Роль и место статистики и теории вероятностей в системе математических знаний школьников.

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Бондаревская средняя общеобразовательная школа

Кантемировского муниципального района

Воронежской области

Роль и место статистики и теории вероятностей в системе математических знаний школьников. Цели изучении раздела.

Товменко С.П.

учитель математики

2020г.

Одна из задач модернизации содержания и структуры Российского школьного образования состоит в совершенствовании качества математического образования. Основным недостатком математической подготовки школьников является неумение пользоваться математическими понятиями при работе с реальными объектами.

По данным Третьего международного исследования (ТIМSS) наши школьники хуже владеют методологическими знаниями.  По данным международного исследования PISA были выявлены невысокие результаты качества обучения детей 15-летнего возраста, получивших общее обязательное образование. Исследование было проведено в 2004 году в 41 стране мира, в том числе вторично и в России. Наши школьники оказались между 29-м и 31-м местом по математической грамотности. Проверочные вопросы были разного уровня сложности. Показав хорошие результаты в области владения фактологическим материалом, умение воспроизводить знания и применять их в знакомой ситуации, учащиеся не смогли интегрировать эти знания и применить их для получения новых знаний и объяснения явлений, происходящих в окружающем мире.

Наибольшие затруднения у учащихся вызывают задачи, в которых необходимо построить математическую модель, отражающую реальные процессы и с ее помощью просчитать результаты. А также задания на построение и чтение графиков реальных зависимостей; задачи на процентный рост, на оценку и прикидку результатов вычислений;  решение задач, связанных с выдвижением и проверкой гипотез. А в условиях современной цивилизации практически  каждому человеку приходится постоянно проводить элементарные подсчеты, делать оценки и прикидки, прокладывать транспортные маршруты, читать графики и диаграммы, осмысливать статистические данные и т.п.

Актуальность обновления содержания школьного математического образования стала очевидна, так как курс математики недостаточно хорошо готовил выпускников к коллизиям жизни, Наши выпускники с трудом преодолевают тот глубокий детерминизм, который взрастила в их умах средняя школа. Практика показывает, что человеку, не понявшему вероятностно-статистических  идей в детстве, в более зрелом возрасте они даются нелегко, ибо многое в теории вероятностей вроде бы противоречит жизненному опыту, а с возрастом опыт набирается и приобретает статус безусловности.

Значит, назрела необходимость введения элементов комбинаторики теории вероятностей, статистики в школьный курс математики. Но введение элементов теории вероятностей как замкнутого раздела программы по  математике, относящегося к «чистой», теоретической математике, уже проводилось при реформировании школьного математического образования в 60-е годы. Тогда появился целый ряд работ ученых методистов, которые ставили своей целью разработать методику преподавания теории вероятностей как отдельной темы школьного курса математики. Однако в 70-х годах в силу изолированности и инородности его по отношению к традиционному школьному курсу этот материал был изъят из программ и учебников.

Реформой 80-х годов элементы теории вероятностей и математической статистики были включены в программы профильных классов, в частности, физико-математического и естественнонаучного.

Итак, несмотря на то, что идея введения стохастической линии в школьный курс математики разрабатывалась много лет и встречала поддержку в среде математиков и педагогов-практиков, в практику нашей школы теория вероятностей и математическая статистика вводилась лишь номинально. Основными причинами такого положения дел являлась не традиционность, новизна этого материала для самой математики, отсутствие прочных методических традиций преподавания его школьникам, неподготовленность части учителей к изложению материала в духе прикладной, а не чистой математики. Но самое главное - социально-экономическое состояние общества, при котором умение грамотно анализировать имеющуюся информацию, делать научно обоснованные прогнозы, предвидеть последствия принимаемых решений, - а все это призвана формировать вероятностно-статистическая линия курса математики, - долго оставалось невостребованным.

В настоящее время принципиально изменилась ситуация в обществе, и это позволяет предположить, что формируемые вероятностным материалом умения и знания окажутся необходимыми широкому кругу людей и станут наравне с компьютерной грамотностью неотъемлемой составляющей общекультурной подготовки современного человека.

В течение последних лет  те или иные материалы по комбинаторике, теории вероятностей, статистике появились в учебниках математики, однако не во всех УМК они являются систематическими и формируют целостное представление. Учителя не всегда рассматривали этот материал, так как он не был включен в государственный стандарт и программы. Теперь это произошло. Включение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в государственный стандарт общего образования требует более тщательного осмысления методики преподавания этих разделов математики.

На протяжении нескольких лет я веду спецкурсы по основам комбинаторики, теории вероятностей и статистики c 7 класса, а в 5-6 классах использую элементы комбинаторики и теории вероятностей, статистики на уроках математики, руковожу исследовательской работой школьников по математике. Введение элементов комбинаторики и теории вероятностей, статистики по­могло учащимся осознать, что многие законы природы и обще­ства имеют вероятностный характер, что много ре­альных явлений и процессов описываются вероятно­стными моделями. За это время возрос уровень познавательной активности учащихся; разнообразные по содержанию  и по уровню сложности задания позволили выявить творческие возможности детей, нестандартность их мышления.

В своей разработке я попыталась отразить решение проблемы введения элементов комбинаторики, теории вероятностей, статистики в школьный курс математики.

Цель работы: разработать методические материалы для работы учителя математики по проблеме введения элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики в школьный курс математики.  Задачи, решаемые для достижения цели:

-проанализировать способы введения элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики с учетом возрастных особенностей школьников;

-разработать подходы и методическое обеспечение в работе учителя по данному направлению.

Анализ изложения элементов комбинаторики, теории вероятностей, статистики в различных УМК

Для введения элементов комбинаторики, теории вероятностей, статистики в практику преподавания математики создаются реальные условия. Имеется учебно-методическое обеспечение, позволяющее включать элемен­ты комбинаторики, статистики и теории вероятно­стей в учебный процесс.

Уже несколько лет в различных регионах России учащиеся основной школы работают по учебным комплектам «Математика 5-6» под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, «Математика 7-9» под ред. Г.В. Дорофеева. В этих учебниках последовательно с 5 по 9 класс вводится вероятностно-статистическая линия. Перечисленные книги написаны живым языком с постоянной опорой на здравый смысл и на жизненный опыт учащихся. В 5 классе рассматриваются случайные, достоверные, невозможные события, а в 6-ом классе - эксперимент со случайными исходами, частота и вероятность события, школьники учатся оценивать вероятность наступления несложных случайных событий сначала на качественном уровне, а количественный подсчет вероятностей происходит позднее. Для решения комбинаторных задач вводится дерево возможных вариантов, правило умножения (в 5-6 классах). В 5-6 классах начинается формирование умений работать с информацией, представленной в форме таблиц и диаграмм.

В курсе 7-8 классов рассматриваются наиболее простые примеры дискретных пространств элементарных событий. В этих учебных комплектах принят статистический подход к понятию вероятности, который методически и психологически соответствует возрастным особенностям учеников основной школы. В основе статистического определения вероятности лежит закон больших чисел, который в курсе приводится, как факт, подтвержденный многочисленными опытами и наблюдениями.

Важнейшей методической особенностью данных учебников является возможность реализации уровневой дифференциации, за счет  широкого диапазона в уровне сложности задач, распределенных в группы А и Б, разнообразного материала, позволяющего выйти за рамки обязательного содержания. Методические особенности комплекта: мотивированное и доступное изложение материала, создание условий для формирования навыков исследовательской деятельности, для развития самостоятельности мышления.

Элементы комбинаторики, статистики, теории вероятностей включены в учебники  под ред. А.Г. Мордковича (Математика 5-6 класс), а к курсу алгебры для  7-9 классов подготовлен специальный вкладыш  «События. Вероятность. Статистика» (авторы А.Г. Мордкович, П.В. Семенов). В первой части каждого параграфа на большом количестве конкретных примеров изложены начальные положения, идеи и методы комбинаторики (правило умножения, перестановки, размещения, сочетания), теории вероятностей (случайные события, классическое определение вероятности, вероятность суммы событий, схема Бернулли) и статистики (многоугольники распределения данных, кривая нормального распределения, числовые характеристики выборки). Теоремы и определения формулируются только после того, как из рассмотрения практических вопросов становится ясной необходимость  их введения. Во второй части каждого параграфа собраны упражнения для классных, домашних, самостоятельных и контрольных работ.

В «Учебниках-собеседниках» для 5-6 классов (авторы Л.Н. Шеврин и др.) стохастическая линия так же внедряется в учебный процесс. В начале 5-ого класса идет разговор о таблицах. В конце 5-го класса, где два последних параграфа посвящены достоверным, невозможным и случайным событиям, совместным и несовместным событиям, сравнению шансов  наступления событий и первому знакомству с комбинаторными задачами, с деревом вариантов. Далее, в 6-м классе комбинаторные задачи включаются в систему упражнений по другим темам (например, при изучении числовых промежутков), вводится правило умножения, действия над событиями, осуществляется первое знакомство с понятием вероятности и с подсчетом вероятности, вводится вероятность суммы событий, вероятность произведения событий, понятие случайной величины и ее среднего значения.

         В учебниках «Математика 5», «Математика 6» (авторы: Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд) имеется достаточное количество прикладных и математических задач на составление комбинаций из нескольких элементов; числовых ребусов; задач на перебор элементов заданного множества, на выявление общего признака некоторого множества чисел, фигур. Однако, как в 5 классе, так и в 6 классе отсутствуют элементы теории вероятностей. Для преподавания вероятностно-статистической линии в 5 – 6 классах по учебникам этих авторов можно использовать рекомендации М.В. Ткачевой «Анализ данных в учебниках Н.Я. Виленкина и других».

Авторы пособия «Элементы статистики и теории вероятностей» Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк  в 7-8 рассматривают статистические характеристики, статистические исследования. Параграф об элементах комбинаторики помещен в курс 9 класса и содержит гораздо больше и теоретических сведений (вводятся соединения), и практических упражнений, чем соответствующий материал по комбинаторике в УМК под ред. Г.В. Дорофеева. Сведения  из теории вероятностей (вероятность события, сложение и умножение вероятностей) тоже рассматриваются в 9-ом классе. Пособие содержит большое количество хорошо подобранных упражнений разного уровня сложности.

Учебники «Арифметика» для 5-6 классов и «Алгебра» для 7-9 классов С.М. Никольского, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина содержат элементы комбинаторики, статистики, теории вероятностей (рассмотрен минимальный круг вопросов). В 5-ом классе рассматриваются комбинаторные задачи на существование и построение комбинаций, удовлетворяющих заданному свойству, а в 6-ом классе - задачи на перебор всех возможных вариантов, вводится понятие вероятности события, начинается формирование умений работать с информацией, представленной в форме графиков и диаграмм.

  Вопросам комбинаторики, статистики и теории вероятностей в учебниках алгебры для учащихся 7 – 9 классов авторского коллектива Ш.А. Алимова и других  уделено мало внимания. Чтобы школьники, обучаясь по этим учебникам, приобрели вероятностно-статистическую грамотность, было выпущено пособие для учащихся «Алгебра, 7-9: Элементы статистики и вероятность» (авторы М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова).

Более широкий круг вопросов по комбинаторике и теории вероятностей рассмотрен в учебных пособиях для углубленного изучения математики (9, 11 кл.) под ред.  Виленкина Н.Я. (основные понятия, законы и формулы комбинаторики, алгебра событий, вероятность события, вероятностное пространство, теоремы сложения, формула умножения вероятностей, формула Бернулли, закон больших чисел), но в них отсутствует раздел математической статистики.

В учебном пособии «Вероятность и статистика. 5-9 кл.» (авторы Е.А.Бунимович, В.А.Булычев) система изложения близка к той, которая используется в учебниках под ред. Дорофеева. В книге содержится дополнительный теоретический материал и соответствующие ему блоки задач, которые могут оказаться полезными для проведения занятий в профильных классах, математических кружках, на факультативах. Отдельные главы пособия могут быть успешно использованы при изучении вероятностно-статистического материала и в 10-11 классах. Задачи поделены на две группы: первая группа - типовые задачи, необходимые для усвоения основных теоретических положений, вторая - более сложные задачи, в которых развиваются идеи и методы теоретической части.

