и доказательство неравенств нестандартными методами.

Цель урока: Организация деятельности учащихся по решению уравнений и доказательству неравенств нестандартными методами.

Задачи урока:

а) обучающая: формирование навыков решения алгебраических задач нестандартными методами;

б) развивающая: развитие умений анализировать, сравнивать, строить аналогии при доказательстве математических утверждений, нахождении корней уравнений;

в) воспитывающая: формирование устойчивого интереса к предмету, к решению конкурсных, навыков исследовательской работы, коммуникативных умений..

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний и способов деятельности; установления внутрипредметных связей.

Оборудование: Интерактивная доска.


Ход урока:

  1. Организационный момент (приветствие, объявление темы, цели, задач урока, разбиение на группы).

  2. Решение нестандартных задач (групповая работа)

а) объяснение материала «Применение тригонометрии в алгебре»

1. Числа a, b, c, d удовлетворяют условиям hello_html_4c93b817.gif. Доказать, что hello_html_63d1c9f.gif.

Решение: Поскольку hello_html_15f8a1a7.gif то существуют такие hello_html_25f31b0.gif и hello_html_33daad06.gif, что hello_html_m6c829e50.gif Имеем hello_html_702626e6.gif Следовательно, hello_html_63d1c9f.gif


2. Известно, что hello_html_m3b351d09.gif Вычислить hello_html_m263e2068.gif

Решение: положим hello_html_55d556ec.gif Отсюда hello_html_594c1cd3.gif Из условия следует, что hello_html_67fbb1f1.gif Далее, hello_html_m1ce0308.gif

Ответ: 0.


3. Доказать, что при hello_html_76ed9053.gif и hello_html_m104020c8.gif имеет место неравенство hello_html_m546e9090.gif

Решение:

С учетом того, что hello_html_30a08272.gif можем положить hello_html_m67f3dc49.gif где hello_html_m5f7ab92.gif Тогда достаточно доказать неравенство hello_html_31eaa762.gif т.е. hello_html_m34842a0.gif Так как hello_html_22a0e999.gif и hello_html_3e960279.gif то hello_html_14921656.gif и hello_html_m35a2fbc2.gif Отсюда hello_html_1c4764f7.gif

4. Решить уравнение

Решение: т.к. hello_html_m3bf823fa.gif то положим hello_html_m2503628b.gif. Тогда исходное уравнение становится таким Переходим к равносильной системе hello_html_m1e6b6f19.gif

Отсюда hello_html_m677345f4.gif hello_html_190f0090.gif где n и k – целые.

Очевидно подходят только hello_html_m2969d9d2.gif и hello_html_m39d34995.gif

hello_html_4dcd97cb.gifhello_html_m222695f7.gif

Ответ: hello_html_72995d74.gifhello_html_6de40eb2.gif

5. Решить систему

hello_html_m67e39db4.gif

Решение: hello_html_m50e46b4b.gif. hello_html_540f9ac7.gif и hello_html_m5656aef6.gif.

hello_html_65311c63.gifотсюда hello_html_m66f16c75.gif возведем в квадрат и сложим, hello_html_4c006ae4.gif отсюда hello_html_1b434079.gif, hello_html_m13f163c6.gif

Учитывая, что hello_html_m6543e74d.gif и hello_html_386e31e2.gif, hello_html_3159a597.gif т.е. hello_html_63ee75c9.gif Тогда hello_html_m2960a2aa.gif. Значит hello_html_m3af84a4b.gif

Ответ: hello_html_5b224b06.gif


б) «Применение векторов в алгебре»


6. Числа a, b, c, d удовлетворяют условиям hello_html_943fa99.gif. Доказать, что hello_html_m470df4ef.gif

Решение:

Рассмотрим два вектора hello_html_m67b77836.gif и hello_html_m1a57d13e.gif Очевидно, имеет место следующее неравенство hello_html_m10898cf8.gif или в координатной форме hello_html_21728d7.gif Именно это последнее неравенство является ключом к решению. Отметим, что равенство достигается при условии коллинеарности векторов hello_html_m57d03f45.gifи hello_html_m17c7fa88.gif.

Пусть векторы hello_html_m57d03f45.gif и hello_html_m17c7fa88.gif такие, что hello_html_13c230e1.gif и hello_html_67d9bbae.gif. Тогда с учетом условия hello_html_76d97ce0.gif, hello_html_741a68e3.gif. Кроме того, hello_html_m458f0445.gif Имеем hello_html_m5a7c9f39.gif

7.Решить уравнение hello_html_m2d86c463.gif

Решение: введем векторы hello_html_6abcd464.gif hello_html_m6250c01f.gif Тогда левая часть уравнения равна hello_html_m211fe6fd.gif то левая часть уравнения не превосходит 2.

Оценим правую часть. Имеем hello_html_m79ec9b43.gif Следовательно, исходное уравнение равносильно систем hello_html_m68ffa610.gif

hello_html_3b8f6bae.gif

Этот корень удовлетворяет и второму уравнению.

