Решение задач методом и нвариантов (Приложение)

Задача 1

В ряд стоят шесть елок на расстоянии 10  метров друг от друга. На каждой елке сидит по одному чижу. Чижи перелетают с елки на елку; причем каждый раз, когда один чиж перелетает вправо на некоторое расстояние, другой чиж перелетает влево на такое же расстояние. Что из перечисленного является инвариантом в задаче?

Выберите все правильные варианты ответа.

Количество чижей

Расстояние от первой ёлки до чижа, изначально сидящего на третьей ёлке

Сумма расстояний от второй ёлки до чижей

Чётность суммы расстояний от второй ёлки до чижей

Количество чижей на четвёртой ёлке

Сумма числа чижей, сидящих на первой, третьей и пятой ёлках

Чётность суммы числа чижей, сидящих на первой, третьей и пятой ёлках

Задача 2

У Змея Горыныча 2016 голов. Илья Муромец раз в минуту может совершать следующие действия: отрубить 7 голов — но тогда у Змея Горыныча через полминуты вырастет 4 новых; либо отрубить 2 головы — тогда у Змея Горыныча через полминуты вырастет 8 новых. Что из перечисленного является инвариантом в задаче?

Выберите все правильные варианты ответа.

Количество голов у Змея Горыныча

Чётность числа голов Змея Горыныча

Остаток от деления количества голов у Змея Горыныча на 333

Остаток от деления количества голов у Змея Горыныча на 999

Неравенство нулю числа голов Змея Горыныча

Значение выражения "количество голов Змея на текущий момент + суммарное количество отрубленных Ильёй голов к этому моменту – суммарное количество выросших у Змея голов к этому моменту"

Задача 3

На Марсе есть 404040 амеб типа AAA, 323232 амебы типа BBB и 313131 амеба типа CCC. Любые две амебы двух разных типов могут слиться и образовать амебу третьего типа. Через некоторое время на Марсе осталась одна амеба. Какого она может быть типа?

Выберите все правильные варианты ответа.

типа AAA

типа BBB

типа CCC

Задача 4

Дан клетчатый квадрат 4×44\times 44×4, в которой одна угловая клетка белая, а все остальные черные. Разрешается взять любую строку или столбец квадрата и поменять в ней цвет каждой клетки. Что из перечисленного является инвариантом в задаче?

Выберите все правильные варианты ответа.

Количество клеток на доске

Количество белых клеток на доске

Чётность количества белых клеток в первом столбце

Чётность количества белых клеток среди семи клеток, стоящих в первом столбце или в первой строке

Задача 5

На доске написаны числа от 111 до 201820182018. За один ход стираются 222 числа, а на доску записывается модуль их разности. Какие величины являются инвариантами процесса?

Выберите все правильные варианты.

Количество чисел

Количество положительных чисел на доске

Количество отрицательных чисел на доске

Чётноcть суммы всех чисел на доске

Задача 6

По кругу стоят 8 чисел "+1" и "−1". При этом на чётных местах стоят числа "+1", а на нечётных "−1". За ход можно выбрать 4 подряд идущих числа и поменять их знак на противоположный. Какие величины являются инвариантами процесса?

Выберите все правильные варианты.

количество чисел "+1"

чётность количества чисел "−1"

произведение чисел

сумма восьми чисел, каждое из которых равно произведению двух рядом стоящих чисел

Задача 7

На доске написаны числа 1,2,…,211, 2, 1, 211,2,…,21. За одну операцию разрешается стереть два числа a и b и вместо них записать на доску число a+b−1. Что из перечисленного является инвариантом в задаче?

Выберите все правильные варианты ответа.

Количество чисел на доске

Количество чисел после применения n операций, увеличенное на n

Сумма чисел

Сумма чисел после применения n операций, увеличенная на n

Произведение чисел

Произведение чисел после применения n операций, увеличенное на n

Какое число может быть записано на доске после применения 20 операций?

В качестве ответа введите все возможные значения записанного числа в порядке возрастания через пробел.

Задача 8

На доске написаны три натуральных числа. Петя записывает на бумажке произведение каких-нибудь двух из этих чисел, а на доске уменьшает третье число на 1. С новыми тремя числами на доске он снова проделывает ту же операцию, и так далее, до тех пор, пока одно из чисел на доске не станет нулем. Что является инвариантов в задаче?

Выберите все правильные варианты ответа.

Сумма всех чисел на доске

Сумма всех чисел на доске после применения nnn операций, увеличенная на nnn

Сумма всех чисел на доске и чисел на Петиной бумажке

Произведение всех чисел на доске

Произведение всех чисел на доске, умноженное на произведение чисел на Петиной бумажке

Произведение всех чисел на доске, увеличенное на произведение чисел на Петиной бумажке

Произведение всех чисел на доске, увеличенное на сумму чисел на Петиной бумажке

Пусть на доске изначально написаны числа 11, 17 и 100. Чему в конце будет равна сумма чисел на Петиной бумажке?

Краткое описание документа:

Задача 1

В ряд стоят шесть елок на расстоянии 10  метров друг от друга. На каждой елке сидит по одному чижу. Чижи перелетают с елки на елку; причем каждый раз, когда один чиж перелетает вправо на некоторое расстояние, другой чиж перелетает влево на такое же расстояние. Что из перечисленного является инвариантом в задаче?

Выберите все правильные варианты ответа.

Количество чижей

Расстояние от первой ёлки до чижа, изначально сидящего на третьей ёлке

Сумма расстояний от второй ёлки до чижей

Чётность суммы расстояний от второй ёлки до чижей

Количество чижей на четвёртой ёлке

Сумма числа чижей, сидящих на первой, третьей и пятой ёлках

Чётность суммы числа чижей, сидящих на первой, третьей и пятой ёлках