Предлагаемые в «Сборнике задач для подготовки и проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы» (авторы С.А. Шестаков, И.Р. Высоцкий, Л.И. Звавич) материалы могут быть использованы учителями общеобразовательных школ и математических классов для организации и проведения обобщающего повторения вне зависимости от учебников и сборников задач, по которым они работают. Такая универсальность базируется на выделении основных содержательных линий, соответствующих стандарту математического образования, и отнесении каждой задачи к одной из этих линий.

Классификация задач из  данного сборника, относящихся к вероятностно-статистической линии: статистическое определение вероятности, статистические характеристики, классическое определение вероятности, геометрическое определение вероятности, теорема сложения вероятностей, теорема умножения вероятностей, анализ табличных данных.

 Психолого-педагогические особенности младших подростков и возможности их учета в процессе введения элементов комбинаторики, теории вероятностей, статистики

Когда учитель решает вопрос о том, как следует преподнести учащимся тот или иной учебный материал, он должен знать не только содержание соответствующего учебного предмета, но и психологические особенности учащихся, которые будут этот материал усваивать. Необходимо учитывать возрастные и индивидуальные особенности учащихся, их познавательные интересы и стили, индивидуальные интеллектуальные склонности, знать и использовать основные результаты обучения учащихся в начальной школе, среди которых приоритетным на данном этапе развития общества является формирование общеучебных умений и навыков, уровень освоения которых в значительной мере определяет успешность школьника на всех ступенях образования. Можно выделить следующие общеучебные умения и навыки, относящиеся к трем сферам компетентности ученика:

• Организация деятельности - выполнять работу по несложному алгоритму; совместно (всем классом) ставить новую задачу, определять последовательность действий по ее решению; доводить начатое дело до конца;

• Читательская компетентность - осмысленно читать текст, выделять главную мысль, искать информацию в научной литературе;

• Естественно-научная компетентность - описать объект наблюдения, проводить классификацию объектов по общему признаку, сравнивать объекты для того, чтобы найти их общие и специфические свойства, высказывать суждения по результатам сравнения.

Общеучебные умения и навыки являются в начальной школе основой для формирования такой универсальной способности человека, как умение учиться, которая и закладывается на этом этапе образования вместе с потребностью и желанием учиться. Желание и основы умения учиться предполагают, что учащийся умеет видеть границу между известным и неизвестным; соотносить результат своей деятельности с образцом; находить ошибки в своей и чужой работе и устранять их; оценить свои и чужие действия по заданным критериям; обращаться к взрослому с запросом недостающей информации или просьбой о консультации; а главное - готовность искать недостающие способы и средства решения задач, а не получать их в готовом виде.

Задачи индивидуализации на этапе начальной школы решаются в большей мере через организацию групповых форм обучения, предусматривающих умение учащихся вступать в предметную коммуникацию (вести дискуссию) и организовывать свою работу в малых группах, владение приемами и навыками учебного сотрудничества. Использовать результаты обучения учащихся в начальной школе с учетом их возрастных и индивидуальных особенностей, не потерять детей - одна из основных задач учителя-предметника.

5-6 класс, то есть 10-12 летний возраст - пограничный между детством и отрочеством. Сегодняшняя школа, резко меняя то, что должно меняться постепенно, практически не изменяет те характеристики образовательной среды, которые должны отвечать новым возрастным потребностям и возможностям детей, находящихся на границе двух эпох развития - детства и отрочества.

Урок остается основной, а чаще единственной формой организации учебного процесса учащихся на протяжении всех лет обучения в школе. Движение учащихся в учебном материале происходит в одном темпе и по одной общей траектории. Понятия осваиваются преимущественно репродуктивно и с одной ("единственно правильной") точки зрения. Учительские контрольно-оценочные действия ориентированы, в основном на результативную сторону обучения. Понимание и применение понятий ограничивается сложившимися рамками школьной дисциплины. Знания, "разложенные по полочкам", не становятся основой компетентности школьников, они не применяются за пределами тех ситуаций, в которых были освоены. (Об этом свидетельствуют низкие результаты российских школьников в тестах компетентности,  РISА).

Для того, чтобы изменить сложившуюся ситуацию, необходимо знать те возрастные особенности школьников 10-12 лет, которые в лучшем случае игнорируются, в худшем - служат почвой для непродуктивных конфликтов между учителями и учениками. "Чувство взрослости", не подкреплённое ещё реальной ответственностью - вот особая форма самосознания, возникающая в переходный период и определяющая основные отношения младших подростков с миром. "Чувство взрослости" проявляется в потребности равноправия, уважения и самостоятельности, в требовании серьёзного, доверительного отношения со стороны взрослых.

Пренебрежение этими требованиями, неудовлетворённость этой потребности обостряет негативные черты этого периода. Если школа не предлагает ученикам места и средств реализации их чувства взрослости, оно всё равно появится, но самым невыгодным образом - в распрях по поводу учительской несправедливости и объективности.

Склонность к фантазированию, некритическому планированию своего будущего. Результат действия становится второстепенным, на первый план выступает свой собственный авторский замысел. Если учитель оценивает прежде всего качество "продуктов" учебной работы школьников и не находит места для выращивания детского замысла, то тем самым для ученика обесценивается сам процесс учения.

Стремление экспериментировать со своими возможностями - едва ли не самая яркая характеристика младших подростков. Если школа не предоставляет ученикам культурных форм такого экспериментирования, то оно реализуется в самой поверхностной и примитивной форме - в экспериментах со своей внешностью.

В исследованиях Ж. Пиаже и Дж. Брунера разработана периодизация умственного развития ребенка. Стадия конкретных операций охватывает период от начала занятий в школе до 10-11 лет. На этой стадии ребенок переходит к конкретным операциям как с самими предметами, так и с символами (знаковыми моделями) предметов и отношений между ними. Ребенок уже может решить ту или иную задачу не непосредственно, путем манипуляции с предметами, а мысленно и обратимо. На этой стадии в сознании ребенка начинают развиваться внутренние структуры, служащие объектом и средством выполнения операций, но он еще не готов к тому, чтобы иметь дело с возможностями, которые не может воспринять непосредственно. На рубеже 10-12 лет ребенок переходит на последнюю стадию – формальных операций, и примерно к 14-15 годам у него формируется мышление и логика взрослого человека.

Экспериментальная психология позволяет утверждать, что в человеке от рождения заложены, в числе многого прочего, стремления к исследовательскому поведению, к активной деятельности (поисковой активности), к познанию нового. И в младших/средних классах именно на этих врожденных качествах может быть основана «стратегия и тактика» в организации учебной деятельности: ученики, что называется, «схватывают с лёту» знания и хотят узнать еще больше.

Между 11-12 и 14-15 годами происходит снижение уровня исследовательской активности, от общего исследования проблемной ситуации подросток переходит к углубленному рассмотрению выделенной проблемы.

Таким образом, учителю необходимо найти такие средства и способы учебной работы школьников, которые отвечают возрастным новообразованиям подростков данного возраста и задачам, которые ставит перед ними основная школа, связанных, прежде всего, с содержанием обучения:

- содержание учебных курсов основной школы выстраивается системно, что предполагает системную организацию мышления подростков;

- основная школа предъявляет недетские требования к самостоятельности, ответственности и инициативности школьников, особенно в ситуациях свободного выбора индивидуальных учебных траекторий;

-сообщество взрослых ожидает от подростков способности понимать других людей и сосуществовать с ними на принципах равноправия и терпимости.

А так же с воспитанием учебной самостоятельности, которая является ключевой педагогической задачей подросткового этапа образования и рассматривается как умение расширять свои знания, умения и способности по собственной инициативе.

Опираясь на культурно-возрастные характеристики детской жизни надо организовать обучение младших подростков как расширяющийся  опыт определения пространства возможностей своих действий, определение зоны возможных целей. Этот этап по праву должен стать этапом испытаний, проб, экспериментирования, началом этапа постепенного выращивания из коллективного субъекта учебной деятельности индивидуального субъекта.

К особенностям данной содержательной линии можно отнести то, что в ней много эмпирики и рассуждений, мало формул, отсутствуют громоздкие вычисления, открыт большой простор для творческой деятельности учащихся. Эта линия требует своеобразных форм, средств и приемов обучения, соответствующих возрасту и интересам учащихся: дидактических игр и экспериментов, живых наблюдений и предметной деятельности. Изучение основ комбинаторики, теории вероятностей, статистики должно быть направлено на развитие личности школьника, расширять возможности его общения с современными источниками информации, совершенствовать коммуникативные способности и умение ориентироваться в общественных процессах, анализировать ситуации и принимать обоснованные решения, обогащать систему взглядов на мир осознанными представлениями о закономерностях в массе случайных фактов.

10-12 -летний возраст для начала изучения элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей выбран не случайно: многочисленные психолого-педагогические исследования, подтвержденные мировым опытом, убедительно свидетельствуют, что период от 10 до 12 лет - это наиболее благоприятный возрастной период для формирования начальных вероятностно-статистических представлений. Учащиеся в возрасте 10-12 лет, стремясь раскрыть себя, остро ощущают необходимость интеллектуального обеспечения своей деятельности. Основным источником самовыражения является индивидуальная организация познавательных процессов, которая фиксируется в способах учебной работы.

Особое место в учении должно занять  моделирование. Должны присутствовать задания, направленные на обеспечение самостоятельности детского движения, задания, связанные с понятийным развитием, с продвижением в содержании. Введению центральных понятий линии должен предшествовать этап содержательно-практической деятельности, в ходе которой знания формируются на наглядно-интуитивном уровне. Этому способствуют задания, требующие практических действий, составляющих основу формируемых умений; правила возникают как обобщенное вербальное выражение способов действий. Примерами таких упражнений могут служить следующие задания: 1) моделирование вариантов с помощью вспомогательного материала, с помощью дерева возможных вариантов, с помощью таблиц, с помощью кодирования; 2) проведение несложных экспериментов со случайными исходами; 3) сбор, регистрация данных, наглядное представление данных, чтение диаграмм, таблиц.

Цели изучения, особенности структуры и содержания линии, требования к уровню подготовки учащихся

Введение элементов комбинаторики, теории вероятностей, статистики пре­дусматривает формирование таких видов деятельности,  как:

— построение комбинаций элементов, удовлетворяющих заранее заданным свойствам, перебор или подсчет количества таких комбинаций;

— построение вероятностных моделей реальных процессов и явлений;

— анализ эмпирических, т.е. полученных посредством наблюдения или эксперимента, данных, включающий самостоятельный сбор данных, проведение экспериментов, первоначальную обработку статистического материала, статистические выводы.

Эти виды деятельности взаимосвязаны и направлены на обучение учащихся анализу данных.

Цели изучения элементов комбинаторики, теории вероятностей, статистики

познавательные:

-               приобретение знаний об основных правилах и формулах комбинаторики, об основных понятиях и теоремах теории вероятностей, о статистическом наблюдении и статистическом выводе;

-               формирование научного мировоззрения;

-               удовлетворение личных познавательных интересов, необходимых для применения  в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

развивающие:

-                развитие математического стиля мышления, комбинаторных возможностей интеллекта учащихся, вероятностно-статистической интуиции, формирование адекватных представлений о свойствах случайных явлений,

-           формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе (ясность  и точность мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление, алгоритмическая культура, способность к преодолению трудностей, умения ориентироваться в изменчивом информационном мире).

воспитательные:

-               воспитание культуры умственного труда,

-               становление самосознания,

воспитание понимания значимости комбинаторики, теории вероятностей, статистики для научно-технического прогресса.