Ответ: hello_html_m78e97cab.gif

8. Решить уравнение hello_html_m60fb42ff.gif

Решение:

Введем векторы hello_html_5410f764.gif и hello_html_47f80cc0.gif

Оценим левую часть hello_html_d4d5060.gif Так как равенство возможно лишь при условии коллинеарности векторов hello_html_742a9c13.gif и hello_html_fee1855.gif, то решения (если они существуют) следует искать среди решений уравнения hello_html_m3fca75.gif имеющего (в этом несложно убедиться) единственный корень hello_html_m2d5f2341.gif Проверка показывает, что hello_html_m12a12f84.gif удовлетворяет исходному уравнению

Ответ. hello_html_m2d5f2341.gif



9. На сторонах треугольника АВС во внешнюю сторону построены параллелограммы АА1В1В, ВВ2С1С, СС2А2А. Могут ли отрезки А1А2, В1В2, С1С2 быть сторонами некоторого треугольника?

Решение:

Покажем, что hello_html_886b561.gif. (см. рис.). Действительно, имеем hello_html_m7b918252.gif. Кроме того, hello_html_2a3e645e.gif

С2

В2


















Возможен случай, когда векторы hello_html_m19d462f4.gif коллинеарны. В этом случае сумма двух рассматриваемых отрезков равна третьему и треугольник построить нельзя.

10.Доказать hello_html_m1e333426.gif где А, В, С – углы треугольника.

Решение: пусть hello_html_m45452abd.gif – единичные векторы коллинеарные сторонам АВ, ВС, СА треугольника АВС соответственно. Рассмотрим очевидное неравенство hello_html_m73766ab4.gif Имеем hello_html_44911f44.gif или hello_html_m4d4c5d84.gif откуда и следует hello_html_4700cda7.gif.













в) О решений уравнений вида hello_html_2983b9cb.gif

Наряду с уравнением hello_html_2983b9cb.gif, где hello_html_m44b3da1e.gif- некоторая функция (1) можно рассмотреть уравнение hello_html_m86297c8.gif (2). Уравнение (1) проще уравнения (2), поэтому попытаемся это использовать для решения (2). Примем без доказательства следующие утверждения:

  1. Любой корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).

  2. Пусть функция hello_html_m44b3da1e.gif строго возрастает на множестве Х и пусть hello_html_m5721723c.gifдля любого hello_html_51e2039a.gif, тогда уравнения (1) и (2) равносильны на множестве Х.

10. Решить уравнение hello_html_m5e3de93c.gif

Решение: Функция hello_html_mf0cfb98.gifстрого возрастает на множестве R, и hello_html_2fa8105a.gifдля любого hello_html_5c963f47.gif. Тогда на основании утверждения 2 исходное уравнение равносильно уравнению hello_html_mbe54aac.gifhello_html_m3043ea26.gifhello_html_2a1dc4af.gifи имеет единственный корень hello_html_m78e97cab.gif. Следовательно, данное уравнение также имеет единственный корень hello_html_m78e97cab.gif.

Ответ: hello_html_m78e97cab.gif.

11. Решить уравнение hello_html_7dfd8834.gif

Решение: hello_html_31ae4f1d.gif

hello_html_m290b6b7b.gif(1). Рассмотрим функцию hello_html_m446c49c3.gifона строго возрастает на множестве hello_html_m2d1d51f5.gifи hello_html_m62c3c4.gif для любого hello_html_5c963f47.gif. Тогда по утверждению 2 уравнение (1) равносильно уравнению hello_html_m602d7697.gif которое имеет три корня: hello_html_m1fdd28a2.gif Следовательно, данное уравнение имеет те же три корня.

Ответ: 1; 2; -3.


  1. Задания для самостоятельного решения(индивидуальная работа)

1. Решить уравнение hello_html_m229fee44.gif

2. Числа hello_html_m75df0c78.gif таковы , что hello_html_4432096c.gif Найти наибольшее и наименьшее значение выражения hello_html_m452985db.gif

3. Пусть hello_html_296f7604.gif- плоские углы некоторого трехгранного угла. Доказать, что hello_html_m11690151.gif


  1. Оценивание учебных достижений:

а)самооценка каждого(лист самооценки);

б)взаимооценка ( внутри малой группы);

в)оценка учителя.


5. Домашнее задание:

1. Решить уравнение hello_html_3f5f4fab.gif

2. Решить уравнение hello_html_m1485abf.gif


3. Решить уравнение hello_html_m3a6ba219.gif


4. Решить уравнение hello_html_23adf2df.gif

5. Решить уравнение hello_html_m726c6423.gif

5. Подведение итогов урока, рефлексия каждой микрогруппы, мнения 2-3 учеников класса.





Краткое описание документа:

В разработке урока по алгебре и началам математического анализа в 11 классе на тему "Решение уравнений и доказательство неравенств нестандартными методами" систематизированы задачи по применению нестандартного подхода в решении уравнений и доказательстве неравенств. Отличительной особенностью данной разработки является наличие векторов в алгебре, применение тригонометрической замены в алгебре,  решение уравнение вида f(f(x))=x, использование свойств функции (оценивание значений функции, монотонность функции). 

Думаю, что приведенные задания вызовут интерес у учителей и учащихся.

Автор
Дата добавления 09.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров238
Номер материала 375028
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх